Tính giải được của các bài toán giá trị biên cho phương trình vi phân đại số

MỞ ĐẦU Trong thực tiễn nay, kể khoa học ứng dụng có nhiều vấn đề, nhiều tốn, chẳng hạn mơ tả động lực, mơ tả hệ thống mạng điện, lý thuyết điều khiển, đòi hỏi phải quan tâm giải hệ phương trình vi phân đại số dạng ~ ~ ~ (t ) x' (t )  (t ) x(t )  f (t ); t  0;1 ~ Trong ®ã ma trËn hÖ sè (t ) , ~ trËn hÖ sè thùc (t ) suy biến ~ B (t ) ma Vế bản, nghim ca phương trình vi phân đại số x(t) gồm: x(t )  u(t )  v(t ) , u(t) nghiệm của phương trình vi phân thường tương ứng v(t ) nghiệm hệ phương trình đại số sau tách Ở ta nghiên cứu hệ (1.1),  (t )  tA(t ), trường hợp  ~ ~ t(t ) x' (t )  (t ) x(t )  f (t ); t  0;1 ,  (t ) hằng, không phụ thuộc vào t Điều có ngĩa hạng   (t ) t  hệ chuyển có thay đổi hạng ma trận  Ta biểu diển tính giải tốn biên ban đầu Điều cho ta, cấu trúc giá trị riêng cặp  A(0), B(0) hoàn toàn xác định đạo hàm bậc x(t ) trường hợp tổng qt, x(0) khơng bị chặn Điều hồn tồn rỏ ràng lý thuyết phương trình vi phân thường (xem [6,7,12]) Ta bắt đầu kết quả, kỹ thuật kết hợp từ lý thuyết phương trình vi phân đại số chuyển lý thuyết toán giá trị biên suy biến Thành phần định hai khái niệm việc sử dụng ma trận chiếu, chúng phải chọn phù hợp, bảo đảm đặc tính chung Ta thành công việc kết hợp hai kỹ thuật thông qua việc phân chia toán giá trị biên ban đầu hệ phương trình vi phân thường thành hệ tương đương toán giá trị biên suy biến phương trình vi phân thường tập hợp phương trình đại số (xem [9,11]) Xuất phát từ thực tiễn mà chọn đế tài: Tính giải toán giá trị biên cho phương trình vi phân đại số Ni dung nghiên cứu luận văn này, chủ yếu sâu nghiên cứu ma trận chiếu, sử dụng chúng để xác định nghiệm liên tục x  C0,1 ; nghiên cứu đưa điều kiện cần để đảm bảo tính cuả nghiệm mở rộng kết tồn nghiệm trường hợp hệ số biến thiên  Chương 1: Tác giả trình bày số khái niệm liên quan đến số ma trận, phương trình vi phân đại số tuyến tính phương trình vi phân tuyến tính có số  Chương 2: Tác giả nghiên cứu tính giải tốn giá trị biên cho phương trình vi phân đại số Chƣơng PHƢƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ 1.1 Chỉ số ma trận Khái niệm số ma trận, cặp ma trận sử dụng nhiều việc nghiên cứu, phân lớp phương trình vi phân đại số phân giải lớp phương trình vi phân đại số Sau đưa số khái niệm liên quan đến số ma trận Định nghĩa 1.1 Phép chiếu P  L( R m , R m ) (viết gọn P  L( R m )  m  m  - ma trận P cho P  P Định nghĩa 1.2 Với  m  m  - ma trận A, số ma trận A số tự nhiên k R     nhỏ cho ker Ak  ker Ak 1 Định nghĩa 1.3 Cặp ma trận (A,B) gọi quy tồn z  R cho det  zA  B   Trong trường hợp ngược lại ta gọi cặp (A,B) suy biến Định nghĩa 1.4 Nếu cặp ma trận (A, B) quy   det  cA  B   ind  cA  B  A gọi số cặp 1 ma trận (A, B) Kí hiệu:   ind  A, B  : ind  cA  B  A 1 Chú ý: Chỉ số cặp ma trận (A, B) không phụ thuộc vào việc chọn c  R Các tính chất cặp ma trận (A,B) quy số thể thơng qua định lí mệnh đề tương đương sau Định lí 1.1 Các mệnh đề sau tương đương a, Cặp ma trận (A, B) quy số 1;  x  ker A b,  x0  Bx  im  A c, Cặp ma trận (A, B) quy deg/ det   A  B  /  rank  A ; d, Cặp ma trận (A, B+AW) quy ind  A, B  AW   , với ma trận W  L( R m ) e, Ma trận G:=A+BQ, không suy biến với phép chiếu Q lên ker  A g, Với S  x : Bx  imA ta có hệ thức S  ker A  Rm h, Nhân vào bên trái với ma trận không suy biến thích hợp E  L( R m ) cho ta ma trận không suy biến  A1   L R m B   1   Định nghĩa 1.5 Giả sử ma trận A, B  L( R m ) có ind  A, B   , S  x : Bx  imA gọi không gian liên hợp Phép chiếu Qs lên N dọc S gọi phép chiếu tắc Mệnh đề 1.1 Nếu cặp ma trận (A,B) qui, ind  A, B   Q phép chiếu lên ker  A đẳng thức sau G 1 A  I  Q G 1 BQ  Q QG 1 B  Qs đó, G=A+BQ 1.2 Phƣơng