Một số phương pháp xác định công thức tổng quát của dãy số

MỞ ĐẦU Tính cấp thiết đề tài Trong chương trình tốn học THPT, toán liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích lớp 11 Học sinh thường gặp nhiều khó khăn giải toán liên quan tới dãy số đặc biệt tốn xác định cơng thức số hạng tổng qt dãy số Và số lớp toán khác gần giải hồn tồn xác định cơng thức tổng qt hàm số Do xác định cơng thức tổng quát dãy số chiếm vị trí định toán dãy số Bài toán tìm số hạng tổng quát dãy số cho cơng thức truy hồi tốn khó học sinh THPT nói chung học sinh khối 11 nói riêng Liên quan đến dạng tốn có nhiều sách, có nhiều cơng trình đề cập nghiên cứu, nhiên có sách đề cập kỹ sở lý thuyết để dẫn đến phương pháp giải mà đưa công t hức, quy trình giải cách áp đặt, “thiếu tự nhiên” Điều làm ảnh hưởng đến khả tìm tịi sáng tạo tốn học sinh - yếu tố quan trọng người làm toán Dạng toán dãy số thường xuất k thi học sinh giỏi, thi Olympic toán, dạng tốn khó học sinh THPT người ta thường đề thi có câu hỏi dãy số để sử dụng đánh giá, phân loại khả tư học sinh Do đó, để học tốt tốn dãy số, ta cần phải cung cấp cho người học có cách nhìn nhận khái quát, phân loại, phân dạng, giải dạng toán dãy số, đặc biệt trước hết phải giải tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số nghiên cứu dạng tốn khác dãy số Vì vậy, việc xác định công thức tổng quát dãy số chiếm vị trí quan trọng việc giải toán dãy số Nh m tiếp tục nghiên cứu vài phương pháp cụ thể để xác định công thức tổng quát dãy số, chọn đề tài “Một số phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số” để làm đề tài cho luận văn thạc sỹ khoa học toán học Việc nắm vững chất dãy số kiến thức dãy số giúp học sinh phát triển tư hàm, tạo cho việc học tốt môn giải tích phổ thơng Đề tài khơng có tham vọng đưa hệ thống kiến thức hoàn toàn mới, kết đẹp mặt toán học; Ở tơi trình bày kết mà q trình dạy học dãy số tích luỹ, tổng hợp để đưa hệ thống tốn với quy trình giải tốn Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu, tìm tịi, phát phương pháp xác định số hạng tổng quát dãy số Trong phương pháp trình bày cách có hệ thống: nội dung phương pháp, dạng toán sử dụng dụng phương pháp cách giải dạng thường gặp để nh m giúp bạn đọc tìm thấy cách giải nhanh cho tốn xác định cơng thức tổng qt dãy số Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp nghiên cứu, phân tích cách giải tốn xác định số hạng tổng quát dãy số - Thu thập tài liệu, cơng trình nghiên cứu liên quan đến việc xác định công thức tổng quát dãy số, để từ khái quát lên thành phương pháp chung Dự kiến kết đạt đƣợc - Hệ thống lý thuyết phân dạng toán tìm cơng thức tổng qt dãy số - Phân loại dạng tốn xác định cơng thức tổng quát dãy số cách giải chúng giúp học sinh giáo viên dạy tốn có thêm tài liệu để giải tốn xác định cơng thức tổng qt nói riêng Nội dung nghiên cứu Ngồi phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, luận văn gồm chương: Chương 1: Dãy số số tính chất dãy số Chương 2: Phương pháp xác định công thức tổng quát dãy số CHƢƠNG D SỐ V MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA D SỐ 1.1 Dãy số cách cho dãy số 