Dãy số và phương pháp giải một số bài toán về tính chất định tính của dãy số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– TRẦN THỊ HIẾU DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, 2020 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————– * ——————— TRẦN THỊ HIẾU DÃY SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TỐN VỀ TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA DÃY SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8460113 Người hướng dẫn khoa học: TS ĐỖ VĂN LỢI THANH HÓA, 2020 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số 1035/QĐ-ĐHHĐ ngày 20 tháng năm 2020 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Chức danh Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác hội đồng GS TSKH Nguyễn Mạnh Hùng Đại học Hồng Đức Chủ tịch PGS TS Vũ Trọng Lưỡng ĐHGD - ĐHQGHN Phản biện TS Lê Xuân Dũng Đại học Hồng Đức Phản biện TS Hoàng Nam Đại học Hồng Đức Ủy viên TS Hồng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa UV Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày 15 tháng năm 2020 (ký, ghi rõ họ tên) TS Đỗ Văn Lợi * Có thể tham khảo luận văn Thư viện trường Đại học Hồng Đức Bộ mơn Giải tích - PPDH Tốn LỜI CAM ĐOAN Tơi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi, hồn thành tác giả hướng dẫn khoa học TS Đỗ Văn Lợi Các kết trình bày luận văn trung thực, nội dung luận văn không trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Trần Thị Hiếu i LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành Trường Đại học Hồng Đức hướng dẫn TS Đỗ Văn Lợi Ngoài dẫn mặt khoa học, thầy động lực lớn giúp tác giả tự tin say mê nghiên cứu Tác giả bày tỏ lòng biết ơn kính trọng thầy Tác giả bày tỏ lịng biết ơn đến Ban giám hiệu, phòng QLĐTSĐH, thầy cô giáo bạn đồng nghiệp tạo điều kiện thuận lợi trình học tập, nghiên cứu khoa học hoàn thành luận văn Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, mơn Tốn trường THPT Hậu Lộc - nơi tác giả công tác tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả q trình cơng tác giảng dạy để có thời gian hợp lý hồn thành khóa học luận văn thạc sĩ Trong trình viết chỉnh sửa thảo luận văn, tác giả nhận quan tâm góp ý nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giả chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Thanh Hóa, tháng 06 năm 2020 Trần Thị Hiếu ii Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Dãy số 1.2 Cách cho dãy số 1.2.1 Dãy số cho công thức số hạng tổng quát 1.2.2 Dãy số cho phương pháp mô tả 1.2.3 Dãy số cho phương pháp truy hồi 1.3 Dãy số tăng, dãy số giảm dãy số bị chặn 1.4 Cấp số cộng 1.5 Cấp số nhân 1.6 Giới hạn dãy số Chương Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số 2.1 Phương pháp quy nạp 2.2 Phương pháp đưa cấp số cộng, cấp số nhân 2.3 Phương pháp dùng hàm sinh 16 2.4 Phương pháp hàm lặp 20 2.5 Phương pháp sai phân 21 iii 13 Kết luận Chương 23 Chương Phương pháp giải số tốn tính chất định tính dãy số 24 3.1 Tính chất số nguyên 24 3.2 Tính chia hết 27 3.3 Tính phương 33 3.4 Tính tuần hồn 37 3.5 Tính chất bất đẳng thức 40 3.6 Sự tồn giới hạn dãy số xây dựng nghiệm phương trình cho trước 45 Kết luận Chương 57 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 iv MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Dãy số đóng góp phần quan