Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Toản LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH Trần Quốc Toản Chuyên ngành : Tốn Giải tích Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2013 LỜI CẢM ƠN Tơi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất, sâu sắc đến Thầy, Cơ Khoa Tốn – Tin, lãnh đạo chuyên viên Phòng Sau đại học Trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh giúp tơi hồn thành chương trình học luận văn Đặc biệt, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Nguyễn Đình Huy, thầy tận tình hướng dẫn tơi nghiên cứu khoa học nói chung giúp tơi hồn thành luận văn nói riêng Cuối cùng, tơi xin cảm ơn gia đình tơi, bạn bè đồng nghiệp ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện thuận lợi cho suốt thời gian học tập thực luận văn Trần Quốc Toản MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN T 31T MỤC LỤC T 31T BẢNG KÍ HIỆU T 31T MỞ ĐẦU T 31T Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ T 1.1 T 31T 1.2 T 31T 1.3 T 31T Giới hạn dãy tập hợp 31T T Ánh xạ đa trị 31T 31T Tính liên tục ánh xạ đa trị 10 31T T Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF 15 T 2.1 T 31T 2.2 T 31T 2.3 T 31T 2.4 T 31T Khơng gian tập đóng khơng gian mêtric .15 31T T Trường hợp không gian đều, Hausdorff .20 31T T Không gian tập lồi đóng khơng gian lồi địa phương 22 31T T Tính liên tục hàm đa trị lồi 27 31T T Chương 3: TÍNH ĐO ĐƯỢC CỦA HÀM ĐA TRỊ .32 T Kiến thức chuẩn bị 32 T 31T 3.1 T 31T Hàm đa trị đo nhận giá trị tập compact khơng gian khả li 31T metric hóa 34 31T 3.2 T 31T Định lý hàm chọn Hàm đa trị đo với giá trị tập đầy đủ 31T không gian metric khả li 36 T 3.3 T 31T 3.4 T 31T 3.5 T 31T 3.6 T 31T Hàm đa trị đo lồi compact 41 31T T Định lý chiếu Định lý hàm chọn Von Neumann - Aumann 42 31T T Tính đo khơng gian Suslin lồi địa phương 49 31T T Định lý hàm ẩn Những tính chất ổn định hàm đa trị đo 53 31T T Chương 4: NGUYÊN HÀM CỦA HÀM ĐA TRỊ 57 T 4.1 T 31T 4.2 T 31T 4.3 T 31T 4.4 T 4.5 31T T 31T Nguyên hàm hàm đa trị .57 31T T Phép lấy đạo hàm hàm đa trị có biến phân bị chặn 61 31T T Định lý tính compact tập nghiệm phương trình vi phân đa trị .64 31T T Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân đa trị 67 31T T Sự tồn nghiệm lớp bao hàm thức vi phân có chậm .80 31T T KẾT LUẬN .87 T 31T BẢNG KÍ HIỆU Γ : T → 2X Hàm đa trị từ T vào X dom Γ Miền hữu hiệu Γ Gr(Γ) Đồ thị Γ rangeΓ Miền ảnh Γ Γ − (U ) Nghịch ảnh tập U Γ − (U ) Nhân tập U Γ −1 Ánh xạ đa trị ngược Γ d ( x, y ) Khoảng cách x y d ( x, A) Khoảng cách từ x đến tập A e( A, B ) Độ dôi tập A B h( A, B ) Khoảng cách Hausdorff A B ( X ) Tập tất tập X f ( X ) Tập tất tập đóng X  tb ( X ) Tập tất tập đóng hồn tồn bị chặn X  k (X ) Tập tất tập compact X BX ( x, r ) Quả cầu tâm x bán kính r > B = BX (0,1) Quả cầu tâm bán kính BX ( A, ε ) ε -lân cận tập không rỗng A X* Không gian đối ngẫu không gian vector topo X int A Phần tập A A Bao đóng tập A Ao Tập cực tập A coA Bao lồi tập A coA Bao lồi