Tính chất định tính của hệ động lực trên thang thời gian

i Lời cam đoan Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu cơng bố Người cam đoan Nguyễn Thị Yến ii Lời cảm ơn Tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành đến PGS Tạ Duy Phượng, người bảo tận tình, nghiêm túc cho tơi nhận xét q báu để tơi hồn thành luận văn cách tốt Tôi xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Khoa học tự nhiên, trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa, người tận tình giúp đỡ tạo điều kiện cho tơi q trình học tập nghiên cứu khoa học, giúp tơi hồn thành luận văn cách thuận lợi Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, người thân, bạn bè, người ln bên cạnh động viên, chia sẻ chăm sóc cho tơi q trình học tập sống iii Mục lục Mở đầu 1 Định nghĩa tính chất thang thời gian 1.1 Thang thời gian 1.2 Tính khả vi 1.3 Tính khả tích 12 1.4 Tính hồi quy 18 1.5 Hàm mũ thang thời gian 19 Một số tính chất định tính hệ động lực thang thời gian 22 2.1 Định nghĩa chung sơ kết ổn định 22 2.1.1 Định nghĩa chung 22 2.1.2 Hệ động lực tuyến tính 23 2.1.3 Tính ổn định mũ 25 2.1.4 Tính ổn định ổn định mũ 27 Tiêu chuẩn ổn định Lyapunov cho hệ động lực tuyến tính 29 2.2.1 Tính ổn định hệ động lực thời gian biến thiên 29 2.2.2 Kết nhiễu 32 2.2.3 Tiêu chuẩn bất ổn 34 2.3 Biến đổi Lyapunov tính ổn định 35 2.4 Lí thuyết Floquet 38 2.4.1 39 2.2 Hệ động lực tuyến tính iv 2.4.2 Kết luận Hệ động lực tuyến tính khơng 44 48 v Bảng ký hiệu T = Thang thời gian Tk = T\{M } T có phần tử lớn M điểm cô lập trái; trùng với T trường hợp lại Tτ = {t ∈ T : t ≥ τ } N = Tập tất số tự nhiên N0 = Tập tất số tự nhiên khác Z = Tập tất số nguyên Q = Tập tất số hữu tỷ R = Tập tất số thực R+ = Tập tất số thực không âm C = Tập tất số phức C(X, Y ) = Tập hàm liên tục từ X vào Y Crd (T, X) = Tập tất hàm: T → X rd − liên tục Crd (T, X) = Tập tất hàm: Tk → X khả vi rd − liên tục Crd R(T, X) = Tập tất hàm: Tk → X rd − liên tục hồi quy Km×m = Tập tất m × m − ma trận có phần tử thuộc K L(X) = Tập tất tốn tử tuyến tính liên tục từ X vào X ln = Nhánh lơgarit phức với miền giá trị [−iπ, iπ] vi R(Tk , X) = Tập tất hàm hồi quy, xác định T nhận giá trị X R+ (Tk , X) = Tập tất hàm hồi quy dương, xác định T nhận giá trị X S(T) = Miền ổn định mũ thang thời gian T Rλ = Phần thực số phức λ det A = Định thức ma trận A σ(A) = Tập tất giá trị riêng A Mở đầu Giải tích thang thời gian, lần trình bày Stefan Hilger luận án tiến sĩ ông vào năm 1988 (với hướng dẫn Bernd Aulbach) nhằm thống giải tích liên tục rời rạc Việc nghiên cứu giải tích thang thời gian dẫn đến số áp dụng quan trọng, chẳng hạn nghiên cứu mơ hình mật độ trùng, nghiên cứu hệ thần kinh, trình biến đổi nhiệt, học lượng tử mơ hình bệnh dịch Việc phát triển lý thuyết "hệ động lực" thang thời gian dẫn đến kết tổng quát áp dụng cho thang thời gian tổng quát trường hợp liên tục rời rạc Ta biết rằng, có nhiều kết hệ phương trình vi phân thực dễ dàng tự nhiên cho hệ phương trình sai phân Tuy nhiên, có kết dễ dàng trình bày cho hệ phương trình vi phân lại khơng đơn giản cho sai phân ngược lại Việc nghiên cứu hệ động lực thang thời gian cho ta nhìn tổng qt để khắc phục tính khơng quán hệ phương trình vi phân liên tục hệ phương trình sai phân rời rạc Ta lấy thang thời gian tập số thực, kết tổng quát thu trở với kết hệ phương trình vi phân thường Nếu lấy thang thời gian tập số nguyên, kết tổng quát thu trở với kết hệ phương trình sai phân Tuy nhiên, thang thời gian có cấu trúc phong phú tập số thực tập số nguyên nên kết thu tổng quát hay nhiều so với kết tập số thực tập số nguyên Do vậy, đặc trưng thang thời gian thống mở rộng Mục đích luận văn trình bày cách hệ thống số tính chất định tính hệ động lực thang thời gian: tính ổn định; lí thuyết Floquet Luận văn gồm hai chương: • Chương 1: Trình bày kiến thức sở khái niệm kết tính khả vi, tính khả tích, tính hồi quy hàm mũ thang thời gian • Chương 2: Trình bày nghiên cứu tính ổn định hệ động lực Phần đầu chương kết sơ tính ổn định, trình bày cơng thức biến thiên số Phần cuối chương trình bày nghiên cứu tính ổn định hệ động lực phương pháp hàm Lyapunov; tiêu chuẩn ổn định Lyapunov; biến đổi Lyapunov, lí thuyết Floquet Mặc dù có nhiều cố gắng, chắn luận văn khó tránh khỏi khiếm khuyết định Vậy mong nhận góp ý thầy giáo người quan tâm đến vấn đề Chương Định nghĩa tính chất thang thời gian Trong chương chúng tơi trình bày khái niệm, định lí thang thời gian; ∆−đạo hàm ∆−tích phân hàm xác định thang thời gian Đồng thời trình bày phép biến đổi trụ phép biến đổi trụ nghịch đảo Sử dụng phép biến đổi trụ để trình bày khái niệm hàm mũ suy rộng thang thời gian, chứng minh nghiệm tốn giá trị ban đầu hệ động lực cấp (xem [4], tr.30) Các định nghĩa định lí xem giới thiệu tổng quan thang thời gian, hầu hết tìm thấy ([4], tr.1-31; [5], tr.1-33) 1.1 Thang thời gian Định nghĩa 1.1.1 Thang thời gian tập đóng tùy ý khác rỗng tập số thực R Thang thời gian thường kí hiệu : T Ta giả sử xuyên suốt rằng: Thang thời gian T có tô pô cảm sinh từ tô pô tập số thực R Vì từ sau khái niệm ngơn từ tập mở, tập đóng, lân cận, giới hạn, hiểu tô pô cảm sinh Ví dụ 1 Tập số thực R Tập số nguyên Z Tập ∞ S [2k; 2k + 1] Tổng quát: k∈o ∞ S [k(a + b); k(a + b) + a] k∈0 Tập q Z = {q n , n ∈ Z}, (q > 1) Tập q Z = q Z ∪ {0} Tập điều hòa: H = {Hn : n ∈ N0 }, số điều hịa Hn xác định sau: P H0 = 0, Hn = nk=1 k1 Các tập ví dụ từ 1-6 thang thời gian • Tập số hữu tỷ Q khơng thang thời gian khơng đóng: √ {xn } = {1, 4; 1, 41; } → ∈ Q • Tập R\Q (các số vơ tỷ) khơng phải thang thời gian khơng đóng: √ √ √ √ {xn } = { 2; 2; 2; ; n 2} → ∈ R\Q Định nghĩa 1.1.2 Cho T thang thời gian, với t ∈ T ta định nghĩa: Toán tử nhảy tiến σ : T → T xác định bởi: σ(t) := inf {s ∈ T : s > t} Toán tử nhảy lùi ρ : T → T xác định bởi: ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} Ví dụ Ta xét trường hợp sau: • T = R, ta có: σ(t) := inf {s ∈ T : s > t} = t; ρ(t) := sup{s ∈ T : s < t} = t ≤ Nếu |f (t)| ≤ g(t), ∀t ∈ [a; b) Z Ví dụ Tính (a) t Z 1∆s; (b) a a a t s∆s a Lời giải: Z t Z t t ∆ (a) 1∆s = s ∆s = s = t − a a ∆ a a (b) (s ) = Z st + σ(s), suy Z ra: Z t Z t t ∆ t2 − a2 = (s ) ∆t = (s + σ(s))∆t = s∆t + σ(s)∆t a a a a Z t Z t 2 Do s∆t = t − a − σ(s)∆t a a Tích phân tồn σ rd−liên tục Tuy nhiên ta biết σ(t) hữu hạn ∀t ∈ T liên tục tất điểm trù mật phải Vì σ rd−liên tục, tích phân tồn Bổ đề 1.3.13 Nếu f ∈ Crd , t ∈ Tk Z σ(t) f (s)∆s = µ(t)f (t) t Chứng minh Vì f rd−liên tục nên tồn nguyên hàm F f Z σ(t) Do đó: f (s)∆s = F (σ(t)) − F (t) t Theo (1.3) ta có: F (σ(t)) − F (t) = µ(t)F ∆ (t) = µ(t)f (t) Z σ(t) Vậy: f (s)∆s = µ(t)f (t) t 16 Định lí 1.3.14 Giả sử f ∈ Crd ; a, b ∈ T Khi Nếu T = R Z b b Z f (t)∆t = a t ∈ T f (t)dt, a Nếu [a; b] bao gồm điểm bị lập P a < b  Z b  t∈[a;b) µ(t)f (t), f (t)∆t = a =  a  P − t∈[b;a) µ(t)f (t), a > b (1.4) T = R f ∆ (t) = f (t) ( ∆−đạo hàm đạo Chứng minh hàm thông thường) Z b Z b Do đó: f (t)∆t = f (t)dt, a t ∈ T a [a; b] chứa điểm bị lập nên có số hữu hạn điểm [a; b] Trường hợp 1: a < b ta đánh dấu thứ tự điểm đoạn [a; b] sau [a; b] = {a = t0 , t1 , , tn = b}, ti (i = 0, n) điểm bị cô lập Khi σ(ti ) = ti+1 Áp dụng định lí (1.3.12) bổ đề (1.3.13) ta có: Z b n−1 Z ti+1 n−1 Z σ(ti ) X X f (t)∆t = f (t)∆t = f (t)∆t a i=0 = n−1 X ti i=0 X µ(ti )f (ti ) = i=0 ti µ(t)f (t) t∈[a;b) Z b Trường hợp 2: a = b, hiển nhiên f (t)∆t = a Z b Z a X Trường hợp 3: a > b, ta có f (t)∆t = − f (t)∆t = − µ(t)f (t) a b t∈[b;a) Z Ví dụ Xét trường hợp T = Z T = hZ Tính b f (t)∆t a 17 Lời giải: T = Z, ta có µ(t) = σ(t) − t = t + − t = [a; b] = {a; a + 1; a + 2; ; b − 1; b} Áp dụng định lí (1.3.14) ta có  b−1 P    µ(t)f (t), a < b   Z b t=a f (t)∆t = a =  a  a−1 P    µ(t)f (t), a > b − t=b T = hZ = {hk, k ∈ Z}(h > 0) ta có µ(t) = σ(t) − t = t + h − t = h [a; b] = {a; a + h; a + 2h; ; b − h; b} Áp dụng định lí (1.3.14) ta có  b−h P    µ(t)f (t), a < b   Z b  t=a f (t)∆t = a =  a  a−h  P   µ(t)f (t), a > b − t=b Định lí 1.3.15 (∆−đạo hàm hàm hợp) Cho