1.1.1 Khái niệm dãy số Định nghĩa 1.1 [10; tr 3] Dãy số hàm số từ ) vào tập hợp số * (hoặc ) (hoặc tập hợp (hay N , Z , R, Q, C ) hay tập tập hợp Các số hạng dãy số thường kí hiệu un , , xn , yn thay u (n ),v (n ), x (n ), y (n ), Bản thân dãy số kí hiệu tương ứng u ,v ,x , y , n n n n Dãy gọi vơ hạn chúng có vơ hạn phần tử Dãy gọi hữu hạn số phần tử dãy hữu hạn Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.2 [10; tr 3] Dãy số un  gọi dãy tuần hồn cộng tính với chu k k unk  un , n  N Số nguyên dương k nhỏ thỏa mãn đẳng thức gọi chu kì dãy un  Đặc biệt dãy tuần hoàn un  chu k k  dãy Dãy số un  gọi dãy tuần hoàn nhân tính tồn số nguyên dương s,(s  1) cho usn  un , n  Số nguyên dương s nhỏ gọi chu kì sở dãy un  Dãy số un  gọi dãy phản tuần hoàn cộng tính tồn số nguyên dương l cho un1  un , n  Số nguyên dương l nhỏ thỏa mãn gọi chu kì sở dãy un  Dãy số un  gọi dãy phản tuần hoàn nhân tính tồn số nguyên dương s,(s  1) cho usn  un , n  Số nguyên dương s nhỏ thỏa mãn gọi chu kì sở dãy un   u  uk Định nghĩa 1.3 [10] Cho dãy u n   k 1 (k  ) , dãy v k  , u    k   với v k  u n , k  N gọi dãy dãy u n  ký hiệu u n k k Chú ý: - Mọi dãy dãy - Mọi dãy dãy bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) bị chặn (tương ứng bị chặn trên, bị chặn dưới) - Mọi dãy dãy đơn điệu dãy đơn điệu Định nghĩa 1.4 [10] Dãy số u n  gọi có giới hạn hữu hạn a n   với   , tồn số tự nhiên N (phụ thuộc vào dãy số u n  ) cho với n  N ta có u n  a   , nghĩa lim u n  a    N0  N : n  N u n  a   n Ta nói dãy số u n  dần đến vơ n   với số thực dương M lớn tùy ý, tồn số tự nhiên N (phụ thuộc vào dãy số u n M ) cho với n  N ta có u n  M , nghĩa lim u n    M  N0  N : n  N u n  M n Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n   gọi dãy phân kỳ Định nghĩa 1.5 [10] Dãy số có giới hạn hữu hạn gọi dãy hội tụ Dãy số khơng có giới hạn dần đến vô n dần đến vô gọi dãy phân kỳ Định nghĩa 1.6 [10] Dãy x n  gọi dãy Cauchy   N0  N : m,n  N0 cho xm  xn   51 Ví dụ 11.Tìm công thức tổng quát dãy  u n  xác định bởi:   u  1;u1  16    u n   8u n 1  16u n Giải Phương trình đặc trưng:  - 8 16   1    nên giải theo trường hợp Ví dụ 12 Tìm số hạng tổng qt dãy số a1  0;a1     an2  4an1  3an  3n  Giải Ta tìm hàm g  n   an2  bn ( bậc g(n) lớn bậc f  n  đơn vị) cho g  n    4g  n  1  3g  n   3n  2, n  Giải ta g  n    n  n; Đặt an  g  n   bn ta có phương trình sai phân cấp bn2  4bn1  3bn Do bn   11 11 n  , 8 hay an   11 11 n   n  n 8 Thử lại ta thấy thoả mãn Ví dụ 13 Tìm số hạng tổng quát dãy số  a0  0;a1    an2  2an1  an  2n  Giải Ta tìm hàm g  n   an3  bn (bậc g  n  lớn bậc f  n  đơn vị) 52 cho g  n    g  n  1  g  n   2n  Giải ta 1 g  n   n3  n2 Đặt bn  an  g  n  , ta có phương trình sai phân cấp bn2  2bn1  bn Từ suy 1  bn   n   1n  n 6  Vậy 1 an  n3  n  n Thử lại ta thấy thỏa mãn Ví dụ 14 Tìm số hạng tổng quát dãy số   u0  1;u1   n   un2  5un1  6un  Giải Ta tìm g  n   an3n cho a  n   3n2  5a  n  1 3n1  6an3n  3n n   giải ta a  Khi ta có vn2  5vn  6vn  un  g  n    2.2n  3n   Vậy un  2.2n  3n  n.3n1 Thử lại ta thấy thoả mãn Ví dụ 15 Tìm số hạng tổng quát dãy số 53  a0  0;a1   n  an2  5an1  6an  