(LUẬN văn THẠC sĩ) về một lớp môđun tổng quát hóa của môđun mở rộng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Bình Định - Năm 2019 download by : skknchat@gmail.com BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN PHẠM THỊ THÚY HẰNG VỀ MỘT LỚP MÔĐUN TỔNG QT HĨA CỦA MƠĐUN MỞ RỘNG Chun ngành : Đại số Lý thuyết số Mã số 46 01 04 : Người hướng dẫn: TS Lê Đức Thoang download by : skknchat@gmail.com i Lời Cam Đoan Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu khoa học hướng dẫn TS Lê Đức Thoang, nội dung không chép chưa công bố hình thức nào, tài liệu tham khảo nêu rõ ràng Quy Nhơn, ngày tháng năm 2019 Học viên Phạm Thị Thúy Hằng download by : skknchat@gmail.com ii Mục lục Lời Cam Đoan Bảng ký hiệu i iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số lớp môđun vành 1.1.1 Một số lớp môđun 1.1.2 Một số lớp vành 12 1.1.3 Môđun vành mở rộng 15 Một số kết liên quan 17 MÔĐUN NCS 20 2.1 Định nghĩa ví dụ 20 2.2 Một số tính chất 22 TÍNH NCS CỦA MƠĐUN 32 KẾT LUẬN 43 DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO 44 download by : skknchat@gmail.com iii Bảng ký hiệu MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R A⊆B : A môđun B A⊂B : A môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M : A môđun đối cốt yếu môđun M n Mi : Tổng trực tiếp họ mơđun Mi Ri : Tích trực tiếp vành Ri i=1 Soc(MR ) : Đế môđun MR , Sr = Soc(RR ) J = J(R) : Căn Jacobson mơđun R ann(m) : Linh hóa tử phần tử m r(X), (l(X)) : Linh hóa tử phải, (trái) X End(MR ) : Vành tự đồng cấu môđun MR N ⊆⊕ M : N hạng tử trực tiếp M N∼ =M : N đẳng cấu với M Mod-R (R-Mod) : Phạm trù R-môđun phải (trái) download by : skknchat@gmail.com MỞ ĐẦU • Lí chọn đề tài: Cùng với phát triển toán học đại, lý thuyết mơđun nhà tốn học quan tâm sâu sắc đạt nhiều kết Những kết điều kiện CS tác động nhiều để người nghiên cứu thêm môđun CS vành nên chọn nghiên cứu đề tài “Về lớp môđun tổng qt hóa mơđun mở rộng” • Lịch sử vấn đề: Môđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng mơđun nội xạ có lớp mơđun quan trọng môđun CS (mở rộng hay C1) Các định nghĩa CS khởi nguồn từ cơng trình nghiên cứu John von Neumann liên quan đến cố gắng ông để mô hình lượng tử học thông qua hình học liên tục Điều kiện CS trình bày [2] Tính chất mơđun thu hút nhiều nhà lý thuyết vành hai mươi năm sau [5] [13] sách chun khảo mơđun CS tính chất liên quan môđun Trong [7] [8], hai giả thiết tiếng đặc trưng vành QF giả thiết CF giả thiết 0.12 ta có R vành C2 trái mạnh Điều nghĩa Mk (R) C2 trái, k download by : skknchat@gmail.com 40 Vì Mn (R) liên tục trái Theo Định lý 1.2.1 R tự nội xạ trái Điều không xảy Vậy Mn (R) không N CS trái với n Chúng sử dụng kí hiệu Mn×1 (R) tập tất ma trận cột cỡ n × R Mệnh đề 3.0.15 Cho R vành cho n Khi Mn (R) N CS phải Mn×1 (R) N CS R-môđun phải Chứng minh Ta chứng minh kết với n = 2, khác chứng minh tương tự Với iđêan phải T