Tính giải được và các tính chất của nghiệm cho một số phương trình phi tuyến chứa số hạng phi địa phương dạng kirchhoff carrier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHÁT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHUONG TRÌNH PHI TUYÉN CHỨA SỔ HẠNG PHI ĐỊA PHUONG DẠNG KIRCHHOFF-CARRIER LUẬN ÁN TIÊN Sì TỐN HỌC TP Hồ Chí Minh - 2022 ĐẠI HỌC QC GIA TP HCM TRUỒNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỤ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SĨ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUN CHỨA sị HẠNG PHI ĐỊA PHƯƠNG DẠNG KIRCHHOFF-CARRIER Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh Phản biện độc lập 2: TS Đào Quang Khải NGƯỜI HƯỚNG DÀN KHOA HỌC: PGS TS Lơ Thị Phương Ngọc TP Hồ Chí Minh - 2022 Lời cam đoan Tôi xin cam đoan công trình nghiên cứu khoa học hồn thành hướng dẫn PGS TS Lê Thị Phương Ngọc Nội dung luận án viết sở nội dung báo công bố Các kết số liệu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Các báo đồng tác giả, đồng tác giả cho phép sử dụng để viết luận án Tác giả luận án Lê Hữu Kỳ Sơn i ời cảm ơn Lời dầu tiên, tơi bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc dến Cô PGS TS Lê Thị Phương Ngọc tận tình hướng dẫn, bảo Cơ tơi suốt q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận án Kính gửi đến Thầy TS Nguyễn Thành Long lòng biết ơn chắn thành, Thầy đả đọc luận án cho ý kiến đóng góp xác đáng q báu giúp tơi hiểu sâu Cho phép tơi bày tỏ lịng kính trọng biết ơn đến Nhà Khoa học, Quý Thầy Cô Hội đồng chấm luận án tiến sĩ cấp Đơn vị chuyên môn, cấp sở Đào tạo, chuyên gia phản biện độc lập thức luận án, cho tỏi nhùng nhận xét bô ích giúp tơi hồn thiện tốt luận án Tơi vơ biết ơn Quỹ Thầy Cơ ngồi Khoa Toán-Tin học Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh, truyền đạt kiến thức kinh nghiệm học thuật cho tơi suốt q trình học trường Trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu, Quý Thầy Cơ phịng Quản lý Sau Đại học trường Đại học Khoa học Tự nhiên Tp Hồ Chí Minh tạo điều kiện thuận lợi giúp tơi hồn thành chương trình học Kính gửi đến Ban Giám hiệu, Ban Chấp hành Cơng Đồn Trường, Ban Chủ nhiệm Khoa Khoa học ứngdụng, Phịng Ban trường Đại học Cơng nghiệp Thựcphẩm Anh Chị đồng nghiệp trường lời câm ơn sâu sắc hỗ trợ nhiều mặt để tơi hồn thành chương trình Nghiên cứu sinh Tôi chán thành cảm ơn Anh Chị, Bạn thuộc nhóm Seminar đóng góp ý kiến kinh nghiệm quý báu buổi sinh hoạt học thuật Cuối cùng, xin dành lời thân thương gửi đến thành viên gia dinh tời, người dã bên lúc khó khăn, ln dộng viên, hỗ trợ tạo điều kiện thuận lợi để học tập ii Muc luc 1.2 Không gian hàm trị vectorỊ 17 Ị2.1 Giói thiệuỊ 21 2.2 Không gian hàm phép nhúngl 2.3 Sự tôn nhât nghiệm toán 2.4 Thuật giải lặp câp cao 2.5 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán 66 2.6 Kêt luận chương 80 Chương 27 Tính giải tính chât nghiệm cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier phi tuyên hình vành khăn liên két với điều kiện biên Dirichlet không nhấtỊ 82 3.1 Giới thiệuỊ 3.2 Sự tòn nhât nghiệm 83 