(SKKN mới NHẤT) SKKN kinh nghiệm sử dụng hàm số bậc nhất, bậc 2 hướng dẫn học sinh lớp 10 giải một số bài toán bất đẳng thức

Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HỐ TRƯỜNG THPT NƠNG CỐNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC Người thực hiện: Nguyễn Đình Dũng Chức vụ : Giáo viên SKKN thuộc lĩnh vực(mơn): Tốn học THANH HĨA NĂM 2018 Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -1download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 MỤC LỤC Tran g A PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài………………………………………………………………… ….2 B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề……… …………………… II Thực trạng vấn đề…………………………………………………….… 2.1 Thực trạng chung………………………………………………………… 2.2 Thực trạng giáo viên…………………… ……………………… … 2.3 Thực trạng học sinh……………………… …………………….… III Các giải pháp thực hiện…………………………………………………….… Cơ sở lý thuyết: ………………………………………………………………… 3.1 Hàm số bậc nhất:…………………………………………………………… 3.2 Hàm số bậc hai:…………………………………………………………… ….4 ỨNG DỤNG:………………………………………………………………….……4 3.3 Hàm số bậc nhất………………………………………………………… ….4 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG:………………………………………………….9 3.4 Hàm số bậc hai……………………………………………………….….… 11 MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG…………………………………………………17 IV Các biện pháp tổ chức thực hiện…………………………………………… 18 4.1 Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn thầy giáo……………… 18 4.2 Hình thức tự nghiên cứu tốn có hướng dẫn thầy giáo…….….18 4.3 Kết nghiên cứu………………………………………………………… 18 C KẾT LUẬN I Kết luận………………………………………………………………………….18 Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố -2download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 A PHẦN MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI - Để rèn luyện kỹ năng, phương pháp giải toán cho học sinh việc trang bị cho học sinh kiến thức bản, người thầy giáo cần nghiên cứu tìm tòi phương pháp để học sinh dễ tiếp thu dễ vận dụng - Bất đẳng thức mảng kiến thức khó rộng mơn Tốn nhờ tập bất đẳng thức mà học sinh hiểu kĩ hơn, sâu giải biện luận phương trình, bất phương trình; Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ biểu thức, mối liên hệ yếu tố tam giác q trình giải tốn khả tư sáng tạo người học phát triển mạnh Thực tế giải tập bất đẳng thức học sinh thường gặp nhiều khó khăn cách giải chúng khơng hồn tồn có mẫu quy tắc số mảng kiến thức khác - Qua nhiều năm giảng dạy toán trường phổ thông, người thầy, thường trăn trở suy nghĩ, thu thập tài liệu, cố gắng tìm tịi phương pháp mới, học sinh dễ tiếp thu, dễ vận dung với mong muốn giúp học sinh tự tin đứng trước số toán bất đẳng thức cụ thể toán chứng minh bất đẳng thức hay tốn tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ Với lý chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm là: “KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề - Vận dụng tốt phương pháp phù hợp để giải bất đẳng thức, Học Sinh tiết kiệm thời gian, giải gọn - Bất đẳng thức kiến thức khó khơng thể thiếu vốn kiến thức Học Sinh phổ thông, học sinh giỏi - Khi vận dụng phương pháp phù hợp , Học Sinh biến đổi nhanh gọn bất ngờ, đầy hứng thú, kích thích phát triển tinh thần say mê , thích thú học tốn II Thực trạng vấn đề Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -3download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 2.1 Thực trạng chung Xuất phát từ mục tiêu đổi chương trình giáo dục phổ thông là: Coi trọng thực hành, vận dụng kiến thức vào thực tế, nội dung chương trình tinh giản, giảm tính hàn lâm, tập trung vào kiến thức, kĩ thiết thực, tích hợp nhiều mặt giáo dục Do vậy, hệ thống kiến thức kĩ tương ứng cần truyền thụ cho học sinh chương trình phổ thơng hoàn toàn 2.2 Thục trạng giáo viên Đối với đa số giáo viên không quen không hào hứng dạy phần này, vì: Nội dung bất đảng thức chương trình phổ thơng mảng kiến thức khó, tốn thường khó suy