Thông tin tài liệu
BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN PHM THÀ DÀU HIN RĨT GÅN HARDY CHO MËT LỴP TCH PH
N LIOUVILLE CC HM SÈ SÌ CP LUN VN THC S TON HC Bẳnh nh - Nôm 2021 BË GIO DƯC V O TO TR×ÍNG I HÅC QUY NHÌN PHM THÀ DÀU HIN RĨT GÅN HARDY CHO MËT LỴP TCH PH
N LIOUVILLE CC HM SÈ SÌ CP CHUYN NGNH: PH×ÌNG PHP TON SÌ CP M SÈ: 46 01 13 LUN VN THC S TON HC Ngữới hữợng dăn: PGS.TS THI THUN QUANG Bẳnh nh - 2021 DANH MệC CC Kị HIU R : Vnh vi phƠn Q(x) : Trữớng cĂc phƠn thực vợi hằ số hỳu t R(x) : Trữớng cĂc phƠn thực vợi hằ số thỹc C(x) : Trữớng cĂc phƠn thực vợi hằ số phực (2j − 1)!! = 1.3.5 (2j − 1) (2j)!! = 2.4 (2j) (3j − 2)!!! = 1.4.7 (3j − 2) (3j − 1)!!! = 2.5.8 (3j − 1) i Mửc lửc Danh mửc cĂc kỵ hiằu CC HM SÈ SÌ CP V ÀNH LÞ LIOUVILLE 1.1 1.2 Vnh v trữớng vi phƠn 1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v t½nh ch§t 1.1.2 Mð rëng logarit v mð rëng mô 11 nh lỵ Liouville 1.2.1 CĂc hm số sỡ cĐp 11 1.2.2 nh lỵ Liouville 12 1.2.3 Mët sè v½ dư ¡p dưng 17 RĨT GÅN HARDY CHO LỴP TCH PH
N LIOUVILLE 2.1 Mët số kát quÊ chuân b 2.2 Rút gồn Hardy cho tẵch phƠn Liouville 25 25 26 26 32 33 2.2.1 Mët sè k¸t qu£ v· rót gån Hardy 2.2.2 C¡c h» qu£ 2.2.3 C¡c v½ dư MËT SÈ P DệNG 38 3.1 Mởt số dÔng tẵch phƠn Liouville c bi»t 38 3.2 CĂc tẵch phƠn Kiu Liouville 42 T i li»u tham kh£o 46 MÐ U Vi»c k¸t luên mởt tẵch phƠn cừa mởt hm sỡ cĐp cõ cán l mët h m sè c§p hay khỉng l mởt cƠu họi quan trồng  ữủc nghiản cựu tứ thới Newton v Leibniz PhƯn lợn dỹa trản cĂc cổng trẳnh cừa Liouville [10], Risch [13], v Rosentlicht [14], rĐt nhiÃu tián bở  Ôt ữủc và vĐn à ny suèt hai th¸ k [1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17] Tuy nhiản, cõ mởt số lợp tẵch phƠn rĐt ữủc hồc sinh, sinh viản quan tƠm tẵnh toĂn văn chữa cõ cƠu trÊ lới hon ton Ưy ừ cho cƠu họi ny Mởt vẵ dử số ny l lợp cĂc tẵch phƠn cõ dÔng Z vỵi r, s s xr eax dx, l c¡c sè nguyản Lợp tẵch phƠn ny chẵnh xĂc l ối tữủng nghiản cựu mởt trữớng hủp c biằt sau Ơy cừa mởt nh lỵ Liouville [10, 11, 13, 14] nh lỵ (Tiảu chuân Liouville ối vợi tẵch phƠn, 1835) hỳu t vỵi g f, g l c¡c h m sè R f (x)eg(x) dx = kh¡c h¬ng sè Khi â Z f (x)eg(x) dx l mởt hm số sỡ cĐp náu v ch náu tỗn tÔi mởt hm số hỳu t R(x)eg(x) , Cho R cho ho°c mët c¡ch t÷ìng ÷ìng f (x) = R(x)g (x) + R0 (x) Tiảu chuân ny thữớng ữủc sỷ dửng cho hồc sinh tẵnh toĂn v nhên biát rơng mởt số lợp nhĐt nh tẵch phƠn cờ in chng hÔn nhữ erf(x) = √ π Z x e −u2 Z du, Li(x) = x du , ln u Z Si(x) = x sin u , u khổng th ữủc biu th dữợi dÔng cĂc hm sỡ cĐp Tuy nhiản, bĐt chĐp vai trỏ thiát yáu cừa nõ viằc xĂc nh c tẵnh khổng sỡ cĐp cừa cĂc tẵch phƠn quan trồng cĂc ựng dửng, mực ở liản quan cừa kát quÊ ny cĂc tẳnh cử th  ữủc giợi hÔn mởt vi lợp cừa lợp tẵch phƠn Liouville [11, 12, 15] Chừ à cừa Luên vôn liản quan án cƠu trÊ lới cho cƠu họi nảu trản ối vợi lợp tẵch phƠn Liouville õ l lợp cĂc tẵch phƠn cừa hm số cõ dÔng l cĂc