Tính Giải Được Và Các Tính Chất Của Nghiệm Cho Một Số Phương Trình Phi Tuyến Chứa Số Hạng Phi Địa Phương Dạng Kirchhoff-Carrier

ĐẠI HỌC QUỐC GIA TP HCM TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ HỮU KỲ SƠN TÍNH GIẢI ĐƯỢC VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA NGHIỆM CHO MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PHI TUYẾN CHỨA SỐ HẠNG PHI ĐỊA PHƯƠNG DẠNG KIRCHHOFF-CARRIER Ngành: TỐN GIẢI TÍCH Mã số ngành: 62460102 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Tp Hồ Chí Minh - năm 2022 Cơng trình hồn thành tại: Trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên – Đại Học Quốc Gia Thành Phố Hồ Chí Minh Người hướng dẫn khoa học: PGS TS LÊ THỊ PHƯƠNG NGỌC Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Bích Huy Phản biện 2: PGS.TS Mai Đức Thành Phản biện 3: TS Đào Nguyên Anh Phản biện độc lập 1: PGS.TS Nguyễn Hữu Khánh Phản biện độc lập 2: TS Đào Quang Khải Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Cơ sở đào tạo họp Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM, vào hồi 00, ngày 06 tháng 08 năm 2022 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tổng hợp Quốc gia Tp.HCM Thư viện trường Đại học Khoa học Tự nhiên, ĐHQG-HCM Thư viện Trung tâm ĐHQG-HCM Mở đầu Lý thuyết phương trình vi phân đạo hàm riêng lĩnh vực quan trọng toán lý thuyết áp dụng Các toán xuất nhiều vật lý, học, sinh học, , nghiên cứu cách rộng rãi nhiều nhà tốn học Q trình tìm kiếm lời giải cho tốn có góp phần lớn nhiều kết lý thuyết giải tích hàm (lý thuyết khơng gian Sobolev, lý thuyết điểm bất động, lý thuyết nửa nhóm, ) giải tích số (phương pháp phần tử hữu hạn, ) Một tốn thuộc lý thuyết phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu sâu rộng nhiều nhà toán học toán giá trị biên cho phương trình đạo hàm riêng nói chung cho phương trình sóng nói riêng Nhiều kết khác việc nghiên cứu lớp toán đăng tạp chí khoa học uy tín nhiều tác giả tiếng J.L Lions, H Brézis, F.E Browder, Số lượng tạp chí có cơng bố kết liên quan đến lĩnh vực chiếm tỷ lệ lớn có tạp chí chuyên lĩnh vực nầy nhiều nhà xuất lớn nhà xuất Elsevier, Springer, Taylor & Francis, Ngoài ra, nhiều hội nghị quốc tế lĩnh vực phương trình vi phân đạo hàm riêng nói chung lý thuyết tốn biên nói riêng quan tâm đông đảo nhà tốn học ngồi nước Hiện có nhiều phương pháp sử dụng để nghiên cứu phương trình vi phân phương trình đạo hàm riêng với điều kiện biên khác phương pháp biến phân, phương pháp điểm bất động, Tuy nhiên chưa có phương pháp tổng quát để tiếp cận toán biên phi tuyến phong phú đa dạng Việc lựa chọn phương pháp thích hợp để nghiên cứu tốn yếu tố quan trọng Chính vậy, vấn đề khảo sát toán biên, đặc biệt toán biên phi tuyến, cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án nghiên cứu tồn tại, nghiệm số tính chất nghiệm phương trình sóng phi tuyến hình vành khăn có chứa số hạng phi địa phương có dạng sau utt = µ t, u(1, t), ku(t)k20 , ku x (t)k20 (u xx + ux ) x (1) f x, t, u, u x , ut , ku(t)k20 , ku x (t)k20 , ρ < x < 1, < t < T, liên kết với điều kiện biên Dirichlet không u(ρ, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t), (2) liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, (3) điều kiện đầu u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), (4) µ, f , g, u˜ , u˜ , g0 , g1 hàm cho trước; ρ, ζ số cho trước, với < ρ < 1, ζ Các số hạng phi tuyến xuất hai vế (1) chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân sau ku(t)k20 = Z ρ xu2 ( x, t)dx, ku x (t)k20 = Z ρ xu2x ( x, t)dx Với f = 0, µ = µ(ku x (t)k20 ), (1) phương trình sóng phi tuyến hai chiều mơ tả dao động phi tuyến màng hình vành khăn Ω1 = f( x1 , x2 ) : ρ2 < x12 + x22 < 1g sau Utt µ1 krU (t)k2 (Ux1 x1 + Ux2 x2 ) = 0, ( x1 , x2 ) Ω1 , < t < T, dao động màng Ω1 phụ thuộc vào x = u( x, t) Thật theo biến đổi qua tọa độ cực x1 = x cos ϕ, x2 = x sin ϕ, ϕ < 2π, ρ < x < 1, ta có Utt ( x1 , x2 , t) = Ux1 x1 + Ux2 x2 = krU (t)k2 = µ1 krU (t)k2 = utt ( x, t), u xx + u x , x kUx1 (t)k2 + kUx2 (t)k2 = 2π µ1 2π ku x (t)k20 q Z ρ x12 + x22 , t, tức U ( x1 , x2 , t) = xu2x ( x, t)dx = 2π ku x (t)k20 , µ ku x (t)k20 Trong q trình dao động, diện tích màng Ω1 lực căng điểm thay đổi theo thời gian Điều kiện biên (2) mơ tả đường trịn nhỏ Γρ = f( x1 , x2 ) : x12 + x22 = ρ2 g đường tròn lớn Γ1 = f( x1 , x2 ) : x12 + x22 = 1g có dao động cho trước phụ thuộc thời gian Điều kiện biên (3) đường tròn lớn Γ1 , tức u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, mơ tả ràng buộc đàn hồi, ζ số học Trong đó, điều kiện biên đường tròn nhỏ Γρ đòi hỏi u(ρ, t) = 0, có nghĩa đường trịn nhỏ Γρ màng giữ cố định Trong G.F Carrier, Quart J Appl Math (1945) 157-165, Carrier thành lập phương trình mơ tả dao động sợi dây đàn hồi có kể đến lực căng có thay đổi nhỏ xuất ρutt 1+ EA LT0 Z L u2 (y, t)dy u xx = 0, (5) u( x, t) độ dịch chuyển theo phương x, T0 lực căng vị trí sợi dây, E môđun Young, A thiết diện sợi dây, L chiều dài sợi dây ρ khối lượng riêng vật liệu cấu tạo sợi dây Rõ ràng, tính chất loại vật liệu khác thay đổi theo x t, ta có phương trình thuộc dạng hyperbolic (N.A Larkin, Math Problems in Engineering, (2002) 15-31) utt B( x, t, Z u2 (y, t) dy)u xx = (6) µ(ku x (t)k20 ), Với f = 0, µ = phương trình (1) thuộc dạng Kirchhoff nhận nhiều ý Vào năm 1876, G.R Kirchhoff, Teuber, Leipzig, 1876, Section 29.7.đã khảo sát dao động ngang nhỏ sợi dây đàn hồi có độ dài L, giả sử lực căng điểm sợi dây, có thành phần theo chiều dọc, có mơ hình ! tốn học Z L 2 ∂u Eh ∂2 u ∂ u ρh ( x, t) = P0 + (7) (y, t) dy ( x, t) , 2L ∂y ∂t ∂x2 với u ( x, t) mô tả dịch chuyển theo biến không gian x thời điểm t, ρ khối lượng riêng vật liệu cấu tạo nên sợi dây, h thiết diện sợi dây, L chiều dài sợi dây, E modulus Young sợi dây, P0 lực căng dây thời điểm ban đầu Việc nghiên cứu tồn tính chất nghiệm phương trình sóng nói chung phương trình sóng phi tuyến dạng Kirchhoff-Carrier nói riêng nhận nhiều ý Trong Hongwei Zhang, Changshun Hou, Qingying Hu, Boundary Value Problems, 2013, 2013:166, H Zhang cộng khảo sát toán utt + ut + u xxxx M (ku x k2 )u xx = 0, < x < L, t > 0, với điều kiện biên động < u (0, t) = u xx (0, t) , t > 0, u xx ( L, t) + u x ( L, t) = 0, t > 0, : utt ( L, t) + ut ( L, t) u xxx ( L, t) + M (ku x k2 )u x ( L, t) = f (u ( L, t)) , điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , < x < L, với f (s) = jsj p + sm , p > 2, m số dương ku x k = Z L s, M (s) = u2x ( x, t)dx Dựa vào bất đẳng thức Nakao, kết hợp với xây dựng tập ổn định, tác giả thu đánh giá