3.3 Tính bùng nơ nghiệm sau thời gian hữu hạn 100 3.4 Tính tăt dán nghiệm 107 3.5 Kêt luận Chương 118 Chương Một ý tính tăt dần bùng nổ cùa nghiệm phương trình sóng phi tuyên Kirchhoff hình vành khăn lièn kêt với điêu kiện biên Robin-Dirichlet 119 Ị4.1 Giới thiêuỊ 119 4.2 Tính bủng nổ nghiêm sau thời gian hữu hạn 120 4.3 Tính tát dân nghiệm 123 4.4 Kêt luận chương 127 Kết luậnl 129 iii ỊDanh mục cơng trình tác giả| 130 Tài liệu tham kháol 131 ■ IV Danh sách ký hiệu Ký hiệu tập hợp N z R z+ Tập hợp số tự nhiên K+ = [0, oo) Tập hợp số thực không âm Tập hợp số nguyên Tập hợp số thực Tập hợp số nguyên không âm o = (p,l) Qt = Q X (0, T), với T > Ký hiệu a ch s |a I = ô1 + ã ã • + Bậc đa số a = («1, • • • , CÍN) € a! — «1! • • • yí* — r*! vaN A — A-Ị • AN Đơn thức bậc I a I theo N biến, với X = (xi, • • • , %n) Ký hiệu đạo hàm du ủ (t) = Uf (t) = u'(t) dị' ả2 lí ii (t) = Uft (í) = u"(f) ã?2 Mx (f) - Vu (t) = Uxx (x, dx2 dkf dx^ với “ =(ai' ■ Mở đấu Lý thuyết phương trình vi phản dạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán lý thuyết áp dụng Các toán xuất nhiều vật lý học, sinh học,- • •, dã dược nghiên cứu cách rộng rải nhiều nhà toán học Quá trình tìm kiếm nghiệm cho tốn đà có góp phần lớn nhiều kết lý thuyết giải tích hàm (lý thuyết khơng gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm,- • •) giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, sai phân hữu hạn,- • •) Một tốn thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà toán học toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng nói chung cho phương trình sóng nói riêng Nhiều kết quà khác việc nghiên cứu lớp toán đả đăng tạp chí khoa học uy tín nhiều tác giả tiếng J L Lions, H Brezis, F E Browder,- • • số lượng tạp chí có cơng bố kết liên quan đến lĩnh vực chiếm tỷ lệ lớn có tạp chí chun lĩnh vực nhiều nhà xuất lớn nhà xuất Elsevier, Springer, Taylor & Francis,- • • Ngồi ra, nhiều hội nghị quốc tế lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung lý thuyết tốn biên nói riêng quan tâm đơng đảo nhà tốn học ngồi nước Hiện có nhiều phương pháp sử dụng đê’ nghiên cứu phương trình vi phán phương trình đạo hàm riêng kèm điều kiện (biên, đầu,- • •) khác phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động,- • • Tuy nhiên chưa có phương pháp tổng quát dê giải dược toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu tốn yếu tố quan trọng Chính vậy, vấn dề khảo sát toán biên, đặc biệt tốn biên phi tuyến, cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án nghiên cứu tồn tại, nghiệm số tính chất nghiệm phương trình sóng phi tuyến hình vành khăn có chứa số hạng phi địa phương có dạng sau (0.0.1) liên kết với điều kiện biên Dirichlet không w(p,0 = goơ)z M(1/0 = gi(0/ (0.0.2) liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet n(p,t) = Mx(l,f) + £u(l,f) = 0, (0.0.3) điều kiện đầu m(x,0) = í7o(x), Wf(x,0) = ũ](x), (0.0.4) //, f, g, ŨQ, ữỵ, go, gi hàm cho trước; p, £ số cho trước, với < p < 1, £ > Các số hạng phi tuyến xuất hai vế (0.0.1) chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân sau Mơ)llồ= / xu2(x,t)dx, ||Mx(f)||ị = / xu2(x,t)dx Jp Jp Vớif = 0, ụ = ^(||»x(Ollo)' (Ịo.o.l|l phương trình sóng phi tuyến hai chiều mơ tả dao động phi tuyến màng hình vành khăn Q1 = {(xi,x2) ■ p2 < x2 + X2 < 1} sau ưtt - (liVƯ(Í)II2) (ƯX1T1 + ưX2X2) = 0, (xbx2) e O1, < t < T, dao động màng Q] phụ thuộc vào X — ự xị + xị, t, tức u(xỵ, x2, t) = Thật theo biến đổi qua tọa độ cực Xỵ = X COS (p, x2 = X sin (p, < cp < 2/r, p < X < 1, ta có ư/f(xi,x2,t) = U-XỵXị + Ux2X2 — ||vư(í)||2 = (llVU(t)ll2) wíf(x,t), Uxx + -ux, X |ưX1(f)||2 + HM0l|2 = 2tt ị xu2(x,t)dx = 2tt ||wx(f)HỔ/ — Ịiỵ (2ĩĩ HííX(f) Ho') — ụ (iiwx(f) Ho') • Trong q trình dao động, diện tích màng ÍÌ1 lực căng điểm thay đổi theo thời gian Điều kiện biên ^0.0.2|| mô tả đường tròn nhỏ Tp = {(xi,x2) : X2 + X2 = p2} đường tròn lớn fl = {(xi,x2) : *ỉ + x2 ~ 1} có dao động cho trước phụ thuộc thời gian Diều kiện biên (|ũ.0.3| đường tròn lớn Tị, tức ux(l, t) + Ẹu(1, f) = 0, mô tả ràng buộc đàn hồi, £ số học Trong đó, điều kiện biên đường trịn nhỏ địi hỏi u(p, t) = 0, có nghĩa đường tròn nhỏ Tp màng giữ cố định Trong ill , Carrier đả thành lập phương trình mơ tả dao động ngang sợi dây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi khơng nhỏ xuất (0.0.5) u(x, f) độ dịch chuyên sợi dây, To lực căng vị trí sợi dây, E mơđun Young, A thiết diện sợi dây, L chiều dài sợi dây p khối lượng riêng vật liệu cấu tạo sợi dây Rõ ràng, tính chất loại vật liệu khác thay đổi theo vị trí X thời điểm t, ta có phương trinh thuộc dạng hyperbolic (Larkin [22]) Utt - B f X, t, I li2 (y, t) dy^j uxx = \ (0.0.6) / '0 Với f = 0, y = /í(||wx(f)IIq), phương trình (Ịo.O.lỊ) thuộc dạng Kirchhoff nhận nhiều ý Vào năm 1876, Kirchhoff II2TI khảo sát dao động ngang nhỏ sợi dây đàn hồi có độ dài L, giả sử lực căng điểm sợi dây, có thành phần theo chiều dọc, có mó hình tốn học d2u M = (ựo+ Eh /0 ph~dfi du , \} d 2u ( x' 0' 3^2 (°-0-7) Từ ||4.2.13|)-(|4.2.15(> ta có L1/(1-^(f) < Const (w(t) + ||u'(f)||ổ + HOIIỈ + II»ơ)IIlp) , Vt > (4.2.16) Do l|4.2.11|), ịl.2.16|) ta suy L'(0 > Ã2L1/(1-’/\t), vt > 0, (4.2.17) với A2 số dương Tích phân (|4.2.17fr khoảng (0, t), ta L’FMh) > _ 11 _ = L-r//(l-r/)[O) T* - t' < t< ~ ự^L~^/(1~^(0) = T* À2ỈJ Do đó, L(t) —> +oo khí t —> T~ — (4.2.18) (4.2.19) (1 — ụ) L-I7/(1-,7)(O) Điều máu thuẫn với (4.2.16Ị) M € c (R+; V) n c1 (R+; L2) tính bị chặn vế phải 0.2.16) Nên Bài tốn (4.2.1) khơng có nghiệm yếu toàn cục Bước Phần chứng minh tính bùng nổ nghiệm, ta lý luận tương tự Chương Khi Định lý 4.2 chứng minh hồn tồn □ 4.3 Tính tắt dần nghiệm Đê thu kết tắt dần mũ nghiệm, chứng minh ta sử dụng phiếm hàm Lyapunov thích hợp với điều kiện, (H1) ŨQ e V n H2, ũỵ € V; (H2) ụ cho y(z) > > 0, Vz e R+; (H3) / G C1 (R),/(0) = tồn số Dí, ộ > 2; í/2, í/2 > 0, cho (i) y/(y) < d2 / f(z)dz, với y € R, Jo (ii) / /(z)íỉz < í/2 (|y|“ + |y, với y e R; /0 V / (H4) F G L°° (R+; L2) n L1 (R+; L2), F' G L2 (R+; L2) tồn hai số Õ) > 0, 70 > cho 11F(t) ||0 < Cqc ĩol, với t > Các giả thiết cho hàm f (H3) thỏa ví dụ Chương , rllM« r1 rao(x) s Ta chứng minh