Một số kết quả về biểu diễn nhóm hữu hạn

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** LÊ THỊ LƢƠNG TRANG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN KHÓA LUẬN CỬ NHÂN KHOA HỌC NGÀNH TOÁN HỌC Vinh – 2011 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC VINH ******************** LÊ THỊ LƢƠNG TRANG MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN NGƢỜI HƢỚNG DẪN KHOA HỌC ThS NGUYỄN QUỐC THƠ Vinh – 2011 MỤC LỤC Trang Lời nói đầu Chƣơng KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM § 1: Định nghĩa biểu diễn § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn Chƣơng MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § 1: Biểu diễn nhóm Aben § 2: Biểu diễn nhóm đối xứng 15 § 3: Biểu diễn nhóm đối xứng tổng quát 26 § 4: Biểu diễn quy tổng qt ma trận 29 Kết luận 36 Tài liệu tham khảo 37 LỜI NÓI ĐẦU Như biết nhóm đối tượng bản, cổ điển tốn học Nó mơ tả định nghĩa nhóm, mơ tả ánh xạ đẳng cấu, mô tả tập sinh quan hệ chúng, biểu diễn nhóm Lý thuyết biểu diễn nhóm lý thuyết có nhiều ứng dụng khơng tốn học mà cịn nhiều ngành khoa học khác Nội dung khoá luận hệ thống lại chứng minh số kết biểu diễn nhóm hữu hạn Khố luận chia làm hai chương CHƢƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHÓM Nội dung chương nhắc lại khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn, từ đưa tính chất đặc trưng biểu diễn…Các khái niệm khái niệm cần thiết phục vụ cho chương II Cụ thể thể qua mục sau § 1: Định nghĩa biểu diễn § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn CHƢƠNG II MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN Đây nội dung khố luận, chương tác giả trình bày số định nghĩa, định lý, tính chất nhóm phép Cụ thể sau § 1: Biểu diễn nhóm Aben § 2: Biểu diễn nhóm đối xứng § 3: Biểu diễn nhóm đối xứng tổng qt § 4: Biểu diễn quy tổng qt ma trận Khố luận hồn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ thầy giáo khoa tốn Nhân dịp tác giả xin trân trọng cảm ơn thầy giáo Th.S Nguyễn Quốc Thơ thầy cô giáo khoa toán, đặc biệt tổ đại số giúp đỡ tác giả hồn thành khố luận suốt bốn năm học vừa qua Nhân tác giả xin cảm ơn gia đình, người thân, bạn bè giúp đỡ tác giả thời gian vừa qua Mặc dù tác giả cố gắng khơng thể tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, tác giả mong nhận góp ý thầy cô, bạn sinh viên để khố luận hồn thiện Vinh, tháng năm 2011 Tác giả CHƢƠNG I KHÁI NIỆM VỀ BIỂU DIỄN NHĨM § ĐỊNH NGHĨA VỀ BIỂU DIỄN NHĨM HỮU HẠN Giả sử G nhóm hữu hạn, K trường, V không gian vectơ hữu hạn chiều K 1.1 Định nghĩa Một biểu diễn (tuyến tính ) G V đồng cấu nhóm  : G  GL(V ) , từ G vào nhóm GL(V) tự đẳng cấu tuyến tính V Ký hiệu  (s)  s với s  G Ta có:  st   s t ,  e  id v ,  s  ( s ) 1 , 1 Với s, t  G e đơn vị nhóm G V gọi khơng gian biểu diễn G (hay G - không gian) Số chiều V K gọi cấp