tắt dần lượng, tác giả tìm điều kiện đủ liệu ban đầu để nghiệm tắt dần Tính chất bùng nổ nghiệm với lượng ban đầu dương đủ nhỏ lượng đầu âm thu nhờ sử dụng bổ đề hàm lồi Các cơng trình nghiên cứu điều kiện biên động phương trình sóng Kirchhoff nêu như: Park cộng J.Y Park S.H Park, Electronic J of Differ Equations 2003 (80) (2003) 1-7, Larkin Doronin G.G Doronin, N.A Larkin, Nonlinear Anal 8, 1119-1134 (2002), Gerbi Said-Houari S Gerbi, B Said-Houari, Adv Differ Equations 13 (2008) 1051-1060 Ngồi phương trình sóng chứa số hạng nguồn phi tuyến có dạng (8) utt + α∆2 u M (kruk2 )∆u + g (ut ) = f (u) , Ω R+ , nhận nhiều quan tâm, nghiên cứu tồn nghiệm, đánh giá tính tắt dần nghiệm tồn cục tính bùng nổ nghiệm với số điều kiện thích hợp Wu Tsai S.T Wu, L.Y Tsai, Taiwan J of Math 13B (6) (2009) 2069-2091 Santos đồng M.L Santos, M.P.C Rocha, D.C Pereira, Electronic J Qual Theory Differ Equ (2015) 1-28 khảo sát tồn tính tắt dần mũ hệ Kirchhoff với điều kiện biên phi địa phương Guedda Labani M Guedda, H Labani, Bull Belg Math Sci (2002) 39-46 đưa điều kiện đủ để nghiệm phương trình (8) bùng nổ với g (ut ) = ut với điều kiện biên động Trong N.T Long, T.M Thuyet, Demonstratio Math 32 (4) (1999) 749-758, N.T Long T.M Thuyết chứng minh tồn nghiệm toàn cục trường hợp hàm M nhận giá trị không âm Trong Yang Zhijian, Wang Yunqing, J Differ Equations, 249 (2010) 3258-3278, Yang Zhijian, Wang Yunqing chứng minh tồn nghiệm tồn cục tốn dạng Kirchhoff < utt M (kruk2 )∆u ∆ut + h (ut ) + g (u) = f ( x ) Ω R+ , uj = 0, t > 0, : ∂Ω u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x Ω Trong L.T.P Ngoc, N.A Triet, N.T Long, Boundary Value Problems (2016) 2016: 20, Ngọc, Triết, Long nghiên cứu toán biên phi địa phương giá trị đầu utt ∆u + Ku + λut =Z a juj p u + f ( x, t) , x Ω, t > 0, ∂u ∂ν ( x, t) = g ( x, t) + Ω h ( x, y, t) u (y, t) dy, x ∂Ω, t > 0, u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , với Ω miền bị chặn R N với ∂Ω biên trơn, ν vector đơn vị hướng biên ∂Ω; a = 1, K, λ, p số cho trước, u0 , u1 , f , g, h hàm cho trước Trong trường hợp a = 1, tác giả sử dụng phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin để chứng minh tồn nghiệm mạnh lý luận trù mật cho tồn nghiệm yếu Với a = 1, g = 0, 2N K > 0, λ > 0, < p số điều kiện kiện đầu, điều kiện N , N hàm f , h thích hợp tác giả chứng minh nghiệm tắt dần mũ cách thiết lập phiếm hàm Lyapunov thích hợp Tính tắt dần bùng nổ phương trình sóng phi tuyến liên kết với loại điều kiện biên khác nhau, biên phi địa phương, biên phi tuyến hay điều kiện biên nhiều điểm nghiên cứu Trong L.T.P Ngoc, N.A Triet, A.P.N Dinh, N.T Long, Numerical Functional Analysis and Optimization, 38 (9) (2017) 1173-1207, Ngọc cộng xét toán utt u xx + u + λut = a juj p u + f ( x, t) , < x < 1, t > với điều kiện biên phi địa phương Z t Z > u (0, t) = g (t) < H (t s) u (0, s) ds + k ( x, t) u ( x, t) dx, x > : u x (1, t) = g1 (t) 0Z 0Z t H1 (t s) u (1, s) ds + k1 ( x, t) u ( x, t) dx, điều kiện đầu u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , với j aj = 1, λ > 0, p > số cho trước Các hàm f , gi , Hi , k i (i = 0, 1) hàm số cho trước mà điều kiện sau Các tác giả chứng minh hai kết tồn nghiệm toán phương pháp Galerkin cá lý luận trù mật Trong trường hợp a = 1, λ > 0, p > gi = 0, cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov thích hợp, ku0 k2H ku0 k L p + p ∑i=0 hk i (0) , u0 i u0 (i ) > lượng ban đầu, hàm f , k i , Hi đủ nhỏ lượng nghiệm tắt dần mũ t ! ∞ Tuy nhiên trường hợp a = 1, tốn có nghiệm tồn cục có lượng tắt dần mũ t ! ∞ mà không cần liệu ban đầu (u0 , u1 ) đủ nhỏ Kết xem mở rộng L.T.P Ngoc, N.T Long, Comm on Pure and Appl Anal 12 (5) (2013) 2001-2029 Trong N.T Long, L.T.P Ngoc, J Math Anal Appl 385 (2) (2012) 1070-1093, Long,∂ Ngọc xét tốn sóng phi tuyến với điều kiện biên hai điểm < utt ∂x (µ ( x, t) u x ) + f (u, ut ) = F ( x, t) , < x < 1, < t < T, µ (0, t) u x (0, t) = h0 u (0, t) + λ0 ut (0, t) + h˜ u (1, t) + λ˜ ut (1, t) + g0 (t) , : µ (1, t) u x (1, t) = h1 u (1, t) + λ1 ut (1, t) + h˜ u (0, t) + λ˜ ut (0, t) + g1 (t) , điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ ( x ) , với hi , λi , h˜ i , λ˜ i số cho trước µ, f , F, gi (i = 0, 1) hàm cho trước Các tác giả chứng minh tồn nghiệm yếu cách xây dựng phiếm hàm Lyapunov điều kiện thích hợp, tính tắt dần mũ nghiệm toàn cục chứng minh Kết mở rộng L.X Truong, L.T.P Ngoc, A.P.N Dinh, N.T Long, Nonlinear Anal TMA 74 (18) (2011) 6933-6949 trường hợp µ = 1, f (u, ut ) = Ku + λut , K, λ > Ngồi ra, phương trình sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt có dạng Z t > utt M kruk2 ∆u + g (t s) ∆u (s) ds + h (ut ) = f (u) , x Ω, t > 0, < (9) > : u = 0, ( x, t) ∂Ω [0, ∞), u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x Ω, dành nhiều quan tâm Với trường hợp h (ut ) = ∆ut , S.T Wu, L.Y Tsai, Taiwan J of Math 10 (4) (2006) 979-1014, Wu Tsai chứng minh tồn nghiệm toàn cục, tắt dần, bùng nổ điều kiện kiện đầu thích hợp Các tác giả thu tính bùng nổ nghiệm địa phương với lượng đầu dương đủ bé Với kết tắt dần, tác giả giả sử tồn số r > : g0 (t) rg (t) , 8t Và S.T.Wu, J Math Anal Appl 364 (2) (2010) 609-617, Wu cải tiến kết tắt dần với điều kiện yếu hàm g (g0 (t) với t 0) Khi h (ut ) = αut , α số dương f (u) = 0, Santos cộng J Ferreira, M.L Santos, M.P Matos, W.D Bastos, Math and Computer Modelling, 39 (2004) 1285-1295 chứng minh tồn nghiệm tồn cục tính tắt dần nghiệm Với trường hợp M = g 6= 0, Cavalcanti cộng M.M Cavalcanti, V.N Domingos Cavalcanti, J.A Soriano, Electronic J of Differ Equations, 2002 (44) (2002) 14 pages nghiên cứu phương trình p utt ∆u + Z t g (t s) ∆u (s) ds + a ( x ) ut + jujγ u = 0, ( x, t) Ω (0, ∞) , (10) với điều kiện đầu điều kiện biên (9) tác giả chứng minh tính tắt dần nghiệm Ngồi tính chất tắt dần nghiệm, tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn dành nhiều quan tâm Trong S.A Messaoudi, Mathematische Nachrichten, 260 (2003) 58-66, Messaoudi xét phương trình utt ∆u + Z t g (t s) ∆u (s) ds + aut jut jm = b j u jr u, (11) ( x, t) Ω (0, ∞) , đó, tác giả chứng minh nghiệm yếu với lượng đầu âm bùngZnổ thời gian hữu hạn r > m ∞ r r 2+1/r , g (s) ds (12) kiện ban đầu thuộc vào không gian hàm thích hợp m r tác giả chứng minh tồn nghiệm toàn cục Kết Messaoudi cải tiến S.A Messaoudi, J Math Anal Appl 320 (2) (2006) 902-915, với điều kiện lượng ban đầu dương số điều kiện thích hợp hàm g, m, r Trong W Liu, Topological Methods in Nonlinear Anal 36 (1) (2010) 153-178, Liu nghiên cứu