Một số lớp môđun và vành
Một số lớp môđun
Định nghĩa 1.1.1 Cho môđun M và N ⊆ M Môđun con N được gọi là cốt yếu trong M nếu N ∩K 6= 0 với mọi môđun con khác không K của
M, ký hiệu N ⊆ ess M Môđun con N củaM được gọi là một hạng tử trực tiếp của M nếu tồn tại môđun con K của M thỏa mãn N ⊕K = M. Nếu N là môđun con cốt yếu của M thì ta nói rằng M là mở rộng cốt yếu của N.
Trong ví dụ 1.1.2, ta có M ⊆ ess M và nZ ⊆ ess Z với mọi n ≠ 0 Theo định nghĩa 1.1.3, môđun con N của M được xem là đóng trong M nếu mọi mở rộng cốt yếu của nó trong N đều trùng với chính nó Định nghĩa 1.1.4 chỉ ra rằng đơn cấu ϕ : A R −→ C R được gọi là cốt yếu nếu hình ảnh Imϕ là môđun con cốt yếu trong C.
(a) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ⊂ B ⊂C thì A ⊆ ess M kéo theo B ⊆ ess C;
Trong lý thuyết môđun, một môđun con K của M được gọi là đối cốt yếu nếu với mọi môđun con L khác M, tổng K + L không bằng M, ký hiệu là K ⊆ sm M Nếu ϕ : M → N là một đồng cấu môđun và B là một tập con của ess N, thì ảnh ngược ϕ −1 (B) sẽ là một tập con của ess M Hơn nữa, một toàn cấu ϕ : A → C được xem là đối cốt yếu nếu như hạt nhân của ϕ là một môđun con đối cốt yếu trong A.
Một họ các tập con {C i } i=1 của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) nếu không có một dây chuyền vô hạn nào tồn tại trong họ, và dây chuyền này phải tăng nghiêm ngặt.
Một họ các tập con {C i } i=1 của tập hợp C được gọi là thỏa mãn điều kiện dây chuyền giảm (DCC) nếu không có một dây chuyền vô hạn nào trong họ, và dây chuyền này phải giảm nghiêm ngặt.
C i 1 ⊃ C i 2 ⊃ Định nghĩa 1.1.9 Cho M là một R-môđun M là Noether (Artin) nếu họ tất cả các môđun con của M thỏa mãn ACC (DCC). Định lý 1.1.10 Xét tổng trực tiếp M n
M i của các R-môđun Khi đó M là Noether (Artin) nếu và chỉ nếu M i là Noether (Artin) với mọi i = 1, n.
Hệ quả 1.1.11 Nếu R-môđun M là tổng hữu hạn của những môđun con Noether (Artin) thì M là môđun Noether (Artin).
Nếu vành R là Noether (Artin) và MR là R-môđun hữu hạn sinh, thì M R cũng sẽ là Noether (Artin) Một môđun M được gọi là có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn n, ký hiệu là u.dim(M) = n (hoặc G.dim(M) = n), nếu tồn tại n môđun con đều U i của M sao cho tổng trực tiếp của các U i này nằm trong phần thiết yếu của M.
Khi vành R có chiều Goldie hữu hạn, ta định nghĩa chiều Goldie phải của vành R là u.dim(RR) Vành R được gọi là Goldie phải nếu nó thỏa mãn điều kiện dây chuyền tăng (ACC) trên các iđêan linh hóa tử phải và có chiều Goldie hữu hạn Một R-môđun M được xem là môđun đơn nếu M khác không (M ≠ 0).
M chỉ có hai môđun con là 0 và M.
Một R-môđun M được gọi là môđun nửa đơn nếu tồn tại một tập hợp các môđun con đơn (Mi)i∈I sao cho M được tạo thành từ tổng hợp của các môđun này Theo Định lý 1.1.16, một R-môđun trái R R sẽ là nửa đơn nếu và chỉ nếu R-môđun phải R R cũng là nửa đơn.
Mệnh đề 1.1.17 Cho M là một môđun trên vành R Các điều kiện sau đây là tương đương:
(b) M là tổng trực tiếp của một họ các môđun con đơn;
(c) Mỗi môđun con của M là một hạng tử trực tiếp của M.