biểu diễn Nếu K  , , ta nói  biểu diễn hữu tỉ, thực phức (tương ứng ) G Biểu diễn  : G  GL(V ) gọi biểu diễn trung thành  đơn cấu R * nhóm;  gọi tầm thường  e  id v với s  G 1.2 Ví dụ Mỗi biểu diễn cấp G đồng cấu  : G  GL( K )  K   K \ 0 Đặt g  G , ta có s g  e với s  G ,  sg  K  Như  s bậc g đơn vị K  với s  G Từ ta thấy biểu diễn phức phong phú biểu diễn thực, bậc g 1, theo chẵn hay lẻ) * * có g chứa nhiều hai bậc g (tùy § ĐẶC TRƢNG CỦA BIỀU DIỄN Trong mục trở xét biểu diễn phức Giả sử V trường không gian vectơ phức n chiều a: V  V phép biến đổi tuyến tính có ma trận A  ( Aij ) sở e1 , e2 , , en của V Số n phức Tr (a)   Aii gọi vết a i 1 2.1 Định nghĩa Giả sử  : G  GL(V ) biểu diễn tuyến tính nhóm G khơng gian vectơ V Hàm số  : G  C định nghĩa công thức:  (s)  Tr(  ) ,( s  G ) gọi đặc trưng biểu diễn  2.2 Mệnh đề Nếu  đặc trưng biểu diễn  có cấp n, thì: (i)  (e)  n, (ii)  (s 1 )   (s) , với s  G , (iii)  (tst 1 )   (s) , với s,t  G 2.3 Định lý Đặc trưng rG biểu diễn quy G cho công thức   G rG ( s)    0 se se Chứng minh Chọn sở C G  (t) (t ) tG , Trên sở ánh xạ  s tác động sau:  s (t )  st Như vậy, s  e st  t với t  G Ta biểu   diễn  s dạng ma trận, ta ma trận As  aij n , suy phần tử đường chéo A sở Tức s rG (s)  Tr( s )  0, s  e (trong Tr ( s ) vết  ) Vậy theo Mệnh đề 2.2, ta có rG (e)  dim CG  G Từ định lý ta có hai hệ sau: Hệ Mối biểu diễn bất khả quy chứa biểu diễn quy với số bội cấp Hệ Giả sử W1 , W2 , , W p tất không gian G bất khả quy, đôi khơng đẳng cấu với nhau, có đặc trưng tương ứng 1 ,  , ,  p cấp tương ứng n1 , n2 , , n p Khi 2 a) n1  n2   n p  G p b)  ni  i ( s)  0, s  G, s  e i 1 2.4 Định nghĩa Hàm f : G  C gọi hàm lớp G nếu, f (tst 1 )  f (t ), s, t  G Ký hiệu RC (G) không gian vectơ F(G,C) gồm tất hàm lớp G 2.5 Định lý Số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G số liên hợp G Chứng minh Giả sử D1,D2, ,Dk tất lớp liên hợp G Hàm f : G  C hàm lớp f số lớp liên hợp D i (i = 1,2 ,k) Các số phức chọn tùy ý, dim( RC (G))  k Mặt khác dim( RC (G)) số biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G § VÀNH BIỂU DIỄN Tập hợp biểu diễn nhóm G trang bị hai phép tốn , Nó có nhiều tính chất vành, vành, ta khơng biết “hiệu” hai biểu diễn (tương ứng với tổng  ) Để khắc phục điều ta mở rộng tập biểu diễn thành tập biểu diễn suy rộng, cách sau Giả sử  ,  , ,  p tất biểu diễn bất khả quy đôi không đẳng cấu G Khi đó, biểu diễn  G phân tích thành tổng   m1   m p p với hệ số mi nguyên không âm Nếu   n1   n p p biểu diễn G, ta có    (m1  n1 )   (m p  n p ) p ,      mi n j ( i   j ) ij Mối biểu diễn  i   j lại phân tích qua  ,  , ,  p Ta vào đẳng thức ta thu phân tích   Bây ta gọi R(G) tập hợp tổng hình thức   m1   m p p hệ số mi số nguyên (dương, âm 0) Mỗi phần tử R(G) gọi biểu diễn suy rộng G Tổng   tích   hai biểu diễn suy rộng   