M2 (R), T có từ {[αβ] | α, β ∈ K}, K mơđun M2×1 (R) T iđêan phải đóng (đối cốt yếu) M2 (R) K Rmơđun đóng (đối cốt yếu) M2×1 (R) Vì M2 (R) N CS phải M2×1 (R) N CS R-mơđun phải Mệnh đề 3.0.16 Cho R vành cho Λ tập vơ hạn Khi (Λ) CFMΛ (R) N CS phải (tương ứng, CS ) RR N CS (tương ứng, CS ) Mệnh đề 3.0.17 Cho R vành nửa hoàn chỉnh cho n Khi Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải Chứng minh R nửa hoàn chỉnh, theo Mệnh đề 1.2.3, RR mơđun nâng Vì tính chất nửa hoàn chỉnh bất biến Morita vành nên Mn (R) nửa hoàn chỉnh với n Khi đó, theo Hệ 2.2.19 Mn (R) N CS phải Mn (R) CS phải Hệ 3.0.18 Nếu R nửa hồn chỉnh N CS phải RR có chiều Goldie (hay chiều đều) hữu hạn download by : skknchat@gmail.com 41 Chứng minh Theo Mệnh đề 3.0.17, R CS phải Vì R nửa hồn chỉnh nên tồn lũy đẳng địa phương e1 , e2 , , en R cho n R= ei R i=1 Ta chứng tỏ với lũy đẳng địa phương e R eR Khi số chiều Goldie (hay chiều đều) RR n Nếu eR khơng có môđun khác không T1 , T2 không phụ thuộc Vì R CS phải nên T1 cốt yếu hạng tử trực tiếp eR Khi e địa phương T1 cốt yếu eR Điều mâu thuẫn Vậy eR Mệnh đề 3.0.19 Cho R vành hoàn chỉnh phải cho Λ tập vơ hạn Khi phát biểu sau tương đương: (Λ) (a) RR N CS ; (Λ) (b) RR CS ; (c) CFMΛ (R) N CS phải; (d) CFMΛ (R) CS phải (Λ) Chứng minh Vì R hồn chỉnh phải nên theo Mệnh đề 1.2.4 ta có RR mơđun nâng Theo Định lí 2.2.18, (a) ⇔ (b) Theo Mệnh đề 3.0.16, (a) ⇔ (c) (b) ⇔ (d) Cuối cùng, chúng tơi có mô tả vành Bổ đề 3.0.20 Một vành R nửa hoàn chỉnh −CS phải đếm CS phải, (N) R hoàn chỉnh phải RR CS -đều Nhắc lại rằng, vành R gọi đếm N CS phải tổng trực tiếp đếm R môđun N CS download by : skknchat@gmail.com 42 R gọi −CS tổng trực tiếp RR môđun CS Định lý 3.0.21 Một vành R hoàn chỉnh phải phải R đếm N CS −CS phải Chứng minh Theo Bổ đề 3.0.20, ta cần chứng minh điều kiện cần Vì R hồn chỉnh phải đếm N CS phải, Theo Mệnh đề 3.0.19, R đếm CS phải Khi theo Bổ đề 3.0.20, R Nhận xét 3.0.22 Một vành −CS phải −N CS phải không thiết download by : skknchat@gmail.com −CS 43 KẾT LUẬN Trong luận văn thực công việc sau Trình bày kiến thức số lớp môđun số lớp vành quan trọng Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết liên quan đến môđun N CS tài liệu tham khảo Đọc hiểu trình bày lại cách chi tiết, có hệ thống kết đặc trưng vành N CS download by : skknchat@gmail.com ... nghiên cứu thêm môđun CS vành nên chọn nghiên cứu đề tài ? ?Về lớp môđun tổng quát hóa mơđun mở rộng? ?? • Lịch sử vấn đề: Môđun nội xạ lớp môđun quan trọng lý thuyết môđun Trong lớp môđun mở rộng mơđun... iii MỞ ĐẦU 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Một số lớp môđun vành 1.1.1 Một số lớp môđun 1.1.2 Một số lớp vành 12 1.1.3 Môđun vành mở rộng. .. hiệu MR (R M ) : Môđun phải (trái) vành R A⊆B : A môđun B A⊂B : A môđun thực B A ⊆ess M : A môđun cốt yếu môđun M A ⊆sm M : A môđun đối cốt yếu môđun M n Mi : Tổng trực tiếp họ môđun Mi Ri :