hm số hỳu t, g R f (x)eg(x) dx â f, g khæng l hm hơng Mửc tiảu cừa Luên vôn l têp trung gi£i quy¸t c¡c b i to¡n sau: Düa v o tiảu chuân Liouville nghiản cựu ữa mởt thuêt toĂn rút gồn Hardy phƠn tẵch hm dữợi dĐu tẵch phƠn thnh hai thnh phƯn cỡ bÊn cỹc Ôi v cỹc tiu cho phƠn tẵch ny cõ th Ăp ựng Ưy ừ lỵ thuyát rút gồn cừa Hardy xĂc nh liằu cĂc tẵch phƠn õ cõ phÊi l hm sỡ cĐp hay khổng Nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừa thuêt toĂn Ngoi phƯn M Ưu, Kát luên, Ti liằu tham khÊo, Luên vôn ữủc chia thnh ba chữỡng Chữỡng dnh cho viằc tẳm hiu nh lỵ Liouville tờng quĂt trản mởt trữớng vi phƠn v mët sè h» qu£ °c bi»t cõa nâ èi vỵi hm số sỡ cĐp Trong Chữỡng chúng tổi têp trung nghiản cựu ữa mởt thuêt toĂn phƠn tẵch hm dữợi dĐu tẵch phƠn thnh hai thnh phƯn cỡ bÊn cỹc Ôi v cỹc tiu cho phƠn tẵch ny cõ th Ăp ựng Ưy ừ lỵ thuyát rót gån cõa Hardy º x¡c ành li»u c¡c t½ch phƠn õ cõ phÊi l hm sỡ cĐp hay khổng, v  khng nh thẳ liằu cõ th tẵnh toĂn ữủc giĂ tr chẵnh xĂc hay khổng Chữỡng nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừa thuêt toĂn rút gồn Hardy cho lợp tẵch phƠn Liouville cĂc hm sỡ cĐp Luên vôn ữủc hon thnh dữợi sỹ hữợng dăn khoa håc cõa th¦y PGS TS Th¡i Thu¦n Quang, Khoa ToĂn v Thống kả, Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn NhƠn dàp n y tỉi xin b y tä sü k½nh trång v lỏng biát ỡn sƠu sưc án ThƯy  giúp ù tổi suốt quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn luên vôn Tổi cụng xin gỷi lới cÊm ỡn án Ban giĂm hiằu Trữớng Ôi hồc Quy Nhỡn, Phỏng o tÔo Sau Ôi hồc, Khoa ToĂn, quỵ thƯy cổ giĂo giÊng dÔy lợp cao hồc Phữỡng phĂp ToĂn sỡ cĐp khõa 22  dy cổng giÊng dÔy suốt khõa hồc, tÔo iÃu kiằn thuên lủi cho tổi quĂ trẳnh hồc têp v thỹc hiằn à t i Nh¥n ¥y tỉi cơng xin ch¥n th nh c£m ìn sỹ hộ trủ và mt tinh thƯn cừa gia ẳnh, bÔn b  luổn tÔo mồi iÃu kiằn giúp ù tổi hon thnh tốt khõa hồc v luên vôn ny Mc dũ luên vôn ữủc thỹc hiằn vợi sỹ nộ lỹc cố gưng hát sực cừa bÊn thƠn, iÃu kiằn thới gian cõ hÔn, trẳnh ở kián thực v kinh nghiằm nghiản cựu cỏn hÔn chá nản luên vôn khõ trĂnh khọi nhỳng thiáu sõt Tổi rĐt mong nhên ữủc nhỳng gõp ỵ cừa quỵ thƯy cổ giĂo luên vôn ữủc hon thiằn hỡn Tổi xin chƠn thnh cÊm ỡn Chữỡng CĂc hm số sỡ cĐp v nh lỵ Liouville Trong Chữỡng ny, chúng tổi trẳnh by hai vĐn Ã: Vnh vi phƠn v nh lỵ Liouville PhƯn tiáp theo cừa Chữỡng, chúng tổi nghiản cựu mởt số Ăp dửng cừa nh lỵ Liouville cho tẵnh sỡ cĐp cừa mởt số tẵch phƠn 1.1 Vnh v trữớng vi phƠn 1.1.1 CĂc khĂi niằm v tẵnh chĐt nh nghắa 1.1.1 :RR ([5]) Cho R l mët v nh giao ho¡n câ ìn Ta gồi Ănh xÔ ữủc gồi l Ănh xÔ Ôo h m n¸u ∂(a + b) = ∂(a) + ∂(b) , ∀a, b ∈ R ∂(ab) = (a)b + a(b) Mởt vnh ữủc trang b mởt Ôo hm cử th gồi l ta thữớng viát (a) = a0 l vnh vi phƠn Trữớng Mằnh à 1.1.2 ([5]) MiÃn nguyản R R vnh vi phƠn ữủc gồi l mởt ữủc gồi l mởt miÃn nguyản vi phƠn trữớng vi phƠn Cho R l mởt vnh vi phƠn Khi õ 1) 1'=0 2) (n1) = vợi