Sử dụng hàm số để tìm giới hạn của dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– NGUYỄN THỊ THU SỬ DỤNG HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— NGUYỄN THỊ THU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ VĂN LỢI Thanh Hóa, 2019 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1897 ngày 21 tháng 11 năm 2019 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Chức danh Cơ quan công tác hội đồng GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu ĐHQG Hà Nội Chủ tịch PGS.TS Vũ Trọng Lưỡng ĐHGD ĐHQG HN Phản biện Đinh Huy Hoàng Phản biện PGS.TS GS.TSKH Vũ Ngọc Phát Viện Tốn học Ủy viên TS Hồng Nam ĐH Hồng Đức Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng 12 năm 2019 TS Đỗ Văn Lợi i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Nguyễn Thị Thu ii LỜI CẢM ƠN Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới TS Đỗ Văn Lợi, Trường Đại học Hồng Đức, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả suốt q trình hồn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn Phòng Quản lý Đào tạo sau Đại học, khoa KHTN-Trường Đại học Hồng Đức tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả suốt trình học tập trường Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn đồng nghiệp, người động viên tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành khóa học Tuy có nhiều cố gắng khả nghiên cứu có hạn nên luận văn cịn thiếu sót khó tránh khỏi Tác giả mong nhận đóng góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn thiện Luận văn thực hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Thanh Hóa, tháng 10 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Thu iii Mục lục KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số 1.2 Hàm số SỬ DỤNG GIỚI HẠN HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 2.1 Sử dụng qui tắc Lopitan cho giới hạn hàm số để tìm giới hạn dãy số: 2.2 7 Sử dụng vô bé, vô lớn cho giới hạn hàm số để tìm giới hạn dãy số: 13 SỬ DỤNG MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ ĐỂ TÌM GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ 16 3.1 Sử dụng tính đơn điệu hàm số 16 3.2 Sử dụng Định lý Lagrange tốn tìm giới hạn 27 MỞ ĐẦU Lịch sử vấn đề lí chọn đề tài Dãy số số vấn đề liên quan đến dãy số phần quan trọng đại số giải tích toán học Các học sinh sinh viên thường phải đối mặt với nhiều dạng tốn khó liên quan đến chuyên đề Dãy số quan trọng toán học không đối tượng để nghiên cứu mà cịn đóng vai trị cơng cụ đắc lực mơ hình rời rạc giải tích lý thuyết phương trình, lý thuyết xấp xỉ, lý thuyết biểu diễn, Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc tế, thi vơ địch tốn nước, tốn liên quan đến dãy số hay đề cập thường thuộc loại khó Một dạng tốn quen thuộc có liên quan đến dãy số tốn tìm giới hạn (nếu