Một số kết quả về tính 2 hoán đổi được của các biến ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Kiến thức sở 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 4 1.1.1 1.1.2 1.2 Định nghĩa Tính chất 1.1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên Các dạng hội tụ luật số lớn 1.2.1 1.2.2 Các dạng hội tụ Luật số lớn Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi 10 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị 10 2.2 2.3 Hội tụ Mosco Tính hốn đổi 12 14 2.4 2.5 Tính 2-hốn đổi Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi 15 17 2.6 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên 2-hốn đổi 21 2.7 Một số tính chất tính 2-hốn đổi biến ngẫu nhiên đa trị Kết luận Tài liệu tham khảo 24 26 27 LỜI NÓI ĐẦU Luật số lớn ba viên ngọc quý lý thuyết xác suất Khi nghiên cứu luật số lớn, người ta thường giả thiết biến ngẫu nhiên có tính độc lập, phân phối Tuy nhiên, thực tế biến ngẫu nhiên thường không độc lập Trong thập kỉ gần đây, giới người ta quan tâm nghiên cứu đến loại phụ thuộc hoán đổi biến ngẫu nhiên Chúng ta kể tên số nhà toán học quan tâm nghiên cứu vấn đề như: Robert Lee Taylor, Ronald Frank Patterson, Hiroshi Inoue, Tien-Chung Hu, Pedro T´eran, Theo hướng mở rộng tính độc lập, người ta cịn xem xét đến khái niệm độc lập đôi thu nhiều kết quan trọng Đặc biệt, quan tâm nghiên cứu có nhiều kết vấn đề nhà toán học N Etemadi Một cách tự nhiên, năm 1996, N Etemadi đưa khái niệm 2-hoán đổi thiết lập luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị không gian thực không gian Banach khả li Trong nước, hướng nghiên cứu biến ngẫu nhiên hoán đổi được, 2-hoán đổi biến ngẫu nhiên đơn trị đa trị nhóm nghiên cứu Lý thuyết xác suất thống kê Vinh quan tâm Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài “Một số kết tính 2-hốn đổi biến ngẫu nhiên” Đây vấn đề có tính thời Khóa luận chia làm chương: Chương Kiến thức sở Trong chương giới thiệu số khái niệm sở liên quan đến nội dung chương sau Cụ thể, chúng tơi trình bày khái niệm, kí hiệu tính chất phần tử ngẫu nhiên, kì vọng phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach khả li Chúng tơi cịn giới thiệu dạng hội tụ luật số lớn phần tử ngẫu nhiên Chương Luật số lớn cho dãy biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi Đây nội dung khóa luận Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, kí hiệu tính chất biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco, tính hốn đổi tính 2-hốn đổi Chúng tơi cịn đưa số tính chất tính 2-hốn đổi biến ngẫu nhiên, mối quan hệ biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi với biến ngẫu nhiên độc lập đơi một, phân phối Chúng tơi trình bày cho chứng minh chi tiết luật số lớn biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị không gian thực không gian Banach khả li Khóa luận hồn thành trường Đại học Vinh hướng dẫn tận tình, chu đáo nghiêm khắc thầy giáo ThS Dương Xuân Giáp Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy, người dạy cho tác giả kiến thức, kinh nghiệm học tập, nghiên cứu khoa học sống Nhân dịp này, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy cô giáo tổ Xác suất Thống kê Toán ứng dụng, thầy giáo khoa Sư phạm Tốn học Đồng thời, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến gia đình, bạn bè quan