Một vài tính chất định tính của hàm đa trị và ứng dụng

B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton LUN VN THC S TON HC Thnh ph H Chớ Minh 2013 B GIO DC V O TO TRNG I HC S PHM TP H CH MINH Trn Quc Ton Chuyờn ngnh : Toỏn Gii tớch Mó s : 60 46 01 LUN VN THC S TON HC NGI HNG DN KHOA HC: PGS TS NGUYN èNH HUY Thnh ph H Chớ Minh 2013 LI CM N Tụi xin gi li cm n chõn thnh nht, sõu sc nht n cỏc Thy, Cụ Khoa Toỏn Tin, lónh o v cỏc chuyờn viờn Phũng Sau i hc Trng i hc S phm thnh ph H Chớ Minh ó giỳp tụi hon thnh chng trỡnh hc v lun ny c bit, tụi xin by t lũng bit n sõu sc n PGS TS Nguyn ỡnh Huy, thy ó tn tỡnh hng dn tụi nghiờn cu khoa hc núi chung v giỳp tụi hon thnh lun ny núi riờng Cui cựng, tụi xin cm n gia ỡnh tụi, bn bố v ng nghip ó luụn ng h, giỳp , to mi iu kin thun li cho tụi sut thi gian hc v thc hin lun ny Trn Quc Ton MC LC LI CM N MC LC BNG K HIU M U Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp 1.2 nh x a tr 1.3 Tớnh liờn tc ca ỏnh x a tr 10 Chng 2: KHONG CCH HAUSDORFF V CI U HAUSDORFF 15 2.1 Khụng gian cỏc úng ca mt khụng gian mờtric .15 2.2 Trng hp ca khụng gian u, cỏi u Hausdorff .20 2.3 Khụng gian cỏc li úng ca khụng gian li a phng 22 2.4 Tớnh liờn tc ca hm a tr li 27 Chng 3: TNH O C CA HM A TR .32 Kin thc chun b 32 3.1 Hm a tr o c nhn giỏ tr l compact ca khụng gian kh li metric húa c 34 3.2 nh lý hm chn Hm a tr o c vi giỏ tr l y ca mt khụng gian metric kh li 36 3.3 Hm a tr o c li compact 41 3.4 nh lý chiu nh lý hm chn Von Neumann - Aumann 42 3.5 Tớnh o c khụng gian Suslin li a phng 49 3.6 nh lý hm n Nhng tớnh cht n nh ca hm a tr o c 53 Chng 4: NGUYấN HM CA HM A TR 57 4.1 Nguyờn hm ca hm a tr .57 4.2 Phộp ly o hm ca hm a tr cú bin phõn b chn 61 4.3 nh lý v tớnh compact ca nghim phng trỡnh vi phõn a tr .64 4.4 nh lý s tn ti nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr 67 4.5 S tn ti nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn cú chm .80 KT LUN .87 BNG K HIU : T 2X Hm a tr t T vo X dom Min hu hiu ca Gr() th ca range Min nh ca (U ) Nghch nh ca U (U ) Nhõn ca U nh x a tr ngc ca d ( x, y ) Khong cỏch gia x v y d ( x, A) Khong cỏch t x n A e( A, B ) dụi ca A trờn B h( A, B ) Khong cỏch Hausdorff ca A v B ( X ) Tp tt c cỏc ca X f ( X ) Tp tt c cỏc úng ca X tb ( X ) Tp tt c cỏc úng hon ton b chn ca X k (X ) Tp tt c cỏc compact ca X B X ( x, r ) Qu cu tõm x bỏn kớnh r > B = BX (0,1) Qu cu tõm bỏn kớnh bng BX ( A, ) -lõn cn ca khụng rng A X* Khụng gian i ngu ca khụng gian vector topo X int A Phn ca A A Bao úng ca A Ao Tp cc ca A coA Bao li ca A coA Bao li úng ca A ( A) Hm cc ca A * ( A) Hm ta ca A n.l.t.t Na liờn tc trờn n.l.t.d Na liờn tc di h.k.n Hu khp ni ( X ) Nhúm Borel nh nht cha tt c cỏc m ca khụng gian topo X Nhúm nh nht cha tt c cỏc A ì B ( A , B ) prT : T ì U T nh x chiu lờn T s -trng trờn T sinh bi nhng Suslin ca T à -y ca vi l o dng trờn (T , ) = vi mi o dng b chn trờn (T , ) A (.) Hm c trng ca A C X ([a; b]) Khụng gian cỏc hm liờn tc t [a;b] vo X L1X ([a; b]) Khụng gian lp cỏc hm kh tớch t [a;b] vo X M U Lí DO CHN TI Gii tớch a tr l mt hng nghiờn cu tng i mi Toỏn hc, c nh hỡnh khong na u ca th k 20 i tng ca Gii tớch a tr l cỏc ỏnh x a tr m lý thuyt ca nú c trỡnh