Môđun nửa đơn M được xác định bởi điều kiện M = Soc(M) Một môđun được gọi là môđun nâng nếu với mỗi môđun con N của M, tồn tại sự phân tích M = M1 ⊕ M2, trong đó M1 là một phần của N và N ∩ M2 là môđun con đối cốt yếu của M Các điều kiện này là tương đương với một R-môđun.
(ii) Mỗi môđun con N của M có phần phụ mạnh trong M. Định nghĩa 1.1.21 M được gọi là N-nội xạ nếu, với mọi đơn cấu i từ
Trong lý thuyết môđun, nếu tồn tại một đồng cấu g từ N đến M sao cho f = g ◦ i với mọi đồng cấu f từ K đến M, thì môđun M được gọi là tự nội xạ nếu nó nội xạ theo chính nó Môđun MR được xem là nội xạ nếu M là N-nội xạ đối với mọi N thuộc Mod-R Theo định lý Baer, một R-môđun M là nội xạ khi và chỉ khi với mỗi iđêan phải A của R và mỗi đồng cấu f: A → Q, luôn tồn tại một đồng cấu môđun h: R R → Q sao cho h ◦ i = f, trong đó i là phép nhúng chính tắc A vào R R, và h được gọi là mở rộng của f.
Mệnh đề 1.1.25 Môđun M = Q i∈I Mi là nội xạ khi và chỉ khi Mi nội xạ với mọi i ∈ I. Định lý 1.1.26.
(a) Mọi môđun là một môđun con của một môđun nội xạ;
(b) Một vành R là Noether phải khi và chỉ khi mọi tích trực tiếp của các
R-môđun nội xạ là nội xạ.
Mọi hạng tử trực tiếp của một môđun nội xạ đều là nội xạ Đối với môđun M R, các điều kiện sau đây là tương đương: M là nội xạ.
Mỗi đơn cấu ϕ : M → Q của môđun Q đều là chẻ ra, nghĩa là ảnh của ϕ là hạng tử trực tiếp trong Q Đơn cấu α : A −→ Q được gọi là bao nội xạ của A nếu Q là môđun nội xạ và α là đơn cấu cốt yếu.
Khi α : A −→Q là bao nội xạ ta cũng thường gọi môđun Q là bao nội xạ của A nếu như điều đó không dẫn tới một hiểu nhầm nào, và ký hiệu
Đơn cấu chính tắc i: Z Z −→ Q Z là bao nội xạ của Z, vì QZ và ZZ là môđun con cốt yếu trong QZ Một vành R được gọi là nội xạ đơn phải nếu mọi đồng cấu từ một iđêan phải đơn của R đến R đều có thể là một mở rộng.
Môđun M R được xem là xạ ảnh nếu với mọi đồng cấu f : M → B và toàn cấu g : A → B của các R-môđun, luôn tồn tại một đồng cấu h : M → A sao cho g ◦ h = f Điều này có nghĩa là biểu đồ liên quan đến các đồng cấu này phải giao hoán.
~~A g // B // 0 Định nghĩa 1.1.33 Cho môđun A R Toàn cấu ρ : P →A gọi là phủ xạ ảnh của A nếu P là môđun xạ ảnh và ρ là toàn cấu đối cốt yếu.
Khi ρ : P → A là phủ xạ ảnh ta cũng thường gọi P là phủ xạ ảnh của
Mệnh đề 1.1.34 Mọi R-môđun tự do đều là xạ ảnh.
Mệnh đề 1.1.35 Môđun P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu nó là một hạng tử trực tiếp của một môđun tự do (nghĩa là F = P ⊕Q, trong đó F tự do).
Mệnh đề 1.1.36 Giả sử môđun P là tổng trực tiếp của họ các môđun {P i |i ∈ I} Khi đó P là xạ ảnh nếu và chỉ nếu mỗi môđun P i là xạ ảnh,
(i) Môđun con K của M được gọi là cực đại nếu với mọi môđun con
L 6= M của M, quan hệ K ⊂ L kéo theo K = L.
Rad(M) được định nghĩa là giao của tất cả các môđun con cực đại của M, và được gọi là căn Jacobson Nếu M không có môđun con cực đại nào, thì Rad(M) sẽ được quy ước là M.