3.5 Giải Ta tìm g  n   a.5n cho g  n    5g  n  1  6g  n   3.5n giải ta có g  n   n Đặt an  g  n   bn ta có phương trình sai phân bn2  5bn1  6bn giải ta có: bn   3n Do 3n 5n an    2 Thử lại ta thấy thoả mãn Ví dụ 16 Tìm số hạng tổng quát dãy số  a0  0;a1   n  an2  4an1  4an  5.2 Giải Ta tìm g  n   an2 2n cho g  n    4g  n  1  4g  n   5.2n , n  giải ta có g  n   n 2n Đặt bn  an  g  n  , ta có phương trình sai phân bn2  4bn1  4bn giải ta có bn  n.2n 1 Vậy an  n.2n 1  n 2n Thử lại ta thấy thoả mãn Ví dụ 17 Tìm số hạng tổng quát dãy số   u1  0; u   n   u n 1  2u n  3u n 1  n  , n  Giải Phương trình đặc trưng   2   có nghiệm 1  1, 2  Ta có 54 un  un0  u1*n  u2*n un0  A 1  B.3n , u1*n  a  bn, u2*n  k.2n n thay u1n* vào phương trình un1  2un  3un1  n , ta a  n  1  b   an  b   a  n  1  b   n   4a  1 n   a  b   1 * giải ta tìm a  b   , un*   n  1 Thay u2n vào phương trình 4 un1  2un  3un1  2n , ta k 2n1  2.k.2n  3.k.2n1  2n  k   Do u2*n   2n   2n1 3 Nên un  un0  u1*n  u2*n  A  1  B.3n  n 1  n  1  2n1 Ta thay u1  1, u2  vào biểu thức ta hệ phương trình 61    A  3B     A   48    A  9B     B  25   48 Vậy un   61 25 1 n  1  3n   n  1  2n1 48 48 2.4.2.4 Bài tập tự giải Tìm cơng thức tổng quát dãy cho bởi: 55  u  1  u n  :  ; u  3u  6n    n 1 n  u   un  :    un1  un  n  1, n    u1   un  :    un1  un  n  1*  u   u n  :  ; n u  u  2n   n 1 n  u   u n  :  ; u  u  2n  n 1 n  u   u n  :  ; n u  5u   n 1 n  u   u n  :  ;n  n u  2u    n 1 n  u1   n  un  :  1  un1  un    2   u   u n  :  ; n u  2u  n    n 1 n  u  10  un  :    un1  2un  sin n * * 11 Tìm cơng thức tổng qt dãy  u n  xác định   u  2;u1  8 a    u n   8u n 1  9u n   u  2,u1  b    u n   5u n 1  6u n , n    u  2;u  c  với n  ,n  u  5u  6u   n 1 u n 1   u  1,u1  d   2u n   5u n 1  2u n  n  2n    u  20,u1  100 e    u n   4u n 1  5u n  20, n    u0  1;u1  f  với f  n   n  u  5u  6u  f n    n 1 n  n 2   u  7;u  50 12 Cho dãy số (un) xác định sau:    u n 1  4u n  5u n 1  1975, n  ,n  Chứng minh u1996 chia hết cho 1997   u  3;u1  17 13 Cho dãy số (un) xác định sau:    u n  6u n 1  u n 2 , n  ,n  Chứng minh r ng n  N * un2  chia hết cho thương số phương   u1  1;u  14 Cho dãy số (un) xác định sau:    u n 1   n   u n   n  1 u n 1 , n  ,n  56 Tìm tất giá trị n để un số phương 2.5 Ứng dụng tốn tìm cơng thức tổng quát dãy số vào giải số toán dãy số - tổ hợp Trong mục chúng tơi đưa số ví dụ tốn dãy số tổ hợp mà trình giải tốn vận dụng số kết 2.5.1 Các ví dụ áp dụng Ví dụ 1: Cho dãy số (an ): an = 0, an = 1, an+1 = 2an - an-1 + n  Chứng minh r ng A = an an+2 + số phương Giải Từ công thức truy hồi dãy ta thay n + n ta  an 1  2an  an 1   an 1  3an  3an 1  an    a  2a  a    n n 1 n 2 Xét phương trình đặc trưng 3  3 2n1  3      1 đó, an  (   n   n2 ) mà a0  0, a1  1, a2  nên   0,     , an  (n  n2 ); A  n(n  1)(n  2)(n  3) suy đpcm Ví dụ (HSG Quốc Gia – 1997) Cho dãy số x1 = 7, x2 = 50, xn+1 = 4xn + 5xn-1 1975 n  Chứng minh r ng x1996  1997 Giải Vì -1975 = 22 (mod1997) ta cần chứng minh dãy xn+1 = 4xn + 5xn-1 + 221997 Đặt yn+1 = axn+1 + b = a(4xn + 5xn-1 + 22) + b = 4(axn + b) + 5(axn-1 + b) + 22a – 8b = 4yn + 5yn-1 + 22a - 8b Ta