BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯƠNG THỊ THẢO VY MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ELIP NỘI TIẾP STEINER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY N[.]
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯƠNG THỊ THẢO VY MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ELIP NỘI TIẾP STEINER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Bình Định - Năm 2022 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN LƯƠNG THỊ THẢO VY MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ELIP NỘI TIẾP STEINER CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP MÃ SỐ: 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn: PGS.TS THÁI THUẦN QUANG Bình Định - 2022 DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU C : Mặt phẳng phức C8 “ C Y t8u : Tập hợp số phức mở rộng >pqr : Góc định hướng có đỉnh q i Mục lục Danh mục ký hiệu MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VÀ ELIP NỘI TIẾP STEINER 1.1 1.2 Biểu diễn phức elip 1.1.1 Các yếu tố hình học số phức 1.1.2 Elip biểu diễn phức Elip nội tiếp Steiner 14 1.2.1 Khái niệm tính chất 14 1.2.2 Một số tiêu chuẩn định tính elip nội tiếp Steiner 17 CÁC ĐỊNH LÝ SIEBECK VÀ MARDEN 2.1 2.2 3.2 21 Định lý Siebeck 21 2.1.1 Khái niệm điểm liên hợp đẳng giác 21 2.1.2 Định lý Steiner 22 2.1.3 Trực chuẩn 23 2.1.4 Định lý Siebeck cho đa thức 24 2.1.5 Định lý Siebeck cho hàm bậc ba 28 Định lý Marden 30 MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ELIP NỘI TIẾP STEINER 3.1 32 Elip nội tiếp Steiner tiếp xúc cạnh tam giác theo tỷ lệ cho trước 32 3.1.1 Khái niệm tam giác trung tuyến 32 3.1.2 Khái niệm tọa độ trung tâm 33 3.1.3 Định lý 33 Elip Steiner cắt cạnh tam giác 36 ii Kết luận 43 Tài liệu tham khảo 44 MỞ ĐẦU Trong hình học tam giác, elip nội tiếp hình elip tiếp xúc với ba cạnh tam giác Ví dụ đơn giản đường tròn nội tiếp Các đường nội tiếp quan trọng khác elip nội tiếp Steiner (Steiner inellipse) hay gọi elip nội tiếp trung điểm (midpoint inellipse, midpoint ellipse), tiếp xúc với cạnh tam giác điểm chúng; elip nội tiếp Mandart tiếp xúc với cạnh tam giác tiếp điểm chúng với đường tròn bàng tiếp; elip nội tiếp Brocard tiếp xúc với cạnh tam giác giao điểm chúng với đường đối trung tam giác Ở đây, đường đối trung đường thẳng đối xứng đường trung tuyến qua đường phân giác tương ứng Elip nội tiếp Steiner đối lập với khái niệm Elip Steiner, elip qua đỉnh tam giác có tâm trùng với tâm tam giác Elip nội tiếp Steiner đóng vai trị đặc biệt tiếp điểm với cạnh trung điểm cạnh Điều xảy đường elip nội tiếp khác tam giác cho Hơn nữa, diện tích elip nội tiếp Steiner lớn tất elip nội tiếp tam giác Trong [6] H Dăorrie cho rng elip ni tip Steiner Jakob Steiner đề xuất nghiên cứu Tính elip nội tiếp Dan Kalman chứng minh [10] Việc nghiên cứu elip nội tiếp Steiner elip Steiner thu hút nhiều quan tâm nhà làm toán nhiều thập kỷ qua Trước tiên toán tiêu chuẩn tồn elip nội tiếp Steiner xác định tiêu điểm (Định lý Marden [1, 10]) Nhiều hướng mở rộng khái quát hóa elip nội tiếp Steiner nghiên cứu Chẳng hạn như, tiếp điểm elip nội tiếp Steiner chia cạnh tam giác theo tỷ lệ cho trước (Định lý Siebeck [15]) Gần hơn, hai cơng trình Kalman [10] Minda Phelps [13] dẫn đường cho việc đổi quan tâm đến Định lý Siebeck tổng quát (xem [1, 4, 9]) Định lý biết đến định lý Marden, theo thuật ngữ giới thiệu [10] Hình elip nội tiếp Steiner đa giác hướng tổng quát hóa cho khái niệm này: Một đa giác có hình elip bên tiếp xúc với cạnh trung điểm cạnh Định lý Marden áp dụng cho tiêu điểm elip nội tiếp Steiner đa giác [14] Công cụ phương pháp nghiên cứu elip nội tiếp Steiner đa dạng, kết hợp kỹ thuật cổ điển hình học phẳng chút đại đại số, số phức, Dựa sở lý thuyết đường conic, elip (nội tiếp) Steiner, lý thuyết đại số đa thức, hàm biến phức, mục đích đề tài tìm hiểu nghiên cứu số tính chất hình học, đại số tiêu chuẩn elip nội tiếp Steiner, sở đưa số tổng quát hóa elip nội tiếp Steiner Mục tiêu Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu số tính chất hình học, tiêu