måi n ∈ Z 3) ∂(na) = n∂(a) vỵi måi a R, n Z thuên tiằn, ngữới náu R náu l vnh vi phƠn R Chựng minh 2) Ta câ 10 = (1 · 1)0 = 10 · + · 10 1) Ta câ n¶n 10 = 10 + 10 Do â 10 = ∂(n1) = n∂(1) = n0 = 3) Ta chựng minh tữỡng tỹ nhữ 2) bơng phữỡng phĂp quy nÔp theo Mằnh à 1.1.3 ([5]) n Cho R l mởt vnh vi phƠn Khi õ, vợi måi a ∈ R th¼ (a ) = n nan−1 a0 Chùng minh Vỵi n=2 Ta chùng minh mằnh à bơng phữỡng phĂp quy nÔp (a2 )0 = (aa)0 = a0 a + aa0 = 2aa0 th¼ Gi£ sû m»nh · óng vỵi n = k, ta cõ Ta cƯn chựng minh mằnh à úng vợi (ak )0 = kak−1 a0 n = k + Thªt vªy, (ak+1 )0 = (ak a)0 = (ak )0 a + ak a0 = kak−1 a0 a + ak a0 = kak a0 + ak a0 = (k + 1)ak a0 n = k + Vªy m»nh · óng vỵi M»nh · 1.1.4 ([5]) Cho R l mởt trữớng vi phƠn Khi õ, vợi mồi a ∈ R \ {0} th¼ (a−1 )0 = −a−2 a0 Chùng minh Do â V¼ = 10 = (aa−1 )0 = a0 a−1 + a(a−1 )0 n¶n a(a−1 )0 = −a0 a−1 (a−1 )0 = −a−2 a0 M»nh · 1.1.5 Cho R l mët tr÷íng vi phƠn Khi õ, vợi mồi a ([5]) b R \ {0} th¼ ∂ Chùng minh Ta câ a a0 b − ab0 = b b2 (ab−1 )0 = a0 b−1 + a(b−1 )0 = a0 b−1 + a(−b−2 b0 ) = (a0 b − ab0 )(b−2 ) iÃu ny cho thĐy rơng náu Chú ỵ Náu ∈ R v Q ⊆ R, méi ph¦n tû cõa Q l mởt hơng số R l mởt miÃn nguyản vi phƠn thẳ trữớng cĂc thữỡng F sinh bi R vợi php toĂn Ôo hm l mởt trữớng vi phƠn V½ dư 1.1.6 Måi v nh giao ho¡n R câ ìn d(a) = 0, vỵi ph²p to¡n Ôo hm tƯm thữớng a R, l mởt vnh vi phƠn Vẵ dử 1.1.7 Cho P (x) thổng thữớng Khi â l v nh c¡c a thùc câ h» sè thỹc vợi php toĂn Ôo hm P (x) l mởt vnh vi phƠn Hỡn nỳa, trữớng cĂc thữỡng cừa Cho nản R(x) Vẵ dử 1.1.8 P (x) l trữớng R(x) cĂc phƠn thực cõ hằ số thỹc l mởt trữớng vi phƠn vợi php toĂn Ôo hm thổng thữớng Vnh cĂc hm thỹc khÊ vi vổ hÔn, vnh cĂc hm chnh hẳnh trản mt phng phực vợi php toĂn Ôo hm thổng thữớng l cĂc vnh vi phƠn nh nghắa 1.1.9 l vnh cừa Nhữ vêy, R ([5]) S ữủc gồi mởt vnh vi phƠn cừa vnh vi phƠn R náu S v õng kẵn vợi php toĂn Ôo hm SR l vnh vi phƠn náu ∈ S , a, b ∈ S th¼ a−b ∈ S v a∈S th¼ a0 ∈ S Mët c¡ch tữỡng tỹ, ideal I cừa vnh vi phƠn R ữủc gồi l ideal vi phƠn náu I õng kẵn vợi php toĂn Ôo hm nh nghắa 1.1.10 ([5]) Cho R, S l cĂc vnh vi phƠn nh xÔ :RS ữủc gồi l mởt ỗng cĐu vi phƠn náu ϕ(a + b) = ϕ(a) + ϕ(b) ϕ(ab) = ϕ(a)ϕ(b) ϕ(1) ϕ(a0 ) M»nh · 1.1.11 =1 = (ϕ(a))0 Cho R, S l c¡c v nh vi ph¥n v ϕ : R S l mởt ỗng cĐu ([5]) vnh Khi õ 1) ker ϕ = x ∈ R : ϕ(x) = l ideal cừa R, 2) nh xÔ f : R/ ker f → Imf l mët ¯ng cĐu vi phƠn 33 vợi Q hoc bêc tối a bơng deg g 2, cho Z f (x)e g(x) Z dx = u(x)eg(x) dx + R(x)eg(x) Hỡn nỳa, vá trĂi cừa phữỡng trẳnh ny l sỡ cĐp náu v ch náu u 0, v náu u tẵch phƠn vá phÊi khổng sỡ cĐp nghắa l vợi bĐt ký hm hỳu t v v Q thäa m¢n Z g(x) f (x)e Z dx = v(x)eg(x) dx + Q(x)eg(x) , vỵi deg v ≥ deg u H» qu£ 2.2.9 ([6]) Cho g v P nhữ (2.2.6) Khi õ, vợi bĐt ký f Q tỗn tÔi nhĐt mởt hm húu t R v nh§t h m húu t u Ng cõ dÔng m X u(x) = j=1 X Aj + ars γrs + Q(x) x − λj γ N rs g0 vợi Ng v Ng0 ữủc nh nghắa chựng minh nh lỵ 2.2.4 , trữớng hủp v Q ≡ n¸u P ≡ ho°c l mët a thùc câ bªc tèi a l deg(P ) − 1, cho Z f (x)e g(x) Z dx = u(x)eg(x) dx + R(x)eg(x) Hìn núa , v¸ trĂi cừa phữỡng trẳnh trản l sỡ cĐp náu v ch¿ n¸u u ≡ v n¸u u 6≡ 0, tẵch phƠn vá phÊi l khổng sỡ cĐp nhọ nhĐt theo nghắa ối vợi bĐt ký hm hỳu t v v ρ thäa m¢n Z g(x) f (x)e Z dx = v(x)eg(x) dx + ρ(x)eg(x) , vỵi deg v ≥ deg u 2.2.3 C¡c v½ dư V½ dư 2.2.10 ([6]) T¼m rót gån Hardy cõa Z f (x)e vợi bĐt ký a thực f v a C \ {0} ax2 dx 34 Líi gi£i Ta câ g(x) = ax2 v P = span{1} + span{ax, ax2 + 1, ax3 + 2x, } N¸u deg f (x) = n, ta cõ th tẳm ữủc f (x) = A0 + A0 , A1 , , An ∈ C n−1 X cho Aj+1 (axj+1 + jxj−1 ) j=0 Do â, ta câ Z f (x)e ax2 Z dx = A0 e ax2 dx + n−1 X Z Aj+1 (axj+1 + jxj−1 )e ax2 dx j=0 Z = A0 e ax2 dx + n−1 X Aj+1 xj e ax2 j=0 C¡c a thùc u(x) = A0 v P (x) = n−1 X Aj+1 xj câ thº x¡c ành c¡c h» sè A0 , A1 , , An j=0 theo a thực f cho trữợc, hỡn nỳa tẵch phƠn trĂi l sỡ cĐp náu v ch náu v giĂ tr cừa nõ l Vẵ dư 2.2.11 ([6]) P (x)e ax2 T¼m rót gån Hardy cõa Z (10x4 − 3x1 )ex dx Tẵch phƠn ny cõ sỡ cĐp khổng? Lới giÊi Ta câ g(x) = x5 , f (x) = 10x4 − 3x + 1, Eg = span{βj (x) = 5xj+4 + jxj−1 : j = 0, 1, 2, }, Ng = span{1, x, x2 , x3 } Do â, V¼ f (x) = − 3x + 2β0 (x), rót gån Hardy ta ÷đc Z Z 5 x5 (10x − 3x + 1)e dx = (1 − 3x)ex dx + 2ex u(x) = − 3x khĂc a thực nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp A0 = 35 Vẵ dử 2.2.12 ([6]) T¼m rót gån Hardy cõa Z +x (x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1)ex dx Tẵch phƠn ny cõ sỡ cĐp khổng? Lới gi£i Ta câ f (x) = x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1, Ng = span{1, x}, g(x) = x3 + x, Eg = span{βj (x) = 3xj+2 + xj + jxj−1 : j = 0, 1, 2, }, Z βj (x)ex +x dx = xj ex f (x) = +x + c, 1 1 + x − β0 (x) + β1 (x) + β2 (x) + β3 (x) 9 9 3 Do â, ta ữủc Z f (x)e Vẳ u(x) = g(x) Z dx = + x 9 V½ dư 2.2.13 2 x3 +x x3 +x + x e dx + − + x + x + x e 9 9 3 kh¡c a thùc ([6]) nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp T¼m rót gån Hardy cõa Z x3 dx e (x2 1)2 Tẵch phƠn ny cõ sỡ cĐp khỉng? Líi gi£i Ta câ g(x) = f (x) = °t F = {−1, 1}, x3 , (x2 1 1 = + − + 2 − 1) x + (x + 1) x − (x − 1)2 â Q(F) = span{1, xj , 1 : j = 1, 2, }, , (x + 1)j (x − 1)j Eg (F) = span{α±1j (x), x2 , βj (x) : j = 1, 2, } 36 vỵi α±1j (x) = x2 j − , j (x ± 1) (x ± 1)j+1 βj (x) = xj+2 + jxj−1 , 1 , , 1, x , Ng (F) = span x + x1 f (x) = 2x + − α−11 (x) − α11 (x) x+1 Theo (2.2.5), Z g(x) f (x)e V¼ u(x) = 2x + V½ dư 2.2.14 x+1 ([6]) Z dx = 6≡ 2x + x+1 x3 e dx − 1 + x−1 x+1 x3 e3 nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp Tẳm rót gån Hardy cõa 2x6 − 3x5 − 5x4 + x3 + 3x2 + 12x − exp x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + Z x4 + x3 − x2 − x + x2 − ! dx Tẵch phƠn trản cõ sỡ cĐp khổng? Líi gi£i Ta câ 1 x4 + x3 − x2 − x + = − + x2 + x x −1 x−1 x+1 2x6 − 3x5 − 5x4 + x3 + 3x2 + 12x − f (x) = x4 − 6x3 + 13x2 − 12x + 38 = + + − + 