Một số lớp vành
Định nghĩa 1.1.41 Vành R được gọi là tự nội xạ phải (trái, tương ứng) nếu R R ( R R, tương ứng) là một R-môđun nội xạ.
Ví dụ 1.1.42 Z/nZ là vành tự nội xạ vì xét iđêan dZ/nZ của Z/nZ và đồng cấu: f :dZ/nZ → Z/nZ a+nZ 7→a+nZ
Trong không gian Z/nZ, tồn tại phần tử q = 1+nZ sao cho với mọi λ = a+nZ thuộc dZ/nZ, ta có f(λ) = f(a+nZ) = a+nZ = (1+nZ)(a+nZ) = qλ Do đó, Z/nZ được xác định là vành tự nội xạ Theo định nghĩa 1.1.43, phần tử a của vành R được gọi là chính qui nếu nó thỏa mãn các điều kiện tương đương đã nêu.
(i) Tồn tại phần tử x ∈ R thỏa mãn axa = a.
(ii) RR = aR ⊕T với T là iđêan phải của R.
(iii) R R = Ra⊕L với L là iđêan trái của R.
Vành R được gọi là vành chính qui (Von Neumann) nếu mọi phần tử của
R được gọi là vành chính quy nếu và chỉ nếu R = V on(R) Một vành R được xem là vành đơn khi nó chỉ có hai iđêan là 0 và chính nó Giả sử R là một vành có đơn vị, ký hiệu là 1.
(i) Phần tử e ∈ R được gọi là lũy đẳng nếu e 2 = e.
(ii) e ∈ R được gọi là lũy đẳng tâm nếu e là lũy đẳng và thuộc tâm của vành (có nghĩa là, ea= ae,∀a ∈ R).
(iii) Ta nói hai phần tử lũy đẳng e 1 , e 2 trực giao nếu e 1 e 2 = 0 = e 2 e 1
Cho vành R và lý thuyết lý tưởng I của R Nếu với mọi lũy đẳng f của vành thương R/I đều tồn tại lũy đẳng e của vành R sao cho e−f thuộc I, thì chúng ta gọi các lũy đẳng này là môđun I nâng được.
Nhận xét 1.1.46 Mỗi vành luôn có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1, và chúng được gọi là hai phần tử lũy đẳng tầm thường.
Vành nguyên chỉ có hai phần tử lũy đẳng là 0 và 1.
Bổ đề 1.1.47 khẳng định rằng nếu R là một vành với R-môđun trái R và R là nửa đơn, thì phần tử lũy đẳng e ∈ R sẽ tạo thành môđun đơn Re nếu và chỉ nếu R-môđun phải eR cũng là môđun đơn Định nghĩa 1.1.48 chỉ ra rằng vành R được gọi là nửa đơn khi R R (hay R R) là môđun nửa đơn Cuối cùng, Định lý 1.1.49 nêu rõ rằng các điều kiện liên quan đến vành R là tương đương.
(b) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nửa đơn;
(c) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun xạ ảnh;
(d) Mỗi R-môđun phải (trái) đều là môđun nội xạ;
Mỗi R-môđun phải (trái) đơn đều là môđun xạ ảnh Vành R được coi là địa phương khi R chỉ có một iđêan phải (hoặc trái) cực đại duy nhất Đồng thời, nếu vành thương R/J(R) là Artin nửa đơn, thì vành R được gọi là nửa địa phương.
Mệnh đề 1.1.51 Nếu e là một lũy đẳng của vành R thì eRe là một vành địa phương nếu và chỉ nếu R-môđun phải eR là địa phương.
Vành địa phương chỉ chứa các phần tử lũy đẳng tầm thường 0 và 1 Một vành R được gọi là nửa hoàn chỉnh nếu thương vành R/J là vành nửa địa phương và mọi lũy đẳng của R/J đều có thể nâng được theo môđun.
J. Định nghĩa 1.1.53 Vành R 6= 0 được gọi là nửa nguyên thủy nếu rad(R) = 0. Định lý 1.1.54 Đối với mỗi vành R, các phát biểu sau là tương đương: (a) R là nửa đơn;
(b) R là Artin phải và nửa nguyên thủy.
