Một số dạng toán về dãy số sinh bởi các hàm số sơ cấp

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHÙNG THỊ THU HÀ MỘT SỐ DẠNG TOÁN VỀ DÃY SỐ SINH BỞI CÁC HÀM SỐ SƠ CẤP LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2016 i Mục lục Mở đầu 1 Một số kiến thức bổ trợ dãy số 1.1 Dãy số, định nghĩa tính chất 1.2 Giới hạn dãy số 1.3 Một vài dãy số đặc biệt 3 Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm lượng giác siêu việt 10 10 16 22 24 28 28 35 37 42 Các dạng toán khác liên quan đến dãy số 4.1 Một số dạng toán liên quan đến tính chất dãy số 4.2 Một số dạng toán khác 46 46 57 Kết luận 62 Tài liệu tham khảo 63 Một số phương pháp xác định giới hạn dãy số 3.1 Sử dụng tính đơn điệu bị chặn để tính giới hạn 3.2 Sử dụng nguyên lý kẹp để tính giới hạn dãy số 3.3 Sử dụng định lý Lagrange để tính giới hạn dãy số 3.4 Xác định giới hạn dãy tổng dãy số Mở đầu Dãy số phần quan trọng chương trình Tốn phổ thơng ngành đại số giải tích tốn học Dãy số có vị trí đặc biệt quan trọng tốn học, khơng đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn Trong chương trình, sách giáo khoa trung học phổ thơng, nội dung đề cập đến dãy số Vì học sinh gặp nhiều khó khăn việc giải toán liên quan đến dãy số tham gia thi học sinh giỏi cấp Trong kỳ thi học sinh giỏi Toán cấp tỉnh, cấp quốc gia, thi Olympic Toán quốc tế, thi Olympic sinh viên trường đại học cao đẳng, toán dãy số đề cập nhiều thường thuộc loại khó Các tốn ước lượng; xác định dãy số tính giá trị tổng, tích; toán cực trị, xác định giới hạn dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số tốn liên quan Luận văn gồm có mở đầu, bốn chương nội dung, kết luận tài liệu tham khảo Chương Một số kiến thức bổ trợ dãy số Chương trình bày kiến thức liên quan đến dãy số Chương Một số phương pháp giải toán xác định dãy số Chương trình bày tốn liên quan đến xác đỤ 2n2 + < với n = 1, 2, Từ suy ≤ an < ln < n2 + n + [an ] = Với kết này, ta có {an } = an lim {an } = lim an = lim ln n→+∞ n→+∞ n→+∞ 2n2 + = ln n2 + n + 1 với n ≥ n0 1992 Bây giờ, có vơ hạn số n để {an } < , ta chọn n1 > n0 số Do đó, tồn n0 ∈ N∗ để {an } = ln − Khi đó, theo lý luận trên, ta có 1 > {an1 } > ln − , 1992 hay 1 > ln − 1992 2 Mâu thuẫn chứng tỏ có hữu hạn số n cho {an } < b) Dễ thấy dãy (bn ) tăng lim bn = +∞ Ngồi ra, ta có n→+∞ lim (bn − bn−1 ) = lim ln n→+∞ n→+∞ (2n2 + 1)(n2 + n + 1) = (2n2 − 4n + 3)(n2 − n + 1) Khi đó, ta thấy tồn 2016 lim (bn − bn−1 ) = nên tồn Trở lại toán, giả sử tồn hữu hạn n để {bn } < n0 ∈ N∗ để {bn } ≥ với n ≥ n0 Do 2016 n→+∞ n1 ∈ N∗ đủ lớn để bn − bn−1 < 2016 với n ≥ n1 Vì dãy (bn ) tăng