đốn tìm phương pháp phù hợp Chính nhiều giáo viên thường hay ngại sâu mảng kiến thức này, họ dạy phương pháp kiến thức cho học sinh 2.3 Thực trạng học sinh Đối với học sinh, hầu hết em không hứng thú việc học bất đẳng thức kiến thức khó Khi gặp toán bất đẳng thức học sinh thường hay bỏ qua làm tất dạng toán khác cuối qua tâm tới bất đẳng thức Vì vậy, trình dạy học bất đẳng thức giáo viên không dạy cho học sinh nắm vững khái niệm, định lí; bất đẳng thức mà chủ yếu phải dạy cho học sinh biết vận dụng khái niệm, định lí; tìm tịi mảng kiến thức có liên qua để vận dụng vào dạy bất đẳng thức để học sinh tiếp thu vận dụng dễ dàng Nhằm khắc phục khó khăn sai lầm học sinh III CÁC GIẢI PHÁP THỰC HIỆN Cơ sở lý thuyết: 3.1 Hàm số bậc nhất: Tính chất: Cho hàm số Tính chất 1: Khi nghịch biến hàm số đồng biến ; Khi Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố -4download by : skknchat@gmail.com hầm số Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Tính chất 2: Đồ thị hàm số đường thẳng cắt cắt điểm điểm Từ hai tính chất ta suy ra: Xét đoạn đoạn thẳng với hai đầu mút đồ thị hàm số Vậy với thì: Tính chất 3: Xét đoạn hàm số đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hai đầu mút đoạn Nếu hàm số đồng biến đoạn Tức là: hàm số đạt giá trị nhỏ đạt giá trị lớn Nếu hàm số nghịch biến đoạn hàm số đạt giá trị lớn đạt giá trị nhỏ 3.2 Hàm số bậc hai: Tính chất: Cho hàm số - Khi khoảng , hàm số nghịch biến khoảng có giá trị nhỏ , đồng biến Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -5download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 - Khi , hàm số đồng biến khoảng khoảng có giá trị lớn Xét đoạn , nghịch biến ta có trường hợp sau: TH1: - Nếu hàm số đạt giá trị nhỏ lớn - Nếu , đạt giá trị hàm số đạt giá trị nhỏ , đạt giá trị lớn - Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhỏ khi , đạt giá trị TH2: - Nếu hàm số đạt giá trị lớn nhỏ - Nếu , đạt giá trị hàm số đạt giá trị lớn , đạt giá trị lớn - Nếu lớn hàm số đạt giá trị nhỏ khi ỨNG DỤNG: 3.3 Hàm số bậc Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -6download by : skknchat@gmail.com , đạt giá trị Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Ví dụ 1: Chứng minh với với Giải Ta có Ta có hàm số bậc với hệ số Vậy hàm số (do nghịch biến, với Ví dụ 2: Chứng minh với ) với Giải Ta có Ta thấy hàm số bậc có hệ số Vậy (do đồng biến nên ) Do đó: Ví dụ 3: Cho (ĐPCM) số thuộc đoạn Chứng minh rằng: Giải Bất đẳng thức cần chứng minh Xét hàm sơ Khi: ta có Khi: Ta có: hàm số bậc với hệ số Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -7download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Vậy theo tính chất Dấu xảy ĐPCM đẳng thức xảy biến đổi Dấu xảy Dấu xảy Dấu xảy với tùy ý Chú ý: Khi sử dụng phương pháp hàm số bậc dấu xảy , tức Ta dựa vào để tìm giá trị biến khác Và bất đẳng thức vai trị biến tương đương giá trị để đẳng thức xảy cặp biến có giá trị vịng quanh Ví dụ 4: Cho số thực không âm thỏa mãn minh rằng: Chứng Giải Bất đẳng thức cần chứng minh Đặt , ta coi vế trái hàm số ẩn : Ta cần chứng minh Khi ta có Khi ta có Thật hàm số bậc Theo bất đẳng thức Cauchy ta có: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá -8download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Mà Vậy theo tính chất hàm số bậc ta có Suy điều phải chứng minh Dấu xảy Ví dụ 5: Cho Chứng minh rằng: Giải Coi bất đẳng thức cần chứng minh hàm số bậc với ẩn Vì : nên ta có: Theo tính chất hàm số bậc ta có Suy điều phải chứng minh Nhận xét: - Đối với bất đẳng thức trên, ta hoàn toàn áp dụng bất đẳng thức quen thuộc để chứng minh cách dài dòng rắc rối, đơi đưa tốn vào bế tắc Sử dụng phương pháp hàm số giúp toán giải nhanh gọn, giảm đáng kể số lượng phép biến đổi, phải chứng minh bất đẳng thức đơn giãn cách sử dụng tính chất dấu đa thức bậc - Trong số trường hợp, ta không cần thiết phải biến đổi vế trái thành dạng mà để nguyên thay giá trị