by mt cỏch tng i cú h thng u tiờn khụng gian topo ca Claude Berge (1963) Vai trũ ca Gii tớch a tr Toỏn hc v cỏc ng dng toỏn hc ngy cng c cụng nhn rng rói c bit, Gii tớch a tr cú nhiu ng dng lý thuyt ti u v lý thuyt bao hm thc vi phõn Trong quỏ trỡnh hc tỡm hiu tri thc toỏn hc ca mỡnh, tụi nhn thy Gii tớch a tr l mt ti khỏ hp dn Di s hng dn ca PGS TS Nguyn ỡnh Huy, tụi chn thc hin ti: Mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v ng dng MC CH NGHIấN CU Trong lun ny, chỳng tụi kho sỏt mt s nh ngha v khong cỏch Hausdorff, tớnh liờn tc v tớnh o c ca hm a tr v cỏc ng dng ca chỳng phng trỡnh vi phõn a tr I TNG, PHM VI NGHIấN CU i tng nghiờn cu ca lun l khoaỷng caựch Hausdorff, mt vi tớnh cht nh tớnh ca hm a tr v mt s ng dng ca chỳng Phm vi nghiờn cu l gii tớch hm, lý thuyt o PHNG PHP NGHIấN CU Nghiờn cu mang tớnh lớ thuyt: tỡm hiu, phõn tớch cỏc ti liu tham kho, tng hp cỏc ni dung cú liờn quan n ti nghiờn cu v trỡnh by cỏc kt qu nghiờn cu c (vi cỏc chng minh chi tit) theo mt mch thng nht p dng cỏc kt qu v phng phỏp lp lun ca Tụpụ i cng, Gii tớch hm, Lý thuyt o CU TRC CA TI Lun c trỡnh by gm phn: phn m u, phn ni dung v phn kt lun Phn m u nờu rừ lý chn ti, xỏc nh rừ i tng nghiờn cu phm vi nghiờn cu ca ti, phng phỏp nghiờn cu v cu trỳc ca ti Phn ni dung gm chng Chng 1: Chng ny gii thiu cỏc khỏi nim v mt s nh lớ c bn v hm a tr v tớnh liờn tc ca hm a tr Chng 2: Chng ny trỡnh by v khong cỏch Hausdorff v cỏi u Hausdorff Chng 3: Chng ny trỡnh by v tớnh o c ca ỏnh x a tr Chng 4: Trỡnh by v nguyờn hm ca hm a tr v phng trỡnh vi phõn a tr Phn kt lun trỡnh by túm gn nhng kt qu ó nghiờn cu c, nhng hn ch cũn tn ti, ng thi nờu nhng hng nghiờn cu tip theo Chng 1: HM A TR V TNH LIấN TC CA HM A TR 1.1 Gii hn ca dóy hp nh ngha 1.1 Gi s X l khụng gian metric v ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú ta nh ngha a) Gii hn trờn ca dóy ( K n ) l lim sup K n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} n n b) Gii hn di ca dóy ( K n ) l lim inf K n = {x X / lim d ( x, K n ) = 0} n n c) Ta núi dóy ( K n ) cú gii hn l K , kớ hiu: lim K n = K , nu n lim sup K n lim inf K n K = = n n nh lý 1.2 Gi s X l khụng gian metric, ( K n ) l dóy cỏc ca X Khi ú: ((ii)) lim sup K n l tp hp tt c cỏc im t ca mi dóy ( xn ) , xn K n , n cú th lp v lim inf K n l hp tt c cỏc gii hn ca nhng dóy ú n ((iiii)) lim= sup K n = K m B( K m , ) n m n n >0 n m n ((iiiiii)) lim inf K n = B ( K m , ) n >0 n m n Chng minh (i) Ta cú {x X / x =lim xnk , xn K n } = {x X / lim d ( x, xnk ) =0, xn K n } k k = {x X / lim inf d ( x, xn ) = 0, xn K n } n = {x X / lim inf d ( x, K n ) = 0} = lim sup K n n n (ii) Nu x lim sup K n thỡ hin nhiờn x K m n m n n Gi s x K m , ta xõy dng dóy X nh sau n m n Cho trc > Vi n = , x K m nờn tn ti cho d ( x, y1 ) < 21 m t n1 = min{m / y1 K m } v xn1 = y1 Do x K m nờn tn ti y2 K m cho d ( x, y2 ) < 22 m n1 +1 m n1 +1 t n2 = min{m / y2 K m , m > n1} v xn1 = y2 Gi s ta ó cú xnk , ú x K m nờn tn ti yk +1 K m cho d ( x, yk +1 ) < k m nk +1 m nk +1 t nk +1 = min{m / yk +1 K m , m > nk } v xnk +1 = yk +1 Nh vy ta cú th xõy dng c dóy ( xnk ) , ú xnk K nk , m lim xnk = x k Do ú x lim sup K n (do (i)) n Bõy gi ta chng minh lim