Môđun và vành mở rộng
Xét các điều kiện sau:
(C1): Mọi môđun con của M là cốt yếu trong một hạng tử trực tiếp của
(C2): Với mọi môđun con A, B của M, nếu A ∼= B và B ⊆ ⊕ M thì
(C3): Nếu A, B là các môđun con của M với A ⊆ ⊕ M, B ⊆ ⊕ M và
(i) Một môđun M được gọi là một môđun C1 (môđun mở rộng hay môđun CS) nếu M thỏa điều kiện (C1).
(ii) Một môđun M được gọi là một môđun (C2) nếu M thỏa mãn điều kiện (C2).
Một môđun M được gọi là môđun (C3) nếu nó thỏa mãn điều kiện (C3) Theo định lý 1.1.56, môđun nội xạ sẽ thỏa mãn các tính chất (C1), (C2) và (C3) Định lý 1.1.57 khẳng định rằng môđun M là tựa nội xạ khi và chỉ khi f(M) ⊆ M đối với mọi f ∈ EndE(M) Định nghĩa 1.1.58 chỉ ra rằng một R-môđun M được coi là liên tục nếu nó thỏa mãn tính chất (C1) và (C2); trong khi đó, môđun M được gọi là tựa liên tục (hay π-nội xạ) nếu thỏa mãn (C1) và (C3) Cuối cùng, theo định lý 1.1.59, những điều kiện để môđun M là tựa liên tục là tương đương với nhau.
(b) M = X ⊕Y với bất kỳ hai môđun con X và Y sao cho chúng là phần bù của nhau;
(c) f(M) ⊆ M, với mọi lũy đẳng f ∈ EndE(M);
Bổ đề 1.1.60 Hạng tử trực tiếp của một môđun mở rộng cũng là một môđun mở rộng.
Cho A và B là các môđun có vành tự đồng cấu địa phương, với M = A⊕B là một mở rộng Nếu C là môđun con của A và f : C → B là một đồng cấu, thì có những kết quả quan trọng liên quan đến cấu trúc của các môđun này.
(a) Nếu f không thể mở rộng đến một đồng cấu từ A tới B, thì f là đơn cấu và B nhúng được trong A;
(b) Nếu bất kì đơn cấu B → A là một đẳng cấu, thì B là A-nội xạ;
(c) Nếu B không nhúng được trong A, thì B là A nội xạ.
Hệ quả 1.1.62 Cho M là một môđun chuỗi với dãy hợp thành duy nhất
M ⊃ U ⊃V ⊃ 0 Thế thì M ⊕(U/V) là một môđun mở rộng.
Bổ đề 1.1.63 Cho các môđun M 1 , M 2 và M = M 1 ⊕M 2 Thế thì M 1 là
Môđun M được gọi là M 2 -nội xạ nếu với mọi môđun con N của M thỏa mãn N∩M0, tồn tại môđun con M0 của M sao cho M = M1 ⊕ M0 và N ⊂ M0 Định nghĩa 1.1.64 cho biết một vành R được gọi là vành C1 phải (hoặc vành C2 phải, C3 phải) nếu R-môđun phải R R thỏa mãn điều kiện C1 (tương ứng, C2, C3).
Khi xem vành R là môđun trên chính nó, vành R được gọi là vành C2 nếu mọi iđêan phải của R đẳng cấu với hạng tử trực tiếp của R Theo định lý 1.1.66, nếu M là một môđun không phân tích được, thì M là một môđun C3; M sẽ là môđun C1 nếu và chỉ nếu nó đều.
X ∩Y 6= 0 với môđun con X 6= 0 và Y 6= 0) và M là một môđun C2 nếu và chỉ nếu mọi đơn cấu trong End(M) là đẳng cấu.