chọn a, b cho: 22a -8b = 0, ta chọn a =  b = 11  yn+1 = 4xn+1 + 11  y1 = 39, y2 = 211; yn+1 = 4yn + 5yn-1 Từ ta có được: 57  1  25.5n n yn   y1996  25.51996  Vì +  25.51996  1    mod3  y1996  Theo định lí Fecma 51996  1 mod1997  y1996  11 mod1997  4x1996 + 11 ≡ 11 (mod 1997)  x1996 ≡ (mod 1997) Ví dụ (HSG Quốc Gia Bảng A – 1998) Cho dãy số   u  20;u1  100  u  4u  5u  20,  n    n 1 n n 1 Tìm số nguyên dương h bé cho xu h  u n 1998 n  * Giải Đặt an = 2un + 5, ta có dãy  a  45;a1  205 (an):   an 1  4an  5an 1 , n   an  n n 10 125 n 125 n 5 1   u n    1   3 Vì an h  an   un h  un   un h  un 1998  anh  an 2.1998  22.32.37 Mà an  h  an  1  n 10  n 125.5n h   1  1      + Nếu h chẵn: Ta có  5h   125.5 h an  h  an   : 4.27.37  5h  81 17  5h  37  n   Gọi k số nguyên dương nhỏ thỏa mãn 5k  37 Vì 536  37  h 36  36 k  k  1,2,3,4,12,18,36 thử trực tiếp ta thấy có k = 36 thỏa mãn 58 5h  37  h 36 18 Chứng minh tương tự, ta có 5h  81  h  81  54 19 Từ (18) (19) ta suy ta (17)  h 36,54  108  h  108 + Nếu h lẻ: Vì u n h  u n  mod 1998 Nên ta có   u h  u  20  mod1998  5u h 1  u h 1  4u h  20   mod1998  u  u  100 mod1998     h 1 nên uh+1  (mod 1998) Vì h lẻ, nên h-1 chẵn, uh  125 h 25 125 h 1 u h 1    6 6 nên u h  5u h1   mod 1998 mâu thuẫn với u h  20  mod 1998 Với h = 108 ta dễ dàng chứng minh u n h  un  mod 1998  n  Vậy h = 108 giá trị cần tìm Ví dụ Cho dãy số  x n  x  2; x n 1  2x n  xn  1) Tính x 2000 ? 2) Tìm phần ngun A  2000 xi  i 1 Giải a) Ta có x n 1   xn  1  a0    1 Đặt an  xn  x n 1  xn  xn  59 3n 1  an 1  3an   an  x n   n 1 1 Vậy x 2000  32001  32001  b) Ta có 2000 A  2000   i 1  2000  A  2000   i  2001 Vậy  A   2000 i 1 1 i 1 2000 Ví dụ (TH & TT – 327) Cho hai dãy (xn ),(yn ) u1  1, y1   2 un1  3 xn  xn yn  8yn , n   2  yn1  xn  xn yn  yn Tìm tất số nguyên tố p cho xp +yp khơng chia hết cho p Giải Ta có xn+ 2yn = (xn-1 + 2yn-1 = …=  x1  y  2n 1 = (*) Giả sử có số tự nhiên k để xk = 2yk  yk+1 = Khi đó, ta có  x k   3x k2 1 vô lí   x k   Vậy yn-1 = (2xn - yn) (xn+ 2yn)  n Suy  3x n  y n  x n  y n   3x n  y n x n 1  y n 1  2x n  y n  x n  y n  2x n  y n Đặt an 1  x n 1 3an   a1  1, an 1  y n 1 2an  1   5 a 2  an 1   n   2   2an  an 1  an  an   an    5 n 1   5 n 1  xn (**) yn n 1 60 Từ (*) (**)   5 xn  n1 ; yn    5 n1  xn  yn    5 n1 Nếu p =  x2 + y2 =   p = không thỏa yêu cầu toán Nếu p =  x3 + y3 = -16 không chia hết cho  p = thỏa yêu cầu toán Nếu p = ta thấy thỏa mãn yêu cầu toán Nếu p >   5 p 1 ≡ (mod p)  xp + yp ≡ (mod p) Vậy p = 3, p = hai giá trị cần tìm Ví dụ (HSG Quốc Gia – 2001) Cho dãy số  u   u n  :  u n 1 u n  , n  2  2n  1 u n 1   Tính tổng 2001 số hạng dãy u n  Giải Ta có un  u n 1  4n   22  Ta phân tích 4n   k  n   n  1   l  n   n  1    Cho n = 0; n = 1, ta có hệ  k  l  2  k  2; l   k  l   Suy (22) tương đương với un  2n   u1  un1 1 4n   2n  1 2n  1   n  1         u1 un 2 2 1    2n  1 2n  1 2n  2n  61 2001 2000  i 1 1   ui  1  4002   2i   2i     4003  4003 i  Ví dụ (Belarus 1999) Xác định CTTQ dãy số    x1  y1    xn  xn1   xn1  yn1 y  , n   n 1 1 y n 1  Chứng minh r ng < x n y n < n  Giải Ta có x1   cot    cot   cos  sin B ng quy nạp ta