chuẩn đại số tồn elip nội tiếp Steiner cổ điển Tổng quát hóa, nghiên cứu yếu tố định tính, định vị elip nội tiếp Steiner theo hướng sau: a) Tiếp điểm elip với cạnh tam giác chia độ dài cạnh theo tỷ lệ cho trước Trong trường hợp tỷ lệ 1/2 ta nhận elip nội tiếp Steiner cổ điển b) Elip cắt cạnh tam giác hai điểm mà chúng cách trung điểm cạnh Trong trường hợp hai điểm trùng elip trở thành elip nội tiếp cổ điển Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Luận văn chia thành ba chương Chương dành cho việc tìm hiểu số kiến thức bản, tiêu chuẩn đại số, hình học tồn elip nội tiếp Steiner Trong Chương trình bày định lý cổ điển liên quan đến elip nội tiếp Steiner Định lý Siebeck, Định lý Marden, mở rộng chúng Chương khảo sát elip nội tiếp Steiner dạng tổng quát theo nghĩa: Tiếp điểm elip với cạnh tam giác chia độ dài cạnh theo tỷ lệ cho trước elip cắt cạnh tam giác hai điểm mà chúng cách trung điểm cạnh Luận văn hoàn thành hướng dẫn khoa học thầy PGS TS Thái Thuần Quang, Khoa Toán Thống kê, Trường Đại học Quy Nhơn Nhân dịp tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy giúp đỡ tơi suốt q trình học tập thực luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến Ban giám hiệu Trường Đại học Quy Nhơn, Phòng Đào tạo Sau Đại học, Khoa Tốn, q thầy giáo giảng dạy lớp cao học Phương pháp toán sơ cấp khóa 23 dày cơng giảng dạy suốt khóa học, tạo điều kiện thuận lợi cho tơi trình học tập thực đề tài Nhân xin chân thành cảm ơn hỗ trợ mặt tinh thần gia đình, bạn bè tạo điều kiện giúp đỡ để hồn thành tốt khóa học luận văn Mặc dù luận văn thực với nỗ lực cố gắng thân, điều kiện thời gian có hạn, trình độ kiến thức kinh nghiệm nghiên cứu hạn chế nên luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý q thầy giáo để luận văn hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn Chương MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ SỞ VÀ ELIP NỘI TIẾP STEINER Trong Chương này, chúng tơi trình bày số kiến thức yếu tố hình học số phức, elip biểu diễn phức Sau đó, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất elip nội tiếp Steiner Đây công cụ quan trọng sử dụng Chương 1.1 Biểu diễn phức elip 1.1.1 Các yếu tố hình học số phức Phần chúng tơi trình bày tỷ số chéo mặt phẳng phức Định nghĩa 1.1.1 Tỷ số chéo số phức phân biệt a, b, c d C8 số phức, ký hiệu ra, b; c, ds, xác định công thức ra, b; c, ds :“ pa ´ cqpb ´ dq pa ´ dqpb ´ cq • Trong định nghĩa này, số phức pa ´ cq số bỏ qua, chẳng hạn ra, b; c, 8s :“ pb ´ cq Chú ý 1.1.2 • Tỷ số chéo điểm phân biệt lấy giá trị, ngoại trừ 0,1 Với z ‰ t0, 1, 8u ta có z “ rz, 1; 0, 8s • Nếu cặp số điểm a, b, c d cơng thức nhận giá trị 0, 8, điểm trùng vơ chấp nhận giá trị định nghĩa tỷ số chéo Do đó, tỷ số chéo định nghĩa cho bốn điểm với nhiều hai số Mệnh đề 1.1.3 ([11]) Tỷ số chéo thỏa mãn hai quy tắc đối xứng sau: Nếu ra, b; c, ds “ λ rb, a; c, ds “ ra, b; d, cs “ λ´1 ra, c; b, ds “ ´ λ Chứng minh Ta có rb, a; c, ds “ pa ´ dqpb ´ cq pb ´ cqpa ´ dq “ “ ra, b; d, cs “ λ´1 pb ´ dqpa ´ cq pa ´ cqpb ´ dq Tương tự, ra, c; b, ds “ pa ´ bqpc ´ dq pa ´ cqpb ´ dq “1´ “ ´ λ pa ´ dqpc ´ dq pa ´ dqpb ´ cq Mệnh đề 1.1.4 ([11]) Với z P C8 , ta định nghĩa z “ Khi 1´z rp, a; b, cs1 “ rp, b; c, as với p, a, b, c P C8 ; z “ z´1 “1´ , z z z “ z, z ă z ă z Chứng minh Đặt rp, a; b, cs “ λ Khi rp, a; b, cs1 “ λ1 “ 1´λ Ta cần chứng minh rp, b; c, as “ 1´λ Thật vậy, theo Mệnh đề 1.1.3 ta có rp, b; a, cs “ ´ λ Vì rp, b; c, as “ p1 ´ λq´1 “ 1´λ Ta có z2 “ “ ´ z1 1´ 1´z “1´ z ... chuẩn elip nội tiếp Steiner, sở đưa số tổng quát hóa elip nội tiếp Steiner Mục tiêu Luận văn tập trung giải toán sau: Nghiên cứu số tính chất hình học, tiêu chuẩn đại số tồn elip nội tiếp Steiner. .. Điều xảy đường elip nội tiếp khác tam giác cho Hơn nữa, diện tích elip nội tiếp Steiner lớn tất elip nội tiếp cựng mt tam giỏc Trong [6] H Dăorrie cho rng elip nội tiếp Steiner Jakob Steiner đề xuất... 28 Định lý Marden 30 MỘT SỐ TỔNG QUÁT HÓA CỦA ELIP NỘI TIẾP STEINER 3.1 32 Elip nội tiếp Steiner tiếp xúc cạnh tam giác theo tỷ lệ cho trước 32 3.1.1 Khái