tâm, động viên tạo điều kiện để tác giả thực khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng song khóa luận khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Nghệ An, tháng năm 2014 Tác giả Chương KIẾN THỨC CƠ SỞ Trong suốt khóa luận này, chúng tơi ln giả thiết (Ω, F, P) không gian xác suất đầy đủ, (X, ) không gian Banach thực, khả li, X∗ khơng gian đối ngẫu nó, G σ -đại số F B(X) σ -đại số tập Borel X Ký hiệu R tập tất số thực, N tập tất số tự nhiên 1.1 Phần tử ngẫu nhiên nhận giá trị không gian Banach 1.1.1 Định nghĩa Ta nói ánh xạ X : Ω −→ X phần tử ngẫu nhiên G -đo được, X ánh xạ G/B(X) đo (nghĩa với B ∈ B(X) X −1 (B) ∈ G ) Phần tử ngẫu nhiên F -đo gọi cách đơn giản phần tử ngẫu nhiên Hiển nhiên, X phần tử ngẫu nhiên G -đo X phần tử ngẫu nhiên Mặt khác, dễ dàng thấy X phần tử ngẫu nhiên họ σ(X) = {X −1 (B) : B ∈ B(X)} lập thành σ -đại số σ -đại số F σ -đại số gọi σ -đại số sinh X Hơn nữa, σ(X) σ -đại số bé mà X đo Do X phần tử ngẫu nhiên G -đo σ(X) ⊂ G Phần tử ngẫu nhiên X : Ω −→ X gọi phần tử ngẫu nhiên rời rạc |X(Ω)| không đếm Đặc biệt, |X(Ω)| hữu hạn X gọi phần tử ngẫu nhiên đơn giản (trong |X(Ω)| lực lượng tập hợp X(Ω)) Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi hội tụ đến ánh xạ X : Ω → X (khi n → ∞), Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, n → ∞) với ω ∈ Ω Ký hiệu Xn → X (khi n → ∞) Giả sử {Xt , t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị (X, B(X)) Khi đó, họ {Xt , t ∈ ∆} gọi độc lập đôi (độc lập) họ σ -đại số {σ(Xt ), t ∈ ∆} độc lập đôi (độc lập) Với ≤ p < ∞, ký hiệu Lp (Ω, F, P, X) = Lp (Ω, X) không gian Banach gồm phần tử ngẫu nhiên F -đo f : Ω → X cho chuẩn f p= (E f p p ) = f (ω) p p dP Ω hữu hạn Đặc biệt, Lp (Ω, R) kí hiệu cách ngắn gọn Lp 1.1.2 Tính chất Giả sử X1 , X2 không gian Banach thực khả ly, T : X1 → X2 ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo X : Ω → X1 phần tử ngẫu nhiên G -đo Khi ánh xạ T ◦X : Ω → X2 phần tử ngẫu nhiên G -đo Giả sử ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo Khi đó, ánh xạ X : Ω → R biến ngẫu nhiên G -đo (Tính chất đặc trưng quan trọng phần tử ngẫu nhiên) Ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo với f ∈ X∗ f (X) biến ngẫu nhiên G -đo Giả sử X, Y phần tử ngẫu nhiên G -đo được, a, b ∈ R ξ : Ω → R biến ngẫu nhiên G -đo Khi aX + bY ξX phần tử ngẫu nhiên G -đo Nếu {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo Xn → X n → ∞ X phần tử ngẫu nhiên G -đo Ánh xạ X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo Nghĩa tồn dãy phần tử ngẫu nhiên rời rạc G -đo {Xn , n 1}, cho lim sup Xn (ω) − X(ω) = n→∞ ω∈Ω Ánh xạ: X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên G -đo X giới hạn (theo chuẩn) dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo {Xn , n 1}, cho Xn (ω) X(ω) với n ω ∈ Ω Nghĩa tồn dãy phần tử ngẫu nhiên đơn giản G -đo {Xn , n 1} thoả mãn lim Xn (ω) − X(ω) = Xn (ω) X(ω) n→∞ ω ∈ Ω h.c.c Giả sử {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên G -đo Xn −−−→ X (khi n → ∞) Khi tồn phần tử ngẫu nhiên G -đo X cho h.c.c X = X h.c.c Xn −−−→ X Giả sử X1 , X2 không gian Banach thực khả ly {Xt , t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X1 Khi đó, với t ∈ ∆, Tt : X1 → X2 ánh xạ B(X1 )/B(X2 ) đo họ {Tt (Xt ), t ∈ ∆} họ phần tử ngẫu