Không gian các tập đóng của một không gian mêtric- 123docz.net

Chương 2: KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ CÁI ĐỀU HAUSDORFF

2.1. Không gian các tập đóng của một không gian mêtric

Trong tất cả phần này X là không gian metric với metric d. Chúng không được giả thiết là ( , )d x y < ∞.

Định nghĩa 2.1. Cho ,A B là hai tập hợp con của X , độ dôi (excess) của A trên B được xác định như sau:

( , ) sup{ ( , ) / } e A B = d x B x∈A

(supremum nhận giá trị trong [0, ]∞ , và sup∅ =0) Khoảng cách Hausdorff của A và B là

( , ) max{ ( , ), ( , )}

h A B = e A B e B A . Những tính chất cơ bản.

ii)i))... e A( ,∅ = ∞) nếu A≠ ∅. ( , ) 0

e ∅ B =

iiiiii)))... e A B( , )= ⇔ ⊂0 A B ( , ) 0

h A B = ⇔ =A B iiiiiiiii)))... e A C( , )≤e A B( , )+e B C( , )

( , ) ( , ) ( , ) h A C ≤h A B +h B C .

Do đó ( )f X , tập tất cả các tập con đóng của X , với khoảng cách Hausdorff trở thành một không gian metric.

Chú ý. Trong tập f( )X , ∅ là điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị chặn trên ( ) { }f X − ∅ .

Định lý 2.2.Nếu An → A trong không gian metric f( )X , khi đó

( , ) ( )

m m m

n m n n m n W n m n

A A B A W A

ε ε

≥ > ≥ ∈ ≥

=  =    =   



Trong đó ( , ) {B Am ε = x∈E d x A/ ( , m)≤ε}, và  là tập tất cả các lân cận của cấu trúc đều của E và W A( m)={y∈E/∃ ∈x Am sao cho ( , )x y ∈W}.

Chứng minh.

1) Giả sử m

n m n

B A

= ≥ . Cho ε >0,n∈,x∈A thì tồn tại m≥n sao cho:

( m, )

h A A ≤ε, suy ra ( ,d x Am)≤ε và tồn tại xm∈Am sao cho ( ,d x xm)≤2ε.

Bởi vậy m

m n

x A

∈ ≥ với mỗi n∈. Điều này chứng tỏ A⊂B.

Giả sử x∈B, ta chứng minh An → ∪A { }x (điều này sẽ chứng tỏ B⊂ A). Từ An → A, suy ra (e A An, ∪{ })x →0. Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra

( { }, n) max{ ( , n), ( , n)} 0

e A∪ x A = e A A d x A → . Nó là đúng nếu chứng minh được ( , )d x An →0. Cho p∈ sao cho ,m n≥ p thì (h A An, m)≤ε . Từ x∈B suy ra tồn tại m≥ p sao cho ( ,d x Am)≤ε, do vậy nếu n≥ p thì

( , n) ( , m) ( m, n) 2 d x A ≤d x A +h A A ≤ ε. 2) Cho

( m, )

n m n

B B A

ε ε

> ≥

=    . Nếu x∈A, và ( ,d x Ap)→0, dễ thấy x∈B. Đảo lại, nếu x∈B, với ε > ∃ ∈0, n  sao cho ∀ ≥m n, ( ,d x Am)≤ε, do vậy

( { }, n) 0

e A∪ x A → . Và dễ thấy ( ,e A An ∪{ })x →0. Vậy h A A( n, ∪{ })x →0 và A= ∪A { }x .

3) Đẳng thức thứ ba là hiển nhiên bởi vì một cơ sở lân cận là họ {( , ) / ( , ) }( 0), and ( m) ( m, ) 2 ( m)

Wε = x y d x y ≤ε ε > W Aε ⊂B A ε ⊂W ε A . Định lý 2.3. Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì f( )X là không gian metric đầy đủ.

Chứng minh.

Giả sử ( )An là dãy Cauchy trong f( )X .

