Một vài tính chất định tính của phương trình vi phân đa trị và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẶNG VĂN YÊN MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ: 60 46 36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẶNG VĂN YÊN MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ NGÀNH: 60 46 36 GVHD: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TP HỒ CHÍ MINH, tháng 06 năm 2014 CƠNG TRÌNH ĐƯỢC HOÀN THÀNH TẠI TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH Cán hướng dẫn khoa học: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Cán chấm nhận xét 1: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Cán chấm nhận xét 2: ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… Luận văn thạc sĩ bảo vệ HỘI ĐỒNG CHẤM BẢO VỆ LUẬN VĂN THẠC SĨ TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA, ngày … tháng … năm 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP.HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập - Tự - Hạnh phúc NHIỆM VỤ LUẬN VĂN THẠC SĨ Họ tên học viên: ĐẶNG VĂN YÊN Mã số học viên: 12240594 Ngày sinh 10/05/1969 Nơi sinh : Đồng Tháp Toán ứng dụng Mã số ngành: 604636 : Chuyên ngành : I Tên đề tài: MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG II Nhiệm vụ nội dung:  Nghiên cứu Không gian Metric Haussdorff  Nghiên cứu tính đo liên tục hàm đa trị  Nghiên cứu bao hàm thức vi phân ứng dụng III Ngày giao nhiệm vụ : 01/2014 IV Ngày hoàn thành nhiệm vụ : 06/2014 V Cán hướng dẫn: PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 01 tháng 06 năm 2014 Cán hướng dẫn Chủ nhiệm môn quản lý chuyên ngành PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY TRƯỞNG KHOA….……… LỜI CÁM ƠN Đầu tiên, tơi xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành sâu sắc tới Thầy hướng dẫn tơi - PGS.TS Nguyễn Đình Huy, người ln khuyến khích, quan tâm giúp đỡ, truyền đạt kiến thức tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành luận văn tốt nghiệp Tơi xin chân thành cám ơn Thầy Cô phản biện đọc cho ý kiến nhận xét để luận văn tơi chỉnh sửa hồn thiện Tơi xin chân thành cám ơn Ban Giám Hiệu, Phịng Đào Tạo Sau Đại Học, tập thể Thầy Cô mơn Tốn Ứng Dụng – Khoa Khoa Học Ứng Dụng – Trường Đại Học Bách Khoa – Đại học Quốc Gia TPHCM Cuối tơi xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thân gia đình, bạn bè tơi ln khích lệ, giúp đỡ tơi suốt q trình học tập vừa qua Đặng Văn Yên Lời cam đoan Tôi xin chịu trách nhiệm tất tơi viết luận văn Tơi xin cam đoan khơng có tượng đạo văn, đạo ý tưởng xảy luận văn Đặng Văn Yên MỤC LỤC LỜI CẢM ƠN MỤC LỤC BẢNG KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương : KHOẢNG CÁCH HAUSDORFF VÀ TÍNH ĐỀU HAUSDORFF 1.1 1.2 Khơng gian