nhiên độc lập nhận giá trị X2 10 Giả sử X1 , X2 , , Xn phần tử ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), nhận giá trị (X, B(X)) Khi đó, điều kiện cần đủ để X1 , X2 , , Xn độc lập với f1 , f2 , , fn ∈ X∗ , biến ngẫu nhiên f (X1 ), f (X2 ), , f (Xn ) độc lập với n 1.1.3 Kỳ vọng phần tử ngẫu nhiên 1.1.3.1 Định nghĩa Giả sử X : Ω → X phần tử ngẫu nhiên Phần tử m ∈ X gọi kỳ vọng X với f ∈ X∗ ta có f (m) = E(f (X)) Ký hiệu m = EX Giả sử X phần tử ngẫu nhiên p > Nếu E X p < ∞, ta nói X khả tích bậc p Nếu X khả tích bậc 1, để đơn giản, ta nói X khả tích 1.1.3.2 Tính chất Giả sử X , Y phần tử ngẫu nhiên, ξ biến ngẫu nhiên xác định (Ω, F, P), a ∈ R, α ∈ X Khi đó, tồn EX, EY, Eξ 1) Tồn E(X + Y ) E(X + Y ) = EX + EY ; 2) Tồn E(aX) E(aX) = aEX ; 3) Tồn E(αξ) E(αξ) = αEξ ; 4) Nếu P(X = α) = EX = α; 5) Nếu ξ f (X) độc lập với f ∈ X∗ tồn E(ξX) E(ξX) = EξEX ; 6) Với ánh xạ tuyến tính liên tục T : X → X ( X không gian Banach thực khả ly) tồn E(T (X)) E(T (X)) = T (E(X)) Nếu E X < ∞ tồn EX EX E X (Bất đẳng thức Jensen) Nếu ϕ : X → R hàm lồi liên tục, X ϕ(X) khả tích, ϕ(EX) 1.2 1.2.1 E ϕ(X) Các dạng hội tụ luật số lớn Các dạng hội tụ 1.2.1.1 Định nghĩa Giả sử {X, Xn , n 1} họ phần tử ngẫu nhiên xác định Ω nhận giá trị X Ta nói: Dãy {Xn , n 1} hội tụ hầu chắn đến X (khi n → ∞), tồn tập N ∈ F cho P(N ) = Xn (ω) → X(ω) (theo chuẩn, n → ∞) với ω ∈ Ω\N h.c.c Ký hiệu Xn → X h.c.c., Xn − −−→ X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n 1} hội tụ đầy đủ đến X (khi n → ∞), với ε > ∞ P( Xn − X > ε) < ∞ n=1 c Ký hiệu Xn → − X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n ε > 1} hội tụ theo xác suất đến X (khi n → ∞), với lim P( Xn − X > ε) = n→∞ P Ký hiệu Xn − → X (khi n → ∞) Dãy {Xn , n 1} hội tụ theo trung bình cấp r > đến X (khi n → ∞), 1) khả tích bậc r lim E Xn − X X, Xn (n r n→∞ = L r X (khi n → ∞) Ký hiệu Xn −→ Dãy {Xn , n 1} hội tụ yếu (theo phân phối) đến X (khi n → ∞), w PXn − → PX , PX : B(X) → R B → P X −1 (B) w Ký hiệu Xn − → X (khi n → ∞) 1.2.1.2 Tính chất Từ định nghĩa suy dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} hội tụ hầu chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến phần tử ngẫu nhiên X (khi n → ∞) dãy biến ngẫu nhiên (thực) { Xn − X , n 1} hội tụ hầu chắn (đầy đủ, theo xác suất, theo trung bình cấp r) đến (khi n → ∞) Do đó, cách sử dụng tính chất tương ứng dãy biến ngẫu nhiên thực số biến đổi cần thiết ta thu tính chất sau dãy phần tử ngẫu nhiên Xn → X h.c.c (khi n → ∞) với ε > 0, lim P sup Xm − X > ε = n→∞ c m n h.c.c Nếu Xn → − X Xn −−−→ X (khi n → ∞) h.c.c Nếu {Xn , n 1} dãy phần tử ngẫu nhiên độc lập Xn − −−→ C ∈ X c Xn → − C (khi n → ∞) Lr P h.c.c Nếu Xn − −−→ X Xn −→ X Xn − → X (khi n → ∞) Nếu dãy {Xn , n ≥ 1} hội tụ theo xác suất tồn dãy {Xnk ; k 1) ⊂ (Xn , n ≥ 1} cho {Xnk ; k 1} hội tụ h.c.c 1.2.2 Luật số lớn 1.2.2.1 Định nghĩa Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n ( n n k=1 Xk − n 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn n EXk ) → h.c.c n → ∞ k=1 Dãy phần tử ngẫu nhiên {Xn , n 1} gọi tuân theo luật mạnh số lớn tổng quát tồn dãy số (bn ), < bn ↑ ∞ cho ( bn bn k=1 Xk − bn bn EXk ) → h.c.c n → ∞ k=1 Nếu định nghĩa trên, hội tụ hầu chắn thay hội tụ theo xác suất dãy {Xn , n số lớn tổng quát) 1} gọi tuân theo luật yếu