sup K n = B ( K m , ) >0 n m n n Ta cú lim sup K n = {x X / x = lim xnk , xn K n } k n = {x X / > 0, n , m , m n : d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n , m , m n : x B( K m , )} = B( K m , ) >0 n m n (iii) Ta cú lim inf K n = {x X / x = lim xn , xn K n } n n = {x X / > 0, n : m n, d ( x, K m ) < } = {x X / > 0, n : m n, x B ( K m , )} 74 2) Cho hai nghim z1 X r1 v z2 X r2 ; ta chng t rng hm = t z (t ) sup{z1 (t ), z2 (t )}, t [0; T ] l nghim ca (t ) = h(t , (t )) Xột m O= {t [0; T ] z1 (t ) > z2 (t )} Khi ú O l hp m c ca cỏc thnh phn liờn thụng; gi s O = I n n nh ngha z1 (t ) t I o yo (t ) = z2 (t ) t I o v, vi n z1 (t ) t I n yn (t ) = yn1 (t ) t I n Khi ú dóy ( yn ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) , vỡ vy, gii hn tng im ca yn l nghim ca (t ) = h(t , (t )) 3) Ly (tn ) l dóy trự mt [0; T ] Vi mi p , tn ti nghim z n , p cho zn , p (tn ) sup{z (tn ) z X r } p Ta dóy ( zn , p ) bi ( n ) Do 2), hm yn = sup i cha X r v ( yn ) l 0i n dóy tng thỡ nú hi t tng im n z thuc X r Hn na, ta cú = z (tn ) sup{z (tn ) x X r } vi mi n cho z tha tớnh cht ó yờu cu Mnh 4.12 Vi gi thit v nhng kớ hiu mnh 4.11, gi s rng x h(t , x) tng vi mi t [0; T ] c nh Nu u [0; T ] tha t u (t ) r + h( x, u ( s ))ds t [0; T ] Khi ú ta cú: u (t ) z (t ) t [0; T ] Chng minh Vi mi n 1, t 75 n t X n ={z [0; T ] z (t ) = r + + h( s, z ( s ))ds, t [0; T ]} Do mnh 4.11, tn ti zn X n cho zn (t ) z (t ) t [0; T ], z X n Hn na, hm sup( zn , zn+1 ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) nh ta ó chng minh mnh 4.11; iu ny suy zn +1 zn v z zn vi mi n Vỡ vy, gii hn tng im z ca dóy ( zn ) l nghim ca (t ) = h(t , (t )) bi bc th nht chng minh mnh 4.11 Vi mi n c nh t = to sup{t [0; T ] s t u ( s ) zn ( s )} Khi x h(t , x) l tng, thỡ ta cú to u (to ) r + h( s, u ( s ))ds < r + to + h( s, zn ( s ))ds n Do u v zn liờn tc, bt ng thc to < T khụng th xy Vỡ vy ta cú u zn vi mi n , ú u z Bõy gi ta phỏt biu tng quỏt nh lý s tn ti trng hp E l khụng gian Banach kh ly Ta kớ hiu E l khụng gian vector E c trang b topo ( E , E * ) nh lý 4.13 Cho E l khụng gian Banach kh ly v F l hm a tr o c t [0; T ] ì E nhn giỏ tr compact li khỏc rng E cho (i) Vi mi x E v x* E * , * ( x* , F (., x) o c trờn [0; T ] (ii) Vi mi t [0; T ] v mi x* E * , * ( x* , F (t ,.) na liờn tc trờn trờn E (iii) Tn ti mt ( E , E * ) compact li cõn bng K v hm kh tớch dng g xỏc nh trờn [0; T ] cho: vi mi t [0; T ] v mi x E , F (t , x) g (t ) (1 + x )K 76 Gi s A l ỏnh x liờn tc t [0; T ] lờn khụng gian Banach ( E , E ) tt c cỏc ỏnh x tuyn tớnh liờn tc t E lờn E Khi ú, vi mi E , S tt c cỏc nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = (1) l compact khỏc rng khụng gian E [0; T ] Hn th, thu hp ca hm a tr S n mi compact ca E l na liờn tc trờn Chng minh Khụng mt tng quỏt gi thuyt rng K cha qu cu n v ca E Cho nờn, nu X l nghim ca phng trỡnh vi phõn a tr X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = (1) Ta cú X (t ) A(t ) X (t ) + g (t ) ( X (t ) + 1) (2) Khi ú ta cú t X (t ) X (0) + X ( s ) ds (3) T (2) v (3) suy X (t ) X (0) + A( s ) X ( s ) + g ( s ) ( t X ( s ) + 1) ds (4) Ly s a cho X (0) a Thỡ, b ca Gronwall, ta cú X (t ) (a + 1) exp ( t A(s) + g ( s ) ds ) Cho hm a tr = (t ) g (t )( z (t ) + 1) K , t [0; T ] ú z (t ) = (a + 1) exp ( t A(s) + g ( s ) ds ) (5) 77 Vỡ g kh tớch, h qu V.4, thng S vi quan h tng ng bng h.k.n ca tt c hm chn o c ca l ( L1E [0; T ], LE* [0; T ]) S compact li khỏc rng Hn na, nu X l mt nghim ca (1), thỡ t X (t ) A(t ) X (t ) cha X tha bt ng thc (5) Gi s R l gii thc liờn kt vi ỏnh x A , ngha l, R l ỏnh x liờn tc t [0; T ] lờn ( E , E ) cho R(t ) = A(t ) R (t ) R (0) = E ú E l ỏnh x ng nht E Gi s M l compact E Ta cú th gi thit rng M , a v t t X = { X :[0; T ] E X (t ) = R(t ) + R(t ) R ( s ) f ( s )ds, M , f } Khi ú, X l ng liờn tc ca E [0; T ] , vỡ vy, X l ng liờn tc ca E [0; T ] Bõy gi, ta chng minh X l compact tng i ca E [0; T ] Do nh lý Ascoli, ch cn chng t, vi mi t [0; T ] , = X (t ) { X (t ) X X } t l compact E Chỳ ý ỏnh x tuyn tớnh f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E l liờn tc vi mi t [0; T ] c nh Bõy gi, X (t ) l compact ca E vỡ t = (t ) { R ( s ) f ( s ) f } l li v ( E , E * ) compact, bi vỡ (t ) l nh ca S to bi ỏnh x tuyn tớnh t liờn tc yu f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E ; cui cựng X (t ) = X (t ) R(t )( M ) + R(t )( (t )) ( E , E * ) compact vỡ ta cú 78 Bng lý l ó c s dng chng minh nh lớ 4.7, X metric húa c Bõy gi, chỳng ta cú th s dng nhng lp lun tng t ó c s dng chng minh nh lớ 4.7 hon thnh chng minh Trc ht, chỳ ý rng hm vect t t [0; T ] R ( s ) f ( s )ds ( f ) l kh vi hu khp ni v o hm ca nú thỡ bng R (t ) f (t ) hu khp ni theo mt kt qu ni ting ([10], [15]) vỡ th hm vect t t R (t ) + R ( s ) f ( s )ds l kh vi hu khp ni v o hm ca nú thỡ bng: t R(t ) + R ( s ) f ( s )ds + R(t ) R (t ) f (t ) o t = A(t ) R (t ) + R (t ) R ( s ) f ( s )ds + f (t ) o (6) vỡ ỏnh x (U , x) Ux t ( ( E , E ) ì E ) vo E l song tuyn tớnh v liờn tc Vi mi f , nh Y f E [0; T ] bi t Y= R (t ) + R (t ) R ( s ) f ( s )ds f (t ) (7) v kớ hiu (t ) l tt c cỏc hm chn o c ca hm a tr t F (t , Y f (t )) Khi ú, (t ) khỏc rng (theo h qu 4.5) v li Hn na, nu f (t ) , thỡ Y f l nghim ca (1) Tht vy, o hm Y f ca Y f xỏc nh (7) thỡ bng vi AY f + f hu khp ni nh chỳng ta ó tớnh cụng thc (6), vỡ vy (t ) A(t )Y f (t ) + f (t ) A(t )Y f (t ) + F (t , Y f (t )) h.k.n Y f= Do ú ta s ỏp dng nh lý im bt ng Kakutani Ky Fan cho hm a tr thu c nghim ca (1) Th nht, nu l hm chn o c ca t F (t , Y f (t )) , thỡ ta cú Y f (t ) A(t ) Y f (t ) + f (t ) g Y f (t ) + g (t ) ( z (t ) + 1) 79 Y f (t ) a + A( s ) Y f ( s ) + g ( s ) ( z ( s ) + 1) ds t T ú vỡ vy Y f (t ) z (t ) v (t ) (t ) mnh 12 iu ny suy f S thỡ ( f ) S Bõy gi ta chng minh th ca hm a tr compact ( S ) Chỳ ý rng, S l khụng gian kh metric compact i vi topo ( L1E [0; T ], LE [0; T ]) L1E [0; T ] l khụng gian Banach kh ly Cho ( n , f n ) * s l dóy cha th ca hi t ( S ) n ( , f ) Ta cn chng t ( f ) t Vỡ ỏnh x tuyn tớnh f R ( s ) f ( s )ds t L1E [0; T ] lờn E l liờn tc yu vi mi t [0; T ] c nh, nờn lim Y fn (t ) = Y f (t ) i vi topo yu ( E , E * ) n nh vy ta cú th ỏp dng nh lý úng 4.4 Do ú (t ) F (t , Y f (t )) h.k.n iu ny suy na liờn tc trờn v nhn ớt nht mt im bt ng f (ngha l f ( f ) ) hon thnh chng minh, ta phi chng t th ca hm a tr S l compact M ì X Cho ( n , X n ) l dóy cha th ca S , hi t n ( , X ) M ì X Do cỏch xỏc nh ca X n , ta cú t X= R (t ) + R (t ) R ( s ) f n ( s )ds n (t ) vi f n S v f n (t ) F (t , X n (t )) h.k.n Vỡ S kh metric compact i vi topo yu ( L1E , LE* ) ta cú th gi s ( f n ) hi t n f S i vi topo ny s Do ú ta cú X (0) = t R(t ) + t R ( s ) f ( s) ds X ( t ) R ( t ) R ( s ) f ( s ) ds lim = + = n n n p dng nh lý úng 4.4 suy f (t ) F (t , X (t )) h.k.n Vỡ vy, X l nghim ca 80 X (t ) A(t ) X (t ) + F (t , X (t )) X (0) = v ( , X ) cha th ca S iu ny hon thnh chng minh 4.5 S tn ti nghim ca mt lp bao hm thc vi phõn cú chm Trong sut phn ny, cho c nh T > v h , I c kớ hiu cho khong úng [ h,T ] , U l qu cu úng ca mt khụng gian thc kh li phn x X , v G :[0,T ] ì U X l hm a tr nhn giỏ tr li úng vi phn khụng rng Ta gi s G liờn tc i vi khong cỏch Hausdorff H liờn kt vi chun X v G ([0,T ] ì U ) l b chn Ta kớ hiu ExtrG (t , x) l hp tt c nhng im cc tr ca G (t , x) Gi s o l mt hm C X ([ h,0]) cho o ( ) int U [h,0] v gi s r :[0,T ] [0, h] l hm liờn tc Ta t t r (t ) = (t ) v x( (t )) = (T r x)(t ) Xột bao hm thc vi phõn di õy vi v phi cú chm x (t ) ExtrG (t ,(T r x)(t )), t [0,T ] o = [h,0] x ( ) ( ), (1) Ta núi hm x(.) xỏc nh trờn [ h,To ] (0 < To T ) l ngim ca (1) trờn [h,To ] nu nú liờn tc trờn [h,To ] , liờn tc tuyt i trờn [0,To ] v tha bao hm thc (1) nh lý 4.14 Vi nhng gi thit nh trờn i vi X v G , bao hm thc (1) cú ớt nht mt nghim xỏc nh trờn mt khong [ h,To ] vi < To T Chng minh Ta s s dng nhng kớ hiu sau õy: int A (tng ng A ): phn (tng ng bao úng) ca A topo nh chun ca X B ( x, ) : qu cu tõm x , bỏn kớnh > B = B (0,1) 81 B ((t , x), ) : qu cu tõm (t , x) ì X , bỏn kớnh > , ú ì X c trang b vi chun (t , x) = max{ t , x } , dng song tuyn tớnh t s ghộp ụi gia X v topo X * cựa nú Gr(G ) : th ca G , ngha l, Gr= (G ) {(t , x; u ) [0,T ] ì U ì X / u G (t , x)} C X ([ h,T ]) : khụng gian cỏc hm liờn tc t [ h,T ] vo X L1X ([ h,T ]) : khụng gian lp tng ng cỏc hm kh tớch t [ h,T ] vo X A (.) : hm c trng ca mt o c A Ta xột bao hm thc vi phõn di õy r x (t ) G (t ,(T x)(t )), t [0,T ] o [h,0] = x( ) ( ), (2) D thy, tn ti To > cho bao hm thc vi phõn (2) cú mt nghim x1 (.) trờn [ h,To ] vi o hm khụng i x1 (.) v hn na x1 (t ) = a int G (t ,(T r x)(t )) t [0,To ] Tht vy, th nht ta t x= o ( s ) s [ h,0] v ly a int G (0, o (r (0))) t [0,To ] (s) Xột hai trng hp sau i) r (0) > Tn ti To > cho t r (t ) < v a int G (t , o ( (t ))) t [0,To ] Vi mi t , ta t = x1 (t ) o (0) + at Rừ rng, x1 (0) = o (0) v x1 (t ) = a int G (t ,(T r x1 )(t )) t [0,To ] ii) r (0) = Ta ly a int G (0, o (0)) Rừ rng, tn ti To > cho a int G (t , o (0) + a (t )) t [0,To ] t = x1 (t ) o (0) + at D thy x1 (t ) = a int G (t ,(T r x1 )(t )) t [0,To ] 82 Hn th na, gi s SG v SG kớ hiu ln lt cho tt c cỏc nghim ca (1) v (2) trờn [ h,To ] , v SG l hp tt c cỏc nghim x(.) ca (2) trờn [ h,To ] vi nhng tớnh cht di õy x (t ) nhn giỏ tr khụng i liờn tc tng mnh trờn [0,To ] x (t ) int G (t ,(T r x)(t )) t [0,To ] Nh ó trỡnh by trờn, x1 (.) SG , vy SG Bng cỏch s dng tng t nh chng minh [1] cú th chng t rng SG l úng khụng gian Banach C X [h,To ] v vỡ vy bao úng SGo ca SG C X [h,To ] l khỏc rng y , cha SG Di õy, SG v SGo c trang b metric ca C X [h,To ] ó c bit (xem [3]) tn