đóng tập A δ ( A) Hàm cực tập A δ * ( A) Hàm tựa tập A n.l.t.t Nửa liên tục n.l.t.d Nửa liên tục h.k.n Hầu khắp nơi ( X ) Nhóm Borel nhỏ chứa tất tập mở không gian topo X  ⊗ Nhóm nhỏ chứa tất tập A × B ( A ∈  , B ∈  ) prT : T × U → T Ánh xạ chiếu lên T s σ -trường T sinh tập Suslin T µ µ -đầy đủ  với µ độ đo dương (T ,  )   =  µ với độ đo dương bị chặn µ (T ,  ) χ A (.) Hàm đặc trưng tập A C X ([a; b]) Không gian hàm liên tục từ [a;b] vào X L1X ([a; b]) Khơng gian lớp hàm khả tích từ [a;b] vào X MỞ ĐẦU LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích đa trị hướng nghiên cứu tương đối Tốn học, định hình khoảng nửa đầu kỷ 20 Đối tượng Giải tích đa trị ánh xạ đa trị mà lý thuyết trình bày cách tương đối có hệ thống khơng gian topo Claude Berge (1963) Vai trị Giải tích đa trị Toán học ứng dụng toán học ngày công nhận rộng rãi Đặc biệt, Giải tích đa trị có nhiều ứng dụng lý thuyết tối ưu lý thuyết bao hàm thức vi phân Trong trình học tập tìm hiểu tri thức tốn học mình, tơi nhận thấy Giải tích đa trị đề tài hấp dẫn Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Huy, tơi chọn thực đề tài: Một vài tính chất định tính hàm đa trị ứng dụng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, khảo sát số định nghĩa khoảng cách Hausdorff, tính liên tục tính đo hàm đa trị ứng dụng chúng phương trình vi phân đa trị ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu luận văn khoảng cách Hausdorff, vài 40T tính chất định tính hàm đa trị số ứng dụng chúng T Phạm vi nghiên cứu giải tích hàm, lý thuyết độ đo PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Nghiên cứu mang tính lí thuyết: tìm hiểu, phân tích tài liệu tham khảo, tổng hợp nội dung có liên quan đến đề tài nghiên cứu trình bày kết nghiên cứu (với chứng minh chi tiết) theo mạch thống Áp dụng kết phương pháp lập luận Tôpô đại cương, Giải tích hàm, Lý thuyết độ đo… CẤU TRÚC CỦA ĐỀ TÀI Luận văn trình bày gồm phần: phần mở đầu, phần nội dung phần kết luận Phần mở đầu nêu rõ lý chọn đề tài, xác định rõ đối tượng nghiên cứu phạm vi nghiên cứu đề tài, phương pháp nghiên cứu cấu trúc đề tài Phần nội dung gồm chương Chương 1: Chương giới thiệu khái niệm số định lí hàm đa trị tính liên tục hàm đa trị Chương 2: Chương trình bày khoảng cách Hausdorff Hausdorff Chương 3: Chương trình bày tính đo ánh xạ đa trị Chương 4: Trình bày nguyên hàm hàm đa trị phương trình vi phân đa trị Phần kết luận trình bày tóm gọn kết nghiên cứu được, hạn chế tồn tại, đồng thời nêu hướng nghiên cứu Chương 1: HÀM ĐA TRỊ VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ 1.1 Giới hạn dãy tập hợp Định nghĩa 1.1 Giả sử X không gian metric ( K n ) dãy tập X Khi ta định nghĩa a) Giới hạn dãy ( K n ) tập lim sup K n = {x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) = 0} n →∞ n →∞ b) Giới hạn dãy ( K n ) tập lim inf K n = {x ∈ X / lim d ( x, K n ) = 0} n →∞ n →∞ c) Ta nói dãy ( K n ) có giới hạn K , kí hiệu: lim K n = K , n →∞ = = lim sup K n lim inf K n K n →∞ n →∞ Định lý 1.2 Giả sử X không gian metric, ( K n ) dãy tập X Khi đó: ((ii)) lim sup K n tập tập hợp tất điểm tụ dãy ( xn ) , xn ∈ K n , n →∞ lập lim inf K n tập hợp tất giới hạn dãy n →∞ ((iiii)) lim=  K m    B( K m , ε ) sup K n = n m≥ n n →∞ ε >0 n m≥ n ((iiiiii)) lim inf K n =    B ( K m , ε ) n →∞ ε >0 n m≥ n Chứng minh (i) Ta có {x ∈ X / x =lim xnk , xn ∈ K n } = {x ∈ X / lim d ( x, xnk ) =0, xn ∈ K n } k →∞ k →∞ = {x ∈ X / lim inf d ( x, xn ) = 0, xn ∈ K n } n →∞ = {x ∈ X / lim inf d ( x, K n ) = 0} = lim sup K n n →∞ n →∞ (ii) Nếu x ∈ lim sup K n hiển nhiên x ∈   K m n m≥ n n →∞ Giả sử x ∈   K m , ta xây dựng dãy X sau n m≥ n Cho trước ε > Với n = , x ∈  K m nên tồn cho d ( x, y1 ) < 2−1 ε m ≥1 Đặt n1 = min{m ∈  / y1 ∈ K m } xn1 = y1 Do x ∈  K m nên tồn y2 ∈  K m cho d ( x, y2 ) < 2−2 ε m ≥ n1 +1 m ≥ n1 +1 Đặt n2 = min{m ∈  / y2 ∈ K m , m > n1} xn1 = y2 Giả sử ta có xnk , x ∈  K m nên tồn yk +1 ∈  K m cho d ( x, yk +1 ) < 2− k ε m ≥ nk +1 m ≥ nk +1 Đặt nk +1 = min{m ∈  / yk +1 ∈ K m , m > nk } xnk +1 = yk +1 Như ta xây dựng dãy ( xnk ) , xnk ∈ K nk , mà lim xnk = x k →∞ Do x ∈ lim sup K n (do (i)) n →∞ Bây ta chứng minh lim sup K n =    B ( K m , ε ) ε >0 n m≥ n n →∞ Ta có lim sup K n =∈ {x X / x = lim xnk , xn ∈ K n } k →∞ n →∞ = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : d ( x, K m ) < ε } = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∀n ∈ , ∃m ∈ , m ≥ n : x ∈ B ( K m , ε )} =    B( K m , ε ) ε >0 n m≥ n (iii) Ta có lim inf K n =∈ {x X / x = lim xn , xn ∈ K n } n →∞ n →∞ = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈  : ∀m ≥ n, d ( x, K m ) < ε } = {x ∈ X / ∀ε > 0, ∃n ∈  : ∀m ≥ n, x ∈ B ( K m , ε )} 74 2) Cho hai nghiệm z1 ∈ X r1 z2 ∈ X r2 ; ta chứng tỏ hàm = t → z (t ) sup{z1 (t ), z2 (t )}, t ∈ [0; T ] nghiệm ρ ′(t ) = h(t , ρ (t )) Xét tập mở O= {t ∈ [0; T ] z1 (t ) > z2 (t )} Khi O hợp đếm thành phần liên thông; giả sử O =  I n n∈ Định nghĩa  z1 (t ) t ∈ I o yo (t ) =   z2 (t ) t ∉ I o và, với n ≥  z1 (t ) t ∈ I n yn (t ) =   yn−1 (t ) t ∉ I n Khi dãy ( yn ) nghiệm ρ ′(t ) = h(t , ρ (t )) , vậy, giới hạn điểm yn nghiệm ρ ′(t ) = h(t , ρ (t )) 3) Lấy (tn ) dãy trù mật [0; T ] Với p ≥ , tồn nghiệm z n , p cho zn , p (tn ) ≥ sup{z (tn ) z ∈ X r } − p Ta dãy ( zn , p ) (η n ) Do 2), hàm yn = sup ηi chứa X r ( yn ) 0≤i ≤ n dãy tăng hội tụ điểm đến z thuộc X r Hơn nữa, ta có = z (tn ) sup{z (tn ) x ∈ X r } với n cho z thỏa mãn tính chất yêu cầu Mệnh đề 4.12 Với giả thiết kí hiệu mệnh đề 4.11, giả sử x → h(t , x) tăng với t ∈ [0; T ] cố định Nếu u ∈  [0; T ] thỏa mãn t u (t ) ≤ r + ∫ h( x, u ( s ))ds ∀t ∈ [0; T ] Khi ta có: u (t ) ≤ z (t ) ∀t ∈ [0; T ] Chứng minh Với n ≥ 1, đặt 75 n t X n ={z ∈  [0; T ] z (t ) = r + + ∫ h( s, z ( s ))ds, t ∈ [0; T ]} Do mệnh đề 4.11, tồn zn ∈ X n cho zn (t ) ≥ z (t ) ∀t ∈ [0; T ], ∀z ∈ X n Hơn nữa, hàm sup( zn , zn+1 ) nghiệm ρ ′(t ) = h(t , ρ (t )) ta chứng minh mệnh đề 4.11; Điều suy zn +1 ≤ zn z ≤ zn với n Vì vậy, giới hạn điểm z dãy ( zn ) nghiệm ρ ′(t ) = h(t , ρ (t )) bước thứ chứng minh mệnh đề 4.11 Với n cố định đặt = to sup{t ∈ [0; T ] s ≤ t ⇒ u ( s ) ≤ zn ( s )} Khi x → h(t , x) tăng, ta có to u (to ) ≤ r + ∫ h( s, u ( s ))ds < r + to + ∫ h( s, zn ( s ))ds n Do u zn liên tục, bất đẳng thức to < T xảy Vì ta có u ≤ zn với n , u ≤ z Bây ta phát biểu tổng quát định lý tồn trường hợp E không gian Banach khả ly Ta kí hiệu Eσ khơng gian vector E trang bị topo σ ( E , E * ) Định lý 4.13 Cho E không gian Banach khả ly F hàm đa trị đo từ [0; T ] × E nhận giá trị compact lồi khác rỗng Eσ cho (i) Với x ∈ E x* ∈ E * , δ * ( x* , F (., x) đo [0; T ] (ii) Với t ∈ [0; T ] x* ∈ E * , δ * ( x* , F (t ,.) nửa liên tục trên Eσ (iii) Tồn tập σ ( E , E * ) compact lồi cân K hàm khả tích dương g xác định [0; T ] cho: với t ∈ [0; T ] x ∈ E , F (t , x) ⊂ g (t ) (1 + x )K 76 Giả sử A ánh xạ liên tục từ [0; T ] lên không gian Banach  ( E , E ) tất ánh xạ tuyến tính liên tục từ E lên E Khi đó, với ξ ∈ E , tập Sξ tất nghiệm phương trình vi phân đa trị   X (t ) ∈ A(t ) X (t ) + F (t , X (t ))   X (0) = ξ (1) tập compact khác rỗng không gian Eσ [0; T ] Hơn thế, thu hẹp hàm đa trị ξ → Sξ đến tập compact Eσ nửa liên tục Chứng minh Không tổng quát giả thuyết K chứa cầu đơn vị E Cho nên, X nghiệm phương trình vi phân đa trị  X ′(t ) ∈ A(t ) X (t ) + F (t , X (t ))   X (0) = ξ (1) Ta có X ′(t ) ≤ A(t ) X (t ) + g (t ) ( X (t ) + 1) (2) Khi ta có t X (t ) ≤ X (0) + ∫ X ′( s ) ds (3) Từ (2) (3) suy X (t ) ≤ X (0) + ∫  A( s ) X ( s ) + g ( s ) ( t X ( s ) + 1)  ds (4) Lấy số a cho X (0) ≤ a Thì, bổ đề Gronwall, ta có X (t ) ≤ (a + 1) exp ( t ∫  A(s) + g ( s )  ds ) − Cho hàm đa trị = Γ(t ) g (t )( z (t ) + 1) K , t ∈ [0; T ] z (t ) = (a + 1) exp ( t ∫  A(s) + g ( s )  ds ) − (5) 77 Vì g khả tích, hệ V.4, tập thương SΓ với quan hệ tương đương “bằng h.k.n” tập Γ tất hàm chọn đo Γ σ ( L1E [0; T ], L∞E* [0; T ]) S compact lồi khác rỗng Hơn nữa, X nghiệm (1), t → X ′(t ) − A(t ) X (t ) chứa Γ X thỏa mãn bất đẳng thức (5) Giả sử R giải thức liên kết với ánh xạ A , nghĩa là, R ánh xạ liên tục từ [0; T ] lên ( E , E ) cho  R′(t ) = A(t ) R (t )   R (0) = π E π E ánh xạ đồng E Giả sử M tập compact Eσ Ta giả thiết ∀ξ ∈ M , ξ ≤ a đặt t X = { X :[0; T ] → E X (t ) = R(t )ξ + R(t ) ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds, ξ ∈ M , f ∈ Γ } Khi đó, X tập đồng liên tục E [0; T ] , vậy, X tập đồng liên tục Eσ [0; T ] Bây giờ, ta chứng minh X tập compact tương đối Eσ [0; T ] Do định lý Ascoli, cần chứng tỏ, với t ∈ [0; T ] , tập = X (t ) { X (t ) X ∈ X } t compact Eσ Chú ý ánh xạ tuyến tính f → ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds từ L1E [0; T ] lên E liên tục với t ∈ [0; T ] cố định Bây giờ, X (t ) tập compact Eσ tập t =  (t ) {∫ R −1 ( s ) f ( s ) f ∈Γ } lồi σ ( E , E * ) compact,  (t ) ảnh SΓ tạo ánh xạ tuyến tính t liên tục yếu f → ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds từ L1E [0; T ] lên E ; cuối X (t ) = X (t ) R(t )( M ) + R(t )( (t )) σ ( E , E * ) compact ta có 78 Bằng lý lẽ sử dụng chứng minh định lí 4.7, X metric hóa Bây giờ, sử dụng lập luận tương tự sử dụng chứng minh định lí 4.7 để hồn thành chứng minh Trước hết, ý hàm vectơ t t ∈ [0; T ] → ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds ( f ∈ Γ ) khả vi hầu khắp nơi đạo hàm R −1 (t ) f (t ) hầu khắp nơi theo kết tiếng ([10], [15]) hàm vectơ t t → R (t ) ξ + ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds    khả vi hầu khắp nơi đạo hàm bằng: t R′(t ) ξ + ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds  + R (t ) R −1 (t ) f (t ) o   t = A(t )  R (t )ξ + R (t ) ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds  + f (t )   o (6) ánh xạ (U , x) → Ux từ ( ( E , E ) × E ) vào E song tuyến tính liên tục Với f ∈ Γ , định Y f ∈ E [0; T ] t Y= R (t )ξ + R (t ) ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds f (t ) (7) kí hiệu Φ (t ) tập tất hàm chọn đo hàm đa trị t → F (t , Y f (t )) Khi đó, Φ (t ) khác rỗng (theo hệ 4.5) lồi Hơn nữa, f ∈ Φ (t ) , Y f nghiệm (1) Thật vậy, đạo hàm Y f′ Y f xác định (7) với AY f + f hầu khắp nơi tính cơng thức (6), (t ) A(t )Y f (t ) + f (t ) ∈ A(t )Y f (t ) + F (t , Y f (t )) h.k.n Y f′= Do ta áp dụng định lý điểm bất động Kakutani – Ky Fan cho hàm đa trị Φ để thu nghiệm (1) Thứ nhất, σ hàm chọn đo t → F (t , Y f (t )) , ta có Y f′ (t ) ≤ A(t ) Y f (t ) + f (t ) ≤ g Y f (t ) + g (t ) ( z (t ) + 1) 79 Y f (t ) ≤ a + ∫  A( s ) Y f ( s ) + g ( s ) ( z ( s ) + 1)  ds t Từ Y f (t ) ≤ z (t ) σ (t ) ∈ Γ(t ) mệnh đề 12 Điều suy ∀f ∈ SΓ Φ ( f ) ∈ SΓ Bây ta chứng minh đồ thị hàm đa trị Φ compact ( SΓ ) Chú ý rằng, SΓ không gian khả metric compact topo σ ( L1E [0; T ], L∞E [0; T ]) L1E [0; T ] không gian Banach khả ly Cho (σ n , f n ) * s dãy chứa đồ thị Φ hội tụ ( SΓ ) đến (σ , f ) Ta cần chứng tỏ σ ∈ Φ( f ) t Vì ánh xạ tuyến tính f → ∫ R −1 ( s ) f ( s )ds từ L1E [0; T ] lên E liên tục yếu với t ∈ [0; T ] cố định, nên lim Y fn (t ) = Y f (t ) topo yếu σ ( E , E * ) n →∞ ta áp dụng định lý đóng 4.4 Do σ (t ) ∈ F (t , Y f (t )) h.k.n Điều suy Φ nửa liên tục nhận điểm bất động f (nghĩa f ∈ Φ ( f ) ) Để hoàn thành chứng minh, ta phải chứng tỏ đồ thị hàm đa trị ξ → Sξ compact M × X Cho (ξ n , X n ) dãy chứa đồ thị S , hội tụ đến (ξ , X ) ∈ M × X Do cách xác định X n , ta có t X= R (t )ξ + R (t ) ∫ R −1 ( s ) f n ( s )ds n (t ) với f n ∈ SΓ f n (t ) ∈ F (t , X n (t )) h.k.n Vì SΓ khả metric compact topo yếu σ ( L1E , L∞E* ) ta giả sử ( f n ) hội tụ đến f ∈ SΓ topo s Do ta có  X (0) = ξ  t  −1  R (t )ξ + t R −1 ( s ) f ( s )ds  X ( t ) = R ( t ) ξ + R ( s ) f ( s ) ds = lim n n ∫ ∫0   n →∞   Áp dụng định lý đóng 4.4 suy f (t ) ∈ F (t , X (t )) h.k.n Vì vậy, X nghiệm 80  X ′(t ) ∈ A(t ) X (t ) + F (t , X (t ))   X (0) = ξ (ξ , X ) chứa đồ thị S Điều hoàn thành chứng minh 4.5 Sự tồn nghiệm lớp bao hàm thức vi phân có chậm Trong suốt phần này, cho cố định T > h ≥ , I kí hiệu cho khoảng đóng [− h,T ]  , U cầu đóng khơng gian thực khả