biến vào, với điều kiện ta chứng minh hàm số bậc khơng phải bậc khác Ví dụ 6: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Giải Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố -9download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Từ giả thiết ta có suy Cũng từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta cần chứng minh: Đặt trở thành Xét hàm số Nếu (Hiển nhiên đúng) Nếu (do ) hàm số bậc Ta có: Vậy theo tính chất hàm số bậc ta có Suy điều phải chứng minh Dấu xảy Ví dụ 7: Cho độ dài ba cạnh tam giác có chu vi Chứng minh Giải Từ giả thiết ta có Khi Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 10 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Đặt trở thành: Xét hàm số: Nếu Nếu hàm số bậc Từ giả thiết, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: Ta có: (do (do ) ) Vậy theo tính chất hàm số bậc Suy điều phải chứng minh Ví dụ 8: Cho số thực không âm thỏa mãn minh rằng: Chứng Giải Không tính tổng qt ta giã sử Từ suy Ta có: Xét hàm số Khi đoạn (do số thực không âm thỏa mãn ) Khi (do số thực khơng âm thỏa mãn ) Ta có Ruy điều phải chứng minh Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 11 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Nhận xét: Phương pháp sử dụng hàm số bậc hiệu việc hổ trợ toán chứng minh bất đẳng thức, có hạn chế tác giã chưa tìm cách tìm giá trị lớn hay giá trị nhỏ số dạng toán Chính tơi nghiên cứu thêm ứng dụng hàm số bậc hai để giải quết dạng toán MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho Chứng minh Hướng dẫn: Ta có Ta có: Đặt Xét hàm số Bài 2: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh Hướng dẫn: Không tính tổng quát ta giã sử , từ giả thiết suy Mặt khác ta lại có: Vì Bài 3: Cho số thực khơng âm thỏa mãn Chứng minh Hướng dẫn: Làm tương tự ví dụ Bài 4: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Ta có: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 12 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Biến đổi ; Bài 5: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh rằng: Hướng dẫn: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh dạng Đặt Xét hàm số đoạn Bài 6: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh Hướng dẫn: Biến đổi tương tự 3.4 Hàm số bậc hai Ví dụ 9: Tìm giá trị đoạn để hàm số đạt giá trị lớn Giải Đặt , Khi hàm số cho trở thành Ta có: TH1: Nếu hàm số đạt giá trị lớn Loại Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 13 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 TH2: Nếu Ta có: ; Xét Vậy: + Với hàm số đạt giá trị lớn + Với hàm số đạt giá trị nhỏ Loại TH3: Nếu hàm số đạt giá trị lớn Loại Vậy thỏa mãn yêu cầu tốn Ví dụ 10: Cho số thực thỏa mãn giá trị nhỏ biểu thức Tìm giá trị lớn nhất, Giải Đặt từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 14 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Khi biểu thức Xét hàm số đoạn Ta có Ta có bảng biến thiên: Vậy: đạt khi hay Ví dụ 11: Cho hay số thực thỏa mãn Tìm giá trị nhỏ biểu thức: Giải Đặt Ta có Khi ta có Xét hàm số với Lập bảng biến thiên: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 15 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Từ bảng biến thiên ta có Ví dụ 12: Cho số thực không âm thỏa mãn hay Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Giải Ta có Đặt Khi với Bảng biến thiên hàm số đoạn 84 Vậy: , Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 16 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 , hoặc Ví dụ 13: Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Giải TXĐ: Đặt Khi hàm số cho trở thành: với Ta có bảng biến thiên: -3 Vậy: Ví dụ 14: Cho lớn số thực thỏa mãn: Gọi giá trị nhỏ biểu thức: Giải Ta có: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 17 download by : skknchat@gmail.com giá trị Tính Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Đặt Suy Từ giả thiết ta có: Mặt khác Xét hàm số đoạn Ta có bảng