ti mt hm : Gr(G ) [0, +) tha nhng tớnh cht di õy i) b chn trờn Gr(G ) v na liờn tc trờn trờn [0,T ] ì U ì X , v vi mi (t , x) [0,T ] ì U thỡ (t , x;.) l hm lừm trờn X ii) (t , x; u ) = nu v ch nu u ExtrG (t , x) To Xột hm J [ x(.), u (.)] = (t ,(T r x)(t ); u (t ))dt trờn C X [h,To ] ì L1X [ h,T o ] Vi mi > ta t {x(.) SGo / J [ x(.), x (.)] < } = B p S 1/= SGo SG p =1 Chng minh ca b ny ging nh chng minh ca b [3] chng minh kt qu chớnh, chỡ cn chng t S 1/ p (do b 1) p =1 83 Ta s chng minh mi S 1/ p l m v trự mt SGo Khi SGo l khụng gian metric y khỏc rng, thỡ kt lun ca nh lý c suy t nh lý phm trự ca Baire B Cho bt k > , S l m SGo Chng minh ca b ny ging nh chng minh ca b [3] , I1 [t , t ] [0,T ] , x(.) SGo vi x (t ) = a t I1 (a l B Cho > 0= hng) Khi ú, tn ti * > , c1 > cho vi mi (0, * ] , v to I1 tha [to , to + c1 ] I1 , mi hm liờn tc tuyt i y (.) trờn [0, to ] vi y= ( ) o ( ) [ h,0] cho a) y (.) l hng tng mnh trờn [0, to ] v y (t ) int G (t ,(T r y )(t )) t [0, to ] b) y (to ) = x(to ) y (t ) x(t ) t [0, to ] c) to d) (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt < to To Cú th m rng n mt hm liờn tc tuyt i vo [ h, to ] vi to= to + c1 cho tt c cỏc tớnh cht a), b), c) ,d) i vi to lõn cn ca to ỳng Chng minh = t c max{1, sup[ v / v G ([0,T ] ì U )], sup[ (t , x; u ) / (t , x; u ) Gr(G )]} Ta ly (0,min{1, To (1 + c) (3) }) T tớnh b chn ca G ([0,T ] ì U ) v b chn trờn ca suy l c < + Theo nh lý li ca Krein Milmann, vi mi s I1 tn ti s > 0, is > v bis ExtrG ( s,(T r x)( s )) , i = 1, , ns , cho ns B (a,2 s ) G ( s,(T r x)( s )) , is = v i =1 84 ns a is bis i =1 s (4) s Khi ( s,(T r x)( s ); b= 0= (i 1, , ns ) thỡ tn ti s (0,1) cho i ) ( s,(T r x)( s ); cis ) < / , ú cis = (1 s )bis + s (i = 1, , ns ) Hn na, gi s s > cho vi mi (t , z ) B (( s, x( ( s ))), s ) (i = 1, , ns ) thỡ B ( a , s ) G ( x, z ) B (cis , s s ) G ( x, z ) (5) (t , z; cis ) < / Gi s {( si si / 4; si + si / 4)}ik=1 l ph hu hn ca ph m {( s s / 4; s + s / 4)}sI1 ca I1 t o = min{ si / 4} 1i k (6) Vi mi o > , tn ti oo > cho t [0, To ] v vi mi hm y (.) trờn y ( ) o ( ) ( [h, to ]) , y (t ) c (t [0, to ]) ta cú [h, to ] m = t , s to , t s < oo (T r y )(t ) (T r y )( s ) < o Tht vy, cho trc o > , gi s ó chn c o vi bt k t1 , t2 [ h,0] , t t1 t2 < o suy o (t1 ) o (t2 ) < o / t o = min{ o, o / 4c} D thy t1 , t2 [ h,0] tha t1 t2 < o ta cú y (t1 ) (t2 ) < o / Bõy gi, ly oo > cho: (t ) ( s ) < o v (T r y )(t ) (T r y )( s ) < o / < t , s < to : t s < oo Hn na, t * = min{ o , oo } v c1 = ú l (0, * ] v l = c1 Khi= 1+ D thy * min{ si / 4} Cho 1i k 6c (1 + ) (i 1, , k ) Do ú, tn < si /= 6c ti j {1, 2, , k} cho [to , to + l ] [ s j j / 2, s j + j / 2] , ú j = s j 85 n gin ta vit , s ln lt thay cho j , s j t = ti ti + is / 6c = (i 1, 2, , ns + 1) vi nss +1 = v i =[ti , ti ] , ta d thy tns +1= to + l v vỡ ns +1 vy [to , to + l ] = i i =1 Vi mi to [0, To ] cho [to , to + l ] I1 v mi hm liờn tc tuyt i y (.) trờn [0, to ] tha a, b, c, d) t : ns Cnss +1= a + (a is cis ) i =1 v t = y (t ) x(to ) + u ( )d vi mi t [to , to + l ] (7) to ns +1 u (t ) = cis i (t ) ú (8) i =1 to +1 to +1 to to u ( )d = Ta cú x ( )d (9) Do vy, y (t ) x(t ) < vi mi t [ h, to + l ] Tht vy, vi t