trọng khối kiến thức “Giải tích” chương trình Tốn THPT [1], thường xuất nhiều đề thi Học sinh giỏi kỳ thi THPT Quốc gia [2, 4] Việc đưa ví dụ thực tiễn để hình thành dãy số, tính chất định tính dãy số ln mang tính thời dành quan tâm nhiều nhà khoa học, thầy, cơ, bạn trẻ đam mê tốn học Bởi vậy, có nhiều cơng trình khoa học, sách chuyên khảo, luận văn thạc sĩ nghiên cứu vấn đề liên quan đến dãy số, chẳng hạn [2, 4, 5, 6, 8] Tuy nhiên, công trình nêu việc trình bày dạng tốn tính chất định tính nghiệm dãy số cịn ít, chưa đầy đủ Do đó, vấn đề bổ sung, hệ thống hóa lại phương pháp đề xuất tập áp dụng nghiên cứu tính chất định tính dãy số đặt cách tự nhiên Vì vậy, chúng tơi chọn đề tài luận văn “Dãy số phương pháp giải số tốn tính chất định tính dãy số” Đối tượng nghiên cứu Tính chất định tính dãy số., phương pháp giải dạng toán liên quan đến tính chất định tính dãy số Mục đích nghiên cứu Dãy số, cách tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Phương pháp giải số tốn liên quan đến tính chất định tính dãy số Phạm vi nghiên cứu Một số phương pháp tìm số hạng tổng quát dãy số, số phương pháp giải toán tính chất dãy số số tốn xuất kỳ thi học sinh giỏi THPT Phương pháp nghiên cứu Đọc tài liệu, seminar mơn, nhóm hướng dẫn người hướng dẫn khoa học Sử dụng phương pháp, kỹ thuật, kết giải tích Ý nghĩa luận văn Luận văn tổng hợp trình bày cách chi tiết, có hệ thống dạng tốn liên quan đến tính chất định tính dãy số Luận văn góp phần bổ sung dạng tập phương pháp có luận văn thạc sĩ nghiên cứu trước [5, 6, 8] Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương • Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương nhắc lại khái niệm dãy số, định nghĩa tính chất số dãy số đặc biệt (cấp số cộng, cấp số nhân, dãy số đơn điệu, ) giới hạn dãy số • Chương Một số phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số Trong chương chúng tơi thơng qua hệ thống tốn để trình bày hệ thống phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng quát dãy số dựa kiến thức toán bậc THPT, kết lý thuyết sai phân tốn rời rạc • Chương Phương pháp giải số toán tính chất định tính dãy số Trong chương này, chúng tơi phân tích, trình bày số phương pháp giải dạng tốn thường gặp tính chất định tính dãy số: tính chất số nguyên, tính chia hết, tính phương, tính tuần hồn, tính chất hội tụ dãy số xác định nghiệm phương trình cho trước Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Dãy số Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Một hàm số u xác định tập số nguyên dương N∗ gọi dãy số vô hạn (gọi tắt dãy số) Ký hiệu u : N∗ → R n 7→ u(n) Người ta thường viết dãy số dạng khai triển u1 , u2 , · · · , un , · · · un = u(n), gọi u1 số hạng đầu, un số hạng thứ n số hạng tổng quát dãy số Định nghĩa 1.1.2 ([1]) Mỗi hàm số u xác định tập M = {1, 2, 3, · · · , m} với m ∈ N∗ gọi dãy số hữu hạn Dạng khai triển u1 , u2 , u3 · · · , um , u1 số hạng đầu, um số hạng cuối 1.2 1.2.1 Cách cho dãy số Dãy số cho công thức số hạng tổng quát Ví dụ 1.2.1 Cho dãy số (un ) với n un = √ n+1 1.2.2 Dãy số cho phương pháp mô tả Ví dụ 1.2.2 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 4, u2 = un hợp số nhỏ số hợp số lớn 2un−1 − un−2 , ∀n > 3 Suy hàm số fn (t) liên tục đồng biến theo t (0, ∞) Mặt khác  12  fn (0) = − < n  fn (2) = 20 − 12 > 0, ∀n > n2 nên với n ∈ N, n > 1, phương trình (3.33) có nghiệm dương xn Hơn nữa, từ     2(n − 1) fn · fn n n2 n ⇒2 − < nxn < n ⇒ lim nxn = Ta đặt an = nxn − lim an = xn = an + nên n fn (xn ) =     an + 2 12 an + +3 = ⇔ n n n ⇔ (an + 2)3 + 12nan + 3na2n = (an + 2)3 ⇔nan = − 3(an + 4) Từ đó, suy lim un = lim nan = − Bài toán 3.6.2 Xét phương trình xn − x2 − x − = (n > 2) a) Chứng minh với số ngun n > 2, phương trình cho có nghiệm dương xn b) Với n > 2, ta xây dựng dãy số un = n(xn − 1) Tìm lim un 46 Lời giải a) Với n > 2, n ∈ N, ta xét hàm số fn (x) = xn − x2 − x − Ta có fn0 (x) = nxn−1 − 2x − Do n > 2, nên x > f (x) > Từ đó, suy f (x) hàm đồng biến x > Ta có f (1) = −2 < 0, f (2) = 2n − > Suy ra, f (1)f (2) < mà f (x) hàm liên tục, nên phương trình f (x) = có nghiệm thuộc (1, 2) Mặt khác f (x) hàm đồng biến x > 1, nên phương trình f (x) = có nghiệm (1; +∞) Mặt khác, < x < 1, với n > ta có xn < x2 Suy f (x) < 0, ∀ < x < Như vậy, với số nguyên n > phương trình xn − x2 − x − = có nghiệm xn > b) Xét dãy (un )n≥3 xác định un = n(xn − 1) Do xn nghiệm phương trình xn − x2 − x − = nên q n xn − xn − xn − = ⇒ xn = n x2n + xn + 47 Áp dụng bất đẳng thức Cơsi, ta có q xn = n x2n + xn + s · · · · 1} = n (x2n + xn + 1) · 1| · 1{z n−1 số x2n + xn + 1| + 1{z + · · · 1} n số < n Mặt khác, xn < nên x2n + xn < ta có < xn < + ⇒ lim xn = n Hơn nữa, từ xnn − x2n − xn − = ta có xnn = x2n + xn + Suy n ln xn = ln x2n + xn +
ln x2n + xn + ⇒n= ln xn
Từ
xn − ln x2n + xn + ln xn Đặt xn − = yn , ta có lim yn = n(xn − 1) = lim ln xn ln(yn + 1) ln(t + 1) = lim = lim = t→0 xn − yn t Hiển nhiên, xn → nên ln(x2n + xn + 1) = ln Như vậy, từ lập luận ta có lim un = ln Bài tốn 3.6.3 Cho phương trình x2n+1 = x + (n > 1) a) Chứng minh với số ngun n > 1, phương trình cho có nghiệm thực xn b) Với n > 1, ta xây dựng dãy số un = xn Tìm lim un Lời giải Trước hết, ta viết phương trình x2n+1 = x + dạng
x x2n − = 48 (3.34) a) Ta xét trường hợp sau: • Nếu x −1 x2n > Khi đó, VT(3.34)6 nên phương trình (3.34) khơng có nghiệm x −1 • Nếu < x < 1, x2n < Khi đó, VT(3.34)< nên phương trình (3.34) khơng có nghiệm < x < • Nếu −1 x 0, x2n+1 < x + Suy ra, phương trình (3.34) khơng có nghiệm −1 x • Nếu x > Với n ∈ N∗ , ta xét hàm số fn (x) = x2n+1 − x − Ta có fn0 (x) = (2n + 1)x2n − Nhận thấy, fn0 (x) > 0, ∀x > 1, ∀n ∈ N∗ hay fn (x) hàm đồng biến [1, +∞) Mặt khác f liên tục f (1) = −1 < 0, f (2) = 22n+1 − > 0, ∀n > Do đó, tồn xn ∈ (1, +∞) cho fn (xn ) = Như vậy, với số nguyên n > phương trình x2n+1 = x + ln có nghiệm xn > b) Theo ra, ta có u2n+1 = un + 1, ∀n > n Suy un = √ 2n+1 49 un + Áp dụng bất đẳng thức Cơ-si ta có un = √ 2n+1 (un + 1) + |1 + 1{z + · · · 1} 2n số un + < 2n + un + (2n + 1) 2n + 2n + ⇒ un < 2n ⇒ un < Như 2n + → 2n Theo nguyên lý kẹp, suy lim un = 1 < un < Bài toán 3.6.4 Với n > 3, chứng minh có un ∈ [0, n] cho unn = eun , lim un tồn Lời giải Ta có unn = enn ⇔ unn e−un = Xét hàm số fn (x) = xn e−x −  n n Khi fn (0)fn (n) = − e n Do n ≥ > nên fn (0) · fn (n) < e Mặt khác, f hàm liên tục [0, n] nên phương trình fn (x) = có nghiệm un ∈ (0, n) Lúc này, từ unn = eun suy n ln un = un Do un > 0, nên từ đẳng thức ta có ln un > ⇒ un > 1, ∀n ≥ Tiếp theo, để tồn lim un ta chứng minh (un ) dãy đơn điệu giảm Thậy vậy, ta có fn+1 (x) = xn+1 e−x − 50 Khi đó, fn+1 (x) hàm số đồng biến (0, n + 1) Do un > nên −un fn+1 (un ) = un+1 − > unn e−un − = fn (un ) n e (3.35) Theo cách xác định un un+1 fn (un ) = fn+1 (un+1 ) = Theo (3.35) ta có fn+1 (un ) > fn+1 (un+1 ) Lúc này, fn+1 (x) hàm đồng biến (đối với x) nên un > un+1 , ∀ n ≥ hay (un ) dãy đơn điệu giảm Từ suy điều phải chứng minh Bài toán 3.6.5 Chứng minh với số nguyên dương n, phương  π n Tìm giới hạn lim un trình cos x = x có nghiệm un 0, π Lời giải Xét hàm số fn (x) = xn − cos x, ∀0 ≤ x ≤ Ta có h πi n−1 fn (x) = nx + sin x ≥ 0, ∀x ∈ 0, h πi hay fn (x) hàm đồng biến 0, Mặt khác, fn (x) hàm số liên tục π   π n fn (0) · fn =− cos un 51 (3.36) Theo cách xác định dãy (un ) ta có n un+1 n+1 − un = cos un+1 − cos un > Từ < un < 1, ∀ n ∈ N suy n unn+1 > un+1 n+1 > un ⇒ un+1 > un (Mâu thuẫn với (3.36)) Như vậy, (un ) dãy tăng bị chặn nên tồn lim un = L Từ cos un = unn suy L = Kết luận, lim un = Bài toán 3.6.6 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình 1 + + ··· + =0 x x−1 x−n có nghiệm un (0, 1) Tìm giới hạn lim un Lời giải Xét hàm số fn (x) = 1 + + ··· + x x−1 x−n Khi fn (x) liên tục (0, 1) Ta có fn0 (x) = − 1 − − · · · − x2 (x − 1)2 (x − n)2 Do fn0 (x) < 0, lim+ fn (x) = +∞ lim− fn (x) = −∞ nên tồn x→0 x→1 un ∈ (0, 1) cho fn (x) = Ta chứng minh đơn điệu dãy (un ) sau: Với n ≥ ta xét hàm số fn+1 (x) (0, un ) Từ đẳng thức fn+1 (x) = fn (x) + 52 x − (n + 1) ta có fn+1 (un ) = fn (un ) + 1 = < un − (n + 1) un − (n + 1) Mặt khác, lim+ fn+1 (x) > nên suy tồn nghiệm un+1 x→0 phương trình fn+1 (x) = thuộc (0, un ) Như un+1 < un hay (un ) dãy số giảm Ta chứng minh lim un = Thật vậy, ta giả sử lim un = a > Do (un ) dãy giảm nên ta có un ≥ a với n Ta nhân thấy 1 + + → +∞ n Suy ra, tồn n0 ∈ N cho 1 1 + + + > , ∀n > n0 n a Khi đó, với n > n0 ta có 1+ = fn (un ) 1 = + + ··· + un  un − u n−n 1 1 < − 1+ + + un n 1 < − = a a Điều dẫn đến mâu thuẫn Từ đó, suy lim un = Bài toán 3.6.7 Chứng minh với số nguyên dương n, phương trình 1 1 + + ··· + = x − 4x − n x−1 có nghiệm un > Hơn nữa, lim un = Lời giải Xét hàm số fn (x) = Ta có fn0 (x) 1 1 + + ··· + − x − 4x − n x−1 n2 =− − − ··· − (x − 1)2 (4x − 1)2 (n x − 1)2 53 Do fn0 (x) < 0, lim+ fn (x) > lim fn (x) = − < nên phương trình x→+∞ x→1 fn (x) = có nghiệm un > Mặt khác, 1 1 + + ··· + − 4−1 −1 4n − 1 1 = + + ··· + − 1·3 3·5 (2n − 1) · (2n + 1)   1 = 1− − 2n + = 2(2n + 1) fn (4) = Áp dụng định lý Lagrange [un , 4] (hoặc [4, un ]) ta có |fn (un ) − fn (4)| = |fn0 (c)||un − 4| c ∈ (un , 4) Nhưng |fn0 (c)| = 4 + + > (c − 1)2 (4c − 1)2 nên ta có > |un − 4| 2(2n + 1) Từ đó, suy |un − 4| < · →0 2(2n + 1) Như vậy, lim un = MỘT SỐ BÀI TẬP VẬN DỤNG Bài tập 3.6.8 Cho dãy số (un ) xác định   u1 = u2 = 1, u3 = 199 1989 + un un−1  un+1 = , ∀n > un−2 Chứng minh tất số hạng dãy cho số nguyên dương 54 Bài tập 3.6.9 Cho dãy số (un ) xác định  u0 = 1, u1 = −1 u = 6u n n−1 + 5un−2 ∀n > Chứng minh u2012 − 2010 chia hết cho 2011 Bài tập 3.6.10 Cho dãy số (un ) xác định  u0 = 20, u1 = 100 u n+1 = 4un + 5un−1 + 20 ∀n > Tìm số nguyên dương h bé cho un+h − un 1998, ∀n ∈ N∗ Bài tập 3.6.11 Cho dãy số (un ) xác định u0 = u1 = 1, un+1 = 14un − un−1 , ∀n > Chứng minh A = 2un − số phương Bài tập 3.6.12 Cho dãy số (un ) xác định u1 = 1, un+1 = un p , ∀n > + + u2n u2n Chứng minh − 2, n > biểu diễn dạng tổng bình