xác định công thức nêu cho trường hợp   biểu diễn Ta thấy R(G) lập thành vành (giao hoán) hai phép tốn   Nó gọi vành biểu diễn nhóm G Giả sử  i đặc trưng biểu diễn  i Khi đó, R(G) đồng với tập hàm tổ hợp tuyến tính 1 , ,  p   m11   mp  p Với hệ số mi nguyên Mỗi hàm gọi đặc trưng suy rộng G Hai phép toán định nghĩa sau: ( mi i )  ( ni i )   (mi  ni )i , 10 ( mi i )( n j  j )   mi n j ( i  j ) Vì R(G) gọi vành đặc trưng G Đối với phép cộng, R(G) nhóm Abel tự tập hợp  ,  , ,   p Hơn R(G)  RcG Ngoài ra, ta thấy RcG  C  R(G) z Bây ta gọi  biểu diễn đơn vị G, tức biểu diễn cấp 1 : G  GL(C ) định nghĩa s1  idc , s  G , đặc trưng 1 xác định 1 (s)  1, s  G Rõ ràng 1 đơn vị vành R(G) Tóm lại ta thu 3.1 Mệnh đề Các đặc trưng suy rộng G lập thành vành giao hoán R(G) với đơn vị đặc trưng 1 biểu diễn đơn vị Phép nhân vành R(G) hồn tồn xác định thơng qua hệ số cấu trúc, tức số nguyên khơng âm mikj xuất phân tích i  j   mijk  k k 3.2 Mệnh đề mijk  G   (t )  (t )  tG i j k (t ) Chứng minh Nhân hai vế đẳng thức i (t )  j (t )   mijl l (t ) l 1 Với G  k (t ) lấy tổng t  G Quan hệ trực giao đặc trưng bất khả quy dẫn tới mijk  G   (t )  (t )  tG i j k (t ) 3.3 Mệnh đề Nếu  i biểu diễn bất khả quy cấp  j biểu diễn bất khả quy cấp tuỳ ý,  i   j biểu diễn bất khả quy Chứng minh 26 1   = 132 456  a =    1 1  1  1       =  a 2b 6 3      a  ab a =  1 Tương tự ta kiểm tra trường hợp cịn lại 2.6.5 Định lý Nếu H chuẩn tập lm  S(G) ,G nhóm có tâm e tự đẳng cấu tự đẳng cấu H  lm  x lm  Chứng minh Ta có H = {   S (G) \  1   g    Im  ,  g  Im } + Từ Im  , Im  nhóm S(G), H chuẩn tập Im  => Im  H Im  ? tâm tập Im  , H chuẩn tập Im  => Im  ? , :   H ,  g  Im      g   1  Im     g   1   g ' =  g '     g   1 ,  g '  Im    1     g   1   g '   =  1   g '     g   1     g  ( 1   g '   ) = ( 1   g '   )   g Mà  1   g '    S (G)   1   g '    Im  tâm tập Im   Im   H + Chứng minh Im   Im   {id } ,thật : Giả sử   Im   Im     Im    Im   g1  Im   g  Im p cho:  ( x)   g ( x)   g ( x), x  G   (e)   g1 (e)   g (e)  g1e  eg  g1  g Đặt g = g1 = g2   ( x)   g ( x)   g ( x), x  G 27  g  C (G) (tâm G) Mà theo giả thiết C(G) = e  g  e   ( x)   e ( x)  x, x  G    id  Im   Im p Hay Im   Im p = id  + Chứng minh H  Im  Im p  Chứng minh Im  Im p  H   Im  Im p     g1  g Xét  1   g   ( x)   g   g  g   g   g ( x) 1 1 1 = g11 gg1 xg g 21 = g11 gg1 x  g ' x   g ' ( x) Với g’ =g g11 gg1  G,  g  Im  Mà  g '  Im    1   g    Im     H (do H chuẩn tập Im  )  Im  Im p  H  Chứng minh H  Im  Im p Vì G hữu hạn  S(G) hữu hạn  H hữu hạn  H  id , x1 , , xn  Mặt khác Im   H  H  Im   x1 Im    xn Im  Ta lại có  biểu diễn thự G nên G  Im  Từ giả thiết   tự đẳng cấu Im  tự đẳng cấu trong, đó: xi1   g  xi  Im  ,  g  Im   a  Im  cho: xi1   g  xi  a 1   g  a  a  xi1   g  xi  a 1   g '  ( xi  a 1 ) 1   g  ( xi  a 1 )   g ,  g  Im   xi  a 