số lớn (luật yếu 10 Chương LUẬT SỐ LỚN CHO DÃY CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN 2-HOÁN ĐỔI ĐƯỢC 2.1 Biến ngẫu nhiên đa trị Ký hiệu c(X) họ tất tập đóng khác rỗng khơng gian Banach X Trên c(X) ta xác định cấu trúc tuyến tính với phép toán định nghĩa sau: A + B = {a + b : a ∈ A, b ∈ B}, λA = {λa : a ∈ A}, A, B ∈ c(X), λ ∈ R σ -đại số Effros E c(X) σ -đại số sinh tập U − := {C ∈ c(X) : C ∩ U = ∅} với U tập mở X ánh xạ X : Ω → c(X) gọi biến ngẫu nhiên đa trị, X (F, E)-đo được, nghĩa với B ∈ E , có X −1 (B) ∈ F Từ đó, hàm đa trị X : Ω → c(X) đo với tập mở U X X −1 (U − ) = {ω ∈ Ω : X(ω) ∩ U = ∅} ∈ F Phần tử ngẫu nhiên f : Ω → X gọi lát cắt F -đo (hay nói gọn lát cắt đo được) X f (ω) ∈ X(ω) với ω ∈ Ω Một họ hữu hạn biến ngẫu nhiên đa trị {X1 , X2 , , Xn } gọi độc lập P{X1 ∈ X1 , , Xn ∈ Xn } = P{X1 ∈ X1 }.P{X2 ∈ X2 } P{Xn ∈ Xn }, 13 Hội tụ Mosco cho dãy biến ngẫu nhiên đa trị định nghĩa cách thay Cn Xn (ω) C∞ X∞ (ω), phát biểu h.c.c 2.2.2 Tính chất Nếu s-liCn = ∅ s-liCn tập đóng Chứng minh Giả sử {xk , k ≥ 1} dãy s-liCn xk → x k → ∞ Khi đó, với k = 1, 2, , xk ∈ s-liCn nên tồn dãy (k) (k) (k) {xn , n ≥ 1} với xn ∈ Cn cho xn → xk n → ∞ Để chứng minh s-liCn tập đóng ta cần chứng minh x ∈ s-liCn Nghĩa là, ta cần chứng minh tồn dãy {yn , n ≥ 1} với yn ∈ Cn cho yn → x n → ∞ Cụ thể hơn, tồn dãy {yn , n ≥ 1} với (k) yn ∈ {xn : k ≥ 1} cho yn → x n → ∞ Thật vậy, giả sử điều (k) không đúng, nghĩa là, với dãy {yn , n ≥ 1} với yn ∈ {xn : k ≥ 1} có yn x Khi đó, tồn ε > tồn dãy số {ni , i ≥ 1} cho ni < ni+1 với i y ni − x ≥ ε ∀yni ∈ {x(k) ni : k ≥ 1} (2.3) Từ giả thiết xk → x k → ∞ suy tồn k0 ∈ N cho với k ≥ k0 ε xk − x < ε Nói riêng, k = k0 , ta có xk0 − x < (k ) Tiếp tục, xn → xk0 n → ∞, nên tồn n0 ∈ N cho với n ≥ n0 , ta có ε 0) x(k − xk0 < n Rõ ràng, tồn ni0 ≥ n0 Khi đó, ε 0) x(k ni0 − xk0 < Từ đó, ta có (k0 ) 0) x(k ni0 − x ≤ xni0 − xk0 + xk0 − x < ε ε + = ε 2 (2.4) Điều mâu thuẫn với (2.5) Từ đó, ta có điều phải chứng minh C∞ giới hạn dạng Mosco dãy (Cn )n≥1 w-lsCn ⊂ C∞ ⊂ s-liCn (2.5) 14 Chứng minh Thật vậy, ta chứng minh (2.2) tương đương với (2.4) Rõ ràng từ (2.2) suy (2.4) Từ (2.4) ta có w-lsCn ⊂ s-liCn , ta chứng minh s s-liCn ⊂ w-lsCn Lấy x thuộc s-liCn suy xn → x n → ∞ w với xn ∈ Cn Từ đó, xn → x n → ∞ với xn ∈ Cn (hội tụ theo chuẩn suy hội tụ yếu) Theo cách đặt w-lsCn ta suy x ∈ w-lsCn hay s-liCn ⊂ w-lsCn Vậy w-lsCn = s-liCn Kết hợp với (2.4) ta suy (2.2) 2.3 Tính hốn đổi 2.3.1 Định nghĩa Một dãy hữu hạn biến ngẫu nhiên đa trị {X1 , X2 , , Xn } gọi hoán đổi P{X1 ∈ B1 , , Xn ∈ Bn } = P{Xπ(1) ∈ B1 , , Xπ(n) ∈ Bn }, với B1 , , Bn ∈ E với phép hoán vị π {1, 2, , n} Một họ vô hạn biến ngẫu nhiên đa trị gọi hoán đổi dãy hữu hạn hốn đổi 2.3.2 Tính chất Nếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập, phân phối dãy hốn đổi Chứng minh Giả sử {X1 , X2 , , Xn } dãy biến ngẫu nhiên độc lập phân phối, ta chứng minh dãy hoán đổi Thật vậy, với B1 , , Bn ∈ E với phép hoán vị π tập {1, 2, , n} ta có P{Xπ(1) ∈ B1 , , Xπ(n) ∈ Bn } = P{Xπ(1) ∈ B1 } P{Xπ(n) ∈ Bn } (vì {X1 , X2 , , Xn } độc lập) = P{X1 ∈ B1 } P{Xn ∈ Bn } (vì{X1 , X2 , , Xn } phân phối) = P{X1 ∈ B1 , , Xn ∈ Bn } Nếu dãy biến ngẫu nhiên hốn đổi chúng phân phối 15 Chứng minh Giả sử {X1 , X2 , , Xn } dãy biến ngẫu nhiên hoán đổi