2x2 + 9x + 23 2 x − (x − 1) x − (x − 2) g(x) = °t F = {1, 2} 1 j Qg (F) = span 1, x , , , , λ = 1, 2, j = 1, 2, , (x − λ)j x + (x + 1)2 1 Ng0 = , , , x − (x − 1)2 x + 1 1 Ng (F) = span 1, x, , , , x − x − (x − 1)2 x + Eg (F) = span αλj (x), g (x), βj (x); λ = 1, 2, j = 1, 2, 37 Theo (2.2.4) αλj (x) = − 4x λ)j (x2 1)2 + 2x + j − , j (x − λ) (x − λ)j+1 (x − − 1 g (x) = − + + 2x + 1, (x − 1)2 (x + 1)2 4xj+1 βj (x) = − + 2xj+1 + xj + jxj−1 , (x − 1) 1 + 4g (x) + β1 (x) + 9α21 (x) f (x) = + (x − 1) x−2 vỵi 1 1 − + 2x2 + x + − + (x − 1)2 x − (x + 1)2 x + 1 37 1 1 α21 (x) = − + + + − − 2 (x − 2) 9(x − 2) (x − 1) x − 3(x + 1) 9(x + 1) β1 (x) = − Tø (2.2.5), suy Z f (x)e V¼ u(x) = g(x) 1 + + 4g (x) + β1 (x) + 9α21 (x) eg(x) dx dx = (x − 1)2 x − Z 1 g(x) + = e dx + + x + eg(x) (x − 1)2 x − x−2 Z 1 + ∈ Ng (F) \ {0} (x 1) x2 nản tẵch phƠn  cho khổng sỡ cĐp 38 Chữỡng MậT Sẩ P DệNG Trong Chữỡng ny, chúng tổi sỷ dửng mởt số kát quÊ cừa Chữỡng nghiản cựu mởt số iÃu kiằn cừa a thực P cho cĂc tẵch phƠn R k P (x)eax dx l c§p C¡c i·u ki»n cõ th Ôt ữủc l cĂc hằ phữỡng trẳnh xĂc ành c¡c h» sè cõa a thùc tỉi bt ¦u bơng cĂc trữớng hủp ỡn giÊn cừa k nhữ k=2 hoc P Chúng k = 3.1 Mởt số dÔng tẵch phƠn Liouville c biằt Vẵ dử 3.1.1 vợi r = 0, ([6]) th¼ R Cho P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 P (x)eax dx v a ∈ C \ {0} Náu n = 2l + r, sỡ cĐp n¸u v ch¿ n¸u j l X (2j − 1)!!a2j = − 2a j=0 Chùng minh Ta ch xt trữớng hủp n = 2l Theo nh lỵ 2.2.3 , (3.1.1) R n¸u v ch¿ n¸u 2l X 2l−1 X j j−1 aj x = Aj+1 x + x 2a j=0 j=0 2l − 2l 2l−1 = A2l x + A2l−1 x + A2l−2 + A2l x2l−2 + 2a A2 + · · · + A2 + A4 x + A1 + A3 x + 2a 2a j j+1 i·u n y câ ngh¾a l 2l − A2l = a2l−2 , , 2a A2 A2 + A4 = a2 , A1 + A3 = a1 , = a0 2a 2a A2l = a2l ; A2l−1 = a2l−1 , A2l−2 + P (x)eax dx c§p 39 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh tữỡng ữỡng vợi (3.1.1) Nhên x²t 3.1.2 ([6]) V½ dư 3.1.1 l mð rëng cĂc kát quÊ [8] Cử th [8]  chùng minh r¬ng R P (x)e−x dx l cĐp náu v ch náu iÃu kiằn trỹc giao Z +∞ P (x)e−x dx = −∞ x£y Thêt vêy, vợi mồi j = 0, 1, 2, th¼ √ Z +∞ π(2j − 1)!! 2j −x2 x e dx = 2j −∞ v Z +∞ x2j+1 e−x dx = −∞ Do â, n P (x) = an x + · · · + a1 x + a0 R trỹc giao trản tữỡng ữỡng vợi khng nh vợi 2j P (x)ex dx l X (2j − 1)!! j=0 n = 2l + r, r ∈ {0, 1} th¼ i·u ki»n l cĐp náu v ch náu a2j = Vẵ dử 3.1.3 vợi r = 1, ([6]) thẳ R Cho P (x)e P (x) = an xn + · · · + a1 x + a0 ax3 dx v a ∈ C \ {0} N¸u n = 3l + r, sỡ cĐp náu v ch náu j l X − (3j − 2)!!!a3j = 3a j=0 v N¸u j l X − (3j − 1)!!!a3j+1 = 3a j=0 n = 3l,th¼ R P (x)eax dx sỡ cĐp náu v ch náu j l X − (3j − 2)!!!a3j = 3a j=0 v j l−1 X − (3j − 1)!!!a3j+1 = 3a j=0 (3.1.2) 40 Chùng minh Ta ch¿ x²t ch¿ n¸u n = 3l + 3l+2 X j aj x = j=0 ỗng nhĐt hằ số cừa x j Theo nh lỵ 2.2.3, 3l+2 X Aj j=2 P (x)eax dx c§p n¸u v j − j−3 x x + 3a j , ta ÷đc A3l+2 = a3l+2 , A3l+1 = a3l+1 , A3l = a3l , A3l−1 + A2 + R 3l A3l+2 = a3l−1 , , 3a A5 A3 = a2 , A4 = a1 , = a0 a 3a 3a H» phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ny tữỡng ữỡng (3.1.2) Mằnh à 3.1.4 ([6]) Cho k l mởt số nguyản dữỡng, P (x)Z= a x n vỵi a ∈ C \ {0} Náu n = kl + r, vợi r thẳ tẵch phƠn n + à à · + a1 x + a0 k P (x)eax dx sỡ cĐp náu v ch náu cĂc hằ số cừa P thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh bêc k − sau j l X −1 j=0 ka j l−1 X −1 j=0 ka (j − 1)k + i + !k aki+j = 0, i = 0, 1, , {r, k − 2} (j − 1)k + i + !k akj+i = 0, i = {r, k − 2} + 1, , k − Z Vẵ dử 3.1.5 ([6]) Cho ch náu P ∈ P v P l mët a thùc n¸u n X j aj x = j=0 xj , n X j=1 R a P (x)e x dx (3.1.3) l mët a thùc th¼ n x − a2 , x2 − a3 x, , xj ỗng nhĐt h» sè cõa k>0 n X aj aj = (j + 1)! j=0 Theo nh lỵ 2.2.4 , náu span vỵi P (x) = an xn +· · ·+a1 x+a0 v a C\{0} Khi õ, sỡ cĐp náu v ch¿ n¸u Chùng minh a P (x)e xk dx BƠy giớ ta xt cĂc tẵch phƠn dÔng R a P (x)e x dx sỡ cĐp náu v o a xj−1 , i·u n y x£y n¸u v ch¿ j+1 Aj xj − a j−1 x j+1 ta ÷đc a An = an−1 , , n+1 a a aA1 A2 − A3 = a2 , A1 − A2 = a1 , − = a0 An = an , An1 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ny tữỡng ữỡng vợi (3.1.3) 41 Vẵ dử 3.1.6 R ([6]) Cho P (x)an xn + · · · + a1 x + a0 v a ∈ C \ {0} Náu n = 2l + thẳ a P (x)e x2 dx sỡ cĐp náu v ch náu l X j=0 Náu n = 2l, thẳ R v l X j=0 (2a)j a2j+1 = (2j + 2)!! (3.1.4) a P (x)e x2 dx l X j=0 Chùng minh (2a)j a2j = (2j + 1)!! sỡ cĐp náu v ch¿ n¸u (2a)j a2j = (2j + 1)!! Theo nh lỵ 2.2.4, náu v l1 X j=0 (2a)j a2j+1 = (2j + 2)!! P (x) l mët a thực thẳ R a P (x)e x2 dx náu v ch¿ n¸u Gi£ sû 2a 2a j−2 j P ∈ span x − , , x − x , j+1 2l+1 2l+1 X X 2a j−2 j j x n = 2l + v aj x = Aj x ỗng j + j=0 j=2 nhĐt hằ số vợi xj , ta ữủc 2a A2l+1 = a2l−1 , , 2l + 2a 2a 2a A2 − A4 = a2 , − A3 = a1 , − A3 = a0 A2l+1 = a2l+1 , A2l = a2l , A2l1 Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ny tữỡng ữỡng vợi (3.1.4) Chựng minh tữỡng tỹ vợi n = 2l M»nh · 3.1.7 ([6]) Cho k l mët sè nguyản dữỡng, P (x)Z = a x n vợi a ∈ C \ {0} N¸u n = kl + r, vợi r thẳ tẵch phƠn n + · · · + a1 x + a0 k P (x)ea/x dx sỡ cĐp náu v ch náu cĂc hằ số cừa P thọa mÂn hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh bêc k sau l X j=0 l1 X j=0 Vẵ dử 3.1.8 thực bêc (ka)j akj+i = 0, (kj + i + 1)!(k) i = 0, 1, , r; (ka)j akj+i = 0, (kj + i + 1)!(k) i = r + 1, , k − Cho l ≤n−1 R ([6]) thẳ a 6= v c l hơng số Náu n l số nguyản dữỡng v P l a P (x) ax e dx sỡ cĐp náu v ch náu (x−c)n n X n j (n−j) j aP (c) = j j=n−l (3.1.5) 42 Chùng minh Ta câ Z a0 a1 ak + n−1 + · · · + n−l n x x x c§p n¸u v ch¿ n¸u eax dx (3.1.6) n X aj an−j =0 (j − 1)! j=n−l (3.1.7) Theo ành lỵ 2.2.4, ta thĐy (3.1.6) sỡ cĐp náu v ch n¸u a0 a1 al + n−1 + · · · + n−l n x x x n−2 n−l n−1 a a a =A1 − n−1 + A2 − n−2 + · · · + Al − xn x xn−1 x xn−l+1 xn−l (n − 1)A1 (n − 2)A2 − aA1 (n − l)A1 − aAl−1 aA1 = + + ··· + − n−l n n−1 n−l+1 x x x x vỵi A1 , A2 , , An1 l cĂc hơng số