1  Im p (do Imp tâm tập Im  ) Đặt yi  xi  a 1  Im p ta có: 28 yi Im   xi  a 1 Im   xi Im  (do Im  a 1  Im  )( i  1,2, , n )  H  Im   y1 Im    y n Im  Khi với   H   yi Im  Hay H  Im p Im   Im  Im p (Do yi Im   Im yi Im H ) Vậy H  Im p Im  Từ ta có: Im   H; Imp  H; Im   Imp = id   Im  Imp =  Im   Im p  Im  Im p  Im   Im p  H  Im   Im p (đpcm) nhóm 29 § BIỂU DIỄN NHÓM BỞI NHÓM ĐỐI XỨNG TỔNG QUÁT Trong mục ta ln giả thiết nhóm G nhóm hữu hạn, ngồi biểu diễn quy ta cịn có biểu diễn khác nhóm phép 3.1 Biểu diễn nhóm qua nhóm đối xứng nhóm thƣơng 3.1.1 Định lý Cho G nhóm G H  xH \ x  G nhóm thương G  : g   g biểu diễn nhóm G vào nhóm phép P bắc cầu tập S.Khi i) Ánh xạ g :GH GH xH  gxH phép G H  g ( H )  H  g  H ii) Tương ứng phần tử S lớp ghép G H – Chứng minh i) Chứng minh:  g phép G H  chứng minh  g song ánh Thật vậy: Với xH yH  G H , mà  g (xH) =  g (yH)  gxH  gyH G H nhóm  ! x  G : gx  y (tính chất nghiệm phương trình ax = b nhóm)  gxH  yH  xH  G H :  g ( xH )  yH   g toàn ánh Vậy  g song ánh hay phép Chứng minh  g ( H )  H  g  H , thật vậy: Nếu g  H  gH  H mà e  H  eH   g ( H )   g (eH )  gH  H Ngược lại  g ( H )  H  g  H hiển nhiên 30 ii) Giả sử S  s1 , s2 , , sn  Khi với s1,si S tồn  g (s1 )  si (i =1,2, ,n), Vì P bắc cầu i Ta chứng minh G H  g1 H , , g n H   gi H  gi H   với i  j Thật vậy: g i H  g i H    g i1 g j  H   g 1g (s1 )  s1 i j   g 1   g j (s1 )   g 1 (s j )   g 1 (si )  s1 (vì s i i i i  s j )  Với g  G Giả sử  g (s1 )  si (i  1,2, , n)   g 1   g (s1 )   g 1 (si )  s1 i i Do  g g (si )  s1  g i1 g  H  g  g i H 1 i Vậy G H  g1 H , , g n H  Như ta có: S  G H  n Nói chung biểu diễn  : G  S (G H ) biểu diễn thực Câu hỏi đặt  biểu diễn thực sự, câu trả lời thể đinh lý sau: 3.2 Biểu diễn thực 3.2.1 Định lý Cho G nhóm hữu hạn H nhóm G i) Khi ker  ước chuẩn lớn G H ii)  biểu diễn thực H không chứa ước chuẩn thực G Chứng minh i) Ta có ker  = g  G \  g  id  Từ  g  id  gxH  xH , x  H (1) Mà H nhóm  H 1  H H H 1  H Từ (1)  gxH  xH  g  xH ( xH 1 )  xHH 1 x 1  xHx 1  G    ker   g  G \ g  xHx 1 , x  G 31 =  xHx 1 xG Ker   G hiển nhiên Giả sử A  G, A  H ker   A Ta chứng minh A  ker  h  A (A  G)  x  G : x 1hx  A   (i)  i i  (1,2, , n) Vậy  ánh xạ đồng hay kerp = id  Do p đơn cấu từ Sn vào Mn(K) hay P biểu diễn thực 32 § BIỂU DIỄN CHÍNH QUY BỞI MA TRẬN Nội dung mục ta xây dựng biểu diễn nhóm phép nhóm nhân ma trận không suy biến Ta ký hiệu Mn(K) nhóm nhân ma trận khơng suy biến, cấp n trường K 4.1 Biểu diễn nhóm Sn nhóm Mn(K) Cho G nhóm hữu hạn cấp n, S(G)  Sn nhóm phép bậc n Giả sử M K- không gian vectơ, m1 , m2 mn  sở vectơ M Định lý Tồn biểu diễn thực nhóm Sn nhóm Mn(K) Chứng minh Với phép   S n  S (G) , ta xác định ánh xạ tuyến tính p : M  M Sao cho p (mi )  m (i ) kết đại số tuyến tính cho ta biết ánh xạ p tồn Gọi A ma trận ánh xạ tuyến tính p sở