f : R → R khả vi liên tục g : T → R ∆−khả vi Khi đó, hàm f g : T → R ∆−khả vi ta có ∆ [f (g(t))] = hZ i f (g(t) + hµ(t)g (t))dh g ∆ (t) ∆ Định lí 1.3.16 (về biến đổi tích phân) Giả sử v : T → R hàm e = v(T) thang thời gian tăng chặt Khi T Nếu f : T → R hàm rd−liên tục, v khả vi có đạo hàm v ∆ rd−liên tục Z b ∆ Z v(b) f (t)v (t)∆t = a (f v −1 )(s)∆s v(a) Bổ đề 1.3.17 (Bất đẳng thức Gronwall) Cho u, a, b ∈ Crd (T, R), b(t) ≥ với t ∈ T Z t Nếu u(t) ≤ a(t) + b(s)u(s)∆s với t ≥ t0 (t, t0 ∈ T) t0 18 t Z u(t) ≤ a(t) + a(s)b(s)eb (t, σ(s))∆s với t ≥ t0 t0 1.4 Tính hồi quy Cho K trường số thực hay phức Định nghĩa 1.4.1 Hàm p : T → K gọi hồi quy + µ(t)p(t) 6= 0, ∀t ∈ Tk Định lí 1.4.2 Tập R = R(T, K) gồm tất hàm hồi quy T với phép toán ⊕ xác định bởi: (p ⊕ q)(t) = p(t) + q(t) + µ(t)p(t)q(t) lập thành nhóm Abel Phần tử khả nghịch phần tử q nhóm kí hiệu q(t) := −q(t) + µ(t)q(t) (*) Đặt q(t) = p(t) ta có q(t) = −q(t) phần tử khả + µ(t)q(t) nghịch q(t) Ta gọi R = R(T, R) nhóm hồi quy Chú ý Ta hiểu • (q ⊕ q)(t) = 0, • (p q)(t) = (p ⊕ q)(t) Do dễ dàng tính (p q)(t) = p(t) − q(t) + µ(t)q(t) Hệ 1.4.3 Tập phần tử hồi quy dương R(T, R) xác định R+ = R+ (T, R) = {p ∈ R(T, R) : + µ(t)p(t) > 0, ∀t ∈ Tk } nhóm R(T, R) Nhận xét Nếu p, q ∈ R p; q; p ⊕ q; p q ∈ R 19 Định nghĩa 1.4.4 Hàm p : T → K gọi hồi quy tồn số δ cho |1 + µ(t)p(t)| ≥ δ, ∀t ∈ Tk Định nghĩa 1.4.5 Một m × m−ma trận A(.) xác định thang thời gian T gọi hồi quy I + µ(t)A(t) khả nghịch với t ∈ Tk Với I = Im ma trận đơn vị Km×m Lớp tất ma trận kí hiệu R(T, Km×m ) Bổ đề 1.4.6 Một m × m−ma trận A(.) hồi quy giá trị riêng λi (t) A(t) hồi quy, ∀ ≤ i ≤ n Định nghĩa 1.4.7 Với m × m−ma trận A(.), B(.) hồi quy, ta xác định toán tử sau (A ⊕ B)(t) = A(t) + B(t) + µ(t)A(t)B(t); A(t) = −A(t)[I + µ(t)A(t)]−1 ; (A B)(t) = (A ⊕ B)(t), ∀t ∈ Tk   m×m Định lí 1.4.8 R(T, K ), ⊕ nhóm 1.5 Hàm mũ thang thời gian Ta áp dụng phép biến đổi trụ định nghĩa để định nghĩa hàm mũ suy rộng thang thời gian Định nghĩa 1.5.1 Với h > 0, ta định nghĩa tập số phức Hilger Ch dải Zh sau Ch := {z ∈ C : z 6= Zh := {z ∈ C : − Với h = 0, ta đặt C0 = C, Z0 = C }; h π π < =(z) ≤ } h h 20 Định nghĩa 1.5.2 Với h ≥ ta định nghĩa phép biến đổi trụ ξh : Ch → Zh   ln(1 + hz) , h > ξh (z) = h z h = (1.5) Ở ln nhánh lôgarit phức với miền giá trị [−iπ; iπ) Chú ý Phép biến đổi trụ nghịch đảo ξh−1 : Zh → Ch xác định   exp(zh) − , h > −1 ξh (z) = h z h = (1.6) Định nghĩa 1.5.3 Nếu p(.) rd−liên tục hồi quy ta định nghĩa hàm mũ ep (t, t0 ) = exp nZ t o ξµ(s) (p(s))∆s , với t, t0 ∈ T t0 Bổ đề 1.5.4 Nếu p(.) rd−liên tục hồi quy ta có tính chất nửa nhóm ep (t, r)ep (r, s) = ep (t, s), ∀ r, s, t ∈ T Chứng minh