1152 một số tổng quát hóa của định lý routh steiner luận văn tốt nghiệp

BỘGIÁODỤCVÀĐÀOTẠO TRƯỜNGĐ Ạ I H Ọ C Q U Y N H Ơ N TRẦND Ư Ơ N G Q U Ố C M Ẫ N MỘTSỐTỔNGQUÁTHÓACỦAĐỊNHL ÝROUTH-STEINER LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C BìnhĐ ị n h - N ă m 2 TRẦND Ư Ơ N G Q U Ố C M Ẫ N MỘTSỐTỔNGQUÁTHÓACỦAĐỊNHL ÝROUTH-STEINER Chuyênngành:Phươngpháptoánsơcấp Mãs ố : LUẬNV Ă N T H Ạ C S Ĩ T O Á N H Ọ C Ngườihướng dẫ n: PG S T S T H Á I T H U Ầ N Q U A N G BìnhĐ ị n h - 2 Mụcl ụ c Danhmụccáckjhiệu Mởđ ầ u Chương1.ĐịnhljRouth-Steinercổđiển 1.1 ĐịnhlýRouth-Steinercổđiểnvàcáckếtquảliênquan 1.1.1 ĐịnhlýRouth-Steinercổđiển 1.1.2 Mộtsốcáchchứngminh 1.1.3 Mộtsốkếtquảliênquan 10 1.2 1.3 CácbiểudiễncủađịnhlýRouth-Steiner 13 1.2.1 HaibiểudiễncủađịnhlýRouth-Steiner .13 1.2.2 Hợpnhấtcácbiểudiễn 14 1.2.3 KếtnốivớitamgiácFreyman .18 MộtsốbàitậpchohọcsinhphổthôngliênquanđịnhlýRouth -Steiner 19 Chương2.T ổ n g quátđịnhljRouth-Steinertrongmặtphẳng 25 2.1 ĐịnhlýRouth-Steinerđốivớihìnhhoavăn 26 2.2 ĐịnhlýRouth-Steinerchohìnhbìnhhành 30 Chương3 ĐịnhljRouth-Steiner chotfídiện 34 3.1 ĐịnhlýRouth-Steinerchotứdiện 34 3.2 ĐịnhlýRouthchocácđơnhìnhvàcácđồngnhấtthứcđạisốcó liênquan 42 Kếtluận 47 Tàil i ệ u t h a mk h ả o 48 DANHMỤCCÁCKÝHIỆU SABC :D i ệ n tíchtamgiácABC Rn :Khơnggianvectơthựcnchiều MỞĐẦU ĐịnhlýcổđiểndướiđâytrongHìnhhọcsơcấpcótêngọilàĐịnhlýRouth-Steiner Địnhlj(Routh-Steiner).ChoABClàmộttamgiácbấtkỳcódiệntích1.Gọi K,L,Ml c c đ i ể m l ầ n l ợ t n ằ m t r ê n c c đ o n B C , AC,ABs a o c h o |BK|“ |AM| “x, y, | MB | |KC| |CL|“ z |LA| GọiPlà giaođiểmcủaAKvàCM,QlàgiaođiểmcủaBLvàAK,RlàgiaođiểmcủaC Mv BL.Khiđó DiệntíchcủatamgiácKLMb ằ n g 1`xyz ; p1` xqp1` yqp1` zq DiệntíchcủatamgiácPQRbằng p1´ xyzq2 p1`x`xyqp1`y`yzqp1` z` zxq Kết xuất phát từ Jacob Steiner [St] Nó xuất muộn dướidạng Bổ đề hỗ trợ [GPFG], sau viết Routh[Ro] ĐịnhlýnàyđưatađếnmộttrườnghợpđặcbiệtcủaĐịnhlýCevasau: Định lj(Routh-Steiner).Với ký hiệu Định lý Routh-Steiner, cácđườngt h ằ n g A K , BL,CMđ n g q u y n ế u v c h ỉ n ế u x y z “ Trongmộttamgiác,mộtđườngelipnộitiếplàmộtđườngeliptiếpxúcvới ba cạnh tam giác Ví dụ đơn giản đường tròn nội tiếp Cácđường nội tiếp quan trọng khác elip nội tiếp Steiner (Steiner inellipse) haycòn gọi elip nội tiếp trung điểm (midpoint inellipse, midpoint ellipse),tiếp xúc với cạnh tam giác điểm chúng; elip nội tiếpMandart tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp điểm chúng với cácđườngtrònbàngtiếp;vàelipnội tiếpBrocardtiếpxúcvớicáccạnhtamgiá ctạicácgiaođiểmcủachúngvớicácđườngđốitrungcủatamgiác.