m1 , m2 mn  Xét ánh xạ p : Sn  M n ( K )   p( )  A Chứng minh p đồng cấu Thật ta có 1 ,   S n , ta có p1 (mi )  p1 (m ( i ) )  p1  p (mi ) điều với mi(i =1,2,…,n) Nên ánh xạ p  đồng với ánh xạ p1  p hay p1 = p1  p Gọi A , A ma trận ánh xạ p , p Khi A   A A 2 Do p(1 )  A   A A  p(1 ) p( ) 2  p đồng cấu Chứng minh p đơn ánh: 33 Xét Kerp =   S n \ A  I n , I n ma trận đơn vị vng cấp n Với   Kerp p( )  I n , nên p (mi )  m (i ) (i = 1,2,…,n )   (i)  i, i ( i = 1,2,…,n) Vậy  ánh xạ đồng hay kerp = id  Do p đơn cấu từ Sn vào Mn( K ) hay p biểu diễn thực 4.2 Biểu diễn nhóm nhóm ma trận phép Cho G nhóm hữu hạn Ord(G)=n Giả sử G = {g1,… ,gn}, có biểu diễn thực  : G  Sn g  g 4.2.1 Định lý Với giả thiết ánh xạ  : p  : G  M n (K ) g  p( g ) Là biểu diễn thực nhóm hữu hạn G vào Mn(K)(p xác định Định lý 3.1) Chứng minh + Từ  , p đồng cấu   đồng cấu +  Đơn ánh Nếu g1,g2  G thỏa mãn p   ( g1 )  p  ( g )  p( g1 )  p( g ) Mà p đơn ánh   g   g  g1  g (do  đơn ánh) Vậy  đơn ánh Hay  biểu diễn thực nhó hữu hạn G/ 4.2.2 Các ví dụ Ví dụ : Cho G =3 – Nhóm xylic cấp sinh a  G={e,a,a }:={e,a,b} với phép nhân G xác định sau : 34 e a b e e a b a a b e b b e a Hãy xây dựng biểu diễn :  : G  M ( R) Trước hết ta xây dựng ánh xạ : G  S3 x  x e a b  : = id e a b e =  a =  b =  e a b  : =  a b e 1    = (123);  1 e a b  : = b e a  1    = (132); 3 2 p( e ) (e)=e ; p( e ) (a) = a ; p( e ) (b)=b  1 0 p( e ) = 0 0 = I3 0 1 p( a ) (e) = a , p( a ) (a) = b , p( a ) (b) = e  0 1 p( a ) = 1 0 0 0 p( b ) (e)= b , p( b ) (a) = e , p( b ) (b) = a  0  p( b ) = 0 1 1 0 1 0 0 1 0      Vậy  (e) = 0 0 ,  (a) = 1 0 ,  (b) = 0 1 0 1 0 0 1 0 35 Ví dụ : Cho G = {e,a,b,c} với ab = ba = c; a2 = b2 = c2 = e Phép nhân G cho bới bảng sau : e a b c e e a b c a a e c b b b c e a c c b a e Hãy xây dựng ánh xạ : : G  S4 x  x Ta đánh số phần tử G song ánh f : G  {1,2,3,4}  e = id 1   = (12)(34);  a =   3 1   = (13)(24);  b =  3 2 1   = (14)(23);  c =   1  (e) = id;  (a) = (12)(34);  (b) = (13)(24);  (c) = (14)(23); Ta xây dựng  : G  M4(K) X   (x) = Ax Với  (x) = p   (x)   (e) = I4 + p( a )(e) = a , p( a )(a) = e , p( a )(b) = c , p( a )(c) = b 36 0 1  p(  a ) =  0  0 0 0 0 =  (a) 0 1  0 + p( b )(e) = b , p( b )(a) = c , p( b )(b) = e , p( b )(c) = a 0 0  p( b ) =  1  0 0 0 1 =  (b) 0 0  0 + p( c )(e) = c , p( c )(a) = b , p( c )(b) = a , p( c )(c) = c 0 0  p( c ) =  0  1 0 1 0 =  (c) 0  0 0 4.3 Biểu diễn quy nhóm nhóm ma trận khơng suy biến Giả sử G nhóm cấp r, V khơng gian véc tơ n- chiều Gọi {ej} jG đánh số theo phần tử j G sở V Xây dựng ánh xạ(AX) R: G  GL(V) s  Rs với Rs phép biến đổi tuyến tính V chos Rs(ej) = esj; s  G, j  G 4.3.1 Định lý Ánh xạ Rs xác định biểu diễn nhóm G vào nhóm GL(V) Chứng minh + Chứng minh R đồng cấu Rst(ej) = e(st)j = es(tj) = Rs(etj) = Rs(Rt(ej)) = RsRt(ej)  Rst = RsRt  R đồng cấu 