o nZ r o ep (t, r)ep (r, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ r Z r s hZ t i = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ + ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ r s nZ t o = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ = ep (t, s) nZ t s Chú ý e∆ p (t, s)(t) = p(t)ep (t, s) Định lí 1.5.5 ([4], tr 30) Nếu p(.) rd−liên tục hồi quy với t0 ∈ Tk cố định, ep (., t0 ) nghiệm toán giá trị ban đầu x∆ = p(t)x, x(t0 ) = 1, t ∈ Tk 21 Định lí 1.5.6 Với p(.), q(.) ∈ Crd R(T, C) s, t tùy ý thuộc T Ta có: ep (t, t) = 1; e0 (t, s) = ep (σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s) ep (t, s) = ep q (t, s) eq (t, s) ep (t, s) = = e p (s, t) ep (s, t) Nếu p(.), q(.) ∈ R+ p ≤ q ep (t, t0 ) ≤ eq (t, t0 ), ∀ t ≥ t0 Nếu p(.) ∈ R+ ep (t, t0 ) > 0, ∀ t ∈ T Nếu tồn τ ∈ T cho + µ(τ )p(τ ) < ep (τ, t0 )ep (σ(τ ), t0 ) < Z b p(s)ep (c, σ(s))∆s = ep (c, a) − ep (c, b), ∀ a, b, c ∈ T a Ví dụ Xét trường hợp đặc biệt hàm mũ T = R, ta có µ(t) = 0, t ∈ R; nZ t o nZ t o nZ t o ep (t, s) = exp ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ = exp p(τ )∆τ = exp p(τ )dτ s Nếu p hàm ep (t, s) = ep(t−s) s s T = hZ = {hk; k ∈ Z, h > 0} Ta có µ(t) = h > Do đó: t−h n Z t ln(1 + hp(τ )) o nX ln(1 + hp(τ )) o ep (t, s) = exp ∆τ = exp h h h s τ =s n t−h o P = exp ln(1 + hp(τ )) τ =s = exp{ln(1+hp(s))+ln(1+hp(s+h))+ +ln[1+hp(s+( t−s h −1)h)]} = [1 + hp(s)][1 + hp(s + h)] [1 + hp(s + ( t−s h − 1)h)] t−s −1 hQ = [1 + hp(s + mh)] m=0 22 Chương Một số tính chất định tính hệ động lực thang thời gian Trong chương trình bày khái niệm kết quan trọng ổn định hệ động lực thang thời gian; lí thuyết Floquet cho hệ động lực tuyến tính tuần hồn thang thời gian tuần hồn Các kết chủ yếu tìm thấy [2] 2.1 2.1.1 Định nghĩa chung sơ kết ổn định Định nghĩa chung Chúng giới thiệu số kí hiệu sử dụng phần Định nghĩa 2.1.1 Chuẩn Euclid n × vector x(t) định nghĩa hàm giá trị thực t kí hiệu q kx(t)k = xT (t)x(t) Định nghĩa 2.1.2 Chuẩn cảm sinh m × n ma trận A định nghĩa kAk = max kAxk kxk=1 Ta nhận xét chuẩn A cảm sinh chuẩn cảm sinh Euclid vector tương đương với giá trị số học bậc hai giá trị 23 lớn giá trị tuyệt đối ma trận đối xứng AT A Do ta xác định chuẩn Định nghĩa 2.1.3 Chuẩn phổ m × n ma trận A định nghĩa h T T i 12 kAk = max x A Ax kxk=1 Chuẩn chuẩn ma trận sử dụng phần kí hiệu: k.k Định nghĩa 2.1.4 Một ma trận đối xứng M gọi nửa xác định dương với n × vector x xT M x ≥ xác định dương xT M x ≥ 0, đẳng thức xảy x=0 Nửa xác định âm xác định âm ma trận định nghĩa dấu "≥" thay dấu "≤" 2.1.2 Hệ động lực tuyến tính Xét hệ động lực tuyến tính x∆ (t) = A(t)x(t) (2.1) Định lí 2.1.5 Nếu A