to bt ng thc l hin nhiờn, nu t [to , to + l ] ta cú ) y (t ) x(t= t to +1 to t (u ( ) x ( )) d= (u ( ) x ( )) d l / 2c < Vỡ vy ta cú c) trờn [ h, to ] T (6) suy (T r y )(t ) (T r x)( s ) (T r y )(t ) (T r y )( s ) + (T r y )( s ) (T r x)( s ) o + < o < Vỡ vy B (cis , s s ) G (t ,(T r y )(t )), B (a, s ) G (t ,(T r y )(t )) , ú a) ỳng trờn [ h, to ] 86 Hn na, b) c suy t (9) v c) Cui cựng, ta cú to to (t ,(T y )(t ); y (t ))dt = (t ,(T y)(t ); y (t ))dt + r r 0 to To + l < (to + c1 ) To to +1 (t ,(T r y )(t ); y (t ))dt to t =o To Vỡ vy, d) cng ỳng trờn [ h, to ] v chng minh ca b nh ú hon tt Suy trc tip t b rng vi mi > , S trự mt SGo Nh ó núi trờn, iu ny hon tt vic chng minh nh lý 4.14 87 KT LUN Lun xem xột mt s tớnh cht tụpụ ca hm a tr v ng dng phng trỡnh vi phõn a tr C th l tỡm hiu v khong cỏch Hausdorff, tớnh o c v liờn tc ca hm a tri Cỏc kt qu ny dựng gii quyt nguyờn hm v phng trỡnh vi phõn a tr Cỏc kt qu trỡnh by Lun ny khụng mi, tt c u c phỏt biu v chng minh hoc nh hng mt s ti liu tham kho iu m Lun ó thc hin c l trỡnh by v chng minh mt cỏch chi tit hn, ng thi, dng c mt s kt qu mt s ti liu tham kho vi s giỳp v gúp ý ca Thy hng dn Qua Lun ny, bn thõn tụi ó hc c rt nhiu iu b ớch v cụng tỏc nghiờn cu khoa hc v hiu c sõu sc nhng kin thc m bn thõn ó c lónh nhn t tt c Quý Thy Cụ tham gia ging dy lp Cao hc Gii tớch khúa 21 ó truyn th sut quỏ trỡnh hc Nhng hn ch v hng m ca ti Mc dự, bn thõn ó c gng rt nhiu hc v nghiờn cu, nhng thi gian hn ch v kin thc bn thõn cũn gii hn, tỏc gi Lun cha a c nhiu ng dng ca hm a tr v õy cng l hn ch ca Lun Vn ny cú th núi va l hn ch va l hng nghiờn cu tip theo cho lun ny 88 TI LIU THAM KHO Ting Vit [1] Nguyn ụng Yờn (2007), Giỏo trỡnh Gii tớch a tr, NXB Khoa hc T nhiờn v Cụng ngh Ting Anh [2] C Castaing, M.Valadier (1977), Convex Analysis and Measurale Multifunctions, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, New York [3] Charalambos D.Aliprantis, Kim C.Border (2005), Infinite Dimensional Analysis, Springer [4] Nguyn ỡnh Huy (1990), Existence of solutions for a class of differential Inclusions with memory, Institute of Mathematics National Center for Scientific Research Ha Noi [...]... xạ đa trị Cho hai tập hợp bất kỳ X và Y Một ánh xạ Γ từ tập X vào tập hợp tất cả các tập con của Y được gọi là ánh xạ đa trị từ X vào Y Như vậy, với mỗi x ∈ X thì Γ( x) là một tập con (có thể rỗng) của Y Định nghĩa 1.5 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y Khi đó ta có các định nghĩa sau: Đồ thị của Γ , kí hiệu Gr(Γ) , được xác định bởi Gr( = Γ) {( x, y ) ∈ X × Y / y ∈ Γ( x)} Miền hữu hiệu của. .. topo, và G (Γ) là tập lồi trong không gian tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị lồi d) Nếu Y là không gian vector topo, và Γ( x) là tập lồi trong Y , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị lồi Định nghĩa 1.7 Giả sử Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y , Ω là ánh xạ đa trị từ Y vào Z Ánh xạ đa trị Ω  Γ từ X vào Z xác định bởi x) (Ω  Γ)(=  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( x ) được gọi là ánh xạ tích (hợp) của Γ và. .. Γ và Ω Ánh xạ đa trị ΩΓ từ X vào Z xác định bởi (ΩΓ)(= x)  Ω( y ), ∀x ∈ X y∈Γ ( y ) được gọi là ánh