được, ta chứng minh chúng phân phối Với B1 , , Bn ∈ E từ giả thiết hoán đổi có P{X1 ∈ B1 , X2 ∈ B2 , X3 ∈ B3 , , Xn ∈ Bn } = P{X2 ∈ B1 , X1 ∈ B2 , X3 ∈ B3 , Xn ∈ Bn } Vì với Bi ∈ E nên ta chọn B1 = B ∈ E, B2 = B3 = = Bn = c(X) ta có P{X1 ∈ B, X2 ∈ c(X), X3 ∈ c(X), , Xn ∈ c(X)} = P{X2 ∈ B, X1 ∈ c(X), X3 ∈ c(X) , Xn ∈ c(X)} ⇔ P{X1 ∈ B} = P{X2 ∈ B} Điều chứng tỏ X1 X2 phân phối, hoàn toàn tương tự ta chứng minh X1 Xi phân phối (i = 3, 4, n) 2.4 Tính 2-hốn đổi 2.4.1 Định nghĩa Một họ (hữu hạn hay vô hạn) biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} gọi 2-hoán đổi P(Xi1 ∈ B1 , Xi2 ∈ B2 ) = P(Xj1 ∈ B1 , Xj2 ∈ B2 ), với B1 , B2 ∈ E với i1 = i2 j1 = j2 thuộc tập số I 2.4.2 Tính chất Nếu dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi một, phân phối dãy 2-hốn đổi Chứng minh Giả sử dãy (hữu hạn hay vô hạn) biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} độc lập đôi một, phân phối Khi đó, với B1 , B2 ∈ E với i1 = i2 j1 = j2 thuộc tập số I , có P(Xi1 ∈ B1 , Xi2 ∈ B2 ) = P(Xi1 ∈ B1 ).P(Xi2 ∈ B2 ) (do tính độc lập đơi một) = P(Xj1 ∈ B1 ).P(Xj2 ∈ B2 ) (do giả thiết phân phối) = P(Xj1 ∈ B1 , Xj2 ∈ B2 ) (do tính độc lập đơi một) Theo định nghĩa, dãy biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} 2-hoán đổi 16 Nếu dãy biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi chúng phân phối Chứng minh Giả sử dãy (hữu hạn hay vô hạn) biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} 2-hoán đổi Với B ∈ E với i = j thuộc vào tập số I , áp dụng định nghĩa 2-hoán đổi B1 = B ∈ E , B2 = Ω ∈ E , i1 = j2 = i i2 = j1 = j có P(Xi ∈ B) = P(Xj ∈ B) Từ đó, dãy biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} phân phối Một dãy biến ngẫu nhiên độc lập đơi một, phân phối chúng 2hốn đổi được, nhiên dãy biến ngẫu nhiên 2-hốn đổi chúng khơng độc lập đôi Để thấy rõ điều xét ví dụ sau đây: Ví dụ Cho f biến ngẫu nhiên định nghĩa sau P(f = 1) = P(f = −1) = Khi đó, dãy biến ngẫu nhiên {fn : n ≥ 1} xác định fn (ω) = f (ω) với n ≥ với ω ∈ Ω 2-hốn đổi được, khơng độc lập đôi Thật vậy, với a, b ∈ R, m = n rõ ràng P(fm < a, fn < b) = P(f < a, f < b) = P(f < b, f < a) = P(fm < b, fn < a), dãy {fn : n ≥ 1} 2-hoán đổi Ta chứng minh fm fn không độc lập Giả sử ngược lại, fm fn độc lập, E(fm fn ) = E(fm )E(fn ) Ta có E(fm fn ) = E(f ) = E(1) = 1, E(fm ) = E(fn ) = E(f ) = 12 + (−1) 21 = Từ E(fm fn ) = E(fm )E(fn ) (mâu thuẫn) Vậy fm fn không độc lập dãy {fn : n ≥ 1} khơng độc lập đơi Ví dụ Xét dãy gồm biến ngẫu nhiên {f, −f }, f biến ngẫu nhiên xác định Ví dụ Với a, b ∈ R, áp dụng công thức P(A) = P(AB) + P(AB) với lưu ý f = −f = −1 f = −1 −f = nên ta có P(f < a, −f < b) = P(−1 < a, < b) + P(1 < a, −1 < b) P(f < b, −f < a) = P(−1 < b, < a) + P(1 < b, −1 < a) 17 So sánh hai đẳng thức này, ta có P(f < a, −f < b) = P(f < b, −f < a) Do đó, f −f 2-hoán đổi Tiếp theo, f −f không độc lập Thật vậy, lấy a = b = 0, P(f < 0, −f < 0) = P(∅) = 1 P(f < 0)P(−f < 0) = P(f = −1)P(f = 1) = = 2 Nghĩa tồn a, b cho P(f < a, −f < b) = P(f < a)P(−f < b) Do đó, f −f khơng độc lập Như vậy, chứng tỏ dãy (hữu hạn hay vơ hạn) 2-hốn đổi khơng độc lập đơi Do đó, xem khái niệm biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối 2.5 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên 2hoán đổi 2.5.1 Bổ đề Giả sử {an : n ∈ N} dãy số thực không âm cho ∞ n=1 an < ∞ n Khi đó, với α > 1, tồn dãy {kn : n ∈ N} cho kn ∈ [αn , αn+1 ) n≥1 akn < ∞ Chứng minh Chứng minh suy từ đánh giá sau: ∞ n=1 an ≥ n n≥0 k∈[αn ,αn+1 ) =C ak ≥ k n≥0 |αn+1 | min{ak : k ∈ [αn , αn+1 )} k∈[αn ,αn+1 ) akn , n≥1 số dương C phụ thuộc vào α 18 2.5.2 Định lý Giả sử {Xn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm Đặt Sn = (∀ε > 0) n≥1 1≤k≤n Xk Khi Sm Sn >ε − m n sup P n m>n Sn = X h.c.c., n→∞ n < ∞ ⇒ lim với X biến ngẫu nhiên Chứng minh Cố định ε > Từ giả thiết định lý áp dụng Bổ đề 2.5.1 ta có Sm Skn − > ε < ∞ sup P m k n m>k n n≥1 Từ đó, sup P m>kn Sm Skn >ε − m kn →0 (2.6) n → ∞ Tiếp tục, với n ≥ ta tìm kn ≤ n < kn+1 Ta có sup P m>n Sm Sn − >ε m n Sm Skn Skn Sn − + − >ε m kn kn n m>kn Skn Sn ε Sm Skn ε ≤P − > + sup P − > kn n m kn m>kn ε Sm Skn ≤ sup P − > (2.7) m kn m>kn ≤ sup P Từ đó, áp dụng (2.6) (2.7), ta suy Sn → X theo xác suất n → ∞ n với X biến ngẫu nhiên Tiếp theo, với m > n, có P Sn −X >ε n ≤P Sn Sm ε − > n m +P Sm ε −X > m Từ cách cho m → ∞, ta có P Sn −X >ε n Sn Sk ε − > m→∞ k>m n k Sm Sn ε − > sup P m n m>n ≤ lim sup P 19 Kết hợp điều với giả thiết định lý, suy ∞ n=1 P n Sn −X >ε n < ∞ Tiếp theo, từ Bổ đề 2.5.1 bổ đề Borel-Cantelli, tồn dãy {kn : n ≥ 0} phụ thuộc vào ε cho lim sup n→∞ Skn − X < ε h.c.c kn (2.8) Với n, ln chọn kn cho kn ≤ n < kn+1 , kn X+ kn+1 Skn −X kn ≤ Sn ≤ X+ n Skn+1 −X kn+1 kn+1 kn (2.9) Từ (2.8) (2.9) cho n → ∞, ta có Sn Sn (X − ε) ≤ lim inf ≤ lim sup ≤ (X + ε)α h.c.c n→∞ n α n n→∞ Do khẳng định với α > với ε > nên cho α → ε → ta thu điều phải chứng minh 2.5.3 Mệnh đề Giả sử {Xn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm {an : n ≥ 1} dãy số thực dương không giảm hội tụ tới ∞ (r) Cho r số thực dương đặt Sn = ε > 0, có n≥1 sup sup P n 1≤r≤an m>n (r) (r) Sm Sn − m n 1≤k≤n Xk I{Xk ≤r} Khi đó, với (a ) >ε Sn n < ∞ ⇒ lim = X h.c.c., n→∞ n với X biến ngẫu nhiên Chứng minh Cố định r, ≤ r ≤ an ε > Khi đó, áp dụng Định lý 2.5.2 ta có (r) Sn lim = X (r) h.c.c n→∞ n (2.10) với X (r) biến ngẫu nhiên Từ (r) Sn n không giảm theo r, ta suy X (r) khơng giảm theo r Từ đó, tồn biến ngẫu nhiên X cho X (r) → X h.c.c r → ∞ 20 Nhận thấy với k ≥ 1, P (a ) (a ) (a ) Sn n − X (an ) > ε n Sk n Sn n − n k ≤P > ε (a ) +P Sk n ε − X (an ) > k Vì vậy, cho k → ∞ áp dụng (2.10), ta có P (a ) (a ) (a ) Sn n − X (an ) > ε n S n Sn n − k n k ≤ lim sup P k→∞ m>k (a ) ≤ sup P m>n (a ) Sm n Sn n − m n > ε > ε Kết hợp điều với giả thiết mệnh đề, ta có P n n≥1 (a ) Sn n − X (an ) > ε n < ∞ (2.11) Tiếp theo, áp dụng Bổ đề 2.5.1và bổ đề Borel-Cantelli, tồn dãy {kn : n ≥ 1} phụ thuộc vào ε cho (a ) Sknkn − X (akn ) < ε h.c.c lim sup kn n→∞ (2.12) Với n, ln chọn kn cho kn ≤ n < kn+1 , ta có kn X (akn ) + kn+1 (a ) Sknkn − X (akn ) kn (a ) Sn n ≤ ≤ X (akn+1 ) n   (akn+1 ) Sk kn+1 +  n+1 − X (akn+1 )  kn+1 kn Kết hợp (2.10) (2.11) n → ∞, ta có (a ) (a ) Sn n Sn n (X − ε) ≤ lim inf ≤ lim sup ≤ (X + ε)α {X < ∞} ∩ Λ, n→∞ α n n n→∞ (a ) Sn n lim = ∞ {X = ∞} ∩ Λ n→∞ n 21 Λ giao tập tương ứng xác định (2.10) (2.12) Do khẳng định với α > với ε > nên cho α → ε → ta thu điều phải chứng minh Định lý sau chứng tỏ luật số lớn thỏa mãn với điều kiện chặt cụt 2.5.4 Định lý Giả sử {Xn : n ≥ 1} dãy biến ngẫu nhiên không âm Khi đó, ln tồn dãy {an : n ≥ 1} số thực dương, không giảm hội tụ tới ∞ cho (ε > 0) n≥1 (r) Sn = n i=1 Xi (r) Sm Sn − m n sup sup P n 1≤r≤an m>n >ε Sn = X h.c.c., n→∞ n < ∞ ⇒ lim X biến ngẫu nhiên Chứng minh Từ Xn , n ≥ biến ngẫu nhiên, tìm dãy {an : n ≥ 1} thỏa mãn giả thiết định lý Xn = h.c.c n→∞ an lim Điều suy P {Xi > i.o.} = n i=1 Xi I{Xi >an } n i=1 Xi I{Xi >ai } ≤ n n Từ đó, định lý chứng minh hoàn toàn → h.c.c Đối với dãy biến ngẫu nhiên {Xn : n ≥ 1} bất kì, ta chứng minh cách áp dụng Định lý 2.5.2 Định lý 2.5.4 cho dãy biến ngẫu nhiên không âm {Xn+ : n ≥ 1} {Xn− : n ≥ 1} 2.6 Luật số lớn dãy phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi 2.6.1 Định lý Giả sử {Xn : n ≥ 1} dãy phần tử ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị không gian Banach khả li X Khi đó, E X1 < ∞ lim n→∞ n n Xi = X h.c.c, i=1 22 X phần tử ngẫu nhiên Chứng minh Từ tính khả li khơng gian Banach X, tồn tập {xi : i ≥ 1} trù mật X Xét λ > 0, định nghĩa ánh xạ Tλ : X → X Tλ (x) = xi xi tâm hình cầu với bán kính λ cho x thuộc vào hình cầu Khi đó, Tλ có đếm giá trị, đo Borel Tλ (x) − x ≤ λ for all x ∈ X n i=1 Xi Đặt Sn = (λ) Tn = n i=1 Tλ (Xi ) (2.13) Khơng khó để kiểm tra (λ) (λ) Tm Sm Sn Tn ≤ 2λ + − − m n m n (2.14) (λ) Từ (Sn /n) dãy Cơsi (Tnˆ /|ˆ n|) dãy Côsi với λ > Với số nguyên dương k , ta có (λ) m i=1 Tλ (Xi )I(Tλ (Xi )∈{x1 , ,xk }) (λ) Tm Tn − m n ≤ m m i=1 Tλ (Xi )I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) + m k ≤ xj + − j=1 m i=1 + k ≤ j=1 m i=1 I(Tλ (Xi )=xj ) m − − n i=1 Tλ (Xi )I(Tλ (Xi )∈{x1 , ,xk }) n n i=1 Tλ (Xi )I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) n n i=1 I(Tλ (Xi )=xj ) n Tλ (Xi ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) m n i=1 Tλ (Xi ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) n n m I(T (X )=x ) i=1 I(Tλ (Xi )=xj ) xj − i=1 λ i j m n m i=1 Tλ (Xi ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) m n Tλ (Xi ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) + i=1 (2.15) n Hệ giả thiết trung bình cộng tương ứng với dãy biến ngẫu nhiên không âm + {I(Tλ (Xi )=xj ) : i ≥ 1} { Tλ (Xi ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) : i ≥ 1} (2.16) 23 dãy Cơsi có (λ) (λ) Tm Tn lim sup − n→∞ m>n m n (λ) với Yk (λ) ≤ 2Yk (2.17) biến ngẫu nhiên không âm Như vậy, chứng tỏ với λ > 0, Yn(λ) → h.c.c n → ∞, (2.18) thiết lập hội tụ hầu chắn cho trung bình cộng định lý Quay trở lại định lý, ta xét cho biến ngẫu nhiên dãy {Xn : n ≥ 1} không âm Chúng ta kiểm tra giả thiết Mệnh đề 2.5.3 thỏa mãn với an = n áp dụng kết Smythe (1974, Bổ đề 2.1 [5]), có P(X1 > n) ≤ CEX1 P(Xn > n) = n≥1 n≥1 Vì vậy, áp dụng bổ đề Borel-Cantelli ta có Xn = h.c.c n→∞ n lim Với số nguyên dương cố định r, dãy {Xi IXi ≤r : i ≥ 1} 2-hoán đổi Với n ≤ m r ≤ n, kỹ thuật tính tốn đơn giản, ta có   (r) (r) (r) (r) Sm Sn Sm Sn  P − > ε ≤ 2E  − m n ε m n m − n − 2(m ∧ n) (E[X12 IX1 ≤r ] − E[X1 X2 IX1 ≤r,X2 ≤r ]) ε mn ≤ E[X12 IX1 ≤r ] εn ≤ E[X12 IX1 ≤n ] εn = Từ đó, n≥1 sup sup P n 1≤r≤n m>n (r) (r) Sm Sn − m n >ε ≤ n≥1 ε2 n2 E[X12 IX1 ≤n ] ≤ CEX1 < ∞, 24 bất đẳng thức cuối thu từ kết Gut (1979, Bổ đề 2.2, [4]) Từ đó, áp dụng Định lý 2.5.4, định lý chứng minh cho trường hợp biến ngẫu nhiên không âm Tiếp theo, ta xét cho trường hợp biến ngẫu nhiên tổng quát Thật vậy, hai dãy biến ngẫu nhiên (2.16) 