Một số kết quả về hàm điều hòa dưới

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TOÁN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI Sinh viên thực hiện PHAN NGỌC PHƯƠNG QUỲNH Lớp 18ST Giảng viên hướng dẫn TS HOÀ[.]

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI Sinh viên thực hiện: PHAN NGỌC PHƯƠNG QUỲNH Lớp 18ST Giảng viên hướng dẫn: TS.HOÀNG NHẬT QUY Đà Nẵng, 12–2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM KHOA TỐN KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Đề tài: MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI Sinh viên thực hiện: PHAN NGỌC PHƯƠNG QUỲNH Lớp 18ST Giảng viên hướng dẫn: TS.HOÀNG NHẬT QUY Cán phản biện: TS.CHỬ VĂN TIỆP Đà Nẵng, 12–2021 Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức 1.1.2 Các khái niệm 1.2 Hàm chỉnh hình, hàm điều hịa số kết 1.3 Hàm nửa liên tục Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HỊA DƯỚI 2.1 Hàm điều hịa tính chất 2.2 Một số kết hàm điều hòa 2.2.1 Nguyên lý cực đại hàm điều hịa 2.2.2 Tính khả tích hàm điều hịa 2.2.3 Tính lồi hàm điều hòa 5 16 22 22 25 25 31 33 KẾT LUẬN 41 Tài liệu tham khảo 42 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích phức chuyên ngành cổ điển tốn học, có nhiều ứng dụng nhiều ngành khác tốn học, bắt nguồn từ khoảng kỷ XIX Đối tượng nghiên cứu Giải tích phức hàm chỉnh hình, hàm điều hòa, hàm điều hòa dưới, hàm điều hòa Dựa phát triển Giải tích hàm, Giải tích phức mở rộng nghiên cứu sang lớp ánh xạ không gian topo phức vô hạn chiều, đặc biệt không gian định chuẩn Đây lớp hàm có nhiều ứng dụng tốn ứng dụng nói chung vật lý tốn nói riêng Trong lớp hàm đối tượng nghiên cứu Giải tích phức, lớp hàm điều hịa lớp hàm rộng có nhiều ưu điểm Hàm điều hịa mở rộng có mối liên hệ chặt chẽ với hàm lồi Và lớp hàm mềm mại hàm chỉnh hình thể số điều kiện yêu cầu thỏa mãn tính nửa liên tục thỏa mãn bất đẳng thức trung bình (tích phân) Vì lý mà lớp hàm điều hịa có nhiều ứng dụng mặt lý thuyết ứng dụng Với mong muốn tìm hiểu sâu lớp hàm thú vị này, hướng dẫn khoa học thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài: "MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI" Đề tài tập trung nghiên cứu kết sau hàm điều hòa Thứ nghiên cứu nguyên lý cực đại hàm điều hòa Đây nguyên lý quan trọng có lớp hàm chỉnh hình hàm điều hòa Thứ hai nghiên cứu tính khả tích lớp hàm điều hịa Tính chất chứng tỏ lớp hàm điều hòa nằm lớp hàm khả GVHD: TS Hoàng Nhật Quy SVTH: Phan Ngọc Phương Quỳnh tích địa phương - lớp hàm có nhiều ứng dụng lý thuyết ứng dụng Cuối nghiên cứu tính lồi của hàm điều hịa đại lượng trung bình hàm điều hịa Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài tính chất hàm điều hịa nguyên lý cực đại, tính khả tích tính lồi lớp hàm điều hịa Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Hàm nửa liên tục trên, hàm điều hòa, hàm chỉnh hình, hàm điều hịa • Phạm vi nghiên cứu: Đề tài thuộc lĩnh vực nghiên cứu ngành toán Giải tích phức Phương pháp nghiên cứu • Nhận đề tài từ thầy giáo hướng dẫn; • Tìm tài liệu liên quan đến lĩnh vực nghiên cứu đề tài; • Tham gia seminar với thầy giáo hướng dẫn để hiểu, xây dựng hoàn thiện vấn đề nghiên cứu; • Hồn thành khóa luận nghiên cứu đề tài Cấu trúc đề tài khóa luận Cấu trúc khóa luận gồm phần sau đây: • Mở đầu • Chương Kiến thức chuẩn bị • Chương Một số kết hàm điều hịa • Kết luận • Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương nhắc lại khái niệm số kết số phức, hàm biến phức, hàm chỉnh hình, hàm điều hòa hàm nửa liên tục Đây kiến thức chuẩn bị cho việc trình bày kết chương hàm điều hòa Các nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3] [8] 1.1 Hàm biến phức 1.1.1 Số phức mặt phẳng phức a Số phức Số phức z biểu diễn dạng x + iy, với x, y ∈ R i đơn vị ảo, thỏa mãn điều kiện i2 = −1 • Số thực x gọi phần thực số phức z, kí hiệu Rez = x •Số thực y gọi phần ảo số phức z, kí hiệu Imz = y • Tập hợp số phức kí hiệu C b Mặt phẳng phức Giả sử mặt phẳng R2 cho hệ tọa độ vng góc xOy Mỗi điểm M ∈ R2 xác định hoành độ x tung độ y Điều cho phép ta lập tương ứng − điểm mặt phẳng R2 với số phức z ∈ C : M(x, y) ∈ R2 7→ x + iy = z ∈ C GVHD: TS Hoàng Nhật Quy SVTH: Phan Ngọc Phương Quỳnh Mặt phẳng R2 với tương ứng gọi mặt phẳng phức Như điểm M(x, y) ∈ R2 coi số phức đồng với z = x + iy 1.1.2 Các khái niệm a Lân cận tập hợp mở Đĩa mở tâm z0 ∈ C, bán kính r > kí hiệu ∆(z0 , r) = {z ∈ C : |z − z0 | < r} Tập A ⊂ C gọi lân cận điểm z0 ∈ C tồn r > cho ∆(z0 , r) ⊂ A Tập A ⊂ C gọi tập mở với z0 ∈ A, tồn r = r(z0 ) > cho ∆(z0 , r) ⊂ A Nhận xét: • Tập mở A ⊂ C tập A lân cận điểm thuộc • Đĩa mở ∆(z0 , r) tập mở với z0 ∈ C r > • 0, / C tập mở • Hợp tùy ý tập mở tập mở • Giao họ hữu hạn tập mở tập mở Tuy nhiên, giao tùy ý tập mở khơng mở b Tập hợp đóng Tập A ⊂ C gọi tập đóng phần bù C \ A tập mở Nhận xét: • 0, / C tập đóng • Giao tùy ý tập đóng tập đóng • Hợp họ hữu hạn tập đóng tập đóng Tuy nhiên, hợp tùy ý tập đóng khơng đóng c Điểm tập Giả sử A tập hợp điểm mặt phẳng phức z z0 điểm thuộc A Nếu tồn số ε lân cận z0 nằm hồn tồn A z0 gọi điểm tập A d Biên tập Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy SVTH: Phan Ngọc Phương Quỳnh Điểm ξ thuộc A hay không thuộc A gọi điểm biên tập A hình trịn tâm ξ chứa điểm thuộc A không thuộc A Tập hợp điểm biên tập A gọi biên tập A Nếu điểm η không thuộc A tồn hình trịn tâm η khơng chứa điểm A η gọi điểm ngồi tập A Ví dụ: Xét tập A hình trịn |z| < Mọi điểm A điểm Biên tập A đường tròn |z| = Mọi điểm |η| > điểm A e Chu tuyến Một đường cong L có điểm đầu điểm cuối trùng gọi đường cong kín Đường cong khơng có điểm tự cắt, tức không tồn t1 ,t2 ∈ (a, b) để ϕ(t1 ) + iψ(t1 ) = ϕ(t2 ) + iψ(t2 ) ϕ(t1 ) + iψ(t1 ) ̸= ϕ(a) + iψ(a) gọi đường cong Jordan hay gọi chu tuyến f Miền, miền đơn liên, miền đa liên • Tập U ⊂ C gọi miền mặt phẳng phức thỏa mãn hai điều kiện sau đây: (i) U tập mở (ii) U tập liên thông, nghĩa qua hai điểm tùy ý thuộc U, nối chúng đường cong liên tục nằm gọn U • Miền U gọi miền đơn liên với chu tuyến γ ⊂ U ta có Uγ ⊂ U Ta nhận thấy bổ sung vào ∂U đường l1 , l2 , miền thu miền đơn liên • Miền U gọi miền đa liên tồn chu tuyến γ1 , γ2 , cho miền Uγ1 ,Uγ2 , không bao hàm U g Hàm biến phức Định nghĩa: Giả sử U ⊂ C tập tùy ý cho trước Một hàm biến phức U với giá trị phức ánh xạ f : U −→ C Hàm kí hiệu ω = f (z) với z ∈ U Với z ∈ U ta viết z = x + iy, x, y ∈ R Khi đó, hàm f (z) coi hàm hai biến x, y xác định U ∈ R2 ≃ C Và ta nói hàm f ∈ Ck (U) có đạo hàm riêng theo biến x, y liên tục đến cấp k Khóa luận tốt nghiệp GVHD: TS Hồng Nhật Quy 1.2 SVTH: Phan Ngọc Phương Quỳnh Hàm chỉnh hình, hàm điều hòa số kết Định nghĩa 