1) Thứ nhất lưu ý rẳng có N sao cho n≥N m, ≥ N kéo theo (h A An, m) 1≤ . Khi đó, hoặc An = ∅ ∀ ≥n N hoặc An ≠ ∅ ∀ ≥n N. Trong trường hợp thứ nhất dãy ( )An hội tụ về ∅. Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai.

2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng m n m n

≥ A ≠ ∅

  .

Cho ε >0 (điều này sẽ được sử dụng đầy đủ trong 3)). Chọn ε =1 là đủ.

Với mỗi k∈ tồn tại Nk sao cho ,m n≥Nk thì có h A A( n, m)<2−kε. Giả sử (nk) là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho nk ≥Nk. Cho

o no

x ∈A , giả sử chúng ta đã chọn được x xo, ,...,1 xk với tính chất , ( , 1) 2

i n i i

x ∈A d x x+ < − ε. Khi đó xk+1

được chọn trong Ank+1 thỏa d x x( k, k+1)<2−kε (điều này có thể thu được bởi vì

1 1

( k, nk ) ( nk, nk ) 2 k

d x A h A A ε

+ +

≤ < − ).

Dãy (xn) là dãy cauchy trong không gian metric đầy đủ X , nó giới hạn đến

x. Khi đó m

n m n

x A

∈ ≥ .

3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa mãn ( , ) 2d x xo ≤ ε. Do đó:

với mọi no ≥No và

o no

x ∈A tồn tại ( m)

n m n

x A A A

∈ = ≥ sao cho ( , )d x xo ≤2ε. Vì vậy ( ) 2 ,

no o o

e A A ≤ ε ∀ ≥n N .

4) Bây giờ chúng ta chứng minh ( , )e A An →0. Khi đó theo phần 3) sẽ chứng tỏ được ( , )h A An →0.

Giả sử ε >0 và N sao cho ,n m≥N thì có (h A An, m)<ε . Lấy x∈A. Khi đó

m N m

x A

∈ ≥ . Tồn tại no ≥N và

y∈A sao cho ( , )d x y ≤ε. Cho m≥N thì có

( , ) ( , ) ( , ) 2

o o

m n n m

d x A ≤d x A +h A A ≤ ε . Vì vậy ( , ) 2e A Am ≤ ε. Định lý 2.4. Cho tb( )X là tập hợp tất cả các tập đóng hoàn toàn bị chặn của

X . Khi đó tb( )X là đóng trong ( )f X . Chứng minh.

Giả sử ( )An là dãy trong tb( )X hội tụ đến A∈f( )X . Cho ε >0 tồn tại n sao cho ( ,e A An)<ε và x1,...,xp sao cho họ các quả cầu tâm xi, bán kính ε

phủ An. Khi đó họ các quả cầu tâm xi, bán kính 2ε phủ A. Do đó

tb( ) A∈ X .

Chú ý. Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì

f( )X

 hoàn toàn bị chặn. Thực vậy với ε >0 cho trước, giả sử x1,...,xn thỏa mãn họ các quả cầu mở tâm xi, bán kính ε phủ X . Giả sử A∈f( )X và

{ / ( , )i }

I = i B x ε ∩ ≠ ∅A . Khi đó tập B={xi /i∈I} có tính chất ( , )h A B ≤ε. Tập các tập con của tập { ,...,x1 xn} là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ f( )X hoàn toàn bị chặn.

Do đó nếu X là compact thì f( )X là compact.

Định lý 2.5.Nếu X là đầy đủ, ( )k X , tập tất cả các tập con compact củaX , là đầy đủ.

Chứng minh.Điều này hiển nhiên theo định lý 2.3 và 2.4.

Chú ý. Định lý 2.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều.

Định lý 2.6. Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của X , k( )X , là được sinh ra bởi tập {K∈k( ) /X K ⊂U} (U mở) và {K∈k( ) /X K∩ ≠ ∅V } (V mở). Cơ sở lân cận của Ko bao gồm các tập {K K/ ⊂U K, ∩ ≠ ∅V1 ,...,K∩Vn ≠ ∅} (ở đó U V, ,...,1 Vn là mở) chứa Ko. Chứng minh.