trình vi phân đại số tuyến tính Xét phương trình vi phân tuyến tính A  t  x ' B(t ) x  f (t ), t  t0 ,    (1.1)      với ma trận hệ số A, B  C R  , L R m ; f (t )  C R  , L R m Định nghĩa 2.1 Phương trình vi phân (1.1) gọi phương trình vi phân đại số (DAE) ma trận A(t) suy biến,với  t  J , hay detA(t)=0, với  t  J Định nghĩa 2.2 Phương trình vi phân (1.1) gọi quy R  cặp ma trận (A,B) quy, nghĩa t  R  tồn  (t)  R  cho: det ( ( t ) A(t )  B(t ))  Đặt biệt phương trình (1.1) gọi quy ngặt nếu,  không phụ thuộc vào t Định nghĩa 2.3 Phương trình vi phân (1.1) gọi mềm dim(kerA) hữu hạn Mars đưa khái niệm số mềm dựa việc xây dựng dãy xích ma trận sau: P0 (t ) : P(t ), Q0 : Q(t ) A0 (t ) : A(t ) A1  t  : A0  t   B0  t  Q  t  B0 : B(t )  A(t ) P ' (t ) B1 : B0  t  P t  A2  t  : A1  t   B1  t  Q1  t  Ai (t ) : Ai 1 (t )  Bi 1 (t )Qi 1 (t ) Bi (t ) : Bi 1 (t ) Pi 1 (t )  Ai (t )( PP1, , Pi 1 ) ' (t )( PP1, , Pi 1)(t ) (i  1,2, ) Qi (t ) phép chiếu lên ker Ai (t ); Pi (t )  I  Qi (t ), đẳng thức Q j (t )Qi (t )  với t  R , j  i Định nghĩa 2.4 Phương trình vi phân đại số (1.1) gọi quy số cặp ma trận hệ số(A,B) quy có số mềm Trong trường hợp, phương trình (1.1) có cặp ma trận (A,B) quy ind  A, B   (1.1) gọi phương trình vi phân đại số có số cấp cao Định nghĩa 2.5 Giả sử N  t   ker A  t  trơn, nghĩa tồn phép chiếu Q(t )  C1 R  , LR m  lên N  t  ; P  I  Q Hàm x  t   C1N gọi nghiệm phương trình (1.1) R  hệ thức A  t    P  t  x  t   ' P '  t  x  t    B  t  x t   f t  , thỏa mãn với t  R  Định nghĩa 2.6 Phương trình (1.1) gọi Chuyển (có số 1) R  N(t) trơn ma trận G  t   A  t   B  t  Q t  ( A1  A  B0Q ) có nghịch đảo đoạn 0,T   R  , Q(t )  C1 ( R  , LR m  phép chiếu lên N(t) Chuyển số A1  t  suy biến A2  t  không suy biến với t  0;1 Bổ đề 2.1 Giả sử dãy ma trận xích  Ai , Bi , Qi  xác định trên, hệ thức sau a AQ với i  j , i j  BjQj b Bi Q j  với i  j Mệnh đề 2.1 Nếu phương trình (1.1) quy có số (1.1) tương đương với hệ sau u '  ( P' PA11 B0 )u  PA11 f  1 1 v  QA1 B0 u  QA1 f u  Px  v  Qx A1  A  BQ B0  B  AP ' Nếu u  imP(0) u(t) tốn giá trị đầu u '  ( P' PA11 B0 )u  PA11 f  u (0)  u (1.2) Thỏa mãn u(t )  imP(t ), t  0, ; nghiệm (1.1) xác định hệ thức x(t )  Ps (t )u(t )  QA11 f , Trong Ps  I  Qs Qs  QA11 B0  QA11 B phép chiếu tắc lên N(t) dọc S(t)   S (t )  z  R m : B0 (t ) z  imA(t ) ; Chú ý Nếu phương trình (1.1) có điều kiện đầu x(0)  x  N (0); điều kiện đầu phương trình (1.2) u (0)  P(0) x Mà phương trình vi phân đại số có số A(t)x’+B(t)x=0 (1.3) S(t)=imPs không gian nghiệm (1.3) Không gian nghiệm x  S (t ), (1.3) có số chiều r (r = rank A(t)) Hay với có nghiệm (1.3) qua x0 vào thời điểm t0 + Nghiệm phương trình (1.3) xác định bởi: x(t)=Ps(t)u(t), u(t)  imP(t) nghiệm phương trình u'  ( P' PA11B0 )u (1.4) Định lý 2.1 Giả sử (1.1) phương trình vi phân đại số quy số R+ Khi x(t) nghiệm R+ thỏa mãn điều kiện đầu x(0)  x  ker A(0)  N (0) ; x(t )  u(t )  Q(t )G 1 (t )B(t )u(t )  f (t ); t  R  (1.5) Trong u(t) nghiệm tốn giá trị đầu: u '(t )  P '(t )u (t )  P(t )( I  P '(t ))G 1 (t ) B(t )u (t )  f (t ))  u (0)  P(0) x (1.6) Nếu ta sử dụng phép chiếu tắc Ps  I  QG 1 B lên S(t) dọc N(t) cơng thức (1.5) (1.6) viết lại sau (1.7) f(t)=0 (1.4) (1.7) trở thành  x(t )  Ps (t )u (t )  ' ' 1 u (t )  ( P (t ) Ps (t )  P (t )G (t ) B(t )u (t ) (1.8) (1.9) Định nghĩa 2.7 Các phương trình (1.4) (1.9) gọi phương trình vi phân thường tương ứng phương trình vi phân tuyến tính quy số (1.3) ( phép chiếu P) Đối với nghiệm x(t) u(t)=P(t)x(t) gọi nghiệm tương ứng với x(t) phương trình vi phân thường tương ứng 1.3 Phƣơng trình vi phân tuyến tính có số Cho phương trình vi phân đại số tuyến tính Ax’+Bx=0 , (1.10) m Trong A, B  C ( J , L( R )), J  t , Giả sử rankA=r