Một số kết quả về nhóm tuyến tính trên trường hữu hạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH KHOA TOÁN HỌC KHOÁ LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ NHÓM TUYẾN TÍNH TRÊN TRƯỜNG HỮU HẠN CHUN NGÀNH: SƯ PHẠM TỐN Giáo viên hướng dẫn: ThS.Nguyễn Quốc Thơ Sinh viên thực : Vũ Thị Mừng Lớp : 49A Toán VINH-2012 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu:……………………………………………………………… Chương I: Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số kiến thức nhóm, vành, trường:…………… 1.2 Một số tính chất trường hữu hạn:………………………….11 Chương II: Một số kết nhóm tuyến tính 2.1 Nhóm tuyến tính tổng qt, nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn:………………………………………… 14 2.2 Nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn:……… 22 Kết luận:………………………………………………………………… 31 Tài liệu tham khảo:……………………………………………………… 32 LỜI NÓI ĐẦU Bài tốn khảo sát nhóm ma trận đóng vai trị quan trọng tốn học nói riêng ngành khoa học khác nói chung, nhà toán học quan tâm nghiên cứu Trong số tài liệu mà biết, tác giả khảo sát nhóm ma trận trường số thực, trường số phức, trường vô hạn Dựa kết biết, khảo sát nhóm ma trận trường hữu hạn bước đầu thu số kết đáng quan tâm mà chúng tơi trình bày khóa luận Khóa luận trình bày hai chương: Chương I: Kiến thức chuẩn bị Chương II: Một số kết nhóm tuyến tính Nội dung chương I, chúng tơi nhắc lại số khái niệm nhóm, vành, trường, trường hữu hạn số tính chất đơn giản để làm sở cho chương sau Chương II chương khóa luận, trước hết chúng tơi trình bày định nghĩa nhóm tuyến tính tổng qt nhóm tuyến tính đặc biệt (định nghĩa 2.1.3) trường hữu hạn Từ đó, khảo sát số tính chất nhóm tuyến tính tổng qt nhóm tuyến tính đặc biệt trường hữu hạn (từ 2.1.4 đến 2.1.14) Tiếp theo, chúng tơi khảo sát nhóm tuyến tính đặc biệt xạ ảnh trường hữu hạn Đây nhóm thương nhóm tuyến tính đặc biệt tâm Các kết nhóm trình bày 2.2 Khố luận hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Quốc Thơ Nhân dịp cảm ơn Thầy giúp đỡ góp ý Thầy dành cho chúng tơi suốt q trình làm khóa luận Chúng tơi xin cảm ơn gia đình, thầy tổ Đại số,các bạn sinh viên động viên, giúp đỡ chúng tơi hồn thành khóa luận Do trình độ thời gian có hạn nên khóa luận chắn cịn có nhiều thiếu sót Vì vậy, chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Nghệ An, tháng năm 2012 Tác giả Chương1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Một số kiến thức nhóm, vành, trường 1.1.1 Định nghĩa nhóm Nhóm tập hợp G   trang bị phép toán thỏa mãn điều kiện sau đây: +) Phép tốn có tính chất kết hợp: (x.y).z  x.(y.z),  x,y,z G +) Phép tốn có phần tử đơn vị :  phần tử e G : ex  xe  x,  x G +) Mọi phần tử G có phần tử nghịch đảo : với x G,  x-1 G cho xx-1  x-1x  e Nếu phép tốn G có tính chất giao hốn x.y  y.x,  x,y G G gọi nhóm giao hốn hay cịn gọi nhóm Abel +) Số phần tử G gọi cấp G Kí hiệu G +) Nếu số phần tử G hữu hạn G gọi nhóm hữu hạn 1.1.2 Nhóm Giả sử G nhóm Một tập hợp S  , S  G gọi nhóm G S khép kín phép toán G (tức x y  S , x, y  S ) khép kín với phép lấy nghịch đảo G (tức x 1  S , x  S ) 1.1.3 Nhóm chuẩn tắc Cho G nhóm H nhóm G Khi H gọi nhóm chuẩn