Một số kết quả liên quan
Định lý 1.2.1 ([14]) Trên vành R các điều kiện sau đây là tương đương: (a) R là tự nội xạ phải;
(b) R⊕R là liên tục (tựa liên tục) thực tế là R-môđun phải;
(c) M 2 (R) là liên tục phải (tựa liên tục);
(d) Mn(R) là liên tục phải (tựa liên tục) với mọi n ≥ 1;
(e) M n (R) là tự nội xạ phải với mọi n ≥ 1. Định lý 1.2.2 ([14]) Cho R là một vành tối thiểu đầy đủ phải Khi đó: (a) R là vành Kasch phải và trái;
(b) Soc(eR) là bất biến thuần nhất với mỗi địa phương e 2 = e ∈ R;
(c) S r e là một iđêan trái đơn với mỗi địa phương e 2 = e ∈ R;
(d) Các điều kiện sau đây là tương đương:
(2) lr(K) = K trong đó e 2 = e ∈ R là địa phương và K ⊆ Re là iđêan trái đơn;
(3) Soc(Re) = S r e với mọi địa phương e 2 = e ∈ R;
(4) Soc(Re) là đơn với mọi địa phương e 2 = e ∈ R;
Nếu e1, , en là các vector cơ bản, trực giao và lũy đẳng địa phương, thì tồn tại các phần tử k1, , kn trong R cùng với một hoán vị σ của {1, , n} sao cho với mỗi i = 1, , n, các điều kiện sau đều được thỏa mãn.
(h) {k 1 R, , k n R} lần lượt là các tập đầy đủ các đại diện của R-môđun phải đơn và trái đơn.
Mệnh đề 1.2.3 ([4]) Cho M các điều sau đây là tương đương:
(a) M là phần phụ và xạ ảnh trong σ[M];
(b) M là nâng và xạ ảnh trong σ[M];
(c) M là tựa xạ ảnh và nửa hoàn chỉnh trong σ[M];
(d) M là tựa xạ ảnh đối cốt yếu và nửa hoàn chỉnh trong σ[M];
(e) M là rời rạc mạnh và RadM ⊆ ess M;
(f) M = L I M i trong đó M i là một M môđun xạ ảnh địa phương;
(g) Với bất kì k ∈ N, M k là phần phụ và xạ ảnh trong σ[M];
(h) Với bất kỳ k ∈ N, M k là nâng và xạ ảnh trong σ[M];
(i) M là tựa xạ ảnh và mọi môđun M hữu hạn sinh có một phủ xạ ảnh trong σ[M].
Mệnh đề 1.2.4 ([4]) Cho M các điều sau đây là tương đương:
(a) M là tựa xạ ảnh và hoàn chỉnh trong σ[M];
(b) Với bất kỳ tập Λ, M Λ là rời rạc mạnh;
(c) Với bất kì tập Λ, M Λ là nâng và toàn cấu chiếu (epi-projection);
(d) M là xạ ảnh trong σ[M] và mọi môđun sinh M là phần phụ (đầy đủ) ((amply) supple-mented).
(e) M là rời rạc mạnh và Rad(M (Λ) ) ⊆ ess M (Λ) ,Λ là tập bất kỳ;
Nếu M là R-môđun hữu hạn sinh, thì các điều nói trên là tương đương với:
(f) M là tựa xạ ảnh và End(M) là vành hoàn chỉnh trái;
(g) M là rời rạc mạnh và mọi môđun sinh M có một căn đối cốt yếu.
Trong chương này, chúng tôi giới thiệu khái niệm và các đặc điểm của môđun N CS, với các kết quả được tham khảo từ tài liệu [1], [5], [9], [13] và [14].
Định nghĩa và ví dụ
Một R-môđun M được gọi là môđun N CS nếu mọi môđun con đóng không tầm thường của M không phải là môđun con đối cốt yếu Một vành R được xem là vành N CS nếu R là một môđun N CS Định nghĩa tương tự áp dụng cho các vành N CS trái, và một vành R được coi là N CS nếu nó vừa là N CS trái vừa là N CS phải.
Ví dụ 2.1.2 Mọi R-môđun M với J(M) = 0 là một môđun N CS. Mệnh đề 2.1.3 Mọi môđun CS là N CS.
Giả sử M là một môđun CS và N là một môđun con đóng không tầm thường của M Vì M là môđun CS, nên N trở thành một hạng tử trực tiếp của M, điều này chứng tỏ rằng N không phải là môđun con đối cốt yếu của M Do đó, M có thể được xác định là một môđun.
Ví dụ dưới đây sẽ chứng tỏ điều ngược lại không đúng Nhắc lại rằng,
M được gọi là môđun liên tục nếu nó đáp ứng hai điều kiện CS và C2 Đồng thời, R được xác định là liên tục phải khi R là một môđun liên tục Định nghĩa cho vế bên trái cũng tương tự như vậy.