phương trình utt ∆u + Z t g (t s) ∆u (s) ds ω∆ut + µut = jujr u, (13) ( x, t) Ω (0, ∞) , với điều kiện đầu điều kiện biên (9) Sử dụng kỹ thuật hàm lồi cùngZđiều kiện ∞ r h i, g (s) ds (14) r + 1/ δˆ r + 2δ δˆ với δˆ = max f0, δg , tác giả chứng minh nghiệm với lượng đầu không dương lượng đầu dương bùng nổ thời gian hữu hạn Dưới chúng tơi đề cập đến tính chất bùng nổ tắt dần nghiệm cho số hệ phương trình sóng phi tuyến Bài8tốn Z t > > utt ∆u + g1 (t s) ∆u (s) ds + jut jm ut = f (u, v) , x Ω, < t < T, > > > Z 0t > > < vtt ∆v + g2 (t s) ∆v (s) ds + jvt jγ vt = f (u, v) , x Ω, < t < T, (15) > > u ( x, t) = v ( x, t) = 0, ( x, t) ∂Ω [0, T ), > > > > u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x Ω, > : v ( x, 0) = v0 ( x ) , vt ( x, 0) = v1 ( x ) , x Ω, khảo sát Han Wang X Han and M Wang, Nonlinear Anal TMA 71 (11) (2009) 5427–5450, với Ω miền bị chặn với biên ∂Ω trơn Rn , n = 1, 2, Dưới giả thiết thích hợp hàm f i , gi (i = 1, 2) , liệu đầu tham số (15), tác giả chứng minh tồn nghiệm địa phương, nghiệm toàn cục, tính bùng nổ (khi lượng đầu E (0) < 0) Kết bùng nổ nghiệm sau Messaoudi Said-Houari S.A Messaoudi, B Said-Houari, J Math Anal Appl 365 (1) (2010) 277-287 phát triển trường hợp lượng ban đầu dương Liang Gao F Liang and H Gao, Boundary Value Problems, vol 2011, article 22, (2011) 19 pages xét toán: Z t > u < ∆u + g1 (t s) ∆u (s) ds ∆ut = f (u, v) , x Ω, < t < T, tt Z 0t (16) > : vtt ∆v + g2 (t s) ∆v (s) ds ∆vt = f (u, v) , x Ω, < t < T, với điều kiện đầu điều kiện biên giống tốn 15 Dưới điều kiện thích hợp hàm f i , gi (i = 1, 2) liệu ban đầu nằm tập ổn định, tác giả chứng minh nghiệm tắt dần mũ Ngược lại, liệu ban đầu nằm tập không ổn định, tác giả chứng minh nghiệm với lượng ban đầu dương bùng nổ thời gian hữu hạn Hệ(phương trình sóng chứa số hạng đàn hồi đa thức dạng utt u xx + λ1 jut jr1 ut = f (u, v) + F1 ( x, t) , (17) vtt v xx + λ2 jvt jr2 vt = f (u, v) + F2 ( x, t) , Khoa cộng xét V.A Khoa, L.T.P Ngoc, N.T Long, Evolution equations and control theory, (2) (2019) 359-395 với điều kiện biên phi tuyến ( u (0, t) = 0, u x (1, t) + K1 ju (1, t)j p1 u (1, t) = µ1 jut (1, t)jq1 ut (1, t) , v x (0, t) + K2 jv (0, t)j p2 v (0, t) = µ2 jvt (0, t)jq2 vt (0, t) , v (1, t) = 0, điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ ( x ) , v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) Với số điều kiện thích hợp, tác giả chứng minh hai định lý tồn nghiệm dựa vào phương pháp Galerkin lý luận trù mật Ngoài ra, tác giả thu kết tính bùng nổ nghiệm tính tắt dần mũ nghiệm Trong L.T.P Ngoc, N.T Long, Math Meth Appl Sci 37 (2014) 464-487, Ngọc, Long khảo sát toán (17) với điều kiện biên u (0, t) = u (1, t) = 0, v x (0, t) + K jv (0, t)j p v (0, t) = µ jvt (0, t)jq vt (0, t) , v (1, t) = 0, thu kết tương tự Trong N.T Long, H.H Ha, L.T.P Ngoc, N A Triet, Comm Pure and Appl Anal 19 (1) (2020)8455-492, Long cộng khảo sát hệ phương trình ∂ > u (µ ( x, t) u x ) + λ1 jut jr1 ut = f (u, v) + F1 ( x, t) , > < tt ∂x Z t r2 ∂ ¯ ∂ µ x, t v + λ v g (t s) ∂x v + v ( ( ) (µ2 ( x, s) v x ( x, s)) ds ) j j x t t tt 2 ∂x > > : = f (u, v) + F2 ( x, t) , < x < 1, < t < T, với điều kiện biên µ1 (0, t) u x (0, t) = G (u (0, t)) + λ¯ jut (0, t)jr¯1 ut (0, t) g0 (t) , u (1, t) = v (0, t) = v (1, t) = 0, điều kiện đầu u ( x, 0) = u˜ ( x ) , ut ( x, 0) = u˜ ( x ) , v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) Sự tồn nghiệm hệ phương trình tác giả chứng minh dựa vào phương pháp Galerkin lý luận trù mật Trong trường hợp r1 = r2 = r¯1 = 2, µ¯ ( x, t) µ¯ ( x ) số điều kiện thích hợp, tác giả thu kết bùng nổ nghiệm Hơn nữa, điều kiện lượng ban đầu dương đủ nhỏ, tính tắt dần mũ nghiệm chứng minh Trong Wenjun Liu, Gang Li, Linghui Hong, Journal of Function Spaces, Vol 2014, Article ID 284809, 21 pages, Wenjun Liu cộng nghiên cứu hệ sóng Kirchhoff chứa số hạng đàn hồi nhớt Z t > u > M kruk22 ∆u + g1 (t s) ∆u(s)ds ∆ut = f (u, v) , x Ω, t > 0, tt > > > Z 0t > > < vtt M krvk2 ∆v + g2 (t s) ∆v(s)ds ∆vt = f (u, v) , x Ω, t > 0, (18) > > u ( x, t) = v ( x, t) = 0, ( x, t) ∂Ω [0, ∞), > > > > u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x Ω, > : v ( x, 0) = v0 ( x ) , vt ( x, 0) = v1 ( x ) , x Ω, với Ω miền bị chặn Rn , n với biên trơn ∂Ω, M hàm số dương Lipschitz địa phương gi : R+ ! R+ (i = 1, 2) , ( f , f ) : R2 ! R2 Các tác giả chứng minh hai kết bùng nổ: cho nghiệm với điều kiện lượng ban đầu không dương trường hợp lượng ban đầu dương, trường hợp lại điều kiện lượng ban đầu dương tùy ý Cuối kết tắt dần nghiệm toàn cục số điều kiện thích hợp hàm gi (i = 1, 2) Nội dung luận án gồm chương 2, đề cập Trong Chương 2, chúng tơi khảo sát Bài tốn (1) với f f x, t, u, u x , ut , ku(t)k20 liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet2 sau > utt µ(t, u (1, t) , ku(t)k0 , ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x ) > < = f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 ), ρ < x < 1, < t < T, (19) > u ( ρ, t ) = u x (1, t ) + ζu (1, t ) = 0, > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Một số kết tồn nghiệm yếu địa phương thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán dạng Kirchhoff-Carrier nhiều tác giả nghiên cứu N.T Long, J Math Anal Appl 306 (1) (2005) 243-2, N.T Long, A.P.N Dinh, T.N Diem, J Math Anal Appl 267 (1) (2002) 116-134, N.T Long, L.T.P Ngoc, Demonstratio Math 40 (2) (2007) 365-392,.N.T Long, A.P.N Dinh, T.N Diem, Boundary Value Problems 2005 (3) (2005) 337-358, N.H Nhan, L.T.P Ngoc, T.M Thuyet, N.T Long, Lithuanian Math J 57 (1) (2017) 80-108 Việc xây dựng thuật giải nhằm giúp tăng tốc độ hội tụ nghiệm toán quan tâm, L.T.P Ngoc, B.M Tri, N.T Long, FILOMAT, 31 (6) (2017) 1755-1767 Tiếp nối ý tưởng mơ hình cơng trình liên quan, Chương chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương Bài toán (19) cách kết hợp thuật giải xấp xỉ tuyến tính, phương pháp xấp xỉ Faedo-Galerkin, kỹ thuật tính compact Hơn nữa, nhằm xây dựng thuật giải hội tụ nghiệm yếu tốn nhanh hơn, chúng tơi xét Bài tốn (19) với hàm (20) µ µ(ku(t)k20 ), f f ( x, t, u, kuk20 ), số điều kiện thích hợp, để thiết lập thuật giải lặp cấp cao mà đó, tốc độ hội tụ đạt đến cấp N Trong [S2], thu kết với hàm µ µ0 bị chặn hàm lũy thừa sau 0 0, p > 1, C1 > 0, C2 > số Trong phần này, cải tiến kết thu kết thuật giải lặp cấp N mà không cần phải sử dụng điều kiện (21) cho hàm µ Kết tổng quát [S2] cơng bố [S3] Ngồi ra, chúng tơi khảo sát khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé ε đến cấp N + Các kết chương