tắc G ( hay gọi ước chuẩn) , kí hiệu : H  G thỏa mãn điều kiện : g  G, h  H : ghg 1  H 1.1.4 Nhóm thương Cho G nhóm H  G Ta có tập thương : G H   xH | x  G Cùng với phép toán xH yH  xyH nhóm, gọi nhóm thương G H 1.1.5 Đồng cấu Giả sử G G’ nhóm Ánh xạ f : G  G ' gọi đồng cấu nhóm : f  x y   f  x  f  y  , x, y  G Đồng cấu f gọi đơn cấu, toàn cấu, đẳng cấu f đơn ánh, tồn ánh, song ánh 1.1.6 Định lí đồng cấu nhóm Giả sử  : G  H đồng cấu nhóm Khi đó, tồn đẳng cấu nhóm  : G Ker    G  Im  cho giao hoán biểu đồ sau: Im   G Ker tức    Chứng minh Giả sử tồn đẳng cấu  thỏa mãn điều kiện định lí Khi đó, với x  G ,   xKer     x     x  Như thế,  tồn a) Chứng minh tồn Vì Ker   G suy tồn nhóm thương G Ker   xKer | x  G  : G Ker  G ' Xét tương ứng:   x xKer +) Chứng minh  ánh xạ Bất kì phần tử có ảnh Thật vậy: xKer , x ' Ker  G Ker mà xKer  x ' Ker suy x 1x '  Ker suy   x 1x '  eG '    x 1   x '  eG ' Suy   x    x '  eG '    x '    x  eG ' 1    x '    x     x ' Ker     xKer    ánh xạ +) Chứng minh  đồng cấu nhóm Vì xKer , yKer  G Ker ta có:   xKer yKer     xyKer     xy     x   y  (  đồng cấu) suy   xy     xKer   yKer  suy  đồng cấu nhóm +) Chứng minh  đẳng cấu nhóm Chứng minh  đơn ánh xKer , yKer  G Ker mà   xKer     yKer     x     y     x  1  y   eG '    xy 1   eG '  xy 1  Ker  xKer  yKer   đơn ánh Chứng minh  tồn ánh Vì y  G ' ,  toàn ánh nên x  G :   x   y Khi xKer  G Ker   xKer     x   y  xKer tạo ảnh y qua ánh xạ    tồn ánh Vậy  đẳng cấu nhóm +) Chứng minh biểu đồ giao hoán Để chứng minh ánh xạ chứng minh hai ánh xạ tác động lên tập nguồn cho ảnh    x       x     xKer     x      x     x  ,x  G     b) Chứng minh tính Giả sử có đồng cấu g : G Ker  G ' làm cho biểu đồ giao hoán:   g  Ta cần chứng minh g   Thật vậy, xKer  G Ker ta có:   g  xKer   g    x     g   x   f  x     x       x      xKer   g  xKer     xKer   g   1.1.7 Định lí Lagăng Giả sử G nhóm hữu hạn S nhóm Khi đó, G bội S 1.1.8 Định nghĩa vành Vành tập hợp X   mà trang bị phép tốn phép cộng nhân, thỏa mãn điều kiện sau: 1) Phép cộng có tính chất kết hợp: (a+b)+c  a+(b+c) với  a,b,c X 2) Phép cộng có tính chất giao hoán: a+b  b+a với  a,b X 3) Phép cộng có phần tử đơn vị: Tồn phần tử 0 X cho a+0  0+a  a  a X 4) Với  a X; -a X cho : a+(-a)  5) Phép nhân có tính chất kết hợp: (a.b).c  a.(b.c) với  a,b,c X 6) Phép nhân phân phối với phép cộng: a(b+c)  ab+ac với  a,b,c X Nếu phép nhân có phần tử đơn vị vành gọi vành có đơn vị Nếu phép nhân có tính chất giao hốn vành gọi vành giao hốn Chú ý: Vành định nghĩa tương tự nhóm 1.1.9 Định nghĩa miền nguyên Miền nguyên vành giao hốn, có đơn vị, có nhiều phần tử không chứa ước không 1.1.10 Định nghĩa trường Trường tập F có nhiều phần tử mà trang bị phép toán phép cộng nhân thỏa mãn điều kiện sau: i) (F,+) nhóm cộng Aben ii) (F\ 0 ,.) nhóm nhân Aben iii) Phép nhân phân phối với phép cộng: a(b+c)  ab+ac với  a,b,c F Nói cách khác: (F,+,.) gọi trường (F,+,.) vành khác 0 , giao hốn có đơn vị phần tử khác không khả nghịch 1.1.11 Mệnh đề Giả sử Zn vành lớp đồng dư môđun n Khi Zn trường n số nguyên tố Chứng minh Giả sử Z trường n hợp số,khi tồn p,q nguyên cho 1