tập đóng khơng gian mêtric Trường hợp không gian đều, không gian Hausdorff 1.3 Khơng gian tập lồi đóng không gian lồi địa phương Chương : TÍNH ĐO ĐƯỢC VÀ LIÊN TỤC CỦA HÀM ĐA TRỊ 14 Kiến thức chuẩn bị 14 2.1 Tính liên tục hàm đa trị lồi 16 2.2 Hàm đa trị đo với giá trị tập compact không gian metric khả li 20 2.3 Định lý hàm chọn Hàm đa trị đo với giá trị tập đầy đủ không gian metric khả li 22 2.4 Hàm đa trị đo compact lồi 27 2.5 Định lý hàm chọn Von Neumann – Aumann 28 Chương : BAO HÀM THỨC VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG 31 3.1 Nguyên hàm cua hàm đa trị 31 3.2 Phép lấy đạo hàm hàm đa trị có biến phân bị chặn 35 3.3 Định lý tính compact tập nghiệm phương trình vi phân đa trị 38 3.4 Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân đa trị 40 3.5 Sự tồn nới lỏng tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng phiếm hàm 54 KẾT LUẬN 65 TÀI LIỆU THAM KHẢO 66 Chương 2: Tính đo liên tục hàm đa trị Tính liên tục hàm đa trị lồi Hàm đa trị đo với giá trị tập compact không gian metric khả ly Định lý hàm chọn Hàm đa trị đo với giá trị tập đầy đủ không gian metric khả li Hàm đa trị đo compact lồi Định lý hàm chọn Von Neumann – Aumann Chương 3: Bao hàm thức vi phân Nguyên hàm hàm đa trị Phép lấy đạo hàm hàm đa trị có biến phân bị chặn Tính compact tập nghiệm phương trình vi phân đa trị Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân đa trị Sự tồn nới lỏng tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng phiếm hàm BẢNG KÍ HIỆU  : T  2X Hàm đa trị từ T vào X dom  Miền hữu hiệu  Gr() Đồ thị  range Miền ảnh    (U ) Nghịch ảnh tập U  (U ) Nhân tập U  1 Ánh xạ đa trị ngược  d ( x, y) Khoảng cách x y d ( x, A) Khoảng cách từ x đến tập A e( A, B) Độ dôi tập A B h( A, B) Khoảng cách Hausdorff A B (X ) Tập tất tập X f (X ) Tập tất tập đóng X tb (X ) Tập tất tập đóng hồn tồn bị chặn X (X ) Tập tất tập compact X k BX ( x, r ) Quả cầu tâm x bán kính r > B  BX (0,1) Quả cầu tâm bán kính BX ( A,  )  -lân cận tập không rỗng A X* Không gian đối ngẫu không gian vector topo X int A Phần tập A A Bao đóng tập A Ao Tập cực tập A coA Bao lồi tập A coA Bao lồi đóng tập A  ( A) Hàm cực tập A  * ( A) Hàm tựa tập A n.l.t.t Nửa liên tục n.l.t.d Nửa liên tục h.k.n Hầu khắp nơi (X ) Nhóm Borel nhỏ chứa tất tập mở không gian topo X  prT : T U  T Nhóm nhỏ chứa tất tập A  B ( A  , B  Ánh xạ chiếu lên T s  -trường T sinh tập Suslin T   -đầy đủ   với  độ đo dương (T , ) với độ đo dương bị chặn  (T , )  A (.) Hàm đặc trưng tập A CX ([a; b]) Không gian hàm liên tục từ [a;b] vào X L1X ([a; b]) Không gian lớp hàm khả tích từ [a;b] vào X ) 53 ( S )2 Chú ý rằng, S không gian khả metric compact topo yếu  ( L1E [0;T ], LE [0;T ]) L1E [0;T ] không gian Banach khả ly Cho ( n , f n ) * s dãy chứa đồ thị  hội tụ ( S ) đến ( , f ) Ta cần chứng tỏ  ( f ) t Vì ánh xạ tuyến tính f   R 1 ( s) f ( s)ds từ L1E [0; T ] lên E liên tục yếu với t [0;T ] cố định, nên lim Y fn (t )  Y f (t ) topo yếu  ( E, E * ) n ta áp dụng định lý đóng 3.4 Do  (t )  F (t , Y f (t )) h.k.n Điều suy  nửa liên tục nhận điểm bất động f (nghĩa f  ( f ) ) Để hoàn thành chứng minh, ta phải chứng tỏ đồ thị hàm đa trị   S compact M  X Cho (n , X n ) dãy chứa đồ thị S , hội tụ đến ( , X )  M  X Do cách xác định X n , ta có t X n (t )  R(t )  R(t )  R 1 (s) f n (s)ds với f n  S f n (t )  F (t , X n (t )) h.k.n Vì S khả metric compact topo yếu  ( L1E , LE* ) ta giả sử ( f n ) hội tụ đến f  S topo s Do ta có  X (0)    t t  X (t )  R(t )   R 1 ( s) f ( s)ds  lim  R(t ) n   R 1 ( s) f n ( s )ds    0 n    Áp dụng định lý đóng 3.4 suy f (t )  F (t , X (t )) h.k.n Vì vậy, X nghiệm  X (t )  A(t ) X (t )  F (t , X (t ))   X (0)   ( , X ) chứa đồ thị S Điều hoàn thành chứng minh  54 3.5 Sự tồn nới lỏng tập nghiệm bao hàm thức vi phân dạng phiếm hàm 3.5.1 Những ký hiệu kết Trong phần này, X kí hiệu khơng gian Banach thực khả li với chuẩn  X * kí hiệu đối ngẫu topo X Với tập A  X , CoA ClA kí hiệu cách tương ứng bao lồi bao đóng A Với số thực r  ta đặt B( A, r )  {x  X : d ( x, A)  r} d ( x, A) khoảng cách từ x đến A : d ( x, A)  inf  x  a : a  A Ta kí hiệu ( X ) họ tất tập đóng khác rỗng X , H khoảng cách Hausdorff ( X ) , nghĩa là, với A, B  ( X ) H ( A, B)  max{sup xA d ( x, B),sup yB d ( y, A)} Giả sử I khoảng compact khác rỗng đường thẳng thực trang bị độ đo Lebesgue  (dt )  dt Khi đó, ta kí hiệu C X ( I ) khơng gian Banach tất hàm liên tục  () từ I vào X với chuẩn hội tụ  I  max   (t ) : t  I  kí hiệu L1X ( I ) khơng gian Banach tất hàm khả tích Bochner f () từ I vào X với chuẩn f   f (t ) dt I Một hàm đa trị  : I  X nói đo nhận giá trị ( X ) với U mở X tập {t  I : (t )  U  } đo Một hàm đơn trị g : I  X thỏa mãn g (t ) (t ) với t  I gọi hàm chọn  Ta kí hiệu S tập tất hàm chọn đo  Ta biết với hàm đa trị đo  : I  X S   Hơn nữa, S chứa dãy { f i }i1 cho Cl{ f i (t )}  (t ) với t  I Một dãy hàm chọn { f i } gọi biểu diễn Castaing  Ta biết  đo có biểu diễn Castaing; chi 55 tiết xem [3] Ta nói  khả tích đo S1  S  L1X ( I )   Chú ý rằng, hàm đa trị từ không gian độ đo tổng quát (, ,  ) vào không gian Polish (nghĩa khơng gian metric khả li đầy đủ) tất khái niệm trình bày tương tự Hơn nữa, vài kết bổ trợ chứng minh mục trường hợp tổng quát Tuy nhiên, với mục đích báo này, ta hạn chế đến trường hợp không gian đo Lebesgue bị chặn ( I , dt ) với I khoảng compact khác rỗng Bây ta trình bày kết báo Cho cố định to  , h  0, T  Đặt I  [to , to  T ] , C  CX [h,0],  ,  [  h,0] Với x()  CX [to  h, to  T ] t  I , kí hiệu xt () hàm C xác định xt ( )  x(t   ) với h    Ta ý hàm t  xt ánh xạ liên tục từ I vào C max t[to ,to T1 ] xt  max t[to h,to T1 ] x(t ) với T1  (0, T ] Cho trước tập mở D C , hàm   D ánh xạ đa trị F :I D  ( X ) Xét toán Cauchy x(t )  F (t , xt ), t  I , (8) xto   (9) Một hàm liên tục x :[to  h, to  T ]  X thỏa mãn (9) gọi nghiệm tốn Cauchy nói trên khoảng I  [to , to  T ] liên tục tuyệt đối I thỏa (8) hầu khắp nơi I Ta xét tốn Cauchy với bao hàm thức vi phân lồi hóa x(t )  ClCoF (t , xt ), t  I , xto   (10) (11) Kết báo trình bày sau Định lý 3.14 Cho I  [to , to  T ] , h  D tập mở CX [h,0] Cho F : I  D  ( X ) hàm đa trị đóng thỏa mãn: (i) Với   D , hàm đa trị F (., ) đo khả tích I , 56 (ii) F (t ,.) ánh xạ Lipschitz địa phương D, nghĩa với   D tồn   l  L1 ( I ) cho H ( F (t ,1 ), F (t , ))  l (t ) 1   I với 1 ,  B( ,  ) Khi với   D T1  (0, T ] tập nghiệm toán Cauchy (8) – (9) [to , to  T1 ] trù mật, topo hội tụ đều, tập nghiệm toán Cauchy với bao hàm thức vi phân lồi hóa (10) – (11) Định lý 3.15 Giả sử I , h, D cho Định lý 3.14,   D hàm đa trị F : I  D  ( X ) thỏa mãn: (i) Với   D , hàm đa trị F (., ) đo F (., ) khả tích I , (ii) F (t ,.) ánh xạ Lipschitz lân cận  , nghĩa tồn   l  L1 ( I ) cho H ( F (t ,1 ), F (t , ))  l (t ) 1   I với 1 ,  B( ,  ) Khi tồn T1  (0, T ] cho tập nghiệm toán Cauchy (8) – (9) [to , to  T1 ] khác rỗng 3.5.2 Chứng minh định lý Thứ ta phát biểu vài kết bổ trợ, mà nhiều biết định lý hàm đa trị đo Với mục đích trọn vẹn ta phác họa chứng minh chúng Bổ đề 3.16 Cho  : I  ( X ) hàm đa trị khả tích fo : I  X hàm đơn trị khả tích Khi hàm khoảng cách d ( fo (t ), (t )) khả tích Hơn thế, với   tồn hàm chọn khả tích g  S cho fo (t )  g (t )  (1   )d ( f o (t ), (t )) với t  I Chứng minh Do Định lý 8.2.13 [2], d (t )  d ( fo (t ), (t )) đo Vì (t ) khả tích nên tồn f (t )  S mà f (t ) khả tích 57 Do đó, từ d ( fo (t ), (t ))  f o (t )  f (t )  f o (t )  f (t ) suy d ( fo (t ), (t )) khả tích Hơn nữa, hàm đa trị M (t )  fo (t )  B(0,(1   )d (t )) đo được, suy hàm đa trị (t )  M (t ) có ảnh khác rỗng đo (do cách xác định hàm khoảng cách) Giả sử g hàm chọn đo (t )  M (t ) fo (t )  g (t )  (1   )d (t ) , g khả tích Bổ đề 3.17 Cho D tập mở không gian Banach Y I khoảng compact Giả sử hàm đa trị F (t , ) : I  D  (Y ) đo theo t Lipschitz địa phương theo  Khi F (t ,.) Lipschitz toàn cục lân cận tập compact K  D Chính xác hơn, với tập compact K D , tồn   l  L1 ( I ) (cả hai phụ thuộc vào K ) cho K  B(0,  )  D H ( F (t ,1 ), F (t , ))  l (t ) 1   , 1,   B( ,  ) (12) Chứng minh   Giả sử B( xi , 3i ) : i  1, , m bao phủ hữu hạn K với xi  K F (t ,.) thỏa mãn điều