BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN DƯƠNG QUỐC MẪN MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ ROUTH STEINER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN DƯƠNG QUỐC MẪN MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ ROUTH-STEINER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN TRẦN DƯƠNG QUỐC MẪN MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ĐỊNH LÝ ROUTH-STEINER Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2022 i Mục lục Danh mục ký hiệu Mở đầu Chương Định lý Routh-Steiner cổ điển 1.1 1.2 1.3 Định lý Routh-Steiner cổ điển kết liên quan 1.1.1 Định lý Routh-Steiner cổ điển 1.1.2 Một số cách chứng minh 1.1.3 Một số kết liên quan 10 Các biểu diễn định lý Routh-Steiner 13 1.2.1 Hai biểu diễn định lý Routh-Steiner 13 1.2.2 Hợp biểu diễn 14 1.2.3 Kết nối với tam giác Freyman 18 Một số tập cho học sinh phổ thông liên quan định lý Routh - Steiner Chương Tổng quát định lý Routh-Steiner mặt phẳng 19 25 2.1 Định lý Routh-Steiner hình hoa văn 26 2.2 Định lý Routh-Steiner cho hình bình hành 30 ii Chương Định lý Routh-Steiner cho tứ diện 3.1 Định lý Routh-Steiner cho tứ diện 3.2 Định lý Routh cho đơn hình đồng thức đại số có liên quan 34 34 42 Kết luận 47 Tài liệu tham khảo 48 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU SABC : Diện tích tam giác ABC Rn : Không gian vectơ thực n chiều MỞ ĐẦU Định lý cổ điển Hình học sơ cấp có tên gọi Định lý RouthSteiner Định lý (Routh-Steiner) Cho ABC tam giác có diện tích Gọi K, L, M điểm nằm đoạn BC, AC, AB cho |AM | “ x, |M B | |BK | “ y, |KC | |CL| “ z |LA| Gọi P giao điểm AK CM, Q giao điểm BL AK, R giao điểm CM BL Khi Diện tích tam giác KLM ` xyz ; p1 ` xqp1 ` y qp1 ` z q Diện tích tam giác P QR p1 ´ xyz q2 p1 ` x ` xy qp1 ` y ` yz qp1 ` z ` zxq Kết xuất phát từ Jacob Steiner [St] Nó xuất muộn dạng Bổ đề hỗ trợ [GPFG], sau viết Routh [Ro] Định lý đưa ta đến trường hợp đặc biệt Định lý Ceva sau: Định lý (Routh-Steiner) Với ký hiệu Định lý Routh-Steiner, đường thằng AK, BL, CM đồng quy xyz “ Trong tam giác, đường elip nội tiếp đường elip tiếp xúc với ba cạnh tam giác Ví dụ đơn giản đường tròn nội tiếp Các đường nội tiếp quan trọng khác elip nội tiếp Steiner (Steiner inellipse) hay gọi elip nội tiếp trung điểm (midpoint inellipse, midpoint ellipse), tiếp xúc với cạnh tam giác điểm chúng; elip nội tiếp Mandart tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp điểm chúng với đường tròn bàng tiếp; elip nội tiếp Brocard tiếp xúc với cạnh tam giác giao điểm chúng với đường đối trung tam giác Ở đây, đường đối trung đường thẳng đối xứng đường trung tuyến qua đường phân giác tương ứng Việc nghiên cứu khai thác sâu định lý Routh-Steiner thu hút nhiều quan tâm nhà làm toán, giáo viên giảng dạy toán trường phổ thơng Các định lý Ceva, Menelaus có mối quan hệ gần gũi với định lý Các cách chứng minh khác nhau, mở rộng, tổng quát hóa định lý ln ln nguồn đề tài phong phú cho nhiều đối tượng giảng dạy học tập, chủ đề kỳ thi học sinh giỏi Nhiều hướng nghiên cứu hướng định lý quan tâm bao gồm: tổng qt hóa cho trường hợp đa giác, hình mặt phẳng; tổng quát hình học khơng gian cho khơng gian có số chiều cao hơn; biểu diễn định lý hình học affine, hình học giải tích, Luận văn tập trung giải tốn sau: Tìm hiểu số phát biểu, phương pháp công cụ chứng minh khác Định lý Routh-Steiner cổ điển tam giác; Tổng quát hóa Định lý Routh-Steiner Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương Chương tìm hiểu số phát biểu, phương pháp công cụ chứng minh khác định lý Routh-Steiner cổ điển tam giác Các biểu diễn khác định lý Routh-Steiner tam giác, từ khai thác đưa hệ thống tập có liên quan cho học sinh phổ thơng Chương trình bày số tổng quát hóa định lý Routh-Steiner tứ giác hình mặt phẳng Chương tập trung nghiên cứu tổng quát hóa định lý Routh-Steiner tứ diện Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp xin bày tỏ kính trọng lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phịng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn Thống kê, quý thầy cô giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp Toán sơ cấp khoá 23 giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi q trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè ln tạo điều kiện giúp đỡ để tơi hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu cịn hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý quý thầy cô giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Trần Dương Quốc Mẫn Chương Định lý Routh-Steiner cổ điển Chương đầu tập trung tìm hiểu số phát biểu, phương pháp công cụ chứng minh khác định lý Routh-Steiner cổ điển tam giác Các biểu diễn khác định lý Routh-Steiner tam giác, từ khai thác đưa hệ thống tập có liên quan cho học sinh phổ thông 1.1 1.1.1 Định lý Routh-Steiner cổ điển kết liên quan Định lý Routh-Steiner cổ điển Định lý Routh nói tỉ lệ diện tích tam giác tạo ba đường thẳng Cevian tam giác ban đầu Định lý 1.1 Cho tam giác ABC, điểm D, E, F nằm cạnh BC, CA, AB Đặt CD BD AE “ x, CE “ y, BF AF “ z Khi tỉ số diện tích tam giác tạo ba đường thẳng Cevian AD, BE, CF diện tích tam giác ABC nhân với hệ số pxyz ´ 1q2 pxy ` y ` 1qpyz ` z ` 1qpzx ` x ` 1q Chứng minh Giả sử diện tích tam giác ABC Cho tam giác ABC đường ... 18 Một số tập cho học sinh phổ thông liên quan định lý Routh - Steiner Chương Tổng quát định lý Routh- Steiner mặt phẳng 19 25 2.1 Định lý Routh- Steiner hình... 26 2.2 Định lý Routh- Steiner cho hình bình hành 30 ii Chương Định lý Routh- Steiner cho tứ diện 3.1 Định lý Routh- Steiner cho tứ diện 3.2 Định lý Routh cho đơn... hiệu Mở đầu Chương Định lý Routh- Steiner cổ điển 1.1 1.2 1.3 Định lý Routh- Steiner cổ điển kết liên quan 1.1.1 Định lý Routh- Steiner cổ điển 1.1.2 Một số cách chứng minh