1.2.1 Cho hàm số f xác định miền U ⊂ C Đạo hàm phức hàm f z ∈ U, kí hiệu f ′ (z), giới hạn sau tồn f (z + ∆z) − f (z) f ′ (z) := lim , z, z + ∆z ∈ U ∆z→0 ∆z Hàm số f có đạo hàm phức z gọi khả vi phức hay C - khả vi z Hàm số f gọi C - khả vi U C - khả vi điểm z ∈ U Ta viết f (z) = u(x, y) + v(x, y), z = x + iy ∈ U Hàm f gọi R2 - khả vi z = x + iy hàm u(x, y), v(x, y) khả vi (x, y) theo định nghĩa hàm thực nhiều biến Sau định lý mối quan hệ hàm C - khả vi hàm R2 - khả vi z Định lý 1.2.2 Hàm f C - khả vi z = x + iy ∈ U f R2 - khả vi z thỏa mãn điều kiện Cauchy - Reimann sau  ∂u ∂v    (x, y) = (x, y); ∂x ∂y ∂ u ∂v    (x, y) = − (x, y) ∂y ∂x Sau ta biểu diễn điều kiện Cauchy - Reimann dạng đạo hàm riêng theo biến phức Ta có:       ∂f ∂f ∂f ∂u ∂v ∂u ∂v (z) = +i = +i +i +i ∂z ∂x ∂y ∂x ∂x ∂y ∂y     ∂u ∂v ∂u ∂v = − +i + ∂x ∂y ∂y ∂x =0 Khóa luận tốt nghiệp (áp dụng điều kiện Cauchy - Reimann) GVHD: TS Hoàng Nhật Quy SVTH: Phan Ngọc Phương Quỳnh Vậy điều kiện Cauchy - Reimann tương đương với điều kiện sau đây: ∂f (z) = ∂z Định nghĩa 1.2.3 Hàm f xác định miền U ⊂ C nhận giá trị C gọi hàm chỉnh hình z0 ∈ U tồn r > để hàm f C khả vi z ∈ B(z0 , r) ⊂ U Hàm f gọi chỉnh hình U chỉnh hình điểm z ∈ U Nhận xét 1.2.4 Cho f (z) hàm chỉnh hình miền U ⊂ C Khi ∂f (z) = đó, theo điều kiện Cauchy - Reimann ta có: ∂z Định nghĩa 1.2.5 Cho U tập mở C Hàm h : U −→ R gọi điều hòa h ∈ C2 (U) ∆h = U Trong đó, ∆h tốn tử ∂ 2h ∂ 2h Laplace tính cơng thức ∆h := + := hxx + hyy ∂x ∂y Kết sau cho ta mối liên hệ hai lớp hàm điều hịa hàm chỉnh hình, cơng cụ để xây dựng hàm điều hòa biết hàm chỉnh hình ngược lại Hơn nữa, từ mối liên hệ giúp chứng minh kết hàm điều hòa dựa kết biết hàm chỉnh hình Định lý 1.2.6 Cho D miền C Khi (a) Nếu f hàm chỉnh hình D h := Re f h hàm điều hịa D (b) Nếu h hàm điều hòa D D miền đơn liên tồn hàm chỉnh hình f D cho h = Re f Hơn nữa, hàm f sai khác số Chứng minh (a) Giả sử f hàm chỉnh hình D Ta viết f = h + ik, h, k hàm thực hai biến x, y với z = x + iy ∈ D Do f chỉnh hình D nên hàm h, k ∈ C2 (D) thỏa mãn điều kiện Cauchy - Reimann (C - R): hx = ky hy = −kx Vì vậy, ta có: ∆h = hxx + hyy = (hx )x + (hy )y = (ky )x + (−kx )y = kxy − kyx = Khóa luận tốt nghiệp P(z, eiθ ) φ (eiθ ) − φ (ξ0 ) dθ 2π Z 2π iθ iθ ≤ P(z, e ) φ (e ) − φ (ξ0 ) dθ 2π Lấy ε > tùy ý Do φ liên tục ξ0 nên tồn δ > cho ∀ξ ∈ ∂ ∆, |ξ − ξ0 | < δ ta có |φ (ξ ) − φ (ξ0 )| < ε Áp dụng Bổ đề 1.2.10 (i) (ii) ta có đánh giá sau với ξ = eiθ , 2π Z 2π iθ P(z, e ) φ (e ) − φ (ξ0 ) dθ ≤ P(z, eiθ )εdθ = ε iθ 2π |e −ξ0 | cho ∀z ∈ ∆, |z − ξ0 | < δ ′ ta có sup P(z, ξ ) < ε |ξ −ξ0 |≥0 Vậy với z ∈ ∆ |z − ξ0 | < δ ′ ta có 2π Z ... Chương MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HỊA DƯỚI 2.1 Hàm điều hịa tính chất 2.2 Một số kết hàm điều hòa 2.2.1 Nguyên lý cực đại hàm điều hòa 2.2.2 Tính khả tích hàm điều hịa... tìm hiểu sâu lớp hàm thú vị này, hướng dẫn khoa học thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài: "MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ HÀM ĐIỀU HÒA DƯỚI" Đề tài tập trung nghiên cứu kết sau hàm điều hòa Thứ nghiên... Chương Một số kết hàm điều hịa • Kết luận • Tài liệu tham khảo Khóa luận tốt nghiệp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Nội dung chương nhắc lại khái niệm số kết số phức, hàm biến phức, hàm chỉnh hình, hàm điều