Nhắc lại rằng, vành R được gọi là vành chia (division) nếu R 6= 0 và mọi phần tử khác không trong R đều khả nghịch Vành chia giao hoán là trường.
Ví dụ 2.1.4 Các vành chính qui von Neumann E được xây dựng là tựa nội xạ trái, nhưng không phải tựa nội xạ phải.
Cho k là một vành chia và V k là một k-không gian véctơ phải của vô hạn chiều Đặt R = End(V k ) và S = M 2 (R) Khi đó, S là một vành N CS trái nhưng không phải là vành CS trái.
Chứng minh rằng S là một vành chính qui Theo Ví dụ 2.1.4, R là một vành chính qui von Neumann nhưng không phải là tự nội xạ trái, dẫn đến J(S) = 0 Mặc dù S là N CS trái theo Ví dụ 2.1.2, nhưng chúng ta sẽ chứng minh rằng S không phải là CS trái Giả sử S là CS trái, thì S thỏa mãn điều kiện C2 như một vành chính qui, và do đó S là một vành liên tục trái Tuy nhiên, theo Định lý 1.2.1, R phải là một vành tự nội xạ trái, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, kết luận rằng S không phải là CS trái.
Một số tính chất
Trước khi đến với Bổ đề 2.2.4 chúng tôi sẽ trình bày các mệnh đề sau đây.
(a) Nếu A ⊆ B ⊆ C thì A ⊆ ess C nếu và chỉ nếu A⊆ ess B ⊆ ess C; (b) Nếu A ⊆ ess B ⊆C và A 0 ⊆ ess B 0 ⊆ C thì A∩A 0 ⊆ ess B ∩B 0 ;
(c) Nếu f : B →C và A ⊆ ess C thì f −1 A ⊆ ess B;
(d) Nếu {A α } là một hệ độc lập của các môđun con của C và nếu A α ⊆ ess
B ⊆ C với mỗi α thì {B α } là một hệ độc lập và ⊕A α ⊆ ess ⊕B α
Chứng minh (a) Đầu tiên cho A ⊆ ess B ⊆ ess C và xét 0 6= M ⊆ C bất kỳ Vì B ⊆ ess C ta có M ∩B 6= 0 và vì A ⊆ ess B ta có (M ∩B)∩A6= 0, tức là M ∩A 6= 0 Vậy A⊆ ess C.
Giả sử A ⊆ ess C, thì mọi môđun con khác không của C đều có phần giao với A khác không, và các môđun con khác không của B cũng là môđun con của C, dẫn đến A ⊆ ess B Hơn nữa, mọi môđun con M ≠ 0 của C thỏa mãn M ∩ A ≠ 0 cũng sẽ thỏa mãn M ∩ B ≠ 0, do đó B ⊆ ess C Nếu M là môđun con khác không bất kỳ của B ∩ B', thì vì A ⊆ ess B.
M∩A khác không, và vì A là tập con của ess B, nên (M∩A)∩A 0 cũng khác không Điều này dẫn đến A∩A 0 là tập con của ess B∩B 0 Giả sử ngược lại, nếu B có một môđun con M khác không mà M ∩ f −1 A = 0, thì M cũng không giao với (kerf), cho thấy ánh xạ f là một đẳng cấu từ M đến f M, và f M trở thành một môđun con khác không của C Tuy nhiên, vì M ∩ f −1 A = 0, ta suy ra f M ∩ A = 0, điều này dẫn đến mâu thuẫn Do đó, kết luận rằng f −1 A là tập con của ess B.
Đầu tiên, xét tập chỉ số gồm hai phần tử {1,2}, theo (b) ta có 0 ⊆ ess B 1 ∩ B 2, từ đó suy ra B 1 ∩ B 2 = 0, chứng tỏ B 1 và B 2 là không phụ thuộc Áp dụng (c), ta có thể chiếu B 1 ⊕ B 2 → B 1 và B 1 ⊕ B 2 → B 2, dẫn đến A 1 ⊕ B 2 ⊆ ess B 1 ⊕ B 2 và B 1 ⊕ A 2 ⊆ ess B 1 ⊕ B 2.