2-hoán đổi Sử dụng kĩ thuật trình bày phần đầu chứng minh này, ta suy hai dãy dãy Côsi (2.18) thỏa mãn Do E Tλ (X1 ) ≤ λ + E X1 < ∞ hội tụ theo L1 trung bình cộng, có (λ) E[Yk ] = E[ Tλ (X1 ) I(Tλ (Xi )∈{xk+1 , }) ] → n → ∞ (λ) (2.19) (λ) Ngoài ra, Yn , n ≥ khơng tăng theo n Vì vậy, (2.19) kéo theo Yn →0 h.c.c Ta suy điều phải chứng minh 2.7 Một số tính chất tính 2-hoán đổi biến ngẫu nhiên đa trị 2.7.1 Định lý Cho X, Y hai không gian Banach Giả sử {Xi : i ∈ I} họ biến ngẫu nhiên 2-hoán đổi được, nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach X ϕ : c(X) → c(Y) ánh xạ (E(X), E(Y))-đo Khi đó, họ {ϕ(Xi ) : i ∈ I} nhận giá trị tập đóng khơng gian Banach Y 2-hốn đổi Chứng minh Với i1 = j1 i2 = j2 thuộc vào tập số I ; tập Borel {B1 , B2 } E(Y), có P (ϕ(Xi1 ) ∈ B1 , ϕ(Xj1 ) ∈ B2 ) = P Xi1 ∈ ϕ−1 (B1 ), Xj1 ∈ ϕ−1 (B2 ) = P Xi2 ∈ ϕ−1 (B1 ), Xj2 ∈ ϕ−1 (B2 ) (từ tính 2-hốn đổi {Xi : i ∈ I} từ ϕ−1 (Bi ) ∈ E(X)) = P (ϕ(Xi2 ) ∈ B1 , ϕ(Xj2 ) ∈ B2 ) Từ đó, định lý chứng minh hồn tồn Chú ý Định lý 2.7.1 hàm (E(X), E(Y))-đo ϕ : c(X) → 25 c(Y) thay hàm sau đây: i) hàm (E(X), B(Y))-đo ϕ : c(X) → Y, ii) hàm (B(X), B(Y))-đo ϕ : X → Y (ở đây, {Xi : i ∈ I} họ biến ngẫu nhiên đơn trị, nhận giá trị không gian Banach X) 26 KẾT LUẬN Sau thời gian làm việc nghiêm túc, hướng dẫn thầy giáo ThS Dương Xn Giáp, khóa luận hồn thành, giải vấn đề sau đây: Hệ thống số khái niệm tính chất xác suất khơng gian Banach Trình bày khái niệm, tính chất, định lý biến ngẫu nhiên đa trị, hội tụ Mosco, biến ngẫu nhiên đa trị hoán đổi biến ngẫu nhiên đa trị 2-hốn đổi Trình bày chi tiết chứng minh luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên đơn trị 2-hoán đổi Phát biểu chứng minh số tính chất biến ngẫu nhiên đa trị 2-hốn đổi được, nhận giá trị tập đóng không gian Banach khả li Một số hướng nghiên cứu khóa luận: - Thiết lập luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên đa trị 2-hoán đổi dạng hội tụ Mosco 27 TÀI LIỆU THAM KHẢO tiếng việt [1] Nguyễn Văn Quảng, Xác suất không gian Banach, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2012 tiếng anh [2] N Etemadi, Criteria for the strong law of large numbers for sequences of arbitrary random vectors, Statistics & Probability Letters, 33 (1997), 151-157 [3] N Etemadi and M Kaminski, Strong law of large numbers for 2-exchangeable random variables, Statistics & Probability Letters, 28 (1996), 245-250 [4] A Gut, Moments of the maximum of normed partial sums of random variables with multidimensional indices, Z Wahrsch Verw Gebiete, 46 (1979), 205-220 [5] R T Smythe, On sums of independent random variables on partially ordered sets, Annal of Probability, (1974), 906-917 ... hội tụ Mosco, tính hốn đổi tính 2- hốn đổi Chúng tơi cịn đưa số tính chất tính 2- hoán đổi biến ngẫu nhiên, mối quan hệ biến ngẫu nhiên 2- hoán đổi với biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối... hạn) 2- hốn đổi khơng độc lập đơi Do đó, xem khái niệm biến ngẫu nhiên 2- hoán đổi mở rộng khái niệm biến ngẫu nhiên độc lập đôi một, phân phối 2. 5 Luật số lớn dãy biến ngẫu nhiên 2hoán đổi 2. 5.1... nghĩa Một họ (hữu hạn hay vô hạn) biến ngẫu nhiên {Xi : i ∈ I} gọi 2- hoán đổi P(Xi1 ∈ B1 , Xi2 ∈ B2 ) = P(Xj1 ∈ B1 , Xj2 ∈ B2 ), với B1 , B2 ∈ E với i1 = i2 j1 = j2 thuộc tập số I 2. 4 .2 Tính