răng, nêu / ụ(z)dz — p xdx f(z)dz > nêu JO Jp Jo lượng ban đầu, I F(f) llo đủ nhỏ, nghiệm yếu toàn cục (|4.1.1|h 4.1.3|) tắt dần 123 Khi đó, nghiệm yếu tồn cục Bài tốn {4.1.1 )-(ỊZĨj|) tắt dần mũ, nghĩa tồn hăng số C, ỹ cho u' (0 IIw (Olin — Cexp(—ỹt), với t > (4.3.7) Chứng minh Định lý 4.4 Dê chứng minh Định lý này, cần bổ đề mà chứng minh chúng tương tự chứng minh bổ đề tương ứng Chương Bổ dề 4.5 Phiếm hàm lượng E(t) xác định (4.3.2) thỏa bất đẳng thức sau (i) E' (t) |||F()IIO + l|F(')llo ||ô'W ã''(ớ)ll + (ii) E' (t) 0' (4.3.8) 2^ với > Bổ đề 4.6 Giả sử (H2) — (H4) thỏa (ũo, Ũ1) e (Vn H2) X V Khi đó, ta có Z(0) > (ỊỊÃịỊl thỏa Thì 1(E) > 0, Ví > Bổ đề 4.7 Giả sử điều kiện Bổ đề 4.6 thỏa Đặt E1Ơ) = Khi tơn hăng sơ Pỵ, /'||u(t)l| w'(0||íị + ^ ụ(z)dz + I(t) (4.3.9) cho ~^Eỵ(t) < £(E) < ^(t), Vf > 0, (4.3.10) với Ị (1-p)2 Ị Bổ đề 4.8 Giả sử điều kiện Bổ đề 4.6 thỏa Phiếm hàm Y(t) xác định (|Ĩ33|) thỏa (< - ^f(') + ê l|F(')llẫ+ệ («*«') (') dz p õ\d2y* p với £2 > 0, 0, ỏi € (0,1) Bởi /4ax < 7* + ta chọn cho (4.3.13) Khi đó, với £1 đủ nhỏ cho < y < A — A < ỗ < < 1, —(1 Ậ'' > cho 02 = A- Ã- ậ- £>O, e3 = k~ — >0, " p (4.3.14) từ (|4.3.10|>, |4.3.12^4344} £'ơ) -^(0 + Coe-2^ -&£(f) + C0e~2™ < (4.3.15) -ỹ£(í) + C0e-2^, P2 với 33 = min{J0i,02, ^y^},0 < < min{à, 270}, ỡ0 = (i + é) ẻo- Mặt khác, ta có £(f) > ^mm{l,/zj (||u'(í)||ổ+ ||u(OHỈ) (4.3.16) Kết hợp (|4.3.15|) (|4.3.16|) ta |1.3.7|) Định lý 4.4 chứng minh xong □ 126 4.4 Kêt luận chương Trong chương này, Luận án khảo sát lớp Bài tốn riêng so với Chương 2, đó, tồn nghiệm yếu Bài toán dược chứng minh tương tự Chương Ở đây, ta quan tâm đến tính tắt dần bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn Dựa ý tưởng Chương 3, ta củng thiết lập phiếm hàm Lyapunov thích hợp Bài tốn có điều kiện biên Robin-Dirichlet trình chứng minh Kết tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn cho Định lý 4.2 kết quâ tính tắt dần mũ nghiệm t oo nêu Dịnh lý 4.4 Kết chương tổng qt hóa kết chúng tơi [S5] mà chứa đựng £ = trường hợp riêng Tuy nhiên, toán Robin-Dirichlet xét hàm fì = bùng nổ nghiệm cịn tốn mở 127 (í)IIỔ) tính tắt dần Kêt luân Trong Luận án này, chúng tói dã sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến cách phù hợp để khảo sát tính giải tìm kiếm số tính chất nghiệm tốn biên phi tuyến có dạng Kirchhoff-Carrier miền hình vành khãn Đó khảo sát tính giải được, thiết lập hội tụ bậc cao khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu phương trình sóng dạng Kirchhoff-Carrier liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet Chương 2, khảo sát tính giải tính chất nghiệm tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mủ nghiệm thời gian tiến vó phương trình sóng dạng Kirchhoff- Carrier liên kết với điều kiện biên Dirichlet Chương Chương khảo sát tính tắt dần tính bùng nổ nghiệm trường hợp riêng lớp Bài toán xét Chương Những kết trình bày Luận án bao gồm: Đối với tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến utt - ụ(t, u (l,f), IIw(0llẫ' llMx ơ)Ilẫ)(wxx + ị«x) = y(x,í,M,uX/uf,||íz (t)llẫ), < p < X