Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên

1 MỤC LỤC Mục lục Lời nói đầu Phương trình vi phân ngẫu nhiên 1.1 Tích phân Ito 1.1.1 Tích phân Ito lớp hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT 1.1.2 Các tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito 1.2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên công thức Ito 1.2.1 Khái niệm trình Ito vi phân ngẫu nhiên Ito 1.3 Phương trình vi phân ngẫu nhiên Phương trình 2.1 Định nghĩa 2.2 Nhận xét 2.3 Định nghĩa 2.4 Định nghĩa 2.5 Mệnh đề 2.6 Định nghĩa 2.7 Nhận xét Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên số 3.1 Bổ đề 14 15 số số 7 Bổ đề Định nghĩa Nhận xét Định lý phân đại 10 10 11 11 12 12 12 13 3.2 3.3 3.4 3.5 vi 15 16 16 16 3.6 Định nghĩa 3.7 Mệnh đề 16 16 3.8 Định nghĩa 18 3.9 Nhận xét 18 3.10 Nhận xét 18 3.11 Nhận xét 19 3.12 Định lý 19 3.13 Nhận xét 23 Kết luận 24 Tài liệu tham khảo 25 LỜI NÓI ĐẦU Trong khoa học ứng dụng thực tiễn nay, có nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả hệ động lực, mô tả hệ thống mạng điện, vấn đề điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình dạng A(t)x + B(t)x + f (t) = (1) A, B ma trận ma trận hàm liên tục cấp n, detA(t) = 0, gọi phương trình vi phân đại số (DAE) (chú ý detA(t) = đưa dạng x = −A−1 Bx phương trình vi phân thường) Một cách phân lớp hệ phương trình khái niệm số chúng (xem tài liệu tham khảo [1], [2], [6], [7] ) Ngay từ năm cuối kỉ 20 có nhiều nhà tốn học giới nghiên cứu phương trình vi phân đại số, nhóm nhà tốn học đại học Humboldt Đức đại học Sư phạm, đại học khoa học tự nhiên Phạm Kì Anh, Nguyễn Hữu Dư, Vũ Hoàng Linh Để đưa nhiễu vào (1), ta xét phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Adx + (Bx + f )dt + G(t, x)dt = 0, t ∈ J (2) det A(t) = 0, xt trình ngẫu nhiên J, W trình Weiner m chiều xác định không gian xác suất (Ω, F, P) với lọc (Ft )t∈J Công cụ tự nhiên để nghiên cứu (2) tính tốn ngẫu nhiên Ito Tuy nhiên A suy biến nên ta phải chọn cách tiếp cận phù hợp Trong [9] ta xét lớp phương trình (2) có số với A tập trung vào phương pháp số, đưa khái niệm nghiệm không gian nghiệm Trên sở đọc tìm hiểu tài liệu tham khảo, chúng tơi chọn đề tài "Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên" Luận văn gồm chương : Chương 1: Phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tích phân Ito, tính chất tích phân ngẫu nhiên Ito, cơng thức Ito, phương trình vi phân ngẫu nhiên Đây kiến thức để nghiên cứu chương Chương 2: Phương trình vi phân đại số Trong chương trình bày khái niệm Phương trình vi phân đại số tuyến tính có số 1, nhắc lại khái niệm biết số số tính chất phép chiếu dùng để giải loại phương trình Chương 3: Phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Nội dung khố luận đựơc trình bày chương bao gồm định nghĩa, bổ đề định lí phương trình vi phân đại số ngẫu nhiên Luận văn thực hướng dẫn tận tình, chu đáo giáo Th.S Nguyễn Thị Thế Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới tận tình hướng dẫn suốt trình học tập nghiên cứu Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo TS Lê Văn Thành, thầy giáo Dương Xuân Giáp đóng góp ý kiến quý báu, giúp đỡ tác giả trình làm luận văn Đồng thời tác giả xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo tổ Xác suất thống kê toán ứng dụng, thầy giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt trình học tập Cuối xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè giúp đỡ tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành khố luận Mặc dù có nhiều cố gắng lực cịn hạn chế nên khố luận khơng tránh khỏi thiếu sót nội dung hình thức Vì vậy, tác giả mong nhận lời bảo q thầy góp ý giúp đỡ bạn đọc để khoá luận hoàn thiện Vinh, tháng năm 2010 Tác giả Chương PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN 1.1 Tích phân Ito Giả sử (Ω, F, P ) không gian xác suất Bây ta xây dựng tích phân ngẫu nhiên hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R 1.1.1 Tích phân Ito lớp hàm ngẫu nhiên thuộc lớp NT • Khái niệm lớp hàm ngẫu nhiên NT : Giả sử Ft = σ(ws , s ≤ t) , s, t ∈ [0,T] σ _ trường tự nhiên từ trình Wiener {Wt , t ∈ [0, T ]} Kí hiệu NT lớp hàm ngẫu nhiên f : [0, T ] × Ω → R thoả mãn (i) f (t, w) hàm đo theo hai biến, (ii) f (t) tương thích Ft , tức ft Ft _ đo được, (iii) T E( | f (t, w) |2 ) < ∞ Hàm φ ∈ NT gọi hàm sơ cấp có dạng n−1 φ(t, ω) = λI{0} + λk IFk (1.1) k=0 đó, 0=t0 < t1 < tn =T, k = 0, 1, 2, , n − 1, IA hàm tiêu tập F • Tích phân hàm φ với φ có dạng (1.1), đặt n−1 T I(φ) = φ(t, ω)dW t = λW0 + λk (Wtk +1−Wtk ) k=0 (1.2) • Tích phân phụ thuộc cận Vì W0 = nên với ≤ t ≤ T tm +1