xạ tích vuông của Γ và Ω 10 1.3 Tính liên tục của ánh xạ đa trị Cho Γ là ánh xạ đa trị từ không gian topo T vào không gian topo E Định nghĩa 1.8 Ánh xạ đa trị Γ được nói là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) tại to ∈ domΓ nếu mọi tập mở U trong E chứa Γ(to ) , tồn tại một lân cận mở V của to sao cho... compact Chứng minh Suy ra từ các định lý 2.3, 5 và 13 Ta nhắc lại: Định nghĩa Giả sử E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff và A là một tập con của E Hàm tựa của A là hàm xác định trên E * bởi x*  δ * ( x* A) = sup〈 x* , x〉 x∈A Định lý 2.16 Có một tương ứng 1-1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng với các hàm σ ( E * , E ) n.l.t.d tuyến tính dưới trên E * (với giá trị trong (−∞, +∞] ) Tương ứng 1-1... và {K / K ∩ V ≠ ∅} Thật vậy  là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập {K / K ⊂ U } và {K / K ∩ V ≠ ∅} (định lý 2.6) Nhưng vì k ( X ) khả li (định lý 2.8) nên  cũng là hợp của một họ con đếm được của  2.2 Trường hợp của không gian đều, cái đều Hausdorff Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được xác định bởi họ lọc của các nửa khoảng cách (di ) i∈I Khi đó hàm ei và. .. tập con của Y đều xác định được một phép toán tương ứng đối với các hàm đa trị theo công thức sau (Γ1 ∗ Γ 2 )( x) = Γ1 ( x) ∗ Γ 2 ( x) Định nghĩa 1.6 Giả sử X , Y là các không gian topo, và Γ là ánh xạ đa trị từ X vào Y a) Nếu đồ thị Gr(Γ) là tập đóng trong không gian topo tích X × Y , thì Γ được gọi là ánh xạ đa trị đóng b) Nếu Γ( x) là tập đóng với mọi x ∈ X , thì Γ được gọi là ánh xạ có giá trị đóng... nửa liên tục trên tại to khi và chỉ khi nhân của mỗi tập mở U chứa Γ(to ) là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục trên trên T khi và chỉ khi nhân của mọi tập mở là một tập mở (ii) Γ nửa liên tục dưới tại to khi và chỉ khi nghịch ảnh của mỗi tập mở U , mà Γ(to ) ∩ U ≠ ∅ , là một lân cận của to Suy ra Γ nửa liên tục dưới trên T khi và chỉ khi nghịch ảnh của mọi tập mở là một tập mở (iii) Giả sử domΓ... tục của hàm đa trị lồi Định lý 2.20 Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E Giả sử Γ(to ) compact yếu và lồi Khi đó Γ là nửa liên tục trên (n.l.t.t.) yếu tại to nếu và chỉ nếu những hàm vô hướng δ * ( x* Γ(.)) là n.l.t.t tại to Chú ý Ta nói rằng Γ là n.l.t.t tại to nếu mọi tập mở U chứa Γ(to ) , tồn tại một lân... là ánh xạ A  δ * ( A) 24 Chứng minh Hàm tựa δ * ( A) là tuyến tinh dưới, σ ( E * , E ) n.l.t.d., và > −∞ , khi A ≠ ∅ Hơn nữa A đóng và lồi, δ * ( A) mô tả đặc điểm của A , bởi định lý Hanh – Banach Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới σ ( E * , E ) n.l.t.d là hàm tựa của tập = A {x / ∀x* ∈ E * , 〈 x* , x〉 ≤ ϕ ( x* )} Điều này là hệ quả của định lý I.4: như ϕ là tuyến tính dưới = 2ϕ * ( x) sup{ 2... ei ( A, B ) = 0 và nếu a ∈ A , ta có ∀i, di (a, B ) = 0 Khi đó mọi di -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần chung với B Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B Vì vậy a ∈ B 2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d  h là tăng Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều trong f ( X ) Giả sử  là cơ sở lân cận của cấu trúc đồng đều của X Nếu W ∈  ta định  bởi nghĩa