rd−liên tục hồi quy hệ (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = có nghiệm nhất, ta gọi nghiệm x(.) = x(., t0 , 1) := Φ(t0 )(.); ta kí hiệu ΦA (t, t0 ) := ΦA (t0 )(t) Định lí 2.1.6 [8] Giả sử t, s, τ ∈ T A, B ∈ Crd R(Tk , L(X)) Khi ta có Nếu x(t) nghiệm hệ x∆ = A(t)x với điều kiện ban đầu x(τ ) = γ x(.) = ΦA (τ )γ tức x(t) = ΦA (t, τ )γ 24 ΦA (t, τ ) = ΦA (t, s)ΦA (s, τ ) ΦA (t, τ ) khả nghịch ta có ΦA (t, τ )ΦA (τ, t) = I ΦA (σ(t), τ ) = [µ(t)A(t) + I]ΦA (t, τ ) C : T → L(X) khả vi, t ∈ Tk ta có C ∆ (t) = A(t)C(t) − C(σ(t))A(t) C(.)ΦA (τ ) = ΦA (τ )C(τ ) Nếu C(.) = C ma trận CA(t) = A(t)C, ∀t ∈ Tk CΦA (τ ) = ΦA (τ )C Nếu B(t)ΦA (t, τ ) = ΦA (t, τ )B(t) với t ∈ Tk ΦA⊕B (t, τ ) = ΦA (t, τ )ΦB (t, τ ) Φ A (t, τ ) = ΦA (t, τ )−1 = ΦA (τ, t) Định lí 2.1.7 Xét hệ tuyến tính khơng x∆ = A(t)x + f (t, x) (2.2) với A(.) ∈ Crd R(Tk , L(X)), f (t, x) rd−liên tục (i) Gọi T : T → X khả nghịch (đại số) ánh xạ khả vi liên tục Giả sử T thiết lập tương ứng hai hàm x, y : T → X theo nghĩa sau đây: y(t) = T −1 (t)x(t) x(t) = T (t)y(t) với t ∈ T Khi x nghiệm hệ (2.2) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = η y nghiệm hệ ( y ∆ = T (σ(t))−1 [A(t)T (t) − T ∆ (t)] + T (σ(t))−1 f (t, T (t))y y(t0 ) = T (t0 )η (2.3) (ii) (Công thức biến thiên số) Nghiệm (2.2) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = η cho Z t x(t) = ΦA (t, t0 )η + ΦA (t, σ(s))f (s, x(s))∆s, t ≥ t0 t0 25 2.1.3 Tính ổn định mũ Đầu tiên ta phát biểu hai định nghĩa ổn định mũ Định nghĩa thứ dựa vào hàm mũ thang thời gian, định nghĩa thứ hai dựa hàm mũ thông thường Với τ ∈ T cố định, ta kí hiệu Tτ = {t ∈ T : t ≥ τ } Định nghĩa 2.1.8 ([3],[8]) Nghiệm x ≡ hệ động lực (2.1) gọi ổn định mũ tồn số dương λ với −λ ∈ R+ cho với t0 ∈ T, tồn γ = γ(t0 ) ≥ để nghiệm (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn kx(t, t0 , x0 )k ≤ γkx0 ke−λ (t, t0 ), với t ≥ t0 , t ∈ Tτ Định nghĩa 2.1.9 ([3],[1],[9]) Nghiệm x ≡ hệ động lực (2.1) gọi ổn định mũ tồn số dương λ cho với t0 ∈ T, tồn γ = γ(t0 ) ≥ để nghiệm (2.1) với điều kiện ban đầu x(t0 ) = x0 thỏa mãn kx(t, t0 , x0 )k ≤ γkx0 ke−λ(t−t0 ) , với t ≥ t0 , t ∈ Tτ Chú ý rằng, sử dụng định nghĩa (2.1.8), điều kiện −λ ∈ R+ tương đương với µ(t) ≤ Điều nói ta làm việc thang thời λ gian có hàm hạt bị chặn Định lí 2.1.10 Trên thang thời gian có hàm hạt bị chặn, định nghĩa (2.1.8) định nghĩa (2.1.9) tương đương Định lí 2.1.11 Cho A(.) ∈ Crd R(Tkτ , Rm×m ) Hệ (2.1) ổn định mũ tồn số λ> với −λ ∈ R+ cho với t0 ∈ Tτ , tồn γ = γ(t0 ) ≥ 1, bất đẳng thức kΦA (t, t0 )k ≤ γe−λ (t, t0 ) với t ≥ t0 , t ∈ Tτ Bây ta xét điều kiện ổn định mũ hệ động lực tuyến tính hệ số x∆ (t) = Ax(t), (2.4)