tổng quát so với công bố [S1] Trong Chương luận án, chúng tơi khảo sát Bài tốn (1) trường hợp hàm µ(t, ku (t)k20 , ku x (t)k20 ) với điều kiện biên Dirichlet không sau 2 > > utt µ(t, ku(t)k0 , ku x (t)k0 )(u xx + x u x ) < = f ( x, t, u, u x , ut , ku(t)k0 , ku x (t)k20 ), ρ < x < 1, < t < T, (22) > > : u(ρ, t) = g0 (t), u(1, t) = g1 (t), u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Trong chương này, qua phép đổi ẩn hàm sử dụng thuật giải lặp xấp xỉ tuyến tính, ta chứng minh Bài tốn (22) có nghiệm yếu địa phương Tiếp theo, ta khảo sát lớp toán hẹp hơn, để tìm kiếm số tính chất nghiệm tính tắt dần hay bùng nổ nghiệm.2 Cụ thể với tốn < utt µ(ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, t > 0, (23) u(ρ, t) = u(1, t) = 0, : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với điều kiện hàm µ, f , F, u˜ , u˜ thích hợp, ta chứng minh nghiệm Bài tốn Và cuối cùng, xét lớp toán (23) tắt dần mũ < utt µ(ku x (t)k0 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, < t < T, (24) u(ρ, t) = u(1, t) = 0, : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với điều kiện hàm µ, f , u˜ , u˜ thích hợp, ta chứng minh nghiệm Bài toán (24) bùng nổ thời điểm hữu hạn Và kết công bố [S4] Việc khảo sát tính tắt dần hay bùng nổ nghiệm toán dạng Kirchhoff nhiều nhà toán học quan tâm Trong Gongwei Liu, Boundary Value Problems 2014, 2014: 230, Gongwei Liu nghiên cứu 8tốn Dirichlet cho 2phương trình sóng dạng Kirchhoff < utt M (kru (t)k )∆u + ut = g (u) Ω (0, ∞) , (25) u ( x, t) = ∂Ω (0, ∞) , : u ( x, 0) = u0 ( x ) , ut ( x, 0) = u1 ( x ) , x Ω, với Ω miền bị chặn có biên trơn, số hạng nguồn g bị chặn theo hàm đa thức vô Với M (s) hàm dương khả vi liên tục [0, ∞) M (s) 1, j M0 (s)j sα với s > 1, α liệu ban đầu thích hợp Bài tốn (25) tồn nghiệm tồn cục tắt dần mũ Mặt khác, điều kiện hàm M, g liệu đầu phù hợp, nghiệm u (25) bùng nổ thời gian hữu hạn T Việc nghiên cứu nghiệm tồn cục, tính tắt dần tính bùng nổ nghiệm phương trình sóng Kirchhoff-Carrier nhận nhiều quan tâm Ta kể số cơng trình, Cavalcanti cộng M.M Cavalcanti, V.N Domingos Cavalcanti, J.A Soriano, Comm Contemp Math (5) (2004) 705-731, Miranda cộng Miranda, M Milla, Jutuca, L.P San Gil, Comm Partial Differ Equations, 24 (9-10) (1999) 1759-1800, J Y Park cộng J.Y Park, J.J Bae, I.H Jung, Nonlinear Anal TMA 50 (2002) 871-884, J.Y Park, J.J Bae, Appl Math Comput 129 (2002) 87-105, Santos cộng M.L Santos, J Ferreira, D.C Pereira, C.A Raposo, Nonlinear Anal TMA 54 (2003) 959-976, Takeshi Taniguchi Takeshi Taniguchi, J Math Anal Appl 361 (2010) 566-578, Tokio Matsuyama Ryo Ikehata Tokio Matsuyama, Ryo Ikehata, J Math Anal Appl 204 (1996) 729-753 Đặc biệt, Zhijian Yang cộng cơng trình Pengyan Ding, Zhijian Yang, Comm on Pure and Appl Anal 18 (2) (2019) 825843, Z.J Yang, J Differ Equations, 242 (2007) 269-286, Z.J Yang, P.Y Ding, J Math Anal Appl 434 (2016) 1826-1851 nghiên cứu tính tắt dần nghiệm phương trình dạng Kirchhoff tồn khơng gian R N µ Cho trước T > 0, ta thành lập giả thiết sau: ( H1 ) u˜ V \ H , u˜ V; u˜ (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0; ( H2 ) µ C1 [0, T ] R R2+ , tồn số µ > cho µ(t, y1 , y2 , y3 ) µ > 0, 8(t, y1 , y2 , y3 ) [0, T ] R R2+ ; ¯ [0, T ] R3 R+ cho ( H3 ) f C0 Ω (i) f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) [0, T ] R R+ , ¯ [0, T ] R3 R+ , i = 1, 3, 4, 5, (ii) Di f C0 Ω Với M > T (0, T ], ta đặt W ( M, T ) = u L∞n 0, T; V \ H : u0 L∞ (0, T; V ) , u00 L2 (oQ T ) , max kuk L∞ (0,T;V \ H ) , ku0 k L∞ (0,T;V ) , ku00 k L2 (QT ) L∞ 0, T; L2 M g, (2.4) W1 ( M, T ) = fu W ( M, T ) : utt g Ta chọn số hạng u0 0, giả sử um W1 ( M, T ) Ta tìm um W1 ( M, T ) (m 1) cho hu00m (t), vi + µm (t) a(um (t), v) = h Fm (t) , vi , 8v V, (2.5) um (0) = u˜ , u0m (0) = u˜ , với < µ (t) = µ [um ] (t) = µ t, um (1, t) , kum (t)k2 , krum (t)k2 , 0 m (2.6) : Fm (t) = f [um ] ( x, t) = f x, t, um (t), Oum (t), u0 (t), kum (t)k2 m Khi Định lý 2.5 Giả sử ( H1 ) ( H3 ) thỏa Khi tồn số dương M, T cho, với u0 dãy lặp fum g W1 ( M, T ) cho (2.5), (2.6) Để chứng minh Định lý 2.5 ta sử dụng xấp xỉ Faedo-Galerkin với sở Hilbert fw j g (k) (k) (k) V Bổ đề 2.3 Đặt um (t) = ∑kj=1 cmj (t)w j , đó, hàm số cmj (t) nghiệm hệ(phương trìnhEvi phân cấp hai D (k) (k) uă m (t), w j + àm (t) a(um (t), w j ) = Fm (t) , w j , j = 1, , k, (2.7) (k) (k) um (0) = u0k , u˙ m (0) = u1k , với < u0k = ∑k α(k) w j ! u˜ mạnh V \ H , j =1 j (2.8) : u1k = ∑k β(k) w j ! u˜ mạnh V j =1 j (k) Bổ đề 2.6 Hệ (2.7), (2.8) có nghiệm cmj (t), j k đoạn [0, T ] Định lý 2.7 Giả sử ( H1 ) ( H3 ) thỏa Tồn số M > T > chọn Định lý 2.5 cho: (i) Bài tốn (2.1) có nghiệm yếu u W1 ( M, T ) (ii) Dãy xấp xỉ tuyến tính fum g xác định (2.5)-(2.6) hội tụ mạnh u không gian Banach W1 ( T ) = fu L∞ (0, T; V ) : u0 L∞ (0, T; L2 )g có đánh giá M k m , m N, (2.9) kum ukW1 (T ) kT T với số k T [0, 1) độc lập với m, chuẩn W1 ( T ) kvkW1 (T ) = kvk L∞ (0,T;V ) + kv0 k L∞ (0,T;L2 ) 12 2.4 Thuật giải lặp cấp cao Xét toán (2.1) tương ứng với µ µ(ku(t)k20 ) f f ( x, t, u, ku (t)k20 ) sau 2 < utt µ(ku(t)k0 )(u xx + x u x ) = f ( x, t, u, ku (t)k0 ), ρ < x < 1, < t < T, (2.10) u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ) Ta liên kết (2.10)1 dãy lặp fum g xác định ∂2 u m ∂t2 µ(kum (t)k20 ) = ∂2 u m ∂x2 ∑ + ∂um x ∂x Aij f [um ]( um um 1) i i+ j N kum (t)k20 kum j ( t )k0 , (2.11) j ρ < x < 1, < t < T, với Aij f [um ] = i!j! D3i D4 f ( x, t, um , kum (t)k20 ), um thỏa (2.1)2,3 u0 Trước tiên, cho trước T > 0, ta thành lập giả thiết sau: ( H ) u˜ V \ H , u˜ V, u˜ (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0; ( H ) µ C1 (R+ ) , tồn số µ > : µ (z) µ > 0, 8z 0; ( H ) f C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ) : f (ρ, t, 0, z) = 0, 8t [0, T ] , z j (i) D3i D4 f C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ), i + j N, j i (ii) D1 D3 D4 f C0 ([ρ, 1] [0, T ] R R+ ), i + j N Các ký hiệu W ( M, T ) , W1 ( M, T ) , W1 ( T ) Mục 2.3 sử dụng lại đoạn Ta thiết lập dãy lặp fum g với số hạng ta chọn u0 0, giả sử um W1 ( M, T ), ta tìm um W1 ( M, T ) (m 1) thỏa toán biến phân hu00m (t), vi + µm (t) a(um (t), v) = h Fm (t) , vi , 8v V, (2.12) um (0) = u˜ , u0m (0) = u˜ , với > µm (t) = µ kum (t)k20 , > > > < j Fm ( x, t) = Aij f [um ](um um )i kum (t)k20 kum (t)k20 , (2.13) ∑ > i+ j N > > > : A f [u i j i + j N m ] = i!j! D3 D4 f ( x, t, um , k um ( t )k0 ), i, j Z+ , ij Ta có định lý tồn hội tụ dãy lặp fum g sau Định lý 2.8 Giả sử ( H ) ( H ) thỏa Khi tồn số dương M phụ thuộc vào u˜ , u˜ , µ, ζ, ρ T phụ thuộc vào u˜ , u˜ , µ, f , ζ, ρ cho với u0 0, tồn dãy lặp fum g W1 ( M, T ) xác định (2.12) (2.13) Chứng minh Định lý 2.8 cần sử dụng bổ đề sau Bổ đề 2.9 Giả sử g C (R+ ; R), hàm số Φ g xác định sau ( sup j g(u)j , r > 0, u r Φ g (r ) = r = 0, j g(0)j , Φ g C (R+ ; R+ ) Φ g hàm không giảm cho j g( x )j Φ g (j x j), với x R+ (k) Xét sở fw j g V Bổ đề 2.3 Đặt um (t) = k ∑ j=1 cmj (t)w j , với hàm số cmj (k) thỏa hệ ( phương trình vi tích phân cấp hai phi tuyến sau (k) (k) (k) (k) huă m (t), w j i + àm (t) a(um (t), w j ) = h Fm (t) , w j i, j = 1, (k) u m (0) = (k) u˜ 0k , u˙ m (0) = u˜ 1k , 13 (k) , k, (2.14) < u˜ 0k = : k ∑ j =1 α j w j k (k) u˜ 1k = ∑ j=1 β j w j (k) (k) > > > < µm (t) = µ (k) > > > : Fm ( x, t) = với Aij f [um 1] = ! u˜ mạnh V \ H , ! u˜ mạnh V, (k) um (t) ∑ , Aij f [um (k) ]( um 1) um i (k) um (t) i+ j N i j i!j! D3 D4 f ( x, t, um , k um ( t )k0 ), Bổ đề 2.10 Giả sử ( H ) (k) i, j Z+ , kum i+j N , (2.16) ( H ) thỏa Cố định M > T > 0, hệ (2.14), (2.15) có (k) nghiệm um (t) đoạn [0, Tm ] [0, T ] Bổ đề 2.11 Tồn số T > độc lập với k m cho (k) (2.15) j ( t )k0 (k) Sm (t) = u˙ m (t) M2 (k) (k) + µm (t) um (t) a (k) + u˙ m (t) a (k) (k) + µm (t) Aum (t) + Z t (k) uă m (s) ds 8t [0, T ] , với k m N Định lý 2.12 Giả sử ( H1 ), ( H2 ) ( H ) thỏa Khi đó, tồn hai số dương M, T cho: (i) Bài tốn (2.10) có nghiệm u W1 ( M, T ) (ii) Dãy lặp fum g, xác định (2.12)-(2.13) hội tụ mạnh đến u W1 ( T ) thỏa đánh m giá sai số kum ukW1 (T ) CT ( β T ) N , 8m N, với CT < β T < số phụ thuộc vào T 2.5 Khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán ( H3 ) thỏa Ta bổ sung thêm điều kiện sau Trong mục này, giả sử ( H1 ), H ( H20 ) µ1 C1 (R+ ) , µ1 (z) 0, 8z R+ ; ¯ R+ R3 R+ cho ( H30 ) f C0 Ω (i) f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) R+ R R+ , ¯ R+ R3 R+ , i = 1, 3, 4, 5, (ii) Di f C0 Ω Ta xét toán nhiễu sau, với ε tham số bé jεj : < utt + µε [u] Au = Fε [u]( x, t), ρ < x < 1, < t < T, u (ρ, t) = u x (1, t) + ζu (1, t) = 0, ( Pε ) : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với ∂ > > u xx + 1x u x , > Au = x ∂x ( xu x ) = > > < µε [u] = µε ku (t)k20 = µ ku (t)k20 + εµ1 ku (t)k20 , > > Fε [u]( x, t) = f [u]( x, t) + ε f [u]( x, t), > > > : f [u]( x, t) = f x, t, u, u , u , ku (t)k2 , f [u]( x, t) = f x, t, u, u , u , ku (t)k2 t x 1 t x Tiếp theo, ta khảo sát khai triển tiệm cận nghiệm uε với tham số bé ε Cho đa N , x = ( x , số α = ( α1 , , α N ) Z+ , x N ) R N , ta đặt + α N , α! = α1 ! α N !, < j α j = α1 + N, α α, β Z+ β () αi βi 8i = 1, , N, : α α α x = x1 x NN Ta có bổ đề sau mà chứng minh tìm thấy N.T Long, L.X Truong, Nonlinear Anal TMA 67 (3) (2007) 842-864 14 Bổ đề 2.13 Cho m, N N x = ( x1 , m N x εi = i =1 i (m) số Pk [ N, x ], m ∑ với hệ (m) Pk ∑ [ N, x ] = (m) mN k=m > < uk , > : k ∑ (m) α2 Ak (m) Pk [ N, x ]εk , , x N ) R N , ε R Khi mN, phụ thuộc vào x = ( x1 , , x N ), xác định công thức k N, m = 1, m! α x , m k mN, m 2, α! (N) n N : j α j = m, A k ( N ) = α Z+ N ∑i=1 iαi = k o Tiếp theo, ta giả sử (N) ( H2 ) µ C N +1 (R+ ), µ1 C N (R+ ), với µ(z) µ > 0, µ1 (z) 0, 8z R+ ; (N) ¯ R + R3 R + ) , f C N ( Ω ¯ R+ R3 R+ ) cho ( H3 ) f C N +1 (Ω f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = f (ρ, t, 0, y2 , 0, y4 ) = 0, 8(t, y2 , y4 ) R+ R R+ Giả sử u0 nghiệm yếu toán ( P0 ) tương ứng với ε = 0, nghĩa là, > u000 + µ[u0 ] Au0 = f [u0 ] F0 , ρ < x < 1, < t < T, > < u0 (ρ, t) = u0x (1, t) + ζu0 (1, t) = 0, ( P0 ) > > u0 ( x, 0) = u˜ ( x ), u0 ( x, 0) = u˜ ( x ), : u0 W1 ( M, T ) Ta xét uk , k N, nghiệm yếu toán sau: u00 + µ[u0 ] Auk = Fk , ρ < x < 1, < t < T, > > < k uk (ρ, t) = ukx (1, t) + ζuk (1, t) = 0, ( P˜k ) > uk ( x, 0) = u0k ( x, 0) = 0, > : uk W1 ( M, T ), với Fk , k N, xác định công thức ¯ [ N, f , u0 , ~u] ˆ [ N, µ, u0 , ~u] Au0 , k = 1, f [ u0 ] + Φ µ1 [ u0 ] + Φ > > > ¯ ¯ > ~ ~ Φ [ N, f , u , u ] + Φ [ N 1, f , u , u > ] k < k ˆ ~ µ [ u ] + Φ [ N, µ, u , u ] Au k 1 Fk = > ˆ j+1 [ N, µ, u0 , ~u] + Φ ˆ j [ N 1, µ , u0 , ~u] Aui , k N, Φ > ∑ > > > i + j=k, : i N +1,1 j N ¯ [ N, f , u0 , ~u], Φ ˆ k [ N, µ, u0 , ~u], k N, xác định công thức với Φ k¯ ~ Φ [ N, f , u , u ] = ∑ γ! D γ f [u0 ]Ψk [γ, N, u0 , ~u, ], k N, > > k > γ k > j j > > ! (γ ) (γ ) (γ ) (γ ) > < Ψk [γ, N, u0 , ~u, ] = Pk [ N, ~u] Pk [ N, ~u0 ] Pk [ N, r~u] Pk [2N, β ], ∑ ˜ (k1 , ,k4 )2 A(γ,N ), > > k1 + +k4 =k > > > ˜ > , k4 ) Z4+ : γi k i Nγi , γ4 k4 2Nγ4 , 8i = 1, 2, 3g, > : A(γ, N ) = f(k1 , γ = ( γ1 , , γ4 ) Z4+ , jγj N, (m) (m) ˆ k [ N, µ, u0 , ~u] = ∑k > µ [u0 ] Pk [2N, ~σ ], k N, Φ > m=1 m! > > > ~σ = (σ1 , , σ2N ), > > > < 2hu0 (t) , u1 (t)i, k = 1, > > > < 2hu0 (t) , uk (t)i + ∑ hu j (t) , uk j (t)i, k N, > > > σk = j k > > > > > > N + k 2N > ∑ hu j (t) , uk j (t)i, > : : j k 15 (2.17) (2.18) (2.19) Khi đó, ta có định lý sau (N) (N) Định lý 2.14 Giả sử ( H1 ), ( H2 ) ( H3 ) thỏa Khi tồn số M > T > cho, với ε [ 1, 1], toán ( Pε ) có nghiệm yếu uε W1 ( M, T ) thỏa đánh giá tiệm cận đến cấp N + sau uε N ∑ k =0 u k ε k W1 ( T ) CT j ε j N +1 , với hàm uk , k N nghiệm yếu toán ( P0 ), ( P˜k ), k N, CT số phụ thuộc vào N, T, ρ, ζ, f , f , µ, µ1 , uk , k N Trong chứng minh Định lý 2.10, bổ đề sau sử dụng ¯ k [ N, f , u0 , ~u], k N, xác định (2.18) Đặt h = ∑ N uk εk , ta có Bổ đề 2.15 Với Φ k =0 N ¯ k [ N, f , u0 , ~u]εk + jεj N +1 R¯ N [ f , u0 , ~u, ε], f [ h ] = f [ u ] + ∑ k =1 Φ với k R¯ N [ f , u0 , ~u, ε]k ∞ C, C số phụ thuộc vào N, T, f , uk , k N L (0,T;L ) ˆ k [ N, µ, u0 , ~u], Bổ đề 2.16 Với Φ có k N, xác định (2.19) Khi h = N ∑k=0 uk εk , ta N ˆ k [ N, µ, u0 , ~u]εk + jεj N +1 Rˆ N [µ, u0 , ~u, ε], µ [ h ] = µ [ u ] + ∑ k =1 Φ với Rˆ N [µ, u0 , ~u, ε] L∞ (0,T;L2 ) C, C số phụ thuộc vào N, T, µ, uk , Đặt u = uε W1 ( M, T ) nghiệm yếu N ∑k=0 u8k εk uε h thỏa toán > v00 + µε [v + h] Av = Fε [v + h] Fε [h] > < + Eε ( x, t), v ( ρ, t ) = v ( 1, t ) + ζv ( 1, t ) = 0, > x > : v( x, 0) = v0 ( x, 0) = 0, với Eε ( x, t) = f [h] f [u0 ] + ε f [h] (µ[h] (N) k N toán ( Pε ) Đặt v = uε (µε [v + h] µε [h]) Ah ρ < x < 1, < t < T, µ[u0 ] + εµ1 [h]) Ah (N) N ∑k=1 Fk εk Bổ đề 2.17 Giả sử ( H1 ), ( H2 ) ( H3 ) thỏa Khi tồn số C cho k Eε k L∞ (0,T;L2 ) C jεj N +1 , với C số phụ thuộc vào N, T, f , f , µ, µ1 , uk , k N Bổ đề 2.18 Cho dãy fζ m g thỏa ζ m σζ m + δ với m 1, ζ = 0, với σ < 1, δ số cho trước Khi ζ m δ/(1 σ ) với m 2.6 Kết luận Chương Trong chương này, luận án chứng minh tồn nghiệm yếu phương trình sóng Kirchhof-Carrier phi tuyến hình vành khăn liên kết với điều kiện biên RobinDirichlet