có) dãy Với dạng tốn có nhiều tài liệu chun khảo có đề cấp đến số phương pháp phương pháp sai phân, phương pháp hệ số bất định, phương pháp truy hồi, (xem [1],[5]) Tuy nhiên tài liệu có khai thác số tính chất hàm số để tìm giới hạn dãy chưa nhiều Chính lẽ mà chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: "Sử dụng hàm số để tìm giới hạn dãy số" Đối tượng nghiên cứu Chúng nghiên cứu tốn tìm giới hạn dãy số Mục đích nghiên cứu Luận văn khai thác số tính chất hàm số việc tìm giới hạn dãy số cho dạng hàm số Tìm giới hạn dãy số thơng qua việc tìm giới hạn hàm số hay thơng qua tính chất hàm số Phạm vi nghiên cứu Chúng nghiên cứu số ứng dụng hàm số vào việc tìm giới hạn dãy số Phương pháp nghiên cứu Để giải mục đích nghiên cứu, chúng tơi sử dụng tính chất đơn điệu, định lý giới hạn hàm số, qui tắc Lopital, vơ bé tương đương để tìm giới hạn dãy số Ý nghĩa luận văn Kết luận văn góp phần làm phong phú thêm phương pháp giải tốn tìm giới hạn dãy số Tổng quan cấu trúc luận văn Ngoài phần Mở đầu, Kết luận Tài liệu tham khảo, nội dung luận văn gồm chương: Chương 1: Các kiến thức dãy số, hàm số Nhắc lại số kiến thức liên quan đến dãy số dùng luận văn Nhắc lại số kiến thức quan đến hàm số dùng luận văn Chương 2: Sử dụng giới hạn hàm số tìm giới hạn dãy số Trong chương sử dụng qui tắc Lopitan việc sử dụng vô bé tương đương để tìm giới hạn hàm, từ chuyển việc tìm giới hạn dãy số Chương 3: Sử dụng tính chất hàm số để tìm giới hạn dãy số Trong chương tác giả trình bày tốn dãy, có nhiều tốn có kỳ thi học sinh giỏi, toán trình bày dạng tổng quát Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Dãy số Định nghĩa 1.1.1 [3] Dãy số hàm số từ N∗ (hoặc N),(hoặc tập N) vào tập hợp số R Các số hạng dãy số thường ký hiệu un , , xn , yn · · · Bản thân dãy số ký hiệu tương ứng {un }, {vn }, {xn }, {yn }, (un ), (vn ), (xn ), (yn ), · · · Dãy gọi vô hạn tập giá trị dãy có vơ hạn phần tử Dãy gọi hữu hạn số phần tử tập giá trị dãy hữu hạn Nhận xét: Vì dãy số trường hợp đặc biệt hàm số nên có tính chất hàm số Định nghĩa 1.1.2 [3] Dãy số (un ) gọi là: - Dãy đơn điệu tăng un+1 ≥ un , với n = 1, 2, · · · , - Dãy đơn điệu giảm un+1 ≤ un , với n = 1, 2, · · · , Định nghĩa 1.1.3 [3] • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M cho ∀n ∈ N∗ , ta có un ≤ M • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số m cho ∀n ∈ N∗ , ta có un ≥ m, ∀n ∈ N∗ • Dãy số (un ) gọi bị chặn tồn số M số m cho m ≤ un ≤ M, ∀n ∈ N∗ Định lý 1.1.1 [3] • Mọi dãy đơn điệu tăng bị chặn hội tụ, • Mọi dãy đơn điệu giảm bị chặn hội tụ Định lý 1.1.2 [3] • Mọi dãy đơn điệu tăng không bị chặn tiến tới +∞, • Mọi dãy đơn điệu giảm khơng bị chặn tiến tới −∞ Định nghĩa 1.1.4 [3] Dãy (xn ) gọi hội tụ có giới hạn a ∀ > ∃n0 ∈ N cho ∀n > n0 ta có: |xn − a| <  Định nghĩa 1.1.5 [3] Dãy (xn ) gọi dãy Cauchy thỏa mãn điều kiện ∀ε > 0, ∃n0 ∈ N : ∀n, k ∈ N, n ≥ n0 ta có: |xn+k − xn | < ε Định lý 1.1.3 [3] Dãy số (xn ) hội tụ (xn ) dãy Cauchy Định lý 1.1.4 [3] Giới hạn dãy số (nếu có) 1.2 Hàm số Định nghĩa 1.2.1 [3] hàm số f (x) xác định X gọi có giới hạn L x → a, ∀ > 0, ∃δ > cho ∀x ∈ X mà |x − a| < δ ta có |f (x) − L| < , kí hiệu: lim f (x) = L x→a Định lý 1.2.1 (Định lý mối liên hệ giới hạn hàm số giới hạn dãy số)[3]: Giả sử X tập hợp số thực, x0 điểm tụ X , hàm f xác định X , đó: lim f (x) = L ⇔ (∀{xn } ⊂ X − {x0 } : lim xn = x0 ⇒ lim f (xn ) = L) x→x0 n→∞ n→∞ Khi tính lim un , ta xem un = f (x) x = n, nghĩa un = n→∞ f (n) Nếu lim f (x) = L lim un = L Định lý 1.2.1 phát biểu x→∞ n→∞ dạng khác sau: Định lý 1.2.2 lim f (x) = L lim f (un ) = L với dãy x→a un → a n → ∞ n→∞ 19 Lời giải Ta có: u3n+1 − 3un+1 (un+1 − 1) = un + 1, ∀n ∈ N∗ ⇔ un = (un+1 − 1)3 , ∀n ∈ N∗ Do u1 = 2, > 0, nên (u2 − 1)3 = u1 > hay u2 > 1; quy nạp ta chứng minh un > 1, ∀n ∈ N∗ , n ≥ √ Xét hàm số f (x) = x + 1, với x > 1, ta có f (x) = √ > 0, ∀x > 3 x2 Do f (x) hàm đồng biến (1; +∞) Lại có un+1 = f (un ), ∀n ∈ N∗ √ u1 = 2, > u2 = 2, + nên ta suy (un ) dãy giảm bị chặn nên dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Nhận xét 3.2 Bài toán thay điều kiện u1 = 2, u1 = A với A > 2, Bài toán 3.2 Cho dãy số (un ) thỏa mãn     u1 = √ un    3+ p , ∀n ∈ N∗ u =  n+1 un − Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn Lời giải Xét hàm số f (x) = √ 3+ √ x , ∀x > 1; ta có: x2 − −1 < 0, ∀x > Do f (x) hàm nghịch biến ∀x > (x2 − 1)3 r √ √ Ta chứng minh < un < + , ∀n ∈ N∗ (3.2) Dẽ thấy (3.2) n = Giả sử (3,2) n = k, k ∈ N∗ r Ta có uk+1 = f (uk ) √ √ √ mà uk > ⇒ f (uk ) < f ( 3) Suy uk+1 < + √ √ √ uk Mặt khác, uk > > ⇒ uk+1 = + q > u2k − r √ √ Vậy < un < + , ∀n ∈ N∗ Hơn f (un ) f (x) hàm r √ √ nghịch biến khoảng ( , + ) f (x) = p 20 Do f (x) hàm nghịch biến un+1 = f (un ) nên theo Định lý (3.1.3) (un ) tách hàm thành hai dãy: (u2n ) (u2n+1 ) có dãy tăng dãy giảm, (un ) bị chặn nên tồn lim u2n lim u2n+1 Đặt: lim u2n+1 = a; lim u2n = b , hàm f liên tục nên theo Định lý (3.1.3) a b hai nghiệm phương trình f (f (x)) = x r √ √ , Xét hàm số: F (x) = f (f (x)) − x, < x < + (3.1) ta có F (x) = f (x).f (f (x)) − r √ √ √ Do f (x) > với < x < + − < f (x) < nên − < f (f (x)) < ⇒ F (x) < (3.2) Do phương trình F (x) = có nghiệm nhất, nghĩa phương trình f (f (x)) = có nghiệm ⇒ lim u2n+1 = lim u2n = a⇒ lim un = a Vậy (un ) có giới hạn hữu hạn Nhận xét 3.3 Giá trị u1r= thay giá trị √ √ khoảng ( , + ) tốn cịn Bài  tốn 3.3 Cho dãy số thực (xn ) thỏa mãn:    x1 = ,  3xn   ∀n ∈ N∗ xn+1 = 2xn + Chứng minh dãy số có giới hạn tính giới hạn Lời giải 3t , t > 0, ta có: 2t + > nên f (t) hàm đồng biến (0, +∞) Dễ thấy xn > 0, ∀n ≥ Xét hàm số f (t) = (2t + 1)2 Dãy  số cho viết dạng   x1 = ,   x = f (x ) f (t) = n+1 Do x2 = n > x1 nên x3 = f (x2 ) > f (x1 ) = x2 , quy nạp ta chứng 21 minh (xn ) dãy tăng Mặt khác, ta có xn+1 − 3xn −3 = − = nên l = giới hạn cần tìm nên suy xn < Bài  toán 3.4 Cho dãy số xác định bởi:   u1 = 1,   un+1 = 3un + , n ≥ un + Đặt xn = u2n−1 , yn = u2n a) Chứng minh dãy (xn ), (yn ) có giới hạn hữu hạn b) Chứng minh (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải 3x + , x > 0, x+1 < 0, ∀x > 0, nên hàm nghịch biến a) Dễ thấy un > 0, ∀n ≥ Xét hàm số f (x) = −1 (x + 1)2 Do g(x) = f (f (x)) hàm đồng biến (0, +∞) ta có f (x) = Các dãy số cho viết lại là: u1 = 1, un+1 = f (un ), ∀n ≥ 1, x1 = 1, xn+1 = u2n+1 = f (u2n ) = f (f (u2n−1 )) = g(xn ), ∀n ≥ 1, y1 = , yn+1 = u2(n+1) = f (u2n+1 ) = f (f (u2n )) = g(yn ), ∀n ≥ 29 123 Ta có: u1 = ; u3 = > u1 , u4 = < u2 Từ tính đồng biến hàm 38 g(x) , sử dụng Định lý (3.1.2) ta xn đồng biến yn nghịch biến Ta thấy un+1 − = 3un + −un −4= < 0, un + un + nên dãy bị chặn hay dãy (xn ) bị chặn Suy dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn Tương tự, dãy (yn ) giảm bị chặn 22 nên có giới hạn    x2n+1 = f (x2n ), b) Giả sử lim xn = a; lim yn = b Do   x2n+1 = f (x2n+1 ) 3x + mà f (x) = , x > hàm liên tục nên cho n → +∞ ta có x +      3b +   a = a = f (b) 3b + 3a + a−b b+1 ⇔ ⇒ a−b = − =   b + a + (a + 1)(b + 1) 3a +    b = f (a) b = √ a+1 Suy a = b = 1+ 5, đó, hai dãy (xn ), (yn ) dãy (un ) hội √ tụ điểm nên dãy cho hội tụ giới hạn cần tìm + Bài tốn 3.5 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:    x1 = 1;   xn+1 = 2019 ln(x2 + 20202 ) − 20202 n Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn khoảng (−20202 ; 0) Lời giải Xét hàm số f (x) = 2019 ln(x2n + 20202 ) − 20202 , x ∈ R Dễ thấy f liên tục R xn+1 = f (xn ) Ta có f (x) = 2019 x2 2x 2019 ⇒ |f (x)| ≤ + 2020 2020 Xét hàm số: g(x) = x − f (x), x ∈ R Ta có g (x) = − f (x) > 0, với x ∈ R g(0) = −f (0) = −2019 ln(20202 ) + 20202 , g(−20202 ) = −2019 ln(20202 + 20204 ) < Do g(0).g(−20202 ) < tồn c ∈ (−20202 ; 0) thỏa mãn g(c) = 0, hay f (c) = c lại g hàm đồng biến nên c Lại có xn+1 = f (xn ) nên với n tồn qn nằm c xn thỏa mãn f (xn ) − f (c) = f (qn )(xn − c) 23 Suy |xn+1 − c| = |f (qn )||xn − c| ≤ 2019 |xn − c| 2020 Vậy 2019 |xn − c| ≤ |xn−1 − c| ≤ · · · ≤ 2020  2019 2020 n−1 |x1 − c| Cho n → ∞, ta |xn − c| → lim xn = c Nhận xét 3.4 Khi thay số 2019 A, thay số 2020 A + 1, với điều kiện A > ví dụ dãy (xn ) có giới hạn khoảng (−A2 ; 0) Bài toán 3.6 Dãy số (xn ) xác định xn+1 a > x3n + 3axn , n ∈ N∗ với = 3x2n + a Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn Lời giải x3 + 3ax Xét hàm số f (x) = Khi đó: 3x2 + a √ 3(x2 − a)2 + f (x) = > 0, ∀x = a; − (3x2 + a)2 dãy số cho viết dạng: xn+1 = f (xn ), n = 1, 2, √ √ + a , ta có tương