kiện Lipschitz B( xi , 3i ) với “Lipschitz constant” lxi (t ) Đặt r  inf xK d ( x, X \ D) ta có r  Khi để hồn thành chứng minh, cần đặt l (t )  max{lxi (t ) : i  1, , m}   min{r , 3i : i  1, , m} Cho hàm đa trị  từ I vào X , ta định nghĩa hàm đa trị lồi hóa ClCo cách đặt (ClCo)(t )  ClCo((t )) với t  I Bổ đề 3.18 Cho I  [to , to  T ]  : I  ( X ) hàm đa trị khả tích Khi với   với hàm chọn khả tích g hàm đa trị lồi hóa ClCo tồn hàm chọn khả tích f  cho max tI t  [ f (s)  g (s)] ds   to Chứng minh Suy trực tiếp từ Định lý 1.1 [4] 58 Những khẳng định sau đóng vai trị quan trọng việc chứng minh kết Vì vậy, kí hiệu I , T , h, D, X , C, to ,  , t có nghĩa Mục 3.5.1 Bổ đề 3.19 Cho T1  (0, T ],  o  CX ([to  h, to  T1 ]) thỏa mãn too   tập compact K  {to : t [to , to  T1 ]} chứa D Giả sử hàm đa trị F (., ) : I  ( X ) khả tích với   D cố định tồn    K  l ()  lK ()  L1 ( I ) cho K  B(0,  )  D (12) Hơn nữa, giả sử r  cho    r exp 2 to T1 to l (t )dt  giả sử f o hàm chọn khả tích hàm đa trị t  F (t ,to ) cho t  o (t )   (0)   f o ( s) ds  r , t  [to , to  T1 ] (13) to Khi (8) có nghiệm  [to , to  T1 ] thỏa mãn  max  (t )   o (t )  r exp 2 t[ to ,to T1 ] to T1 to  l (t )dt (14) Chứng minh Thứ nhất, ta ý với  ()  CX ([to  h, to  T1 ]) thỏa mãn t  K  B(0,  ) với t  I hàm đa trị F (t ,t ) đo Điều suy từ lý do: hàm đa trị F (, ) Caratheodory I  D hàm t  t từ I đến C liên tục, xem Định lý 8.2.8 [2] Hơn nữa, chứng minh hàm đa trị t  F (t ,to ) khả tích Thật vậy, giả sử {ti : i  1, , n} chọn cho to  t1   tn  to  T1 K n i 1 B(toi ,  ) Định nghĩa  t  to , t  [ti 1 , ti ), i  1, , n , i ta có to   t   , , t [to , to  T1 ] Do giả thiết F (t ,to ) nhận hàm chọn i 59 f i khả tích Đặt f (t )  f i (t ) với t [ti 1 , ti ), i  1, , n Ta thấy f hàm chọn khả tích F (t , t ) Vì d ( f (t ), F (t ,to ))  H ( F (t , t ), F (t ,to ))  l (t ) (do (12)) suy d ( f (t ), F (t ,to )) khả tích Do đó, chứng minh Bổ đề 3.16, tồn hàm chọn đo g F (t ,to ) cho f (t )  g (t )  (1   )d ( f (t ), F (t , to )) Vì g () khả tích F (t ,to ) khả tích Để chứng minh bổ đề, ta đặt  (0)  t f o ( s) ds, t  [t , t  T ]  o o to  (t )    t  [to  h, to ]  (t  to ), (15) Từ (13) (15) rõ ràng t1  to  r với t [to , to  T1 ] Đặc biệt t1  K  B(0,  ) Vì F xác định (t ,t1 ) (12) H ( F (T ,t1 ), F (t ,to ))  l (t ) t1  to  rl (t ) (16) với t [to , to  T1 ] Theo Bổ đề 3.16 hàm đa trị t  F (t ,t1 ) nhận hàm chọn khả tích f cho f o (t )  f (t )  2d ( f o (t ), F (t , t1 )) , đó, theo định nghĩa khoảng cách Haudorff (16), ta có f o (t )  f (t )  2rl (t ) với t [to , to  T1 ] Giả sử ta xác định hàm  o , f o , 1 , f , ,  n , f n ,  n1 cho với i {0, , n},  i  CX ([to  h, to  T1 ]), f i  L1X ([to , to  T1 ]) ti 1  ti    i t r 2 l ( s) ds , t  [to , to  T1 ] ; i ! to (17) (18) 60 ti  K  B(0,  ), t [to , to  T1 ] ti   ; (19) f i (t )  F (t ,ti ) h.k.n [to , to  T1 ] ; (20)  (0)  t f i ( s) ds, t  [t , t  T ]  o o to  i 1 (t )    t  [to  h, to ]  (t  to ), (21) o với i {1, , n} , f (t )  f i i 1  t 2r (t )  l (t ) 2 l ( s) ds to (i  1)!  i 1 , t  [to , to  T1 ] (22) Tiếp theo ta xác định  n , f n1 sau Thứ nhất, ti  K  B(0,  )  D , nên hàm đa trị F xác định (t ,ti ) với i  0,1, , n  Mà f n (t )  F (t ,tn ) , nên theo Bổ đề 3.16 tồn hàm chọn khả tích f n1 hàm đa trị t  F (t ,tn1 ) cho f n1 (t )  f n (t )  2d ( f n (t ), F (t , tn1 )) Do đó, theo cách xác định H (12), (18) ta viết f n1 (t )  f n (t )  2H ( F (t ,tn1 ), F (t ,tn ))  2l (t ) tn1  tn  2l (t )   n t r 2 l ( s) ds , t  [to , to  T1 ] n! to (23) Thêm nữa, ta xác định  n cách đặt i  n  cơng thức (21) Khi ta có:  t [ f n1 ( s)  f n ( s)] ds   n (t )   n1 (t )   to  0 Như vậy, (23), t  [to , to  T1 ], t  [to  h, to ] 61  s  2r t l ( s )  to l ( ) d  n (t )   n1 (t )   n! to 0   ds n t  [to , to  T1 ], t  [to  h, to ] Từ kết này, với  [h,0] t [to , to  T1 ] ,  n ( )   n1 ( )   s 2r t l ( s) 2 l ( ) d  to n! to  t r  2 l ( s) ds (n  1)! to   ds n n 1 Điều chứng tỏ (18) với i  n  Vì suy  n 1 t  tn2  to   ti 1  ti  r exp 2 l ( s) ds   , i 0 to nghĩa tn2  K  B(0,  ) với t [to , to  T1 ] Tóm lại, ta chứng minh tồn hai dãy hàm { i }i0 , { f i }i0 thỏa mãn (17) – (22) Đặc biệt, từ (22) ta suy { f i } dãy Cauchy L1X ([to , to  T1 ]) , hội tụ hàm f L1X ([to , to  T1 ]) , dãy hội tụ theo điểm h.k.n Từ (18) suy dãy {ti } dãy Cauchy CX ([to , to  T1 ]) hội tụ đến hàm liên tục  Dễ thấy to   ,  (t )  f (t ) với t [to , to  T1 ]  t  to  r exp 2 to T1 to  l ( s) ds   với t [to , to  T1 ] Do đó, ta viết, với t [to , to  T1 ] hầu khắp nơi d ( f (t ), F (t ,t ))  f (t )  f i (t )  d ( f i (t ), F (t , ti ))  H ( F (t , ti ), F (t , t ))  f (t )  f i (t )  l ( s) ti  to Vì vậy, cho i tiến đến  , ta  (t )  f (t )  F (t ,t ) h.k.n  () nghiệm toán Cauchy (8) – (9) Hơn nữa, rõ ràng  thỏa (14) Điều hoàn tất chứng minh bổ đề Chứng minh định lý 3.14 62 Cho trước T1 giả sử  o nghiệm (10) – (11) [to , to  T1 ]   Theo Bổ đề 3.17, từ điều kiện (ii) định lý suy ra: tồn   l ()  L1 ([to , to  T1 ]) cho K  B(0,  )  D (12) thỏa mãn, K  {to : t [to , to  T1 ]} tập compopact C Như thấy chứng minh Bổ đề 3.19, hàm đa trị t  F (t ,to ) khả tích Lấy r  cho  r exp 2 to T1 to  l ( s) ds  min{ , } Vì  o (t )  ClCoF (t ,to ) , theo Bổ đề 3.18 F (t ,to ) nhận hàm chọn khả tích f o thỏa mãn max t[ to ,to T1 ] t  [f to o ( s)   o ( s)] ds  r , Hơn   t0      nên từ bất đẳng thức cuối ta có: t   t0        f  s  ds  r t0 với t [to , to  T1 ] Do đó, Bổ đề 3.19, tốn (8) – (9) có nghiệm   [to , to  T1 ] thỏa mãn max s[ to h ,to T1 ]   ( s)   o ( s)  max t  to t[ to ,to T1 ]   r exp 2 to T1 to  l ( s) ds   , chứng minh hoàn tất Chứng minh Định lý 3.15 Đặt    chọn To  (0, T ] cho max   (1 )   (2 ) : 1 ,2 [h,0], 1  2  To    Thêm nữa, ta đặt (24) 63  (0)  o (t )    (t  to ) t  [to , to  T0 ], t  [to  h, to ] Từ (24) suy   to    max to ( )   ( ) : h      , (25) với t [to , to  To ] Do đó, tập compact K  {to : t [to , to  To ]} chứa B( ,  ) K  B(0,  )  B( ,  )  B(0,  )  B( ,  ) Như phần chứng minh Định lý 3.14, to  B( ,  ) , suy tồn hàm r chọn khả  tích fo hàm  đa trị t  F (t ,to ) Đặt   to To to To 1  exp 2 l ( s) ds Khi r exp 2 l ( s) ds     Chọn t t o o 2 T1  (0, To ] cho  to T1 f o ( s) ds  to r Điều này, kết hợp với (24), mang đến t  o (t )   (0)   f o ( s) ds  r to với t [to , to  T1 ] Hơn nữa, rõ ràng  r exp 2 to T1 to  l ( s) ds   Vì vậy, theo Bổ đề 3.19, tốn Cauchy (8) – (9) có nghiệm [to , to  T1 ] 3.5.3 Ứng dụng Trong mục ta áp dụng định lý 3.14 3.15 để chứng minh tồn nới lỏng nghiệm cho bao hàm thức vi-sai phân dạng x(t )  P  t , x(t  1 (t )), , x(t  n (t ))  Để đơn giản kí hiệu, ta xét trường hợp n  Đặt I  [to , to  T ] P : I U U  ( X ) , U tập mở X Chọn   C  CX ([h,0]) cho  ([h,0])  U Xét bao hàm thức vi-sai phân 64 x(t )  P  t , x(t   (t )), x(t   (t ))  , t  I (26) x(s)   (s  to ), s [to  h, to ], (27) đó,  ,  : I  [h,0] hàm số liên tục cho Bao hàm thức (26) thu hẹp đến (8) hàm đa trị F : I  C  ( X ) xác định sau F (t , )  P  t , ( (t )), ( (t ))  (28) D  {  C :  ([h,0])  U } Dưới đây, không gian Banach tích Y  X  X có chuẩn kí hiệu  Như hệ trực tiếp Định lý 3.14, ta có: Định lý 3.20 Giả sử (i) Với y  ( x1 , x2 ) U U hàm đa trị P(, y) đo nhận hàm chọn khả tích I , (ii) Với y  ( x1 , x2 ) U U tồn  y  l y  L1 ( I ) cho H  P(t , y1 ), P(t , y )   l y (t ) y1  y h.k.n I với y1 , y  B( y,  y ) Khi đó, với T1  (0, T ] tập nghiệm (26) – (27) I  [to , to  T1 ] trù mật, topo hội tụ đều, tập nghiệm bao hàm thức lồi hóa x(t )  ClCoP  t , x(t   (t )), x(t   (t ))  , t  I1, (29) x(s)   (s  to ), s [to  h, to ] Tương tự, hệ Định lý 3.15, ta phát biểu định lý tồn tập nghiệm cho bao hàm thức vi-sai phân (26) – (27) ■ 65 KẾT LUẬN Luận văn xem xét số tính chất tơpơ hàm đa trị ứng dụng phương trình vi phân đa trị Cụ thể tìm hiểu khoảng cách Hausdorff, tính đo liên tục hàm đa trị Các kết dùng để giải vấn đề nguyên hàm phương trình vi phân đa trị Các kết trình bày Luận văn khơng mới, tất phát biểu chứng minh định hướng số tài liệu tham khảo Điều mà Luận văn thực trình bày chứng minh cách chi tiết hơn, đồng thời, vận dụng số kết số tài liệu tham khảo với giúp đỡ góp ý Thầy hướng dẫn Qua Luận văn này, thân học tập nhiều điều bổ ích công tác nghiên cứu khoa học hiểu sâu sắc kiến thức mà thân lãnh nhận từ tất Quý Thầy Cô tham gia giảng dạy lớp Cao học Toán ứng dụng K2011, truyền thụ suốt trình học tập Những hạn chế hướng mở đề tài Mặc dù, thân cố gắng nhiều học tập nghiên cứu, thời gian hạn chế kiến thức thân giới hạn, tác giả Luận văn chưa đưa nhiều ứng dụng hàm đa trị hạn chế Luận văn Vấn đề nói vừa hạn chế vừa hướng nghiên cứu cho luận văn 66 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] J P Aubin and A Cellina, Differential inclusions, Springer – Verlag, New York – Berlin, 1984 [2] J P Aubin and H Frankowska, Set – valued analysis, Birkhä user, New York, 1990 [3] C Castaing and M Valadier, Conver analysis and measurable multifunctions, Lecture Notes in Mathematics, No 580, Springer – Verlag, New york – Berlin, 1977 [4] Phan Van Chuong, A density theorem with application in relaxation of non – convex valude differential equations, J Math Anal Appl., 124 (1987), 1–14 [5] Nguyen Dinh Huy and Nguyen Khoa Son, On the existence of solutions for functional differential inclusions in Banach spaces, Acta Math Viet., 16 (1991), 49 – 60 [6] Nguyen Khoa Son and Nguyen Dinh Huy, On the qualitative properties of solution set to functional differential inclusions in Banach spaces, Journal of Math., 19 (1991), 45 – 59 [7] Nguyễn Đơng n (2007), Giáo trình Giải tích đa trị, NXB Khoa học Tự nhiên Công nghệ CỘNG HÒA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc LÝ LỊCH TRÍCH NGANG I LÝ LỊCH SƠ LƯỢC : Họ Tên : Đặng Văn Yên Phái : Nam Ngày sinh : 10/05/1969 Nơi sinh : Đồng Tháp Mã số học viên : 12240594 Khoa : Khoa học ứng dụng Địa thường trú : P Thảo Điền, Quận 2, TP.HCM II QUÁ TRÌNH ĐÀO TẠO : ĐẠI HỌC Chế độ học : Chính qui Thời gian học : Từ 08/1987 đến 08/1991 Nơi học : Trường Đại học Khoa học Tự nhiên TP.HCM Ngành học : Giải tích SAU ĐẠI HỌC : Ngành tốn ứng dụng trường Đại học bách khoa TP.HCM Thời gian học : Từ 08/2012 đến 08/2014 Tp.HCM, ngày 24 tháng 08 năm 2014 Người khai Đặng Văn Yên ... Tên đề tài: MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG II Nhiệm vụ nội dung:  Nghiên cứu Không gian Metric Haussdorff  Nghiên cứu tính đo liên tục hàm đa trị  Nghiên... TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA ĐẶNG VĂN YÊN MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐA TRỊ VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC CHUYÊN NGÀNH: TOÁN ỨNG DỤNG MÃ SỐ NGÀNH: 60 46 36 GVHD: PGS.TS... tích đa trị đề tài hấp dẫn, hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Đình Huy, tơi chọn thực đề tài: Một vài tính chất định tính phương trình vi phân đa trị ứng dụng Phương pháp nghiên cứu: Nghiên cứu mang tính