biến thiên: Từ bảng biến thiên ta có Vậy: Ví dụ 15 Cho số thực dương thỏa mãn Chứng minh rằng: Đặt từ giả thiết ta có Áp dụng bất đẳng thức Giải Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 18 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Khi Xét hàm số khoảng Ta có bảng biến thiên: Ta có Vậy: Dấu xảy Ví dụ 16: Gọi tức giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số: đoạn Tính Giải Đặt Khi hàm số cho trở thành: Do với Ta có bảng biến thiên: Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hố - 19 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Suy ra: ; Vậy: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số Hướng dẫn: Đặt Mặt khác the bất đẳng thức Bunhiacốpski ta có: Từ ta coa: Bài Cho số thực khơng âm thay đổi thỏa mãn Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ biểu thức Hướng dẫn: Phân tích Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 20 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Đặt IV CÁC BIỆN PHÁP TỔ CHỨC THỰC HIỆN 4.1 Hình thức luyện tập lớp có hướng dẫn Thầy giáo - Thực phạm vi số buổi chữa tập buổi học khố với tập mức độ vừa phải Thầy giáo đưa ví dụ tập sách giáo khoa, yêu cầu học sinh nghiên cứu gọi học sinh lên giải Sau học sinh giải xong thầy nhấn mạnh phương pháp giải - Thực số buổi công tác bồi dưỡng học sinh mức độ toán cao 4.2 Hình thức tự nghiên cứu tốn có hướng dẫn Thầy giáo Hình thức cần thực liên tục trình học tập học sinh, làm cho khả tư duy, tính sáng tạo học sinh ngày tăng lên 4.3.Kết nghiên cứu Thời gian đầu trường dạy lớp A3 chưa đưa phương pháp sử dụng hàm số bậc nhất, bậc hai học sinh cịn gặp nhiều khó khăn cảm thấy ngại kho gặp dạng toán Nhưng năm học sau tơi tìm phương pháp nghiên cứu sâu tơi dạy số tiết lớp số buổi bồi dưỡng, cho tiến hành kiểm tra khả tiếp thu kiến thức thống kê số sai lầm sai lầm phổ biến lớp tơi dạy thu kết sau: Lớp Năm học Số học sinh đạt yêu cầu 11A3 2008-2009 20/55 (36,4%) 11B3 2009-2010 42/55 (76,4%) 11C8 2010-2011 29/45 (64,4%) 11A7 2011-2012 26/49 (53,1%) 10B1 2017-2018 31/43(72,1%) C KẾT LUẬN I Kết luận Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 21 download by : skknchat@gmail.com Sáng kiến kinh nghiệm năm học 2017 - 2018 Qua trình thực nhiệm vụ đề tài, thu số kết luận sau: - Trên sở thu thập tài liệu làm sáng tỏ vai trò, ý nghĩa việc học hàm số bậc nhất, bậc hai trường phổ thông - Tìm nhiều khó khăn sai lầm học sinh giải tập bất đẳng thức Những khó khăn sai lầm đa số tơi tìm qua thực tế giải tập học sinh, có số theo đốn - Sau tìm khó khăn sai lầm tơi khơng tìm lời giải mà khó khăn phải tìm phương pháp để học sinh dễ vận dụng - Đã tổ chức thực nghiệm sư phạm để minh hoạ tính khả thi đề tài - Trên vài kinh nghiệm mà tơi tích luỹ trình giảng dạy hướng dẫn học sinh học tốn, mong đóng góp ý kiến quý thầy, cô bạn đồng nghiệp để sáng kiến kinh nghiệm ngày hồn thiện Tơi xin chân thành cám ơn! XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Thanh Hóa, ngày 25 tháng năm 2018 Tơi xin cam đoan SKKN viết, khơng chép nội dung người khác NGUYỄN ĐÌNH DŨNG Gv: Nguyễn Đình Dũng – Trường THPT Nơng Cống IV – Thanh Hoá - 22 download by : skknchat@gmail.com ... sáng kiến kinh nghiệm là: ? ?KINH NGHIỆM SỬ DỤNG HÀM SỐ BẬC NHẤT, BẬC HAI HƯỚNG DẪN HỌC SINH LỚP 10 GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC” B GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ I Cơ sở lý luận vấn đề - Vận dụng tốt... ứng dụng hàm số bậc hai để giải quết dạng toán MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG: Bài 1: Cho Chứng minh Hướng dẫn: Ta có Ta có: Đặt Xét hàm số Bài 2: Cho số thực không âm thỏa mãn Chứng minh Hướng dẫn: ... kinh nghiệm năm học 20 17 - 20 18 Suy ra: ; Vậy: MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài Tìm giá trị nhỏ hàm số Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm số đoạn Bài Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ hàm