37 + Chứng minh R đơn ánh Nếu s,t  R mà Rs(ej) = Rt(ej)  esj = etj  sj = tj  s = t (do G nhóm hữu hạn) Hay R đơn ánh Vậy R biểu diễn nhóm G nhóm GL(V) 4.3.2 Định nghĩa Biểu diễn R: G  Mn(K) gọi biểu diễn quy nhóm với nhóm nhân ma trận khơng suy biến 4.3.3 Ví dụ Xét G = S3 = {e,(12),(13),(23),(123),(132)} Với phép nhân G cho bảng sau : e (12) (13) (23) (123) (132) e e (12) (13) (23) (123) (132) (12) (12) e (123) (132) (13) (23) (13) (13) (13) e (123) (23) (12) (23) (23) (123) (132) e (12) (13) (123) (123) (23) (12) (13) (132) e (132) (132) (13) (23) (12) e (123) Hãy xây dựng biểu diễn R Đặt e = e , f1 = (12) , f2 = (13) , f3 = (23) , f4 = (123) , f5 = (132) Gọi {ee, e f ,…, e f }là sở V (V không gian véc tơ chiều ) Xây dựng R: G  GL(V) s  Rs Như sau : + Re (ee) = ee , Re ( e f ) = e f (i= 5)  Re =I6 e e i i e  R e f1 (ee) = e f1 , R e f1 ( e f1 ) = e f1 f1 = ee , R e f1 ( e f ) = e f , R e f1 ( e f ) = e f , Ref ( e f ) = e f , Ref ( e f ) = e f 38 0 1  0  R e f1 =  0 0  0 0 0 0 1  0 0 0  0 0  R e f2 0 0  1 = 0 0  0 0 0  R e f3 0 0  0 = 1 0  0 0 0  R e f4 0 0  0 = 0 1  0 1 0 0  0 0 0 0  0 0  R e f5 0 0  0 = 0 0  1 0 0 0  0 0 0 1  0 0 0 0 0 0 0 0 Tương tự ta có 0 0 0  1 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1 0  0 0 0  0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 39 KẾT LUẬN Khóa luận thu kết sau: Tổng quan lý thuyết nhóm đặc biệt nhóm phép Hệ thống lại khái niệm biểu diễn nhóm hữu hạn, mơ tả đặc trưng biểu diễn, vành biểu diễn Mô tả biểu diễn quy phải, trái nhóm hữu hạn G nhóm phép thế, mơ tả cấu trúc ảnh biểu diễn quy trái quy phải nhóm đối xứng S(G) Xây dựng cách biểu diễn nhóm hữu hạn khác với biểu diễn quy tìm điều kiện để biểu diễn biểu diễn thực Biểu diễn nhóm đối xứng sn nhóm ma trận khơng suy biến Từ xây dựng biểu diễn nhóm hữu hạn nhóm ma trận 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Hồng Xn Sính, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục Hà Nội, 1972 2Nguyễn Hữu Việt Hưng, Đại số đại cương, Nhà xuất Giáo dục, 1999 3 NguyễnTự Cường, Đại số đại, Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội,2003 4Trần Trọng Huệ, Đại số đại cương,Nhà xuất Đại Học Quốc gia Hà Nội, 2001 5 J.P.Serr, Biểu diễn nhóm hữu hạn (M.1970) ... nghĩa biểu diễn § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn Chƣơng MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN § 1: Biểu diễn nhóm Aben § 2: Biểu diễn nhóm. .. j biểu diễn bất khả quy Ta có 12 CHƢƠNG II BIỂU DIỄN NHĨM HỮU HẠN § BIỂU DIỄN CỦA NHÓM ABEN Trong mục tác giả sử dụng lý thuyết biểu diễn nhóm hữu hạn để xét biểu diễn số nhóm đặc biệt là: nhóm. .. nghĩa biểu diễn § 2: Đặc trưng biểu diễn § 3: Vành biểu diễn CHƢƠNG II MỘT SỐ KẾT QUẢ VỀ BIỂU DIỄN NHÓM HỮU HẠN Đây nội dung khố luận, chương tác giả trình bày số định nghĩa, định lý, tính chất nhóm