li phản xạ X , G :[0,T ] × U → X hàm đa trị nhận giá trị lồi đóng với phần khơng rỗng Ta giả sử G liên tục khoảng cách Hausdorff H liên kết với chuẩn X G ([0,T ] × U ) bị chặn Ta kí hiệu ExtrG (t , x) tập hợp tất điểm cực trị G (t , x) Giả sử ϕ o hàm C X ([− h,0]) cho ϕ o (θ ) ∈ int U ∀θ ∈ [− h,0] giả sử r :[0,T ] → [0, h] hàm liên tục Ta đặt t − r (t ) = α (t ) x(α (t )) = (T r x)(t ) Xét bao hàm thức vi phân với vế phải có chậm  x (t ) ∈ ExtrG (t ,(T r x)(t )), t ∈ [0,T ]  o = θ ∈ [−h,0]  x (θ ) ϕ (θ ), (1) Ta nói hàm x(.) xác định [− h,To ] (0 < To ≤ T ) ngiệm (1) [− h,To ] liên tục [− h,To ] , liên tục tuyệt đối [0,To ] thỏa mãn bao hàm thức (1) Định lý 4.14 Với giả thiết X G , bao hàm thức (1) có nghiệm xác định khoảng [− h,To ] với < To ≤ T Chứng minh Ta sử dụng kí hiệu sau đây: int A (tương ứng A ): phần (tương ứng bao đóng) A topo định chuẩn X B ( x,δ ) : cầu tâm x , bán kính δ > B = B (0,1) 81 B ((t , x),δ ) : cầu tâm (t , x) ∈  × X , bán kính δ > ,  × X trang bị với chuẩn (t , x) = max{ t , x } , dạng song tuyến tính từ ghép đơi X topo X * cùa Gr(G ) : đồ thị G , nghĩa là, Gr= (G ) {(t , x; u ) ∈ [0,T ] × U × X / u ∈ G (t , x)} C X ([− h,T ]) : không gian hàm liên tục từ [− h,T ] vào X L1X ([−h,T ]) : không gian lớp tương đương hàm khả tích từ [− h,T ] vào X χ A (.) : hàm đặc trưng tập đo A  Ta xét bao hàm thức vi phân r  x (t ) ∈ G (t ,(T x)(t )), t ∈ [0,T ]  o θ ∈ [−h,0] =  x(θ ) ϕ (θ ), (2) Dễ thấy, tồn To > cho bao hàm thức vi phân (2) có nghiệm x1 (.) [− h,To ] với đạo hàm không đổi x1 (.) x1 (t ) = a ∈ int G (t ,(T r x)(t )) ∀t ∈ [0,To ] Thật vậy, thứ ta đặt x= ϕ o ( s ) ∀s ∈ [−h,0] lấy a ∈ int G (0,ϕ o (−r (0))) ∀t ∈ [0,To ] (s) Xét hai trường hợp sau i) r (0) > Tồn To > cho t − r (t ) < a ∈ int G (t ,ϕ o (α (t ))) ∀t ∈ [0,To ] Với t ≥ , ta đặt = x1 (t ) ϕ o (0) + at Rõ ràng, x1 (0) = ϕ o (0) x1 (t ) = a ∈ int G (t ,(T r x1 )(t )) ∀t ∈ [0,To ] ii) r (0) = Ta lấy a ∈ int G (0,ϕ o (0)) Rõ ràng, tồn To > cho a ∈ int G (t ,ϕ o (0) + aα (t )) ∀t ∈ [0,To ] Đặt = x1 (t ) ϕ o (0) + at Dễ thấy x1 (t ) = a ∈ int G (t ,(T r x1 )(t )) ∀t ∈ [0,To ] 82 Hơn nữa, giả sử SG SG kí hiệu cho tập tất nghiệm (1) (2) [− h,To ] , SG tập hợp tất nghiệm x(.) (2) [−h,To ] với tính chất  x (t ) nhận giá trị không đổi liên tục mảnh [0,To ]  x (t ) ∈ int G (t ,(T r x)(t )) ∀t ∈ [0,To ] Như trình bày trên, x1 (.) ∈ SG , SG ≠ ∅ Bằng cách sử dụng tương tự chứng minh [1] chứng tỏ SG đóng khơng gian Banach C X [− h,To ] bao đóng SGo SG C X [− h,To ] tập khác rỗng đầy đủ, chứa SG Dưới đây, SG SGo trang bị metric C X [− h,To ] Đã biết (xem [3]) tồn hàm ϕ : Gr(G ) → [0, +∞) thỏa mãn tính chất i) ϕ bị chặn Gr(G ) nửa liên tục trên [0,T ] × U × X , với (t , x) ∈ [0,T ] × U ϕ (t , x;.) hàm lõm X ii) ϕ (t , x; u ) = u ∈ ExtrG (t , x) To Xét hàm J [ x(.), u (.)] = ∫ ϕ (t ,(T r x)(t ); u (t ))dt C X [− h,To ] × L1X [− h,T o ] Với α > ta đặt {x(.) ∈ SGo / J [ x(.), x (.)] < α } δα = Bổ đề ∞ p  S 1/= SGo ∩ SG p =1 Chứng minh bổ đề