ỗng nhĐt hằ số ta ữủc (n 1)A1 = a0 , (n − 2)A2 − aA1 = a1 , , (n − l)Al − aAl−1 = al−1 , aAl = al Hằ phữỡng trẳnh tuyán tẵnh ny tữỡng ữỡng vợi (3.1.7) Khai trin Taylor cừa Z P xung quanh P (x) ax e dx = eax n (x − c) Do â, thay aj = Z x=c v °t u=x−c ta ÷đc P (c) P (c) P ( l)(c) + + ··· + un 1!un−1 l!un−1 ! eau du P (j) (c) (3.1.7), ta ữủc (3.1.5) j! 3.2 CĂc tẵch phƠn Kiu Liouville Trong mửc ny, chúng tổi nghiản cựu cĂc vĐn à và tẵch phƠn Kiu Liouville CĂc tẵch phƠn ny cõ dÔng Z Z F (x) log G(x)dx, â c¡c h m F, G Z F (x) arctan G(x)dx l ph¥n thùc vợi G v F (x) tanh1 G(x)dx khĂc hơng Sỷ döng c¡c ¯ng thùc v + ix arctan x = log 2i 1 − ix 1+x tanh−1 x = log 1−x 43 th¼ ta ch cƯn nghiản cựu tẵch phƠn Ưu tiản Khổng mĐt t½nh têng qu¡t, ta gi£ sû G(x) = a(x − α1 ) (x − αn ) (x − β1 ) (x − βm ) Khi õ, bơng cĂch sỷ dửng tẵnh chĐt cừa h m sè logarit ta câ thº x¡c ành ÷đc h m f cho Z Z F (x) log G(x)dx = f (x) log xdx â ta câ thº sû dửng tiảu chuân tẵch phƠn Liouville - Hardy nghiản cựu và tẵnh chĐt sỡ cĐp cừa tẵch phƠn ny Z Vẳ P (x) log xdx l sỡ cĐp vợi måi a thùc h m ph¥n thùc thüc sü thùc thüc sỹ náu nh lỵ 3.2.1 f ([6]) Qp vợi hằ số trản C P nản ta cƯn xem x²t khỉng gian c¡c Ð ¥y, mët h m sè f ữủc gồi l phƠn hoc bêc tỷ thực nhọ hỡn bêc mău thực Z f (x) log xdx l h m c§p v °t ε = f ∈ Qp : : λ ∈ C \ {0} N = span x−λ 1 Khi â ε = span , , λ ∈ C, j = 2, 3, v Q = N ⊕ ε x x−λ 1 Chùng minh Chú ỵ rơng Q = N span , ,λ ∈ C x x−λ Z log x dx = (log x)2 + c v måi λ ∈ C, j 2, j N nản Vẳ x Z Z log x dx log x j dx = j−1 − j−1 (x − λ) x (1 − λ) (j − 1) (x − λ)j−1 Z Do õ, ta ch cƯn chựng minh rơng u(x) log xdx khổng sỡ cĐp vợi u N \ {0} Z Pn βl °t u(x) = ∈ N \ {0} v u(x) log xdx l c§p Khi â, theo tiảu l=1 x l chuân tẵch phƠn Liouville - Hardy, tỗn tÔi hm phƠn thực g v hơng sè c cho c u(x) = g (x) + iÃu ny vổ lỵ Thêt vêy, náu k 6= thẳ u cõ cỹc ỡn tÔi x = k x Vẳ k 6= nản m v hm phƠn thực r liản tửc tÔi x = λk cho r(λk ) 6= v r(x) g(x) = Suy (x − λk )m g (x) = r0 (x)(x − λk )m − m(x − λk )m−1 r(x) (x − λk )2m 44 Do â (x − λk )m g (x) = r0 (x) − mr(x) x − λk Hay c mr(x) (x − λk )m (u(x) − ) = r0 (x) − x x − λk i·u n y l vổ lỵ vẳ vá phÊi khổng liản tửc tÔi Hằ quÊ 3.2.2 x = k CĂc tẵch phƠn Kiºu Liouville tr¶n câ rót gån Hardy Z l têng cừa ([6]) cĂc hm số sỡ cĐp vợi hỳu hÔn cĂc tẵch phƠn khổng sỡ cĐp cõ dÔng log x dx, vợi x C \ {0} Vẵ dư 3.2.3 Líi gi£i ([6]) Z T¼m rót gån Hardy cõa 3x2 − 5x + log xdx x(x 2)2 Ta cõ phƠn tẵch sau 2 3x2 − 5x + = + + x(x − 2) x x − (x − 2)2 vỵi 1 ∈ N, , ∈ ε x−2 x (x − 2)2 Do â Z V¼ 3x2 − 5x + log xdx = x(x − 2)2 ∈ N \ {0} x−2 Z Z log x log x log x dx + dx + dx x−2 (x − 2) x Z log x log x =2 dx + log − + (log x)2 −3 x−2 x x−2 Z n¶n Z log x dx x−2 l khỉng sỡ cĐp 45 KT LUN Luên vôn  Ôt ữủc cĂc mửc tiảu à l nghiản cựu cƠu trÊ lới cho cƠu họi nảu trản ối vợi lợp tẵch phƠn Liouville õ l lợp cĂc tẵch phƠn cừa hm số cõ dÔng R f (x)eg(x) dx