dần tới vô hạn nên tồn vô số số n > max{n0 , n1 } để [bn ] − [bn−1 ] = Xét số n thế, từ bất đẳng thức trên, ta suy [bn ] − [bn−1 ] + {bn } − {bn−1 } < hay {bn−1 } > {bn } + 2015 2016 , 2016 59 2015 nên {bn−1 } > Mâu thuẫn chứng tỏ tồn vô hạn số n 2016 cho {bn } < 2016 Do {bn } ≥ Bài toán 4.14 (TST Việt Nam 2011) Cho dãy số (un ) xác định sau:   u0 = 1, u1 = (4.15) u2  un+2 = + n+1 , n ≥ un Chứng minh un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n (Ở đây, ta kí hiệu [un ] số nguyên lớn không vượt un ) Bài giải Ta thử dự đốn (un ) dãy tuyến tính dạng un+2 = pun+1 + qun + r với n ≥ Theo cơng thức truy hồi ta tính u2 = 10, u3 = 34, u4 = 116 Từ un+2 = pun+1 + qun + r ta có hệ    3p + q + r = 10   ⇔ 10p + 3q + r = 34    34p + 10q + r = 116    p=4   q = −2    r = Do un+2 = 4un+1 − 2un , ∀n ≥ (1) Ta chứng minh dãy (un ) thỏa mãn công thức truy hồi (1) hai cách Cách Ta chứng minh quy nạp công thức truy hồi (1) Từ đẳng thức un+2 = + u2n+1 , quy nạp ta suy un+1 > 2un , ∀n ≥ nên un un > 2un−1 > · · · > 2n u0 = 2n , ∀n ≥ Dễ thấy (1) với n = Giả sử (1) đến n = k ≥ tức uk+2 = 4uk+1 − 2un ⇒ uk+1 + 2uk−1 uk+2 + 2uk = uk+1 uk ⇒ uk+2 uk − u2k+1 = 2(uk+1 uk−1 − u2k ) = · · · = 2k Ta có uk+2 uk − u2k+1 = 2(uk+1 uk−1 − u2k ) ⇒ ⇒ 2u2k uk+2 uk − uk+1 = 2uk−1 − uk+1 uk+1 4u2k uk+2 2uk − 2uk+1 = 4uk−1 − uk+1 uk+1 (2) 60 ⇒ 4u2k uk+2 (4uk+1 − uk+2 ) − 2uk+1 = 4uk−1 − uk+1 uk+1 ⇒ 4uk+2 − 2uk+1 u2k+2 u2k+2 4(uk+1 uk−1 − u2k ) 4u2k = + 4uk−1 − = + uk+1 uk+1 uk+1 uk+1 2 k−1 k+1 u u 4.2 = k+2 + = k+2 + uk+1 uk+1 uk+1 uk+1 Kết hợp với (2) ta được: u2k+2 u2 < 4uk+2 − 2uk+1 < k+2 + uk+1 uk+1 ⇒ 4uk+2 − 2uk+1 u2k+2 u2k+2 = + = uk+3 +1 = uk+1 uk+1 Do (1) với n = k + Vậy đẳng thức (1) với n ≥ Từ (1) suy un+2 = 4un+1 − 2un ⇒ un+2 + 2un un+1 + 2un−1 = ⇒ un+2 un − u2n+1 = 2(un+1 un−1 − u2n ) = · · · = 2n un+1 un hay un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n Cách Ta xây dựng dãy (xn ) thỏa mãn x0 = 1, x1 = xn+2 = 4xn+1 − 2xn , ∀n ≥ Từ cách xây dựng dãy (xn ) ta được: xn+1 + 2xn−1 xn+2 + 2xn = ⇒ xn+2 xn + 2x2n = x2n+1 + 2xn+1 xn−1 xn+1 xn ⇒ xn+2 xn − x2n+1 = 2(xn+1 xn−1 − x2n ) = · · · = 2n (x2 x0 − x21 ) = 2n ⇒ xn+2 = x2n+1 2n + xn xn Bằng quy nạp dễ thấy dãy (xn ) dãy tăng xn = 4xn−1 − 2xn−2 > 2xn−1 > 22 xn−2 > · · · > 2n x1 = 2n Suy x2 x2 x2n+1 2n < xn+2 = n+1 + < n+1 + xn xn xn xn ⇒ xn+2 x2n+1 x2n+1 = +1 =1+ , ∀n ≥ xn xn Vậy dãy (xn ) dãy thỏa mãn x0 = 1, x1 = xn+2 = + Do ta un = xn , ∀n ≥ Vậy un+2 un − u2n+1 = 2n với số tự nhiên n x2n+1 , ∀n ≥ xn 61 Bài toán 4.15 Cho dãy số (un ) xác định sau:  u0 = 0, u1 =  un+2 − 3un+1 + un = (−1)n+1 , ∀n ≥ (4.16) Chứng minh với số tự nhiên n, un số phương Bài giải Ta có u2 = 1; u3 = 4; u4 = 9; u5 = 25 Do u0 = F02 ; u1 = F12 ; u2 = F22 ; u3 = F32 ; u4 = F42 ; u5 = F52 , (Fn ) dãy Fibonacci Từ ta có định hướng chứng minh un = Fn2 quy nạp theo n Giả sử uk = Fk2 với k ≤ n Như 2 un = Fn2 ; un−1 = Fn−1 ; un−2 = Fn−2 Từ giả thiết ta có un+1 − 3un + un−1 = 2.