Do đó, (d) đúng với các tập chỉ số có hai phần tử Xét tập chỉ số gồm n phần tử {1, 2, , n} và giả sử (d) đúng với tập chỉ số gồm n−1 phần tử Khi đó, {B1, , Bn−1} là không phụ thuộc và A1 ⊕ ⊕ An−1 ⊆ ess.
B 1 ⊕ .⊕B n−1 Sử dụng tập hợp trên, ta thấy (B 1 ⊕ .⊕B n−1 )∩B n = 0 từ đó {B 1 , , B n } là không phụ thuộc và
Do đó, điều này áp dụng cho tất cả các tập chỉ số hữu hạn và chúng ta sẽ chứng minh cho trường hợp tổng quát Giả sử có các chỉ số phân biệt α(0), α(1), , α(n).
B α(0), , B α(n) là một tập hợp không phụ thuộc, dẫn đến B α(0) ⊕ (B α(1) + + B α(n)) = 0, chứng tỏ rằng {B α} cũng không phụ thuộc Hơn nữa, với bất kỳ mô-đun con nào khác không M ⊆ LB α chứa một phần tử khác không, phần tử này phải thuộc B α(1) ⊕ ⊕ B α(n) với các chỉ số α(i) tương ứng Do đó, M ∩ (B α(1) ⊕ ⊕ B α(n)) khác không, từ đó chúng ta có kết luận.
M ∩(B α(1) ⊕ .⊕B α(n) ) 6= 0∩(A α(1) ⊕ .⊕A α(n) ) 6= 0 và do đó M ∩(LA α ) 6= 0 Vậy L
Mệnh đề 2.2.2 Cho A ⊆ C Nếu B là phần bù (hay bù-giao) bất kỳ của
Chứng minh Vì A∩B = 0, ta có A+B = A⊕B sao cho A⊕B là một môđun con của C Giả sử M ⊆ C với M ∩ (A ⊕B) = 0 Khi đó tổng
(A⊕B) + M là tổng trực tiếp, đó là (A⊕B) +M = A⊕B ⊕M từ đó
A∩(B⊕M) = 0 Theo tính cực đại của B, ta nhận được B⊕M = B và do đó M = 0 Vì thế A⊕B ⊆ ess C.
Mệnh đề 2.2.3 Nếu B ⊆ C thì các điều kiện sau đây là tương đương: (a) B là một môđun con đóng của C;
(b) B là phần bù (hay bù-giao) của A ⊆ C;
(c) Nếu A là phần bù (hay bù-giao) bất kỳ của B trong C thì B là một phần bù (hay bù-giao) của A trong C;
Nếu M/B là một môđun con của C/B với (M/B)∩(K/B) = 0, thì M∩K = B Do K thuộc ess C, nên M∩K cũng thuộc ess M∩C, dẫn đến B thuộc ess M Giả sử B là đóng trong C, với B = M, ta có M/B = 0 Khi A∩B = 0, B có thể mở rộng thành một phần bù B 0 của A Theo định luật môđun, (A⊕B)∩B 0 = B+(A∩B 0) = B, từ đó suy ra [(A⊕B)/B]∩[B 0/B] = 0 Theo Mệnh đề 2.2.2, A⊕B thuộc ess C, và từ (d) suy ra (A⊕B)/B thuộc ess C/B, do đó B 0/B = 0 là một phần bù của A.
(b) ⇒ (a): Giả sử B ⊆ ess B 0 ⊆ C Vì (B 0 ∩ A)∩ B = A ∩B = 0, ta có
B 0 ∩ A = 0 khi đó theo tính cực đại của B thì B 0 = B Vậy B là đóng trong C.
Bổ đề 2.2.4 Cho A ⊆ B ⊆ C là một chuỗi của các R-môđun Nếu A là đóng trong B và B đóng trong C thì A đóng trong C.
Chứng minh Cho A 0 là phần bù (hay bù-giao) của A trong B và cho
B 0 là phần bù (hay bù-giao) của B trong C Theo Mệnh đề 2.2.2 thì
B ⊕ B 0 ⊆ ess C; từ Mệnh đề 2.2.3 thấy rằng (B ⊕ B 0 )/B ⊆ ess C/B.