cách thiết lập thuật giải xấp xỉ tuyến tính Nghiệm yếu Bài tốn có hội tụ dãy xấp xỉ tuyến tính khơng gian hàm thích hợp (Định lý 2.7) Kết tổng quát hóa [S1] mà [S1] trường hợp riêng Ngoài ra, nhằm tăng tốc độ hội tụ dãy lặp nghiệm yếu Bài toán, thuật giải lặp cấp cao thiết lập với µ µ(ku (t)k20 ), f f ( x, t, u, ku (t)k20 ) (Định lý 2.12) Kết công bố [S3] Hơn nữa, kết tốt so với [S2] trước đó, cần giả thiết hàm µ khả vi liên tục R+ , không thiết µ (z) µ0 (z) phải bị chặn (21) 16 Bên cạnh đó, Luận án thiết lập khai triển tiệm cận nghiệm yếu Bài toán nhiễu < utt + µε [u] Au = Fε [u]( x, t), ρ < x < 1, < t < T, u (ρ, t) = u x (1, t) + ζu (1, t) = 0, ( Pε ) : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với > > Au = ∂ ( xu x ) = u xx + 1x u x , > x ∂x > < µε [u] = µε (ku (t)k20 ) = µ(ku (t)k20 ) + εµ1 (ku (t)k20 ), > > Fε [u]( x, t) = f [u]( x, t) + ε f [u]( x, t), > > : f [u]( x, t) = f ( x, t, u, ut , u x , ku (t)k20 ), f [u]( x, t) = f ( x, t, u, ut , u x , ku (t)k20 ) Kết phát biểu Định lý 2.14 tổng quát [S1] Chương Tính giải tính chất nghiệm cho phương trình sóng Kirchhoff-Carrier phi tuyến hình vành khăn liên kết với điều kiện biên Dirichlet không 3.1 Giới thiệu Trong chương này, chúng tơi khảo sát tốn Dirichlet khơng cho phương trình sóng hình vành khăn phi tuyến Kirchhoff-Carrier 2 u µ ( t, u ( t )k , u ( t )k )( u k k > tt x xx + x u x ) 0 > < = f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 , ku x (t)k20 ), ρ < x < 1, < t < T, (3.1) > > u(ρ, t) = g0 (t) , u (1, t) = g1 (t) , : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), ρ (0, 1) số, µ, f , g0 , g1 , u˜ , u˜ hàm số cho trước thỏa số điều kiện thích hợp Chương gồm có ba nội dung chính, ta sử dụng phương pháp tuyến tính hóa, phương pháp Faedo-Galerkin số phép nhúng compact để chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương toán (3.1) Hơn nữa, µ µ(ku x (t)k20 ), f λut + f (u) g0 (t) = g1 (t) với λ > số số điều kiện thích hợp, nghiệm yếu tốn (3.1) bùng nổ thời gian hữu hạn Cuối cùng, µ µ(ku x (t)k20 ), f λut + f (u) + F ( x, t) g0 (t) = g1 (t) với λ > Z ku˜ 0x k2 0 µ (z) dz p Z ρ xdx Z u˜ 0x f (z) dz > 0, lượng ban đầu k F (t)k0 đủ nhỏ nghiệm yếu tồn cục tắt dần mũ t ! ∞ Phương pháp sử dụng thiết lập phiếm hàm Lyapunov phù hợp với số đánh giá 3.2 Sự tồn nghiệm Trước tiên, ta có bổ đề sau: Bổ đề 3.1 Phép nhúng H01 ,! C0 Ω compact với v H01 , ta có p ρ ρ p kv x k , p (i) kvkC0 (Ω) ρ kv x k , (ii) kvk (iii) kvk0 k v x k0 2ρ Ta định nghĩa dạng song tuyến tính R1 a¯ (u, v) = ρ xu x ( x ) v x ( x ) dx, 8u, v H01 (3.2) Bổ đề 3.2 Dạng song tuyến tính a¯ ( , ) xác định (3.2) liên tục H01 H01 cưỡng H01 , nghĩa là, (i) j a¯ (u, v)j ku x k0 kv x k0 , 8u, v H01 , (ii) a¯ (v, v) kv x k20 , 8v H01 Bổ đề 3.3 Tồn sở Hilbert w j L2 gồm hàm w j ứng với giá trị λ j cho 17 (i) < λ1 λ2 λj λ j +1 , lim λ j = +∞, j!+∞ a¯ w j , v = λ j w j , v với v H01 , j = 1, 2, q Hơn nữa, fw j / λ j g sở Hilbert H0 tích vơ hướng a¯ ( , ) (ii) Mặt khác, ta có w j nghiệm tốn biên sau ( ∂ ¯ j w jxx + 1x w jx = 1x ∂x Aw xw jx = λ j w j , (ρ, 1) , (3.3) ∞ w j (ρ) = w j (1) = 0, w j C ([ρ, 1]) Bổ đề 3.3 suy từ Định lý 1.6 với H = L2 (Ω) , V = H01 a( , ) = a¯ ( , ) xác định (3.2) Ta thấy rằng, toán tử A¯ : H01 ! H01 = H (3.3) xác định Bổ đề Lax-Milgram, nghĩa là, ¯ vi 8u, v H a¯ (u, v) = h Au, q Bổ đề 3.4 Trên H0 \ H , hai chuẩn v 7! kvk H1 \ H = kv x k20 + kv xx k20 v 7! kvk2 = q ¯ tương đương, kv x k20 + Av C1ρ kvk H1 \ H với C1ρ = p (1 k v k2 ρ)ρ3 , C2ρ = s C2ρ kvk H \ H 8v H01 \ H , 1+ ρ Cho trước T > 0, ta đặt điều kiện sau: ( H1 ) g0 , g1 C3 ([0, T ]) ; ( H2 ) u˜ H , u˜ H , u˜ (ρ) g0 (0) = u˜ (1) g1 (0) = 0; ( H3 ) µ C1 [0, T ] R2+ , µ (t, y, z) µ > 0, (t, y, z) [0, T ] R2+ ; ( H4 ) f C1 [ρ, 1] [0, T ] R3 R2+ , thỏa điều kiện f (ρ, t, y1 , y2 , y3 , y, z) = f (1, t, y1 , y2 , y3 , y, z) = 0, (t, y1 , y2 , y3 , y, z) [0, T ] R3 R2+ Đặt v ( x, t) = u ( x, t) ϕ ( x, t) , ϕ ( x, t) = 1 ρ f[ g1 (t) g0 (t)] x + g0 (t) Bài8tốn (3.1) đưa tốn có điều kiện biên ¯ = f˜[v]( x, t), ρ < x < 1, < t < T, < vtt + µ[v](t) Av v (ρ, t) = v (1, t) = 0, : v ( x, 0) = v˜0 ( x ) , vt ( x, 0) = v˜1 ( x ) , > µ[v](t) = µ t, kv + ϕk20 , kv x + ϕ x k20 , > > > > 2 > ˜ > > < f [v]( x, t) = f x, t, v + ϕ, v x + ϕ x , vt + ϕt , kv + ϕk0 , kv x + ϕ x k0 ϕtt + ϕ˜ (t) µ[v](t), > > x > > g (t) g (t) > > ϕ˜ (t) = ϕ x ( x, t) = 1 ρ0 , v˜0 ( x ) = u˜ ( x ) ϕ ( x, 0) , > > : v˜1 ( x ) = u˜ ( x ) ϕt ( x, 0) , (v˜0 , v˜1 ) ( H01 \ H ) H01 Bây giờ, với M > T (0, T ] , ta xét tập W ( M, T ) = v L∞ 0, T; H01 \ H : v0 L∞ 0, T; H01 , v00 L2 ( Q T ) , M , kv0 k L∞ (0,T;H ) M, kv00 k L2 (QT ) kvk L∞ (0,T;H1 \ H2 ) p 0 µ C1ρ ¯ ( M, T ) : utt L∞ 0, T; L2 , W ( M, T ) = u W ρg1 (t)g (3.4) (3.5) M ta thiết lập dãy qui nạp tuyến tính fvm g sau Ta chọn số hạng v0 v˜0 , giả sử vm W ( M, T ) Ta tìm vm W ( M, T ) (m 18 o , 1) cho với hv00m (t), wi + µm (t) a¯ (vm (t), w) = h Fm (t) , wi , 8w H01 , vm (0) = v˜0 , v0m (0) = v˜1 , (3.6) ( µm (t) = µ[vm ](t) = µ t, kvm (t) + ϕ (t)k20 , krvm + ϕ x k20 , (3.7) Fm (t) = f˜[vm ]( x, t) Sự tồn hội tụ dãy fvm g cho hai định lý sau Định lý 3.5 Giả sử ( H1 ) ( H4 ) thỏa Khi tồn số M, T cho tốn (3.6), (3.7) có nghiệm vm W ( M, T ) Để chứng minh Định lý 3.5 ta sử dụng xấp xỉ Faedo-Galerkin với sở Hilbert fw j g (k) H01 Bổ đề 3.4 Đặt vm (t) = k ∑ j=1 cmj (t)w j , với hệ số cmj (k) (k) thỏa hệ phương trình vi phân tính E D ( tuyn (k) (k) vă m (t), w j + àm (t) a¯ (vm (t), w j ) = Fm (t) , w j , (k) (k) vm (0) = v˜0k , v˙ m (0) = v˜1k , j = 1, với < v0k = : k (3.8) , k, ∑ j=1 α j w j ! v˜0 mạnh H01 \ H2 , k (k) v1k = ∑ j=1 β j w j ! v˜1 mạnh H01 (k) (3.9) Ta đặt (k) (k) Sm (t) = v˙ m (t) (k) + v˙ mx (t) (k) + µm (t) vmx (t) ¯ (mk) (t) + Av + Z t (k) vă m (s) ds, (3.10) v 1m (t) = g100 (t) ϕ˜ (t) µm (t), σρm (t) = Khi đó, từ (3.8), (3.10), (3.11) ta có Z t ρg000 (t) + ϕ˜ (t) µm (t) 2 (k) (k) (k) ¯ (mk) (s) ds Sm (t) = Sm (0) + µ0m (s) vmx (s) + Av 0 Z tD Z tD E E (k) (k) +2 Fm (s) , v˙ m (s) ds + Fmx (s) , v˙ mx (s) ds +2 Z0 t (k) (k) σ1m (s)v˙ mx (1, s)ds + S m (0 ) + ∑ j =1 I j Z t0 (k) σρm (s)v˙ mx (ρ, s)ds + Bổ đề 3.6 Ta có đánh giá sau (i) jµ0m (t)j µ¯ M , a.e t (0, T ), (ii) j Fm ( x, t)j F¯1 ( M ), a.e ( x, t) Q T = (ρ, 1) (iii) k Fmx (t)k0 F¯2 ( M ), a.e t (0, T ), (t) (iv) σ1m σ¯ 1M , a.e t (0, T ), (3.11) Z t (k) vă m (s) (3.12) ds (0, T ), σ¯ ρM , a.e t (0, T ), σ0ρm (t) ¯ đó, µ¯ M , F1 ( M ), F¯2 ( M ), σ¯ 1M , σ¯ ρM , số phụ thuộc vào M Định lý 3.7 Giả sử ( H1 ) ( H4 ) thỏa Khi