(−1)n un − 3un−1 + un−2 = 2.(−1)n−1 Cộng hai đẳng thức ta un+1 − 2un − 2un−1 + un−2 = 0, n ≥ Từ suy 2 un+1 = 2Fn2 + 2Fn−1 − Fn−2 = (Fn + Fn−1 )2 + (Fn − Fn−1 )2 − Fn−2 2 2 = Fn+1 + Fn−2 − Fn−2 = Fn+1 Vậy un = Fn2 , ∀n ≥ (điều phải chứng minh) 62 Kết luận Luận văn ”Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp” trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số tính chất dãy số dạng tốn liên quan Trình bày dạng toán xác định dãy số sinh hàm hữu tỷ (đa thức, phân thức hữu tỷ), hàm vô tỷ, hàm lượng giác hàm siêu việt Trình bày số phương pháp tính giới hạn dãy số Trình bày đề toán thi học sinh giỏi nước, Olympic khu vực quốc tế liên quan đến dãy số Tài liệu tham khảo [A] Tiếng Việt [1] Nguyễn Tài Chung (2013), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB ĐHQG Hà Nội [2] Phan Huy Khải (2009), Chuyên đề số học dãy số, NXB Giáo dục [3] Nguyễn Văn Mậu (2006), Một số toán chọn lọc dãy số, NXB Giáo dục [4] Nguyễn Văn Mậu, Lê Ngọc Lăng, Phạm Thế Long, Nguyễn Minh Tuấn (2006), Các đề thi Olympic Sinh viên toàn quốc, NXB Giáo dục [5] Nguyễn Văn Mậu (Chủ biên), Trần Nam Dũng, Nguyễn Minh Tuấn (2007), Chuyên đề chọn lọc dãy số áp dụng, NXB Giáo dục [6] Nguyễn Văn Mậu, Nguyễn Thủy Thanh (2003), Giới hạn dãy số hàm số, NXB Giáo dục [7] Lê Đình Thịnh (Chủ biên), Đặng Đình Châu, Lê Đình Định, Phan Văn Hạp (2001), Phương trình sai phân số ứng dụng, NXB Giáo dục [B] Tiếng Anh [8] Radulescu.T-L.T, Radulescu.V.D, Andreescu.T (2009), Problems in Real Analysis: Advanced Calculus on the Real Axis, Springer Sciences+Business Media [9] Paulo Ney de Sausa, Jorge- Nume Silva (1998), Berkeley Problems in Mathematics, Springer ... Luận văn ? ?Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp? ?? trình bày vấn đề sau: Luận văn trình bày chi tiết số tính chất dãy số dạng toán liên quan Trình bày dạng tốn xác định dãy số sinh hàm hữu tỷ... dãy hay tính chất dãy số thường liên quan đến đặc trưng dãy tương ứng Luận văn Một số dạng toán dãy số sinh hàm số sơ cấp nhằm nêu số phương pháp xác định dãy số, giới hạn dãy số toán liên quan... Một số phương pháp giải toán xác định dãy số 2.1 Dãy số sinh hàm đa thức 2.2 Dãy số sinh hàm phân thức hữu tỷ 2.3 Dãy số sinh hàm chứa thức 2.4 Dãy số sinh hàm