ứng x = • Với x1 = + n − − a, tức dãy (xn ) có giới hạn √ √ 2x(x2 − a) • Với x1 6= + a f (x) − x = − < x > a − 2+a 3x √ + Nếu x1 > a x2 − x1 =√f (x1 ) − x1 < 0, hay x2 < x1 x31 + 3ax1 4( a)3 √ x2 = > = a 3x21 + a 4a Bằng quy nạp ta chứng minh dãy cho giảm bị chặn √ a, suy có giới hạn hữu hạn √ + Nếu < x1 < a x2 > x1 , chứng minh tương tự ta √ dãy tăng, bị chặn a, nên có giới hạn hữu hạn + Các trường hợp lại x1 chứng minh tương tự Vậy trường hợp x1 dãy cho có giới hạn hữu hạn Nhận xét 3.5 Như dãy số có dạng xn+1 = f (xn ) hàm f (x) đơn điệu gần giải hoàn toàn Tuy nhiên, trường hợp khác, dãy không đơn điệu việc biện luận phức tạp 24 nhiều Ta tiến hành khảo sát dãy cho dùng nguyên lí kẹp để suy giới hạn Các bước giải tốn thể ví dụ sau: Bài toán 3.7 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:    u1 = a ∈ (0, 1); r  u +k  un+1 = n , k > 1, n ≥ kun + Chứng minh lim un = Lời giải ta có u1 = a ∈ (0, 1); Giả sử un ∈ (0, 1), ⇒ (1 − un ) < ⇒ (1 − un )(k − 1) < 0, ∀k > ⇒ un + k < kun + 1, ∀k > un + k ⇒ < 1, ∀k > 1; hay un+1 ∈ (0, 1) kun + nên theo nguyên lý quy nạp ta có un ∈ (0, 1) Xét hàm số r f (x) = x+k , k > 1, x ∈ [0, 1] kx + Ta có 1−k f (x) = (1 + kx)2 s x+k kx + −8 − k2 p = ≤ 9(kx + 1) (kx + 1)(x + k)8 ⇒ f (x) < , ∀x ∈ [0, 1] Nếu dãy cho hội tụ giới hạn phải nghiệm phương trình r x+k f (x) = x ⇔ x = ⇔ kx10 + x9 = k + x kx + ⇔ k(x10 − 1) + x(x8 − 1) = ⇔ x = Theo Định lý Lagrange tồn c ∈ (0; 1) cho f (c) = f (1) − f (x) ⇒ f (1) − f (x) < (1 − x) 1−x Ta có f (1) = 1,  n ≤ − un+1 = f (1) − f (un ) < (1 − un ) < < (1 − a) 9 Theo nguyên lý kẹp ta lim un = 25 Bài toán 3.8 Cho dãy số (xn ) xác định bởi:     x1 = a ≥ 1,    x  n  , n ≥ xn+1 = + ln + ln xn Chứng minh dãy có giới hạn hữu hạn không phụ thuộc vào giá trị a Lời giải Nếu a = xn = 1, ∀n hay lim xn = Nếu a > quy nạp, ta chứng minh xn > , tức ta cần chứng minh x2n > + ln xn Bất đẳng thức chứng minh dễ dàng khảo sát hàm số Tiếp theo, ta chứng minh dãy tăng, tức xn+1 > xn cách xét hàm số sau x2 f (x) = x − − ln + ln x Ta có f (x) = g(x) x − + x ln x − ln x = , x(1 + ln x) x(1 + ln x) với g(x) = x − + x ln x − ln x, x > Ta có g (x) = 2(1 − ) + ln x > 0, ∀x > x Khi g(x) > g(1) = 0, suy f (x) > 0, ∀x > Do hàm f đồng biến (1; +∞) Từ dễ dàng có được, x2n xn+1 − xn = + ln − xn < + ln xn hay xn+1 − xn < 0, tức xn dãy giảm, mặt khác dãy bị chặn nên có giới hạn hữu hạn Sau số ví dụ dạng 26 Bài toán 3.9 Cho số thực a dãy số (xn ) xác định sau:    x1 = a,   xn+1 = xn + sin xn , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm lim xn Bài tốn 3.10 Cho dãy số (xn ) xác định sau:    x1 = √a, a > 2,  p  xn+1 = a − √a + xn , ∀n ∈ N, n ≥ Tìm (xn ) có giới hạn hữu hạn Bài toán 3.11 Cho số thực a dãy số (xn ) xác định sau:     x1 = 0,  x n    , ∀n ∈ N∗ xn+1 = Xét tính hội tụ dãy (xn ) Bài tốn 3.12 Cho số thực a dãy số (xn ) xác định sau:    x1 = a,   xn+1 = 3x3 − 7x2 + 5xn , ∀n ∈ N∗ n n Tìm tất giá trị a để dãy số cho có giới hạn hữu hạn Bài toán 3.13 Cho số thực a dãy số (xn ) xác định sau:    x1 = a,   xn+1 = − xn + , ∀n ∈ N∗ 2xn Chứng minh dãy (xn ) có giới hạn hữu hạn Hãy tìm giới hạn 27 3.2 Sử dụng Định lý Lagrange tốn tìm giới hạn Định lý 3.2.1 Cho f (x) hàm số xác định có đạo hàm ∆, thỏa mãn điều kiện tồn số  dương q < cho |f (x)| ≤ q, ∀x ∈ ∆   x1 ∈ ∆, dãy số (xn ) xác định bởi:   xn+1 = f (xn ), ∀n ∈ N∗ Khi đó, dãy (xn ) có giới hạn nghiệm phương trình f (x) = x Chứng minh Trước hết ta chứng minh dãy (xn ) dãy Cauchy Thật vậy, với n, k ∈ N, n, k > ta có: |xn+k − xn | = |f (xn+k−1 ) − f (xn−1 )| = |f (c)||xn+k−1 − xn−1 | ≤ q|xn+k−1 − xn−1 | ≤ · · · ≤ q n−1 |xk+1 − x1 | Mặt khác, ta có |xk+1 − x1 | ≤ |xk+1 − xk | + |xk − xk−1 | · · · + |x2 − x1 |
≤ q k−1 + · · · + |x2 − x1 | = |x2 − x1 |, 1−q từ suy |xk+1 − x1 | bị chặn với k Do với ε > tồn N ∈ N cho với n ≥ N, với k ∈ N |xn+k − xn | < ε Nghĩa dãy (xn ) dãy Cauchy, suy hội tụ từ điều kiện hàm f , dễ dàng chứng minh f liên tục từ đẳng thức xn = f (xn−1 ), chuyển qua giới hạn ta giới hạn dãy (xn ) nghiệm phương trình f (x) = x Ví  dụ 3.1 Cho số thực a dãy số thực (un ) xác định bởi:   u1 = a,   un+1 = ln(cos un + sin un + 2019), ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy số (xn ) có giới hạn hữu hạn n → +∞ Lời giải Xét hàm số f (x) = ln(cos x + sin x + 2019), có f (x) = cos x − sin x cos x + sin x + 2019 28 Dễ thấy: | cos x − sin x| ≤ √ | cos x + sin x| ≤ √ √ √ Ví  dụ 3.2 Cho dãy (un ) xác định sau:  √  u1 = 2019,   un+1 = √2019 + un , ∀n ∈ N∗ Chứng minh dãy (un ) có giới hạn hữu hạn tìm giới hạn Lời giải √ Ta có un ∈ (0; +∞), n ∈ N∗ Xét hàm số f (x) = 2019 + x (0, +∞), √ un+1 = 2019 + un , ∀n ∈ N∗ Xét phương trình       x ≥ x ≥ ⇔ f (x) = x ⇔   √   x2 − x − 2019 =  2019 + x = x √ + 8077 ⇔x= =α (3.4) 1 Ta có f (x) = √ ⇔ |f (x)| < , ∀x ∈ (0; +∞) 2 2019 + x ∗ Theo định lý Lagrange, với n ∈ N , tồn cn ∈ (0; +∞) cho: f (un ) − f (α) = (un − α)f (cn ) ⇒ un+1 − α = (un − α)f (cn ) ⇒ |un+1 − α| = |(un − α)||f (cn )| ≤ |un − α| (3.5) Suy với n ∈ N∗ ta có |un+1 − α| ≤ |un − α|,  n−1 ≤ |un − α| ≤ |u1 − α| Theo nguyên lý giới hạn kẹp, ta suy lim |un − α| = 0, hay lim un = α 29 Nhận xét 3.7 Bài tốn cịn thay số 2019 A với A > Ví  dụ 3.3 Cho dãy (xn ) xác định sau:   x1 = ,   xn+1 = x2 − 1, ∀n ∈ N∗ n Khi đó, dãy (xn ) hội tụ có giới hạn nghiệm phương trình f (x) = x Lời giải Ta chứng minh tồn a để |xn+1 −a| ≤ q|xn −a|, < q < 1 Giả sử dãy (xn ) có giới hạn a, a = a2 − √ √ ⇔ a = + 3; a = − Bằng quy nạp ta chứng minh −1 < xn < 0, ∀n > 1, a ≤ √ √ Suy a = − 3, ta chứng minh lim xn = a = − Thật vậy, ta có xn + a |xn − a|, ∀n ≥ (3.6) √ xn + a √