õ f, g l c¡c h m sè húu t, g khæng l hm hơng Cử th Luên vôn  trẳnh by chi ti¸t mët sè k¸t qu£ sau H» thèng mởt số kián thực cỡ bÊn và vnh v trữớng vi phƠn Tẳm hiu nh lỵ Liouville tờng quĂt trản mởt trữớng vi phƠn v mởt số hằ quÊ c biằt cừa nõ ối vợi cĂc hm số sỡ cĐp Nghiản cựu ữa ữủc mởt thuêt toĂn rút gồn Hardy xĂc nh liằu cĂc tẵch phƠn  cho câ ph£i l h m c§p hay khỉng, v  khng nh thẳ liằu cõ th tẵnh ữủc giĂ tr chẵnh xĂc hay khổng Nghiản cựu mởt sè i·u ki»n cõa a thùc P cho c¡c tẵch phƠn R k P (x)eax dx l sỡ cĐp CĂc iÃu kiằn Ôt ữủc l cĂc hằ phữỡng trẳnh x¡c ành c¡c h» sè cõa a thùc P 46 TI LIU THAM KHO [1] J Baddoura, arithms, Integration in finite terms with elementary functions and dilog- J Symbolic Comput., 41 (2006), 909-942 [2] M Bronstein, The transcendental Risch differential equation, J Symbolic Comput., (1990), 49-60 [3] M Bronstein, Integration of elementary functions, J Symbolic Comput., (1990), 117-173 [4] M Bronstein, Symbolic Integration I: Transcendental Functions Second edi- tion With a foreword by B F Caviness Vol Algorithms and Computation in Mathematics, Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 2005 [5] T Crespo, Z Hajto, Algebraic groups and diffrential Galois Theorey, Grad- uate Studies in Mathematics, Vol 122, American Mathematical Society, (2011) [6] J Cruz-Sampedro, M Tetlalmatzi-Montiel, Hardy's Reduction for a Class of Liouville Integrals of Elementary Functions, The American Mathematical Monthly, Vol 123, No (May 2016), pp 448-470 [7] J H Davenport,The Risch differential equation problem, SIAM J Comput., 15 (1986), 903-918 [8] P Diaconis, S Zabell, Closed form summation for classical distributions: variations on a theme of de Moivre, Statist Sci., (1991), 28content 4-302 47 [9] G H Hardy, The Integration of Functions of a Single Variable Cambridge Tracts in Mathematics and Mathematical Physics, Cambridge Univ Press, Warehause, England, (1905) [10] J Liouville, dantes, M²moire sur l½ntegration dóne classe de fonctions transcen- J Reine Angew Math., 13 (1835), 93-118 [11] E A Marchisotto, G.-A Zakeri, An invitation to integration in finite terms, Coll Math J., 25 (1994), 295-308 [12] D G Mead, Classroom notes: Integration, Amer Math Monthly, 68 (1961), 152-156 [13] R H Risch, The problem of integration in finite terms, Trans Amer Math Soc., 139 (1969), 167-189 [14] M Rosenlicht, Integration in finite terms, Amer Math Monthly, 79 (1972), 963-972 [15] G F Simmons, Calculus with Analytic Geometry, McGraw Hill, New York, (1985) [16] M F Singer, B D Saunders, B F Caviness, An extension of Liouville's theorem on integration in finite terms, SIAM J Comput., 14 (1985), 966-990 [17] P L Tchebychef, Int²gration des Diff²rentielles Irrationnelles, Oeuvres de P L Tchebychef, Imprimeriede lcad²mie Imp²riale des Sciences, St P²tersbourg (1899) 147-168
Ngày đăng: 29/06/2023, 16:57
Xem thêm:
