Phương trình vi phân trên thang thời gian 1

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ BẢO CHÂU PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành: Tốn Giải tích Mã số: 8.46.01.02 TĨM TẮT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 Cơng trình hồn thành TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM - Đại học Đà Nẵng Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Phản biện 1: Phản biện 2: Luận văn bảo vệ trước Hội đồng chấm Luận văn tốt nghiệp thạc sĩ Toán học họp Trường Đại học Sư phạm - ĐHĐN vào ngày tháng năm 2021 Có thể tìm hiểu luận văn tại: Thư viện Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN; Khoa Toán học, Trường Đại học Sư phạm – ĐHĐN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Sự phát triển thang thời gian giai đoạn sơ khai, nhà toán học dành nhiều quan tâm thang thời gian Các phương pháp đưa vào phương trình vi phân thang thời gian, giải thích số sai lệch gặp phải kết phương trình vi phân đối chứng chúng xem xét độc lập Những lời giải thích khác biệt tình cờ tạo kết thống thông qua phương pháp thang thời gian Chủ đề đưa Phương trình vi phân thang thời gian: Giới thiệu ứng dụng (Martin Bohner Allan Peter - Son, Birkhăauser, 2001 86]) c vit bi mt nhúm 21 chuyên gia quốc tế lĩnh vực họ, cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mơ thời gian cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mơ thời gian Các chủ đề bao gồm hàm số mũ thang thời gian, xác suất giá trị biên, nghiệm dương, nghiệm nghiệm phương trình vi phân, lý thuyết tích phân thang thời gian, phương trình vi phân bậc cao hơn, Việc nghiên cứu phương trình vi phân thang thời gian chủ đề nghiên cứu lĩnh vực phát triển nhanh chóng Nó tạo để thống phân tích liên tục rời rạc, cho phép xử lý đồng thời phương trình phân số sai phân, mở rộng lý thuyết trở thành phương trình vi phân Với mong muốn làm rõ cá sở toán học, ý tưởng việc ứng dụng phương trình vi phân thang thời gian lĩnh vực nghiên cứu, với gợi ý TS Phan Đức Tuấn, chọn đề tài: “Phương trình vi phân thang thời gian” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu mơ hình tốn học lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Phép tính vi tích phân thang thời gian - Giải phương trình vi phân thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu Phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp Phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hệ thống khoa học Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Toán đối tượng có chuyên ngành liên quan để ứng dụng cho toán thực tiễn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: - Chương 1, trình bày khái niệm chung phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Chương 2, trình bày phép tính vi tích phân thang thời gian gồm: Khái niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian - Chương 3, trình bày phương trình vi phân thang thời gian gồm: Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân Định nghĩa 1.1.1 (xem [1]) Phương tình có dạng F (x, y, y ′ , y”, , y (n) ) = 0, (1.1) gọi phương trình vi phân thường bậc n Trong y = y(x) hàm cần phải tìm Định nghĩa 1.1.2 (xem [1]) Hàm y = ϕ(x) gọi nghiệm phương trình vi phân thường (1.1) phương trình (1.1) thay y = ϕ(x), y ′ = ϕ′ (x), y (n) = ϕ(n) (x) ta nhận được: F (x, ϕ(x)), ϕ′ (x), , ϕ(n) (x)) = Bình thường phương trình (1.1) khơng có nghiệm mà có vơ số nghiệm 1.1.2 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.1.3 (xem [2]) Phương trình vi phân cấp có dạng tổng quát F (x, y, y ′ ) = 0, y ′ = (1.2) dy dx Nghiệm phương trình hàm y = y(x) có tính chất vào phương trình (1.2) ta đồng thức Quá trình tìm nghiệm phương trình gọi tích phân phương trình Nếu từ phương trình F (x, y, y ′ ) = ta giải y ′ , nghĩa phương trình có dạng y ′ = f (x, y) phương trình y ′ = f (x, y) gọi phương trình cấp giải đạo hàm Định nghĩa 1.1.4 (xem [2]) Nghiệm phương trình vi phân phụ thuộc vào số C tùy ý Trong thực tế người ta thường không quan tâm đến tất nghiệm phương trình mà ý đến nghiệm thỏa mãn điều kiện Bài tốn tìm nghiệm phương trình y ′ = f (x, y) thỏa mãn điều kiện y (x0 ) = y0 , x0 , y0 cho trước gọi toán Cauchy Điều kiện y (x0 ) = y0 gọi điều kiện ban đầu; x0 , y0 gọi giá trị ban đầu Từ đây, ta thừa nhận định lý sau tính tồn nghiệm tốn Cauchy Xét phương trình y ′ = f (x, y), (1.3) y (x0 ) = y0 , (1.4) với f liên tục miền D ⊂ R2 Về mặt hình học, tốn Cauchy cho NDE bậc hiểu tìm nghiệm y(x) (1.3) mà đồ thị (cịn gọi đường cong tích phân NDE) qua điểm (x0 , y0 ) Định nghĩa 1.1.5 (xem [1]) Nghiệm (1.3) mà điểm (x0 , y0 ) tính chất nghiệm tốn Cauchy y ′ = f (x, y) y (x0 ) = y0 , thỏa mãn gọi nghiệm riêng Ngược lại, nghiệm phương trình (1.3) mà điểm tính chất nghiệm toán Cauchy bị vi phạm gọi nghiệm kỳ dị 1.1.3 Phương trình vi phân cấp Định nghĩa 1.1.6 (xem [1]) Phương trình có dạng tổng quát F (x, y, y ′ , y ′′ ) = 0, gọi phương trình vi phân cấp 2, F hàm số biến Ví dụ 1.1.7 Giải phương trình: y ′ = 6x Ta có ′ (y ′ ) = 6x ⇔ y ′ = ⇔y= 6xdx = 3x2 + C1 3x2 + C1 dx = x3 + C1 x + C2 Định nghĩa 1.1.8 (xem [2]) Không phải lúc giải tường minh nghiệm phương trình dạng hàm số y = φ (x, C1 , C2 ), mà đưa phương trình hàm ẩn Nghiệm tổng quát phương trình vi phân cấp viết dươi dạng hàm ẩn có dạng Φ (x, y, C1 , C2 ) = 0, goi tích phân tổng qt phương trình Mỗi tích phân ứng với giá trị xác định C1 , C2 gọi tích phân riêng phương trình 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định nghĩa 1.2.1 (xem [1]) Phương trình dạng dy + p(x)y = q(x), dx (1.5) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Khi q(x) ≡ (1.5) gọi phương trình tuyến tính cấp Khi q(x) ̸≡ (1.5) gọi phương trình tuyến tính cấp khơng Định lý 1.2.1 (xem [1]) (Nghiệm phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp y ′ + p(x)y = 0, p hàm liên tục khoảng I ⊂ R Gọi P nguyên hàm p(x) Khi đó, nghiệm tổng quát phương trình vi phân khoảng I y(x) = Ce−P (x) , C số tùy ý Định lý 1.2.2 (xem [1]) Cho phương trình vi phân tuyến tính cấp khơng y ′ + p(x)y = q(x), p, q hàm liên tục theo x khoảng I ⊂ R Gọi P nguyên hàm p(x) Nghiệm tổng quát phương trình khoảng I y(x) = e−P (x) eP (x) q(x)dx Ví dụ 1.2.2 Tìm nghiệm phương trình: y ′ + 3xy = x, qua điểm (0, 1) Ta có: P (x) = 3x, P (x)dx = 3x2 nghiệm tổng quát phương trình cho là: y = e− 3x2 xe 3x2 dx + C = e− 3x2 3x2 e +C Do nghiệm phương trình qua (0, 1) nên thay x = 0, y = vào biểu thức cuối ta thu C = 23 Như nghiệm cần tìm là: y = e− 3x2 3x2 e + 3 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Trong phần này, I ký hiệu tập liên thông R, tức I có dạng sau:(−∞, x2 ) , (x1 , x2 ) , (x1 , +∞) , (−∞, x2 ] , (x1 , x2 ] , [x1 , x2 ] [x1 , x2 ) , [x1 , +∞) , (−∞, +∞) Định nghĩa 1.3.1 (xem [2]) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai phương trình vi phân có dạng y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x), (1.6) p, q, f hàm số theo biến x Hàm số y = y(x) gọi nghiệm phương trình vi phân I y ′′ (x) + p(x)y ′ (x) + q(x)y(x) = f (x), ∀x ∈ I, y’, y" đạo hàm cấp đạo hàm cấp hàm số y theo biến số x Nếu f (x) ≡ phương trình (1.6) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai Nếu f (x) ̸≡ phương trình (1.6) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai không Định lý 1.3.1 (xem[2]) Giả sử y1 y2 nghiệm I phương trình y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = Khi y3 = C y1 + C y2 với C1 C2 số) nghiệm I phương trình Định nghĩa 1.3.2 (xem [2]) Giả sử y1 , y2 hai hàm khả vi I Hàm số Wronski y1 y2 ( ký hiệu W (y1 , y2 )) định nghĩa hàm số xác định I có biểu thức W (y1 , y2 ) (x) = y1 (x)y2′ (x) − y1′ (x)y2 (x), ∀x ∈ I Nếu sử dụng ký hiệu định thức W (y1 , y2 ) (x) = y1 (x) y2 (x) y1′ (x) y2′ (x) hay W (y1 , y2 ) (x) = y1 (x) y1′ (x) y2 (x) y2′ (x) Định lý 1.3.2 (xem [2]) Xét phương trình vi phân tuyến tính cấp hai y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = 0, hàm số p, q liên tục I Giả sử y1 , y2 hai nghiệm phương trình vi phân độc lập tuyến tính I Khi đó, nghiệm tổng qt phương trình vi phân y = C y1 + C y2 , C1 , C2 số Định nghĩa 1.3.3 (xem [2]) Phương trình vi phân tuyến tính cấp hai khơng phương trình dạng y ′′ + p(x)y ′ + q(x)y = f (x), (1.7) p, f q hàm số theo biến x f (x) hàm liên tục Phương trình tương ứng y ′′ + py ′ + qy = (1.8) gọi phương trình bổ trợ đóng vai trị quan trọng việc giải phương trình khơng Định lý 1.3.3 (xem [2]) Nghiệm tổng quát phương trình khơng viết dạng y(x) = yp (x) + yc (x), yp nghiệm riêng phương trình khơng (1.7) yc nghiệm tổng quát phương trình tương ứng (1.8) 12 Chứng minh Cho S ∗ := t ∈ [t0 , ∞) : S(t) không Ta S ∗ = ∅ Để thấy mâu thuẫn, ta giả sử S ∗ ̸= ∅ Nhưng S ∗ vừa đóng rỗng, ta có inf S ∗ =: t∗ ∈ T Nếu t∗ = t0 , S (t∗ ) với (1) Nếu t∗ ̸= t0 ρ (t∗ ) = t∗ , S (t∗ ) với (4) Cuối cùng, ρ (t∗ ) < t∗ , S (t∗ ) với (2) Do đó, trường hợp, t∗ ∈ / S ∗ Như vậy, t∗ không điểm cô lập phải, t∗ ̸= max T Từ t∗ điểm trù mật phải 2.2 Giới hạn liên tục Định nghĩa 2.2.1 (xem [5]) Cho A tập T Điểm t ∈ T gọi là: (i) Điểm giới hạn trù mật tiến, gọi điểm f d - giới hạn A t ∈ T\{α} điểm giới hạn A ∩ Tt ∩ (α, t), (ii) Điểm giới hạn trù mật lùi, gọi điểm bd-giới hạn A t ∈ T\{α, inf T, sup T } điểm giới hạn A ∩ Tt \[α, t], (iii) Điểm giới hạn trù mật, gọi điểm d - giới hạn A điểm giới hạn A ∩ Tt Định nghĩa 2.2.2 (xem [5]) Cho f : T −→ X Giả sử t ∈ f d − L(T)(t ∈ bd − L(T)) Ta nói giới hạn trù mật tiến (hoặc lùi); f d-giới hạn (hay bd-giới hạn) f tồn t, có phần tử l ∈ X cho với ε > có lân cận U t Tt cho: ∥f (r) − l∥ < ε với r ∈ U ∩ (α, t) (r ∈ U \[α, t]) Ví dụ 2.2.3 Xét thang thời gian ⟨T, E, α⟩ Ta có T1 = (0, ∞), T0 = [0, 1), Tt = [t] với t ∈ T\{0, 1} Lưu ý t ∈ / Tt′ với t ∈ T\{0, 1}, ∈ T0′ 13 ∈ T1′ , tức d − L(T) = S = {0, 1} Giả sử f : T −→ R, ta có d − lim f (r) = lim f (r), r→1 r→1 d − lim f (r) = lim+ f (r), r→0 r→0 giới hạn tồn Bây giờ, ta định nghĩa f f (t) = t, t ∈ T ∩ Q, −t, ngược lại, Khi limr→t khơng tồn với t ∈ T, d-lim r→t f (r) = f (t) với t ∈ T\{0, 1} Định nghĩa 2.2.4 (xem [5]) Cho f : T −→ X Khi f gọi là: (i) Điều hòa A ⊆ T giới hạn f d - limr→t f (r) với t ∈ fd-L (A) ⃗ dbd- limr→t f (r) với t ∈ bd −L(A) tồn tại, α ∈ d − L(A) lim f (r) tồn tại, (ii) Liên tục trù mật; liên tục d ; điểm t ∈ T với ε > 0, có lân cận U t Tt cho ∥f (r) − f (t)∥ < ε r ∈ U f cho liên tục d A ⊆ T liên tục d điểm thuộc A, (iii) Liên tục trù mật tiến; f d-liên tục; A ⊆ T với điều kiện điều hòa A liên tục d tất điểm trù mật tiến A 2.3 Đạo hàm thang thời gian Định nghĩa 2.3.1 (xem [4]) Xét hàm số f : T → R ∆ - đạo hàm (còn gọi đạo hàm Hilger) f t ∈ Tk số (nếu tồn tai), ký hiệu f ∆ (t), với ε > cho trước tồn lân cận U t cho [f (σ(t)) − f (s)] − f ∆ (t)[σ(t) − s] ⩽ ε|σ(t) − s| với s ∈ U, s ̸= σ(t) Hàm f gọi ∆ - khả vi (nói ngắn gọn khả vi) Tk f ∆ (t) tồn với t ∈ Tk 14 Định lý 2.3.1 (xem [4]) Đạo hàm Delta xác định rõ ràng Chứng minh Cho t ∈ T k fi∆ (t), i = 1, 2, cho |f (σ(t)) − f (s) − f1∆ (t)(σ(t) − s)| ≤ 2ϵ |(σ(t) − s)|, |f (σ(t)) − f (s) − f2∆ (t)(σ(t) − s)| ≤ 2ϵ |(σ(t) − s)|, với ϵ > s thuộc lân cận U t, U = (t − δ, t + δ) ∩ T với δ > 0, s ̸= σ(t) Khi f1∆ (t) − f2∆ (t) = f1∆ (t) − ≤ f1∆ (t) − = f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (s) + − f2∆ (t) (σ(t) − s) (σ(t) − s) f (σ(t)) − f (s) f (σ(t)) − f (s) − f2∆ (t) + (σ(t) − s) (σ(t) − s) f (σ(t)) − f (s) − f2∆ (t)(σ(t) − s) f (σ(t)) − f (s) − f1∆ (t)(σ(t) − s) + |(σ(t) − s)| |(σ(t) − s)| ϵ ϵ ≤ + = ϵ 2 Vì ϵ > tùy ý, Chúng ta kết luận rằng: f1∆ (t) = f2∆ (t) Ví dụ 2.3.2 Cho f (t) = α ∈ R Ta chứng minh f ∆ (t) = với t ∈ Tκ Thật vậy, với ε > có δ > cho s ∈ (t − δ, t + δ) ∩T, s ̸= σ(t), có nghĩa |f (σ(t)) − f (s) − 0(σ(t) − s)| = |α − α| ≤ ε|σ(t) − s| Định lý 2.3.2 (xem [4]) Giả sử f : T → R hàm với t ∈ Tk Khi đó: Nếu f khả vi t, f liên tục t 15 Nếu f liên tục t t điểm cô lập phải f khả vi t với f ∆ (t) = f (σ(t)) − f (t) µ(t) Nếu f điểm trù mật phải, f khả vi giới hạn f (t) − f (s) , x→t t−s lim tồn hữu hạn Khi f (t) − f (s) s→t t−s f ∆ (t) = lim Định lý 2.3.3 (xem [4]) Giả sử f, g : T → R vi phân t ∈ Tk Khi đó: Hàm tổng f + g : T → R khả vi t ta có (f + g)∆ (t) = f ∆ (t) + g ∆ (t) Với số α tùy ý, hàm αf : T → R khả vi t (αf )∆ (t) = αf ∆ (t) Nếu f (t)f (σ(t)) ̸= 0, ta có : T → R khả vi t f f ∆ (t) ( )∆ (t) = − f f (t)f (σ(t)) Định nghĩa 2.3.3 (xem [4]) Đặt f : T → R t ∈ (T k )k = Tk Đạo hàm cấp hai f t xác định, điều kiện có tồn đạo hàm, công thức 2 f ∆ = (f ∆ )∆ : Tk → R n n Tương tự tính đạo hàm bậc cao f ∆ : Tk → T 16 2.4 Tích phân thang thời gian Trong phần tơi giới thiệu lý thuyết tích phân ∆ thang thời gian ⟨T, E, α⟩ Cơng thức tích phân Cauchy ∆ f từ a đến b sau m b Fc′ (si+1 ) − Fci (si ) f (t)∆t = a (2.1) i i=0 Áp dụng (2.1), thu bổ đề sau Bổ đề 2.4.1 (xem [5]) Cho a, b ∈ T tích phân Cauchy ∆ thỏa mãn tính chất sau: b f (t)∆t = Fb (b) − Fa (a) Nếu [a, b] ∩ S = ∅ a Nếu [a, b] ∩ S = a, b b a f (t)∆t = − a f (t)∆t = FcI (b) − FcI (a), b I ∈ T với I¯ = [a, b] a b f (t)∆t = Fa (b) − Fa (a) f (t)∆t = − Nếu [a, b] ∩ S = b a b Sử dụng tính chất bổ đề này, cơng thức (2.1) trở thành m−1 s1 b f (t)∆t + f (t)∆t = a si+1 a b f (t)∆t + i=1 si f (t)∆t, (2.2) sm m ≥ Trong phần tiếp theo, ta định nghĩa tích phân ∆ theo cách khác Định nghĩa 2.4.1 (xem [5]) Đặt a ∈ T Nếu sup T = ∞, ta có  r   lim f (t)∆t, (a, ∞) ∩ S = ∅,  ∞ r→∞,r∈[a] a f (t)∆t = (2.3) r  a  f (t)∆t, trường hợp khác  lim r→∞ a 17 Tương tự, inf T = −∞, ta có  a   lim f (t)∆t, (−∞, a) ∩ S = ∅,  r→−∞,r∈[a] r a ∞ f (t)∆t = a  −  f (t)∆t, trường hợp khác  lim r→−∞ (2.4) r Trong định lý tiếp theo, đưa số tính chất tích phân Cauchy ∆ Định lý 2.4.2 (xem [5]) Cho f, g : T → R hàm f d- liên tục Với k ∈ R a, b, c ∈ T f, g ∈ Crd (T) ta có tính chất sau: a f (t)∆t = a b b kf (t)∆t = k a f (t)∆t a b a f (t)∆t = − f (t)∆t a b b c f (t)∆t = a b f (t)∆t + a f (t)∆t, c [a, c] ∩ S = ∅, [b, c] ∩ S = ∅ c ∈ S ∪ {inf T, sup T} Định lý 2.4.3 (xem [5]) Gọi f g hàm f d-liên tục xác định thang thời gian T Khi đó, ta có tính chất sau Nếu t ∈ Tk , σ(t) t f (s)∆s = µ(t)f (t) f (s)∆s = µ(ρ(t))f (ρ(t)) t ρ(t) Nếu a, b ∈ [c] với điểm thuộc [a, b]c , b f (t)∆t = a µ(t)f (t) t∈[a,b)c Ví dụ 2.4.2 Giả sử T thang thời gian Với t ∈ T, σ ∞ (t) = ∞, đó, ngun hàm f : T −→ X ∞ F (t) = −ω f (t + kω), k=0 18 với điều kiện tổng hội tụ Nếu ω = 1, ta thu tổng khơng xác định Vì vậy, với a, b ∈ T, ta có ∞ b ω[f (a + jω) − f (b + jω)], f (t)∆t = a j=0 ta chọn c(−∞,∞) = 0, ∞ ∞ f (t)∆t = ω −∞ f (kω) k=−∞ 19 Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định nghĩa 3.1.1 (xem [3]) Giả sử f : T × R2 → R Khi phương trình y ∆ = f (t, y, y σ ) (3.1) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp Nếu f (t, y, y σ ) = f1 (t)y + f2 (t) f (t, y, y σ ) = f1 (t)y σ + f2 (t) hàm f1 f2 , (3.1) gọi phương trình tuyến tính Hàm y : T → R gọi nghiệm (3.1) nếu: y ∆ (t) = f (t, y(t), y(σ(t))) thỏa mãn với t ∈ Tκ Nghiệm chung (3.1) định nghĩa tập hợp tất nghiệm (3.1) cho t0 ∈ T y0 ∈ R, toán y ∆ = f (t, y, y σ ) , y (t0 ) = y0 gọi toán giá trị ban đầu (viết tắt IVP), nghiệm y (3.1) với y (t0 ) = y0 gọi nghiệm toán giá trị ban đầu Định nghĩa 3.1.2 (xem [3]) Hàm p : T → R gọi hồi quy với điều kiện + µ(t)p(t) ̸= với t ∈ Tκ (3.2) Với t0 ∈ T, rd-liên tục hồi quy p, nghiệm toán giá trị ban đầu y ∆ = p(t)y, y (t0 ) = 1, 20 cho ep (·, t0 ), t ξµ(τ ) (p(τ ))∆τ ep (t, s) = exp với ξh (z) = s log(1+hz) h z h ̸= 0, h = Tập hợp tất hàm rd-liên tục hồi quy f : T → R định nghĩa R = R(T) = R(T, R) Ta giới thiệu số tính chất hàm mũ Với hàm hồi quy p, q : T → R ta định nghĩa p ⊕ q := p + q + µpq, ⊖p := − p , + µp p ⊖ q := p ⊕ (⊖p) Định nghĩa 3.1.3 (xem [3]) Nếu p ∈ R, phương trình vi phân tuyến tính bậc y ∆ = p(t)y (3.3) gọi hồi quy Bổ đề 3.1.1 (xem [3]) Nếu p ∈ R, tính chất nửa nhóm ep (t, r)ep (r, s) = ep (t, s) với r, s, t ∈ T thỏa mãn Định lý 3.1.2 (xem [3]) Giả sử (3.3) hồi quy cố định t0 ∈ T Khi ep (·, t0 ) nghiệm toán giá trị ban đầu y ∆ = p(t)y, y (t0 ) = T Định lý 3.1.3 (xem [3]) Nếu p, q ∈ R, (i) e0 (t, s) ≡ ep (t, t) ≡ 1; (ii) ep (σ(t), s) = (1 + µ(t)p(t))ep (t, s); (iii) ep (t,s) = eΘp (t, s); (3.4) 21 (iv) ep (t, s) = ep (s,t) = e⊖p (s, t); (v) ep (t, s)ep (s, r) = ep (t, r); (vi) ep (t, s)eq (t, s) = ep⊕q (t, s) Định lý 3.1.4 (xem [3]) Cho p : T → R rd-liên tục hồi quy Giả sử f : T → R rd-liên tục, t0 ∈ T, y0 ∈ R Khi nghiệm toán giá trị ban đầu y ∆ = p(t)y + f (t), y (t0 ) = y0 , (3.5) cho t ep (t, σ(τ ))f (τ )∆τ y(t) = ep (t, t0 ) y0 + t0 Hệ 3.1.5 (Sự biến thiên số) Cho f, p : T −→ R hàm rd-liên tục + µ(t)p(t) ̸= với t ∈ T, t0 ∈ T ϕ0 ∈ R Khi nghiệm toán giá trị ban đầu ϕ∆ (t) = p(t)ϕ(t) + f (t), ϕ (t0 ) = ϕ0 cho t ϕ(t) = ep (t, t0 ) ϕ0 + ep (t, σ(τ ))f (τ )∆τ t0 Ví dụ 3.1.4 Xét phương trình ϕ∆ = p(t)ϕ + ep (t, t0 ) , ϕ (t0 ) = 0, p : T −→ R rd-liên tục + µ(t)p(t) ̸= với t ∈ T Áp dụng Hệ 3.1.5 ta t ϕ(t) = ep (t, σ(τ ))ep (τ, t0 ) ∆τ t0 t ep (τ, t0 ) ∆τ t0 ep (σ(τ ), t) t = ep (τ, t0 ) ∆τ t0 (1 + p(τ )µ(τ ))ep (τ, t) t ep (t, t0 ) = ∆τ t0 + p(τ )µ(τ ) = 22 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp Định nghĩa 3.2.1 (xem [3]) Xét phương trình y ∆∆ + p(t)y ∆ + q(t)y = f (t) (3.6) gọi phương trình vi phân tuyến tính cấp hai giả sử p, q, f ∈ Crd → Crd xác định Toán tử L2 : Crd L2 y(t) = y ∆∆ (t) + p(t)y ∆ (t) + q(t)y(t), với t ∈ Tκ , (3.6) viết dạng L2 y = f 2 Nếu y ∈ Crd L2 y(t) = f (t) với t ∈ Tκ , ta nói y nghiệm L2 y = f T Nếu f (t) = với t ∈ Tκ , ta phương trình vi phân L2 y = Mặt khác, ta gọi phương trình L2 y = f không Định lý 3.2.1 (xem [3]) Toán tử L2 : Crd → Crd tốn tử tuyến tính, tức L2 (αy1 + βy2 ) = αL2 (y1 )+βL2 (y2 ) với α, β ∈ R y1 , y2 ∈ Crd Định nghĩa 3.2.2 (xem [3]) Phương trình (3.6) gọi hồi quy với điều kiện p, q, f ∈ Crd cho − µ(t)p(t) + µ2 (t)q(t) ̸= với t ∈ Tκ (3.7) Định lý 3.2.2 (xem [3]) Giả sử phương trình vi phân tuyến tính (3.6) hồi quy Nếu t0 ∈ Tκ , tốn giá trị ban đầu L2 y = f (t), y (t0 ) = y0 , y ∆ (t0 ) = y0∆ , y0 y0∆ cho số, có nghiệm nhất, nghiệm xác định thang thời gian T 23 Để tới định nghĩa tiếp theo, ta giải bài toán giá trị ban đầu L2 y = 0, y ∆ (t0 ) = v0∆ , y (t0 ) = y0 , (3.8) t0 ∈ T κ y0 , y0∆ ∈ R Nếu y1 y2 hai nghiệm L2 y = 0, theo Định lý 3.2.1 y(t) := αy1 (t) + βy2 (t) nghiệm L2 y = với α, β ∈ R Khi ta chọn α β cho y0 = y (t0 ) = αy1 (t0 ) + βy2 (t0 ) , y0∆ = y ∆ (t0 ) = αy1∆ (t0 ) + βy2∆ (t0 ) , tức y1 (t0 ) y2 (t0 ) y1∆ (t0 ) y2∆ (t0 ) α β = y0 y0∆ (3.9) Hệ (3.9) có nghiệm với điều kiện ma trận × khả nghịch Điều dẫn đến định nghĩa sau Định nghĩa 3.2.3 (xem [3]) Với hai hàm số tuyến tính y1 y2 ta định nghĩa Wronskian W = W (y1 , y2 ) W (t) = det y1 (t) y2 (t) y1∆ (t) y2∆ (t) Ta nói hai nghiệm y1 y2 L2 y = tạo thành tập nghiệm (hoặc hệ bản) với L2 y = điều kiện W (y1 , y2 ) (t) ̸= với t ∈ Tκ Định lý 3.2.3 (xem [3]) Nếu cặp hàm số y1 , y2 tạo thành hệ nghiệm với L2 y = 0, y(t) = αy1 (t) + βy2 (t), α β số, nghiệm tổng quát L2 y = Cụ thể, nghiệm (3.8) cho y1 (t0 ) y0∆ − y1∆ (t0 ) y0 y2 (t0 ) y0 − y2 (t0 ) ψ0∆ y1 (t) + y2 (t) y(t) = W (y1 , y2 ) (t0 ) W (y1 , y2 ) (t0 ) 24 Định nghĩa 3.2.4 (xem [6]) (Hàm số Hyperbol) Nếu p ∈ Crd −µp2 ∈ R, ta định nghĩa hàm coshp sinhp ep − e−p ep + e−p sinhp = coshp = 2 Lưu ý điều kiện hồi quy −µp2 tương đương với ̸= − µ2 p2 = (1 − µp)(1 + µp) tương đương với p −p hồi quy Định nghĩa 3.2.5 (xem [6]) (Hàm lượng giác) Nếu p ∈ Crd µp2 ∈ R, ta định nghĩa hàm lượng giác cosp sinp eip + e−ip eip − e−ip cosp = sinp = 2i Lưu ý µp2 hồi quy ip −ip hồi quy, cosp and sinp Định nghĩa 3.2.5 xác định Ví dụ 3.2.6 Xét phương trình y ∆ − py ∆ (t) − q(t) y ∆ (t) − p(t)y(t) = 0, (3.10) ta giả sử p, q ∈ R Để giải phương trình vi phân tuyến tính này, gọi y nghiệm (3.10) gọi v(t) := y ∆ (t) − p(t)y(t) Với thay (3.10) tương đương với v ∆ (t) − q(t)v(t) = Giải phương trình này, ta thu v(t) = C2 eq (t, t0 ) Thay giá trị vào phương trình (3.11) ta thu phương trình y ∆ − p(t)y = C2 eq (t, t0 ) Sử dụng công thức biến thiên số, ta thu t y(t) = C1 ep (t, t0 ) + C2 ep (t, t0 ) ep (t, σ(τ ))eq (τ, t0 ) ∆τ t0 nghiệm chung (3.10) (3.11) 25 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn hồn thành luận văn với số kết đạt sau: - Trình bày cách có hệ thống phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2, gồm định nghĩa, công thức nghiệm chứng minh chi tiết kết quả, đưa số ví dụ cụ thể cho phương trình vi phân - Giới thiệu phép tính vi tích phân thang thời gian số định lí, tính chất để giải phương trình vi phân thang thời gian, chứng minh kết cụ thể - Trình bày khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp thang thời gian, chứng minh kết đưa số ví dụ cụ thể giải phương trình vi phân tuyến tính thang thời gian Trong khn khổ luận văn, không đủ điều kiện để nghiên cứu hết yếu tố phép tính vi tích phân thang thời gian dạng phương trình vi phân thang thời gian chưa giới thiệu luận văn Đây hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn dù cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành q thầy bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 26 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình Phương trình vi phân - sai phân, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất Thông tin Truyền thơng [2] Nguyễn Thế Hồn - Trần Văn Nhung (2005), Bài tập Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] Martin Bohner and Allan Peterson (2001), Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Springer Science + Business Media, LLC [4] Svetlin G.Georgiev (2016), Integral Equations on Time Scales, Atlantis Studies in Dynamical Systems [5] K.A.Aldwoah and A.E.Hamza (2011), “Generalized Time Scales”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol 6, N 2, pp 129 –158 [6] Martin Bohner and Allan Peterson (2001), First and second order linear dynamic equations on time scales, Springer Science+Business Media, LLC ... niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian - Chương 3, trình bày phương trình vi phân thang thời gian gồm: Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân. .. Chương 1, trình bày khái niệm chung phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Chương 2, trình bày phép tính vi tích phân thang thời gian. .. tính vi tích phân thang thời gian - Giải phương trình vi phân thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian - Phạm vi nghiên