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M/M1 ♥➯♥ N ∩ M2 M2 ✳ (ii) ⇒ (iii) ❱ỵ✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ N M tỗ t ởt sỹ t➼❝❤ M = M1 ⊕ M2 s❛♦ ❝❤♦ M1 ⊂ N, N ∩ M2 M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝â sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ N = M1 ⊕ (N ∩ M2 )✳ ✣➦t N1 := M1, N2 := N ∩ M2 t❛ ❝â ✤✐➲✉ ❝➛♥ ❝❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (iii) ⇒ (i) ❱ỵ✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ N ❝õ❛ M ✱ N ✤÷đ❝ ❜✐➸✉ ❞✐➵♥ N = N1 ⊕ N2 ✈ỵ✐ N1 ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✈➔ N2 M ✳ ❳➨t ♣❤➨♣ ❝❤✐➳✉ ❝❤➼♥❤ t➢❝ p : M → M/N1 , p(x) = x + N1 ✈ỵ✐ ♠å✐ x ∈ M ✳ ❉➵ ❞➔♥❣ ❦✐➸♠ tr❛ ✤÷đ❝ p(N2 ) = p(N ) = N/N1 ✳ ❱➻ N2 M ♥➯♥ N/N1 M/N1 ✳ ❉♦ ✤â N ❝❤➦♥ tr➯♥ N1 ✳ ❱➟② M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐✱ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ⊕✲♣❤ư ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✮ ♥➳✉ ♠å✐ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ö ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ✤➲✉ ❝â ♠ët ♣❤➛♥ ♣❤ư ❧➔ ❤↕♥❣ tû trỹ t M ứ ỵ t ❝â ❍➺ q✉↔ s❛✉ ✤➙②✳ ❍➺ q✉↔ ✸✳✷✳✺✳ ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ M ❧➔ ⊕✲♣❤ö ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ ❞♦ ✤â ❧➔ ♣❤ö ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ✈➔ N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ỳ M ỵ M ❝â sü ♣❤➙♥ t➼❝❤ M = K ⊕ K ✈ỵ✐ K N ú ỵ M = N + K ✳ ❑❤✐ ✤â✱ K M ❧➔ 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❜✐➳t✱ tê♥❣ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ♥❤ä ❝õ❛ ♠æ✤✉♥ M ❣å✐ ❧➔ ❝➠♥ M ỵ Rad(M ) r ✤â tê♥❣ ❝õ❛ t➜t ❝↔ ❝→❝ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤ì♥ ❝õ❛ M M ỵ Soc(M ) ởt tỹ ỗ M ✈➔ K ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ♥❤ä ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ✤ì♥✮ ❝õ❛ M t❤➻ λ(N ) ❝ơ♥❣ ❧➔ ♥❤ä ✭t÷ì♥❣ ù♥❣✱ ❜➡♥❣ ✵ ❤♦➦❝ ❝ơ♥❣ ❧➔ ✤ì♥✮✳ ❇ð✐ ✈➟②✱ Rad(M ) ✈➔ Soc(M ) ❧➔ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝õ❛ M ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❞➝♥ ✤➳♥ ❍➺ q ữợ q q ❈❤♦ M ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝↔ M/ Rad(M ) ✈➔ M/ Soc(M ) ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✸✳✷✳✸ ❚ê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ▼ð ✤➛✉ ❧➔ ♠ët ✈➼ ❞ö ❦❤➥♥❣ ✤à♥❤ r➡♥❣ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❦❤æ♥❣ ♥❤➜t t❤✐➳t ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❱➼ ❞ö ✸✳✷✳✶✼ ✭❬✶✻❪✱ ❱➼ ❞ö ✸✳✶✮✳ ❳➨t ❝→❝ Z✲♠æ✤✉♥ Z✴✷Z❀ Z✴✽Z ✈➔ M = (Z/2Z) ⊕ (Z/8Z)✳ ❑❤✐ ✤â✱ ❝↔ ❤❛✐ Z✴✷Z ✈➔ Z✴✽Z ✤➲✉ ❧➔ ♠ỉ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✱ ♥❤÷♥❣ M t❤➻ ❦❤ỉ♥❣ ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✺✺ ❙❛✉ ✤➙② ❧➔ ♠ët ❦➳t q✉↔ ✤➛✉ t✐➯♥ ❝❤♦ ♠ët ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ✤õ ❦❤→ ♠↕♥❤ ✤➸ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ❤❛✐ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ụ ố ỳ ỵ ỵ M = M1 M2 ❧➔ ♠ët tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ ♥❤ú♥❣ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ M1 ✈➔ M2✳ ❑❤✐ ✤â✱ ♥➳✉ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✤➲✉ ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t❤➻ M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ ●✐↔ sû N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ N ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❉♦ ✤â✱ N = N ∩ M1 ⊕ N ∩ M2 ✈➔ M/N = [(N + M1 )/N ⊕ (N + M2 )/N ] ❙✉② r❛ M1 /(N ∩ M1 ) ∼ = (N + M1 )/N ✈➔ M2 /(N ∩ M2 ) ∼ = (N + M2 )/N ❧➔ ❤ú✉ ❤↕♥ s✐♥❤✳ ❑❤✐ ✤â✱ N ∩ M1 ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M1 ✈➔ N ∩ M2 ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M2✳ ❱➻ M1, M2 ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ tỗ t tỷ trỹ t K1 M1 ✈➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ K2 ❝õ❛ M2 s❛♦ ❝❤♦ K1 ≤ (N ∩ M1 ), (N ∩ M1 )/K1 M1 /K1 ✈➔ K2 ≤ (N ∩ M2 ), (N ∩ M2 )/K2 M2 /K2 ❚❤❡♦ ✭❬✶✻❪✱ ❇ê ✤➲ ✶✳✹✭✷✮✮✱ t❛ ❝â [(N ∩ M1 ) ⊕ (N ∩ M2 )]/(K1 ⊕ K2 ) M/(K1 ⊕ K2 ), tù❝ ❧➔✱ N/(K1 ⊕ K2 ) M/(K1 ⊕ K2 ) ❘ã r➔♥❣ K1 ⊕ K2 ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❱➟② M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ◆❤➢❝ ❧↕✐✱ ♠ỉ✤✉♥ M ✤÷đ❝ ❣å✐ ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ❞✉♦ ♥➳✉ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ❝õ❛ M ❧➔ ❜➜t ❜✐➳♥ t ú ỵ r tr ỵ tr ✤➙②✱ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ ❜➜t ❜✐➳♥ ❤♦➔♥ t♦➔♥ ❝❤➾ ❣✐↔ t❤✐➳t ❝❤♦ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✈➔ M ❧➔ tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ 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+ K ) = K + (L ∩ K ), (L ∩ L )/K ⊂ L/K ∩ L /K L/K ❉♦ ✤â t❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ✷✳✸✭✶✮✮✱ t❛ ❝â (L ∩ L ∩ K )/(K ∩ K ) L/(K ∩ K ) ✺✼ ❱➻ K ∩ K K≤L ♥➯♥ L ∩ (L ∩ K ) ❉♦ ✤â✱ L ❧➔ ♣❤➛♥ ♣❤ö ❝õ❛ L ✷✵✳✷✮✳ ∩K L tr♦♥❣ M ✳ ❑❤✐ ✤â L ❧➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M t❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ❈❤♦ ❤å ♠ỉ✤✉♥ (Mi)i∈I ✳ ❱ỵ✐ ♠é✐ i ∈ I ✱ q ữợ ỵ Mi = jI{i}Mj ỵ ỵ M = iI Mi ❧➔ ♠ët tê♥❣ trü❝ t✐➳♣ ❝→❝ ♠æ✤✉♥ Mi(i ∈ I) t❤❡♦ t➟♣ ❝❤➾ sè I ✈ỵ✐ |I| > 1✳ ❑❤✐ ✤â ♥➳✉ M ❧➔ ♠ët ♠ỉ✤✉♥ ♣❤ư ✤õ t❤➻ ❝→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ✭✐✮ M ❧➔ ♥➙♥❣ ố ỳ ỗ t i I s ❝❤♦ ♠é✐ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ K ❝õ❛ M ✈ỵ✐ M = K + Mi ❤♦➦❝ M = K + M−i ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t M ỗ t i I s❛♦ ❝❤♦ ♠é✐ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ K ❝õ❛ M ✈ỵ✐ (K + Mi )/K M/K ❤♦➦❝ (K + M−i )/K M/K ❤♦➦❝ M = K + Mi = K + M−i ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❈❤ù♥❣ ♠✐♥❤✳ (i) ⇒ (ii) ❱➻ M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✱ t❤❡♦ ▼➺♥❤ ✤➲ ✸✳✷✳✽✱ ♠å✐ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ (ii) ⇒ (i) ●✐↔ sû K ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❤❡♦ ✭❬✹❪✱ ✷✵✳✷✷✮✱ M/K õ tỗ t ổ ố ✤â♥❣ N/K ❝õ❛ M/K s❛♦ ❝❤♦ N/K ≤ (K + Mi)/K ✈➔ (K + Mi)/N M/N ✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✷✵✱ N ❧➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ M = (K + Mi) + M−i s✉② r❛ M = N + M−i✳ ❑❤✐ ✤â✱ N ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ M = N ⊕ N ✱ tr♦♥❣ ✤â N ≤ M ✳ ❱➻ K = N ∩ (K + N ) ✈➔ M = N + (K + N ) ♥➯♥ M/K = N/K ⊕ (K + N )/K ✈➔ ✈➻ ✈➟② (K + N )/K ❧➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M/K ✳ ❚❤❡♦ ❇ê ✤➲ ✸✳✷✳✷✵✱ K + N ❧➔ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✳ ❍ì♥ ♥ú❛✱ M = (K + Mi) + N = (K + N ) + Mi✳ ❘ã r➔♥❣ K + N ❝ơ♥❣ ❧➔ ✺✽ ♠ỉ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❑❤✐ ✤â✱ K + N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M t❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✳ ❇➙② ❣✐í M = (K + N ) ⊕ K , K ≤ M ✳ ❉♦ ✤â✱ N = (K + N ) ∩ (N + K ) ✈➔ N ∩ (K + N ) ∩ (N + K ) = K ∩ (N + K ) = 0✳ ❚❤➳ t❤➻ M = K ⊕ (N + K )✳ ❱➟② M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ t❤❡♦ ❍➺ q✉↔ ✸✳✷✳✶✵✳ (ii) ⇒ (iii) ❱➻ M = ⊕i∈I Mi = Mi + M−i ♥➯♥ M/K = (K + Mi )/K + (K + M−i )/K ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t t❛ ❝â M/K = (K + Mi)/K ❤♦➦❝ M/K = (K + M−i)/K ✳ ✣✐➲✉ ♥➔② ❦➨♦ t❤❡♦ M = K + Mi ❤♦➦❝ M = K + M−i✳ ❇➙② ❣✐í rã r➔♥❣ ✭✐✐✮⇒✭✐✐✐✮✳ (iii) ⇒ (ii) ●✐↔ sû K ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M s❛♦ ❝❤♦ M = K + Mi ✳ ❚❤❡♦ ✭❬✹❪✱ M/K õ tỗ t ổ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ N/K ❝õ❛ M/K s❛♦ ❝❤♦ (K + M−i )/N M/N ✳ ❉➵ ❞➔♥❣ t❤➜② N + M−i = K + M−i ✈➔ (N + M−i)/N M/N ✳ ú ỵ r N ố õ tr M N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t M = N ⊕ N ✱ tr♦♥❣ ✤â N ≤ M ✳ ❘ã r➔♥❣ M = (K+Mi ) = (K+N )+Mi = (K+N )+M−i ✳ ❱➻ M = K+N +N ✈➔ K = (K+N )∩N ♥➯♥ M/K = N/K ⊕ (K + N )/K ✳ ❇➙② ❣✐í✱ K + N ❧➔ ✤è✐ ✤â♥❣ tr♦♥❣ M ✈➔ K + N ❧➔ ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❝õ❛ M ✳ ❚❤❡♦ ❣✐↔ t❤✐➳t✱ K + N ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❱➻ K + N = K ⊕ N ♥➯♥ K ❧➔ ♠ët ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❍➺ q✉↔ ✸✳✷✳✷✷ ✭❬✶✻❪✱ ❍➺ q✉↔ ✸✳✶✵✮✳ ❈❤♦ M = M1 ⊕ M2 ❧➔ ♠ët ♠æ✤✉♥ ♣❤ư ✤õ✳ ❈→❝ ✤✐➲✉ ❦✐➺♥ s❛✉ ❧➔ t÷ì♥❣ ✤÷ì♥❣✳ ✭✐✮ M ❧➔ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥✳ ✭✐✐✮ ▼é✐ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ K ❝õ❛ M ✈ỵ✐ M = K + M1 ❤♦➦❝ M = K + M2 ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ✭✐✐✐✮ ▼é✐ ♠ët ♠æ✤✉♥ ❝♦♥ ✤è✐ ✤â♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ K ❝õ❛ M ✈ỵ✐ (K + M1)/K M/K ❤♦➦❝ (K + M2)/K M/K ❤♦➦❝ M = K + M1 = K + M2 ❧➔ ❤↕♥❣ tû trü❝ t✐➳♣ ❝õ❛ M ✳ ❳✐♥ ♥❤➢❝ ❧↕✐✱ ❘✳❚r✐❜❛❦ ❬✶✺❪ ✤➣ ✤à♥❤ ♥❣❤➽❛ ♠æ✤✉♥ ♥➙♥❣ ✤è✐ ❤ú✉ ❤↕♥ ❧➔ 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