Theo Mệnh đề 2.2.1, ta có (B ⊕ B 0 )/A ⊆ ess C/A, hoặc [B/A]⊕ [(A⊕B 0 )/A] ⊆ ess C/A Sử dụng Mệnh đề 2.2.2 và Mệnh đề 2.2.3, ta suy ra A⊕ A 0 ⊆ ess B, từ đó (A⊕A 0 )/A ⊆ ess B/A.
Giả sử A ⊆ ess K ⊆ C, ta có A ∩ (A 0 ⊕ B 0 ) = 0, từ đó suy ra K ∩ (A 0 ⊕ B 0 ) = 0 theo Mệnh đề 2.2.1 Áp dụng định luật môđun, ta nhận thấy K ∩ (A ⊕ A 0 ⊕ B 0 ) = A, dẫn đến [K/A] ∩ [(A⊕A 0 ⊕ B 0 )] = 0 Do (A⊕A 0 ⊕ B 0 )/A ⊆ ess C/A, ta kết luận K/A = 0, suy ra K = A Như vậy, A là tập đóng trong C.
Bổ đề 2.2.5 Nếu K ⊆ ess M và f: M → N là một đồng cấu thì f(K) ⊆ ess N Đặc biệt, nếu K ⊆ ess M ⊆ ess N thì K ⊆ ess N.
Chứng minh Cho L ⊆ N và giả sử rằng L+f(K) = N Khi đó f ← (N) +
K = M Vì K ⊆ ess M, điều này tức là K ⊆ M = f ← (L) Vậy f(K) ⊆ L và L = N.
Mệnh đề 2.2.6 Cho R là một vành và cho M là một R-môđun Nếu M là N CS thì mọi môđun con đóng của M cũng là một môđun N CS.
Cho K là một môđun con đóng của M và L là một môđun con đóng khác không của K Theo Bổ đề 2.2.4, L cũng là một môđun con khác không của M Vì M là N CS, nên L không phải là môđun con đối cốt yếu của M Do đó, theo Bổ đề 2.2.5, L không phải là môđun con đối cốt yếu của K.
Hệ quả 2.2.7 Cho R là một vành và cho M là một R-môđun Nếu M là
N CS thì mọi hạng tử trực tiếp của M cũng là N CS.
Cho K là một môđun con của M Một bao đóng cốt yếu của K trong
M nghĩa là một mở rộng cốt yếu cực đại C của K trong M Một mở rộng
C như vậy luôn tồn tại Và nó chính là phần tử cực tiểu của tập môđun con đóng của M chứa K Tuy nhiên, C nói chung là không duy nhất.
Mệnh đề 2.2.8 khẳng định rằng, với R là một vành và M là một R-môđun, nếu tất cả các môđun con khác không của M đều có một môđun con đều, thì M sẽ là N CS khi và chỉ khi mọi môđun con đóng đều của M không phải là môđun con đối cốt yếu của M.
Chứng minh Điều kiện cần là hiển nhiên.
Chúng ta sẽ chứng minh điều kiện đủ bằng cách xem xét một môđun con đóng K khác không của M Môđun K này có một môđun con đều T, và từ đó, T sẽ có một bao đóng cốt yếu đều C trong K Theo Bổ đề 2.2.4, môđun C cũng là một môđun con đóng của M, nhưng C không phải là một môđun con đối cốt yếu của M.
M là một môđun, và nếu K là môđun con của M, thì môđun con của K cũng sẽ là môđun con đối cốt yếu của M Do đó, K không thể được coi là một môđun con đối cốt yếu của M.
Một R-môđun M được coi là hữu hạn chiều nếu số chiều Goldie của nó là hữu hạn Điều này đồng nghĩa với việc M sở hữu một môđun con cốt yếu, được cấu thành từ tổng trực tiếp của các môđun con đều hữu hạn.
Khi M là một không gian hữu hạn chiều hoặc M có một đế cốt yếu, dễ dàng nhận thấy rằng mọi môđun con không phải của M đều có ít nhất một môđun con Do đó, chúng ta có thể rút ra hệ quả sau đây.
Hệ quả 2.2.9 Cho R là một vành và cho M là một R-môđun M Nếu