tồn số dương M, T cho: (i) Bài tốn (3.4) - (3.5) có nghiệm v W ( M, T ) (ii) Hơn nữa, dãy quy nạp tuyến tính fvm g xác định (3.6), (3.7) hội tụ mạnh không gian Banach W ( T ) = fv L∞ (0, T; H01 ) : v0 L∞ (0, T; L2 )g v có đánh giá sai số 2M m k , m N, k v m v kW ( T ) kT T (v) 19 với số k T [0, 1) độc lập với m Trong Định lý 3.7, chuẩn W ( T ) kvkW (T ) = kvk L∞ (0,T;H1 ) + kv0 k L∞ (0,T;L2 ) 3.3 Tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn Trong phần này, ta xét toán (3.1) tương ứng với f = λut + f (u), µ = µ(ku x (t)k20 ), g0 ( t ) = g1 (t) 0, sau < utt µ(ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, < t < T, (3.13) u(ρ, t) = u(1, t) = 0, : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với λ > 0, < ρ < số u˜ , u˜ , µ, f hàm cho trước thỏa điều kiện sau b2 ) µ C1 (R) tồn số µ > cho µ(y) µ > 0, 8y R; (H b3 ) f C1 (R), f (0) = (H Khi ta thu định lý sau b2 ) ( H b3 ) thỏa Khi tốn (3.13) có Định lý 3.8 Giả sử (u˜ , u˜ ) ( H01 \ H ) H01 , ( H nghiệm địa phương u C ([0, T ]; H01 ) \ C1 ([0, T ]; L2 ) \ L∞ (0, T; H01 \ H ), u0 L∞ (0, T; H01 ), u00 L∞ (0, T; L2 ), với T > đủ nhỏ Tiếp theo, để khảo sát tính bùng nổ nghiệm, ta cần thêm vào giả thiết sau ( H2 ) µ C1 (R+ ) , tồn số µ > 0, µ¯ > cho (i) µ(y) µ >Z 0, 8y 0, y (ii) yµ(y) ( H3 ) f C1 (R), (ii) Z y (i) y f (y) µ¯ µ(z)dz, 8y 0; f (0Z) = tồn số p > 2, d1 > 2, d¯1 > cho y d1 f (z)dz f (z)dz, 8y R, d¯1 jyj p , 8y R; ( H4 ) d1 > 2µ¯ , với d1 , µ¯ ( H2 )(ii ), ( H3 )(i ) Trong luận án có đưa ví dụ hàm số f µ thỏa ( H3 ) ( H4 ) Định lý 3.9 Giả sử ( H2 ) ( H4 ) thỏa Cho (u˜ , u˜ ) ( H01 \ H ) H01 cho H (0) = ku˜ k20 Z ku˜ 0x k2 0 µ(z)dz + Z ρ xdx Z u˜ ( x) f (z)dz > 0, nghiệm yếu u = u( x, t) toán (3.13) bùng nổ thời gian hữu hạn Để chứng minh Định lý 3.9 ta cần bổ đề sau Bổ đề 3.10 Giả sử s = 2/(1 2η ) p, ta thu p 2/(1 η ) kv x k20 + kvk L p , với v H01 kvksL p + kvk0 ρ 3.4 Tính tắt dần nghiệm Trong phần ta khảo sát tính tắt dần nghiệm tốn (3.1) ứng với hàm f := λut + f (u) + F ( x, t), µ := µ(ku x (t)k20 ) g0 (t) = g1 (t) 0, sau < utt µ(ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) + λut = f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, t > 0, (3.14) u(ρ, t) = u(1, t) = 0, : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với µ, f , F, u˜ , u˜ hàm cho trước λ > 0, < ρ < số Ta thành lập giả thiết sau ( H ) µ C1 (R+ ) tồn số µ > 0, µ¯ > : µ(y) µ > 0, 8y 0, 20 ( H ) f C1 (R) , f (Z0) = tồn số α, β > 2; d2 , d¯2 > 0, cho y (i) y f (y) d2 f (z)dz, với y R, (ii) Z y L∞ d¯2 jyjα + jyj β , với y R; f (z)dz R+ ; L2 \ L1 R+ ; L2 , F L2 R+ ; L2 tồn hai số ( H4 ) F C¯ > 0, γ¯ > cho k F (t)k0 C¯ e γ¯ t , 8t Trong luận án có đưa ví dụ hàm f thỏa ( H ) Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau L(t) = E(t) + δΨ(t), với δ > chọn sau ! Z E(t) = với 2 ku0 (t)k0 + p ( g u0 ) (t) + ku x (t)k0 µ(z)dz + 1p I (t), Ψ(t) = hu0 (t), u(t)i + λ2 ku(t)k20 , ( g u0 ) (t) = Z t I (t) = I (u(t)) = (3.16) s) ku0 (s)k0 ds, g (t) = 2λe g (t Z ku x (t)k2 0 (3.15) µ(z)dz p Z xdx ρ Z u( x,t) 2kt , < λ < λ, k > 0, f (z)dz + ( g u0 ) (t) Khi ta có định lý sau Định lý 3.11 Giả sử ( H ) ( H ) thỏa Cho (u˜ , u˜ ) ( H01 \ H ) H01 cho I (0) > lượng ban đầu E(0) thỏa s s α β ρ ρ β 25 Rα + R > 0, (3.17) η =µ pd¯2 (1 ρ) ρ ρ với R = Đặt µmax 1/2 , E = ( E(0) + ρ ) exp (ρ ) , ρ = k F k L1 (R+ ;L2 ) pµ = max µ (z) < d + η , với µ , d2 ( H¯ ), ( H )(i ) 2pE ( p 2) µ z R2 ¯ γ¯ Khi nghiệm yếu tồn cục Bài tốn (3.14) tắt dần mũ, i.e., tồn số C, cho (3.18) ¯ ), 8t ku0 (t)k0 + ku x (t)k20 C¯ exp( γt Trong chứng minh Định lý 3.9, bổ đề sau sử dụng Bổ đề 3.12 Phiếm hàm lượng E(t) xác định (3.15) thỏa 1 (i) E0 (t) k F ( t )k0 + k F ( t )k0 k u ( t )k0 , (3.19) (ii) E0 (t) λ λ ε21 ku0 (t)k0 + 2ε1 k F (t)k20 k ( g u0 ) (t) , 8ε1 > Bổ đề 3.13 Giả sử ( H ) ( H ) thỏa Cho (u˜ , u˜ ) ( H01 \ H ) H01 cho I (0) > (3.17) thỏa Khi I (t) > 0, 8t Bổ đề 3.14 Giả sử điều kiện Bổ đề 3.13 thỏa Đặt E1 (t) = ku0 (t)k0 + Z ku x (t)k2 0 µ(z)dz + I (t) Khi tồn số dương β¯ , β¯ cho β¯ E1 (t) L(t) β¯ E1 (t), 8t 0, với δ đủ nhỏ 21 (3.20) (3.21) Bổ đề 3.15 Giả sử điều kiện Bổ đề 3.11 thỏa Phiếm hàm Ψ(t) xác định (3.16) thỏa δ1 d2 d2 Ψ0 (t) ku0 (t)k0 I (t) + 2ε12 k F (t)k20 + ( g u0 ) (t) p p (3.22) Z ku x (t)k2 d2 pµ (1 ρ )2 δ1 d2 η µ(z)dz, +η µmax ε2 µmax p d2 p 4ρ với ε2 > 0, δ1 (0, 1) 3.5 Kết luận Chương Trong chương này, phép đổi ẩn hàm tuyến tính hóa số hạng phi tuyến, chúng tơi chứng minh tồn nghiệm yếu địa phương Bài toán (3.1) (Định lý 3.7) Hơn nữa, lớp trường hợp đặc biệt tốn (3.1), tính bùng nổ thời gian hữu hạn nghiệm chứng minh (Định lý 3.9), tính tắt dần nghiệm t ! ∞ chứng minh cách sử dụng phiếm hàm Lyapunov thích hợp (Định lý 3.11) Ngồi ra, số hạng nguồn có dạng tổng qt chúng tơi chưa khảo sát tính chất nghiệm Chương Một ý tính tắt dần bùng nổ nghiệm phương trình sóng phi tuyến Kirchhoff hình vành khăn liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet 4.1 Giới thiệu Kế thừa ý tưởng việc khảo sát tính tắt dần bùng nổ nghiệm Chương Trong chương này, ta quan tâm đến tính tắt dần bùng nổ nghiệm trường hợp riêng so với lớp Bài toán (2.1) Cụ thể lớp toán Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến Kirchhoff trong2 hình vành khăn có dạng > > utt µ(ζu (1, t) + ku x (t)k0 )(u xx + x u x ) < = λut + f (u) + F ( x, t), ρ < x < 1, < t < T, (4.1) > u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), số ρ (0, 1), ζ 0, λ > hàm µ, f , F, u˜ u˜ cho trước 4.2 Tính bùng nổ nghiệm sau thời gian hữu hạn Trong phần này, Bài toán (4.1) khảo sát với F ( x, t) sau > utt µ ku x (t)k2 + ζu2 (1, t) (u xx + u x ) + λut = f (u), ρ < x < 1, < t < T, < x (4.2) u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, > : u( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), với λ > 0, ζ 0, < ρ < số cho trước u˜ , u˜ , µ, f hàm cho trước thỏa điều kiện b1 ) u˜ V \ H , u˜ (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0, u˜ V; (H b2 ) µ C1 (R) tồn số µ > cho µ(y) µ > 0, 8y R; (H b3 ) f C1 (R), f (0) = (H Khi ta có định lý tồn nghiệm yếu sau b1 ) ( H b3 ) thỏa Khi Bài tốn (4.2) có nghiệm yếu địa phương Định lý 4.1 Giả sử ( H u C ([0, T ]; V ) \ C ([0, T ]; L2 ) \ L∞ (0, T ; V \ H ), (4.3) u0 L∞ (0, T ; V ), u00 L∞ (0, T ; L2 ), với T > đủ nhỏ Trước tiên, để thu kết bùng nổ, ta thành lập điều kiện sau 22 ( H2 ) µ C1 (R+ ) , tồn số µ > 0, µ¯ > cho (i) µ(y) µ > 0, Z 0, 8y y (ii) yµ(y) ( H3 ) f (i) (ii) µ¯ 0; y y f (y) Z y µ(z)dz, 8y f (0)Z= tồn số p > 2, d1 > 2, d¯1 > cho C1 (R), d1 f (z)dz, 