giống chứng minh bổ đề [3] ∞ Để chứng minh kết chính, chì cần chứng tỏ  S 1/ p ≠ ∅ (do bổ đề 1) p =1 83 Ta chứng minh tập S 1/ p mở trù mật SGo Khi SGo khơng gian metric đầy đủ khác rỗng, kết luận định lý suy từ định lý phạm trù Baire Bổ đề Cho α > , S α tập mở SGo Chứng minh bổ đề giống chứng minh bổ đề [3] , I1 [t ′, t ′′] ⊂ [0,T ] , x(.) ∈ SGo với x (t ) = a ∀t ∈ I1 (a Bổ đề Cho α > 0= hằng) Khi đó, tồn δ * > , c1 > cho với δ ∈ (0,δ * ] , to ∈ I1 thỏa [to , to + c1δ ] ⊂ I1 , hàm liên tục tuyệt đối y (.) [0, to ] với (θ ) ϕ o (θ ) ∀θ ∈ [− h,0] cho y= a) y (.) mảnh [0, to ] y (t ) ∈ int G (t ,(T r y )(t )) ∀t ∈ [0, to ] b) y (to ) = x(to ) y (t ) − x(t ) ≤ δ ∀t ∈ [0, to ] c) to d) ∫ϕ (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt < α to To Có thể mở rộng đến hàm liên tục tuyệt đối vào [− h, to ] với to= to + δ c1 cho tất tính chất a), b), c) ,d) to lân cận to Chứng minh = Đặt c max{1, sup[ v / v ∈ G ([0,T ] × U )], sup[ϕ (t , x; u ) / (t , x; u ) ∈ Gr(G )]} Ta lấy β ∈ (0,min{1, α To (1 + c) (3) }) Từ tính bị chặn G ([0,T ] × U ) bị chặn ϕ suy l ≤ c < +∞ Theo định lý độ lồi Krein – Milmann, với s ∈ I1 tồn ξ s > 0, λis > bis ∈ ExtrG ( s,(T r x)( s )) , i = 1, , ns , cho ns B (a,2ξ s ) ⊂ G ( s,(T r x)( s )) , ∑ λis = i =1 84 ns a − ∑ λis bis i =1 ≤ ξs β (4) s Khi ϕ ( s,(T r x)( s ); b= 0= (i 1, , ns ) tồn γ s ∈ (0,1) cho i ) ϕ ( s,(T r x)( s ); cis ) < β / , cis = (1 − γ s )bis + γ sα (i = 1, , ns ) Hơn nữa, giả sử δ s > cho với (t , z ) ∈ B (( s, x(α ( s ))),δ s ) (i = 1, , ns ) B ( a , ξ s ) ⊂ G ( x, z ) B (cis , γ sξ s ) ⊂ G ( x, z ) (5) ϕ (t , z; cis ) < β / Giả sử {( si − δ si / 4; si + δ si / 4)}ik=1 phủ hữu hạn phủ mở {( s − δ s / 4; s + δ s / 4)}s∈I1 I1 Đặt δ o = min{δ si / 4} 1≤i ≤ k (6) Với δ o > , tồn δ oo > cho ∀t ∈ [0, To ] với hàm y (.) y (θ ) ϕ o (θ ) (∀θ ∈ [− h, to ]) , y (t ) ≤ c (∀t ∈ [0, to ]) ta có [− h, to ] mà = ∀t , s ≤ to , t − s < δ oo ⇒ (T r y )(t ) − (T r y )( s ) < δ o Thật vậy, cho trước δ o > , giả sử chọn δ o′′ để với t1 , t2 ∈ [− h,0] , từ t1 − t2 < δ o′′ suy ϕ o (t1 ) − ϕ o (t2 ) < δ o / Đặt δ o′ = min{δ o′′, δ o / 4c} Dễ thấy ∀t1 , t2 ∈ [− h,0] thỏa t1 − t2 < δ o′ ta có y (t1 ) − (t2 ) < δ o / Bây giờ, lấy δ oo > cho: α (t ) − α ( s ) < δ o′ (T r y )(t ) − (T r y )( s ) < δ o / < δ ∀t , s < to : t − s < δ oo Hơn nữa, đặt δ * = min{δ o , δ oo } c1 = l δ ∈ (0,δ * ] l = c1δ Khi= 1+ β Dễ thấy δ * ≤ min{δ si / 4} Cho 1≤i ≤ k 6c (1 + β )δ (i 1, , k ) Do đó, tồn < δ ≤ δ si /= 6c j ∈ {1, 2, , k} cho [to , to + l ] ⊂ [ s j − δ j / 2, s j + δ j / 2] , δ j = δ s j 85 Để đơn giản ta viết δ , s thay cho δ j , s j Đặt = ti ti −1 + λis δ / 6c = (i 1, 2, , ns + 1) với λnss +1 = β ∆ i =[ti −1 , ti ] , ta dễ thấy tns +1= to + l ns +1 [to , to + l ] =  ∆ i i =1 Với to ∈ [0, To ] cho [to , to + l ] ⊂ I1 hàm liên tục tuyệt đối y (.) [0, to ] thỏa mãn a, b, c, d) Đặt : ns Cnss +1= a + (a − ∑ λis cis ) i =1 β t y (t ) x(to ) + ∫ u (τ )dτ với t ∈ [to , to + l ] = (7) to ns +1 u (t ) = ∑ cis χ ∆i (t ) (8) i =1 to +1 to +1 to to ∫ u (τ )dτ = ∫ Ta có x (τ )dτ (9) Do vậy, y (t ) − x(t ) < δ với t ∈ [− h, to + l ] Thật vậy, với t ≤ to bất đẳng thức hiển nhiên, t ∈ [to , to + l ] ta có ) y (t ) − x(t= t to +1 to t ∫ (u (τ ) − x (τ )) dτ= ∫ (u (τ ) − x (τ )) dτ ≤ l / 2c < δ Vì ta có c) [− h, to ] Từ (6) suy (T r y )(t ) − (T r x)( s ) ≤ (T r y )(t ) − (T r y )( s ) + (T r y )( s ) − (T r x)( s ) ≤ δ o + δ < 2δ o < δ Vì B (cis , γ s ξ s ) ⊂ G (t ,(T r y )(t )), B (a, ξ s ) ⊂ G (t ,(T r y )(t )) , a) [− h, to ] 86 Hơn nữa, b) suy từ (9) c) Cuối cùng, ta có to to ϕ (t ,(T y )(t ); y (t ))dt ∫= ∫ ϕ (t ,(T y)(t ); y (t ))dt + r r 0 ≤ α to To + βl < α (to + δ c1 ) To to +1 ∫ ϕ (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt to α t =o To Vì vậy, d) [− h, to ] chứng minh bổ đề nhờ hồn tất Suy trực tiếp từ bổ đề với α > , S α trù mật SGo Như nói trên, điều hồn tất việc chứng minh định lý 4.14 ■ 87 KẾT LUẬN Luận văn xem xét số tính chất tơpơ hàm đa trị ứng dụng phương trình vi phân đa trị Cụ thể tìm hiểu khoảng cách Hausdorff, tính đo liên tục hàm đa tri Các kết dùng để giải vấn đề nguyên hàm phương trình vi phân đa trị Các kết trình bày Luận văn không mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà Luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết hơn, đồng thời, vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với giúp đỡ góp ý Thầy hướng dẫn Qua Luận văn này, thân học tập nhiều điều bổ ích cơng tác nghiên cứu khoa học hiểu sâu sắc kiến thức mà thân lãnh nhận từ tất Quý Thầy Cơ tham gia giảng dạy lớp Cao học Giải tích khóa 21 truyền thụ suốt q trình học tập Những hạn chế hướng mở đề tài Mặc dù, thân cố gắng nhiều học tập nghiên cứu, thời gian hạn chế kiến thức thân giới hạn, tác giả Luận văn chưa đưa nhiều ứng dụng hàm đa trị hạn chế Luận văn Vấn đề nói vừa hạn chế vừa hướng nghiên cứu cho luận văn 88 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ Tiếng Anh [2] C Castaing, M.Valadier (1977), Convex Analysis and Measurale Multifunctions, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [3] Charalambos D.Aliprantis, Kim C.Border (2005), Infinite Dimensional Analysis, Springer [4] Nguyễn Đình Huy (1990), Existence of solutions for a class of differential Inclusions with memory, Institute of Mathematics National Center for Scientific Research Ha Noi ... Hausdorff, tính liên tục tính đo hàm đa trị ứng dụng chúng phương trình vi phân đa trị ĐỐI TƯỢNG, PHẠM VI NGHIÊN CỨU Đối tượng nghiên cứu luận văn khoảng cách Hausdorff, vài 40T tính chất định tính hàm. .. trọng chứng tỏ tồn hàm chọn đo Γ có giá trị tập khơng rỗng vài tính chất tính đo Định lý định lý 3.6, bên dưới, vài hệ nó, định lý 3.7 Nhưng định lý tổng quát hữu ích hết định lý 3.22 Định lý... tích đa trị đề tài hấp dẫn Dưới hướng dẫn PGS TS Nguyễn Đình Huy, tơi chọn thực đề tài: Một vài tính chất định tính hàm đa trị ứng dụng MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Trong luận văn này, khảo sát số định