u2n phương ba số nguyên liên tiếp Bài tập 3.6.13 Cho dãy số (un ) xác định u0 = 1, u1 = 2, un+2 = 4un+1 − un , ∀n > Tìm giá trị n để A = un − số phương Bài tập 3.6.14 Cho dãy số (un ) xác định u0 = 1, u1 = 2, un+2 = un+1 − un , ∀n > Tìm tất giá trị n để un − số phương 55 Bài tập 3.6.15 Cho dãy số (un ) xác định   |u1 | < p −u + − 3u2n  n un+1 = , ∀n > a) Tìm điều kiện u1 để dãy gồm toàn số dương b) Dãy số có tuần hồn khơng? Tại sao? Bài tập 3.6.16 Cho hai dãy số (un ) (vn ) thỏa mãn   u1 , v1 >      un+1 = un +      vn+1 = + un (với n = 1, 2, 3, · · · ) Chứng minh √ un + > 2n, ∀n > Bài tập 3.6.17 Cho hai dãy số (un ) thỏa mãn • um 6= un , ∀m 6= n; • với n un số lẻ; • với n un khơng có ước ngun tố vượt 5; Chứng minh 8n2 u1 + u2 + · · · + un > 15 Bài tập 3.6.18 Chứng minh với số tự nhiên n ≥ 1, phương trình xn + xn−1 + · · · x − = có nghiệm un Tìm lim un Bài tập 3.6.19 Cho phương trình xn − nx + = 56 (3.37) Chứng minh phương trình (3.37) có hai nghiệm xn yn thỏa mãn < xn < < yn Tìm lim xn lim yn KẾT LUẬN CHƯƠNG Trong chương này, chúng tơi đề xuất phương pháp giải số tốn tính chất định tính dãy số thường xuất kỳ thi học sinh giỏi bậc THPT Bên cạnh đó, tương ứng với phương pháp đưa chúng tơi có xét đên số toán cụ thể để minh họa 57 KẾT LUẬN Bản luận văn "Dãy số phương pháp giải số tốn tính chất định tính dãy số" thu số kết sau Trình bày cách có hệ thống khái niệm tính chất dãy số chương trình Tốn THPT Trình bày cách hệ thống phương pháp tìm cơng thức số hạng tổng qt dãy số thơng qua hệ thống tốn Cụ thể phương pháp: phương pháp quy nạp, phương pháp đưa cấp số cộng - cấp số nhân, phương pháp dùng hàm sinh, phương pháp hàm lặp phương pháp sai phân Trình bày phương pháp giải minh họa việc xét toán liên quan đến tính chất định tính dãy số (tính chất số nguyên, tính chia hết, tính phương tính tuần hồn, tính chất liên quan đến bất đẳng thức, hội tụ dãy số xây dựng nghiệm phương trình cho trước) 58 Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đoàn Quỳnh (Tổng chủ biên) (2019), Đại số Giải tích 11 nâng cao, NXB Giáo dục, Hà Nội [2] Nguyễn Tài Chung (2014), Bồi dưỡng học sinh giỏi chuyên khảo dãy số, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Lê Đình Định (2011), Bài tập phương trình sai phân, NXB Giáo dục, Hà Nội [4] Võ Giang Giai, Nguyễn Ngọc Thu (2006), Một số toán dãy số đề thi Olympic 30 - 4, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [5] Nguyễn Thành Giáp (2011), Một số toán dãy số, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội [6] Nguyễn Văn Khái (2016), Các phương pháp dạng tốn chọn lọc dãy số phổ thơng, Luận văn thạc sĩ, Trường Đại học Thăng Long [7] Nguyễn Văn Mậu, Đinh Công Hướng (2015), Sai phân Định lý áp dụng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [8] Lê Văn Tài (2006), Một số toán số học dãy số, Luận văn Thạc sĩ, Trường ĐH Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội [9] Vũ Tuấn (2011),Giáo trình Giải tích - Tập 1, NXB Giáo dục Việt Nam, Hà Nội 59 Tiếng Anh [10] Erickson J M (2013), Introduction to Combinatorics, John Wiley & Sons, New Jersey, USA [11] Grigorieva E (2016), Method of Solving sequence and series problems, Birkhăauser, Switzerland [12] Rosen H K (2019), Discrete Mathematics and Its Applications, McGraw-Hill Education, New York, USA 60