Ởđây,đườngđối trunglà đường thẳng đối xứng đường trung tuyến qua đường phân giáctươngứng Việc nghiên cứu khai thác sâu định lý Routh-Steiner thu hút nhiềusựquantâmcủacácnhàlàmtốn,củacácgiáoviêngiảngdạytốnởtrườngphổ thơng Các định lý Ceva, Menelaus có mối quan hệ gần gũi với định lý này.Cáccáchchứngminhkhácnhau, cácmởrộng,tổngqthóacủađịnhlýnàyln ln nguồn đề tài phong phú cho nhiều đối tượng giảng dạy học tập,cũngnhưcácchủđềtrongcáckỳthihọcsinhgiỏi Nhiều hướng nghiên cứu hướng định lý quan tâm naybaogồm:tổngqthóachotrườnghợpđagiác,hìnhbấtkỳtrongmặtphẳng;tổng qt hình học khơng gian cho khơng gian có số chiều hơn;biểudiễncủađịnhlýtronghìnhhọcaffine,hìnhhọcgiải tích, Luậnvănsẽtậptrunggiảiquyếtcácbàitốnsau: cao Tìmhiểumộtsốphátbiểu,cácphươngphápvàcơngcụchứngminhkhácnhauc ủaĐịnhlýRouth-Steinercổđiểntrongtamgiác; TổngqthóaĐịnhlýRouth-Steiner Ngồi phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thànhbachương Chương tìm hiểu số phát biểu, phương pháp công cụ chứngminhk h c n h a u c ủ a đ ị n h l ý R o u t h S t e i n e r c ổ đ i ể n t r o n g t a m g i c C c b i ể u diễnkhácnhaucủađịnhlýRouth-Steinerđốivớitam giác,từđókhaithácđưarahệthốngbàitậpcóliênquanchohọcsinhphổthơng Chương trình bày số tổng qt hóa định lý Routh-Steiner tứgiácvàhìnhbấtkỳtrongmặtphẳng Chương tập trung nghiên cứu tổng quát hóa định lý Routh-Steiner đối vớitứdiện Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS.Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn NhândịpnàytơixinbàytỏsựkínhtrọngvàlịngbiếtơnsâusắcđếnThầyđãgiúp đỡtơitrongsuốtqtrìnhhọctậpvàthựchiệnluậnvăn Tơi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn,Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, quý thầy cô giáogiảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khoá 23 giảng dạy trongsuốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thựchiệnđềtài Nhânđ â y t ô i c ũ n g x i n c h â n t h n h c ả m n s ự h ỗ t r ợ v ề m ặ t t i n h t h ầ n c ủ a giađình,bạnbèđãlntạomọiđiềukiệngiúpđỡđểtơihồnthànhtốtkhóahọcvàluậnvănnày Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân,nhưng điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiêncứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mongnhậnđượcnhữnggópýcủaqthầycơgiáođểluậnvănđượchồnthiệnhơn Tơixinchânthànhcảmơn TrầnDươngQuốcMẫn Chương1 ĐịnhljRouth-Steinercổđiển Chươngđầutậptrungtìmhiểumộtsốphátbiểu,cácphươngphápvàcơngcục hứngminhkhácnhaucủađịnhlýRouthS t e i n e r c ổ đ i ể n t r o n g t a m g i c CácbiểudiễnkhácnhaucủađịnhlýRouth-Steinerđốivớitamgiác,từ đókhaithácđưarahệthốngbàitậpcóliênquanchohọcsinhphổthơng 1.1 1.1.1 ĐịnhljRouth-Steinercổđiểnvàcáckếtquảliênquan ĐịnhljRouth-Steinercổđiển ĐịnhlýRouthnóivềtỉlệdiệntíchtamgiáctạobởibađườngthẳngCevian vàtamgiácbanđầu Địnhl j C h o t a mg i c AB C ,c c đ i ể m D , E,Fl ầ n l ợ t n ằ mt r ê n c c cạ nh BC,CA,AB.Đ ặ t C D B D “x,AECE “y,BF AF “z.Khiđótỉsốdiệntíchcủatam giáctạobởibađườngthẳngCevianAD,BE,CFb ằ n g diệntíchtamgiácABC nhânv i h ệ s ố pxyz´ 1q2 pxy`y`1qpyz` z`1qpzx`x`1q Chứngm i n h G i ả sửdiệntíchtamgiácABCl 1.ChotamgiácABCv đường