chứng minh được: x n  cot n   2n 1   cot  2.6  2n 1.3 Đặt  x n  cot  n ; y n  tan 2 n  x n y n  tan 2 n cot  n Đặt t  tan n  tan2 n cot  n  Vì n     n  2  2t   t2 t  t2   t  tan     1t     x n y n  3n   đpcm 1t 2.5.2 Bài tập tự giải Tính tổng S n  12  22  32   n , với n số tự nhiên n  Tính tổng S n  1.2.3  2.3.4   n  n  1 n  2 , n  Trong mặt phẳng cho n đường thẳng, khơng có ba đường đồng quy đôi không cắt Hỏi n đường thẳng chia mặt phẳng thành miền? 62 Trong không gian n mặt phẳng, ba mặt phẳng cắt theo ba giao tuyến đồng quy Hỏi n mặt phẳng chia khơng gian thành miền? Có xâu nhị phân độ dài n khơng có hai bít l đứng cạnh Cho số nguyên dương n Tìm tất tập A tập X  1,2,3, ,2n cho không tồn hai phần tử x, y  A thỏa mãn: x + y = 2n + 63 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm tịi, nghiên cứu, đọc tài liệu, giải tập với giúp đỡ tận tình thầy giáo TS Hồng Nam, tơi hoàn thành luận văn tốt nghiệp theo kế hoạch đề Luận văn thu số kết sau Hệ thống các tính chất dãy số chứng minh chi tiết số tính chất định định lý liên quan Đưa số dạng toán, cách giải chúng số ví dụ minh họa giải tốn xác định công thức tổng quát dãy số (giới thiệu chi tiết phương pháp giải dạng ví dụ minh họa cho dạng tốn xác định công thức dãy số) Đề tài cịn nhiều hướng nghiên cứu mở tiếp tục nghiên cứu, nghiên cứu phân loại dạng toán dãy số, cách giải dạng; ứng dụng dãy số,… Tuy nhiên, thời gian có hạn nên luận văn khơng tránh khỏi khiếm khuyết, mong thầy bạn góp ý để luận văn hoàn thiện Trân trọng cảm ơn 64 T I LIỆU THAM KHẢO Võ Anh Dũng (2014), Tuyển tập c c đề thi Olympic 30-4 khối 11, Đề thi toán Việt Nam, nước khu vực, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Nguyễn Quý Dy, Nguyễn Sinh Nguyên, Nguyễn Văn Nho, Vũ Văn Thảo, Vũ Dương Thụy (2006), Tuyển tập 200 ài to n vô đ ch, NXBGD, Hà Nội Dãy số số ài to n dãy số, Chuyên đề 12 Bồi dưỡng học sinh giỏi, trang: http://123doc.org/document/2328280-bd-hsg-chuyen-de-12-day-so-va-cac-bai-toan-veday-so.htm Nguyễn Duy Đoan (2008), Đại số giải tích lớp 11 nâng cao, NXBGD, Hà Nội Nguyễn Văn Khải (2016), C c phương ph p dạng to n chọn lọc dãy số ph thông, Luận văn thạc sĩ toán học, Trường Đại họcThăng Long, Hà Nội Nguyễn Thị Loan (2016), Một số tính chất dãy số ng dụng, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Hồng Đức, Thanh hóa Nguyễn Văn Mậu (1996), Phương trình hàm, NXBGD, Hà Nội Nguyễn Văn Mậu (2003), Một số ài to n chọn lọc dãy số, NXBGD, Hà Nội Phạm Văn Nhậm (2011), Một số lớp ài to n dãy số, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Hà Nội 10 Sáng kiến kinh nghiệm (2013), X c đ nh công th c t ng qu t dãy số , trang: http://dethi.violet.vn/present/show/entry_id/9679518 11 Trần Duy Sơn (2009), Đi tìm cơng th c t ng qu t dãy số, NXBGD, Hà Nội 12 Lê Đình Thịnh (2001), Phương trình sai phân số ng dụng, NXBGD, Hà Nội 13 Nguyễn Tất Thu (2008) , Một số phương ph p x c đ nh công th c t ng qu t dãy số, Chuyên đề hội giảng, Trường THPT BC Lê Hồng Phong, Đồng Nai 14 Nguyễn Tiến Tuấn (2015), Phương trình sai phân ng dụng, Luận văn thạc sĩ khoa học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Hà Nội