1) Chúng ta sẽ chứng minh ={K∈k( ) /X K ⊂U} là mở. Giả sử Ko∈. Bởi tính compact của Ko, ε =inf{ ( , ) /d x y x∈K yo, ∈ −E U}>0. Khi đó

( , o) ( , o)

h K K < ⇒ε e K K < ⇒ε K ⊂U , điều đó là K∈.

Chúng ta chứng minh ={K∈k( ) /X K∩ ≠ ∅V } là mở. Giả sử Ko∈. Tồn tại một quả cầu mở tâm xo∈Ko∩V, bán kính ε chứa trong V. Khi đó nếu ( , )h K Ko <ε, thì K gặp quả cầu. Do đó K∩ ≠ ∅V và K∈.

2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rằng nếu Ko∈k( )X và ε >0 cho trước, quả cầu tâm Ko và bán kính ε chứa tập:

{K K/ ⊂U} { K K/ ∩ ≠ ∅V1 } ... {  K K/ ∩Vn ≠ ∅} tập này chứa Ko. Thật vậy, chọn U ={ / ( ,x d x Ko)<ε} và V1,...,Vn là các quả cầu mở bán kính

2−1ε phủ Ko. Khi đó nếu K ⊂U thì ( ,e K Ko)≤ε, nếu K gặp V1,...,Vn thì ( o, )

e K K ≤ε.

Chú ý. Nếu T là không gian topo, Γ , là hàm đa trị từ T đến ( )k X , là liên tục nếu và chỉ nếu n.l.t.d. và n.l.t.t (xem no 20, 21 cho định nghĩa của n.l.t.d., n.l.t.t).

Hệ quả 2.7. Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của X ,k( )X , chỉ phụ thuộc vào topo của X (không phụ thuộc metric).

Định lý 2.8. Nếu X là không gian metric khả ly, thì ( )k X là không gian metric khả ly.

Chứng minh.

Giả sử ( )xn là dãy trù mật trong X . Giả sử  là tập hợp tất cả các tập hữu hạn { ,...,1 }

i in

x x . Khi đó  là một phần đếm được của ( )k X , và dễ kiểm tra rằng  là tập trù mật trong ( )k X .

Hệ quả 2.9. Nếu X là một không gian Polish, khi đó ( )k X với topo được mô tả trong định lý 2.6 là Polish.

Định lý 2.10. Nếu X là không gian metric khả ly, thì Borel σ -trường trong

k( )X

 (với topo Hausdorff) được sinh bởi những tập {K∈k( ) /X K ⊂U} (U mở) và cũng sinh bởi các tập {K∈k( ) /X K∩ ≠ ∅V } (Vmở).

Chứng minh.

1) Xem xét tập { /K K∩ ≠ ∅V }. Chú ý rằng n

V =F với 1

{ / ( , ) }

Fn x d x E V

= − ≥ n .

Khi đó { / } { / n }

K K∩ ≠ ∅ =V  K K∩F ≠ ∅

[ k( ) { / n}]

X K K E F

=  − ⊂ − .

Do vậy σ -trường sinh bởi tất cả các tập { /K K∩ ≠ ∅V }là bao hàm σ - trường sinh bởi tất cả các tập { /K K ⊂U}.

2) Xem xét tập { /K K ⊂U}.

Đặt Vn ={ / ( ,x d x E U− )<n−1}, khi đó n n

E U− =V .

Chúng ta kiểm chứng K ∩(X −U)≠ ∅ ⇔ ∀n K, ∩Vn ≠ ∅. Chiều thuận là hiển nhiên. Đảo lại nếu K ∩Vn ≠ ∅ ∀n, giả sử xn∈ ∩K Vn. Khi đó điểm tụ của dãy ( )xn thuộc vào K và X −U. Do đó

( ) { / } { / }

k n

X − K K ⊂U = K K∩V ≠ ∅

 .

Điều đó chứng tỏ rằng σ -trường sinh bởi tất cả các tập { /K K ⊂U} là bao hàm σ -trường sinh bởi tất cả các tập { /K K∩ ≠ ∅V }.