8y R, d¯1 jyj p , 8y R; f (z)dz ( H4 ) d1 > 2µ¯ , với d1 , µ¯ ( H2 )(ii ), ( H3 )(i ) Trong luận án có đưa ví dụ hàm số f µ thỏa ( H2 ), ( H3 ), ( H4 ) Định lý 4.2 Giả sử ( H2 ) ( H4 ) thỏa Khi đó, với (u˜ , u˜ ) (V \ H ) V cho H (0) = ku˜ k20 Z ku˜ k2 a µ(z)dz + Z xdx ρ Z u˜ ( x) f (z)dz > Khi đó, nghiệm yếu u = u( x, t) Bài toán (4.2) bùng nổ thời gian hữu hạn Chứng minh Định lý 4.2 bổ đề sau cần thiết Bổ đề 4.3 Giả sử s = 2/(1 2η ) p, ta thu 2/(1 η ) p kvksL p + kvk0 kvk2a + kvk L p , 8v V (4.4) ρ 4.3 Tính tắt dần nghiệm Để thu kết tắt dần mũ nghiệm, giả thiết sau thành lập, ( H ) u˜ V \ H , u˜ (1) + ζ u˜ 0x (1) = 0, u˜ V; ( H ) µ C1 (R+ ) tồn số µ > cho µ(z) µ > 0, 8z R+ ; ( H ) f C1 (R) , Zf (0) = tồn số α, β > 2; d2 , d¯2 > 0, cho y (i) y f (y) (ii) Z y d2 f (z)dz, với y R, d¯2 jyjα + jyj β , với y R; f (z)dz ( H ) F L∞ R+ ; L2 \ L1 R+ ; L2 , F L2 R+ ; L2 tồn hai số C¯ > 0, γ¯ > cho k F (t)k0 C¯ e γ¯ t , với t Trong luận án có đưa ví dụ hàm f thỏa ( H ) Ta chứng minh rằng, Z ku˜ k2 a µ(z)dz p Z xdx ρ Z u˜ ( x) f (z)dz > lượng ban đầu, k F (t)k0 đủ nhỏ, nghiệm yếu toàn cục (4.1) tắt dần mũ t ! +∞ Trước tiên, ta xây dựng phiếm hàm Lyapunov sau L(t) = E(t) + δΨ(t), với δ > chọn sau ! E(t) = với 2 ku0 (t)k0 + p ( g u0 ) (t) + Z ku(t)k2 a µ(z)dz + 1p I (t), Ψ(t) = hu0 (t), u(t)i + λ2 ku(t)k20 , ( g u0 ) (t) = Z t I (t) = I (u(t)) = g (t Khi ta có định lý sau (4.6) s) ku0 (s)k0 ds, , g (t) = 2λe Z ku(t)k2 a µ(z)dz (4.5) p Z xdx ρ 23 Z u( x,t) 2kt , < λ < λ, k > 0, f (z)dz + ( g u0 ) (t) Định lý 4.4 Giả sử ( H ) ( H ) thỏa Giả sử (u˜ , u˜ ) (V \ H ) V cho I (0) > lượng ban đầu E(0) thỏa s s α β ρ ρ β 25 η =µ pd¯2 (1 ρ) Rα + R > 0, (4.7) ρ ρ 1/2 , E = ( E(0) + ρ ) exp (ρ ) , ρ = k F k L1 (R+ ;L2 ) pµ Giả sử µmax = max µ(z) < η + , với µ , d2 số ( H ), ( H )(i ) d2 z R2 ¯ γ¯ Khi đó, nghiệm yếu tồn cục Bài toán (4.1) tắt dần mũ, nghĩa tồn số C, cho (4.8) ¯ ), 8t ku0 (t)k0 + ku(t)k2a C¯ exp( γt Định lý 4.4 chứng minh nhờ bổ đề Bổ đề 4.5 Phiếm hàm lượng E(t) xác định (4.5) thỏa bất đẳng thức sau 1 (i) E0 (t) k F ( t )k0 + k F ( t )k0 k u ( t )k0 , 2 ε 1 λ λ (ii) E0 (t) k ( g u0 ) (t) , 8ε1 > k u ( t )k0 + 2ε1 k F ( t )k0 Bổ đề 4.6 Giả sử ( H ) ( H ) thỏa (u˜ , u˜ ) (V \ H ) V Khi đó, ta có I (0) > (4.7) thỏa Thì I (t) > 0, 8t Bổ đề 4.7 Giả sử điều kiện Bổ đề 4.5 thỏa Đặt với R = 2pE ( p 2) µ E1 (t) = ku0 (t)k0 + Z ku(t)k2 a µ(z)dz + I (t) Khi tồn số β¯ , β¯ cho β¯ E1 (t) L(t) β¯ E1 (t), 8t 0, ( ) với < δ < 1, 2ρµ (1 ρ )2 p (4.9) (4.10) Bổ đề 4.8 Giả sử điều kiện Bổ đề 4.5 thỏa Phiếm hàm Ψ(t) xác định (4.6) thỏa δ1 d2 I (t) + 2ε12 k F (t)k20 + dp2 ( g u0 ) (t) Ψ0 (t) ku0 (t)k0 p (4.11) Z ku(t)k2 a δ1 d2 η d2 pµ (1 ρ )2 +η µmax ε2 4ρ µ(z)dz, p d2 p µmax với ε2 > 0, δ1 (0, 1) 4.4 Kết luận Chương Trong chương này, Luận án khảo sát lớp Bài toán riêng so với Chương 2, đó, tồn nghiệm yếu Bài toán chứng minh tương tự Chương Ở đây, ta quan tâm đến tính tắt dần bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn Dựa ý tưởng Chương 3, ta thiết lập phiếm hàm Lyapunov thích hợp Bài tốn có điều kiện biên Robin-Dirichlet trình chứng minh Kết tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn cho Định lý 4.2 kết tính tắt dần mũ nghiệm t ! ∞ nêu Định lý 4.4 Kết chương tổng qt hóa kết chúng tơi [S5] mà chứa đựng ζ = trường hợp riêng Tuy nhiên, toán Robin-Dirichlet xét hàm µ µ(ku x (t)k20 ) tính tắt dần bùng nổ nghiệm tốn mở Kết luận Trong Luận án này, chúng tơi sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến cách phù hợp để khảo sát tính giải tìm kiếm số tính chất nghiệm tốn 24 biên phi tuyến có dạng Kirchhoff-Carrier miền hình vành khăn Đó khảo sát tính giải được, thiết lập hội tụ bậc cao khai triển tiệm cận nghiệm yếu toán nhiễu phương trình sóng dạng Kirchhoff-Carrier liên kết với điều kiện biên Robin-Dirichlet Chương 2, khảo sát tính giải tính chất nghiệm tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn tính tắt dần mũ nghiệm thời gian tiến vơ phương trình sóng dạng Kirchhoff-Carrier liên kết với điều kiện biên Dirichlet Chương Chương khảo sát tính tắt dần tính bùng nổ nghiệm trường hợp riêng lớp Bài toán xét Chương Những kết trình bày Luận án bao gồm: Đối với tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến utt µ(t, u (1, t) , ku(t)k20 , ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) > > < = f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 ), < ρ < x < 1, < t < T, (4.12) > > : u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, u ( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), tồn nghiệm yếu địa phương chứng minh cách sử dụng phương pháp xấp xỉ tuyến tính kết hợp phương pháp Faedo-Galerkin Ngoài ra, để tăng tốc độ hội tụ so với phương pháp xấp xỉ tuyến tính, thuật giải lặp cấp N cho trường hợp hàm µ µ(ku(t)k20 ), f f ( x, t, u, ku (t)k20 ) khảo sát Hơn nữa, khai triển tiệm cận nghiệm theo tham số bé ε trường hợp µ µ(ku(t)k20 ) thiết lập Một phần nội dung chương công bố [S1]-[S3] Đối với tốn Dirichlet khơng cho phương trình sóng phi tuyến utt µ(t, ku(t)k20 , ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) > > < = f ( x, t, u, u x , ut , ku (t)k20 , ku x (t)k20 ), < ρ < x < 1, < t < T, (4.13) > u ( ρ, t) = g0 (t) , u (1, t) = g1 (t) , > : u ( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), tồn nghiệm yếu địa phương chứng minh Hơn nữa, trường hợp g0 = g1 = 0, µ µ ku x (t)k20 , f λut + f (u) + F ( x, t) với điều kiện thích hợp, tính tắt dần mũ nghiệm thời gian tiến vô tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn thiết lập Nội dung chương công bố [S4] Đối với tốn Robin-Dirichlet cho phương trình sóng phi tuyến > u µ(ζu2 (1, t) + ku x (t)k20 )(u xx + 1x u x ) > < tt = λut + f (u) + F ( x, t), < ρ < x < 1, < t < T, (4.14) > u(ρ, t) = u x (1, t) + ζu(1, t) = 0, > : u ( x, 0) = u˜ ( x ), ut ( x, 0) = u˜ ( x ), tính tắt dần mũ nghiệm thời gian tiến vô tính bùng nổ nghiệm thời gian hữu hạn làm rõ thêm, nội dung công bố [S5] Ngồi kết trình bày luận án, chúng tơi cịn quan tâm đến vấn đề sau Thiết lập thuật giải lặp cấp cao với hàm µ f có dạng tổng qt Bài tốn 4.12 Khảo sát tính tắt dần bùng nổ Bài tốn 4.14 với µ µ(ku x (t)k20 ) 25 Danh mục cơng trình tác giả [S1] L.T.P Ngoc, L.H.K Son, T.M Thuyet, N.T Long, Linear approximation and asymptotic expansion of solutions for a nonlinear Carrier wave equation in an annular membrane with RobinDirichlet conditions, Mathematical Problems in Engineering, (2016), Article ID 8031638, 18 pages (SCI-E, Scopus, Q3) [S2] L.T.P Ngoc, L.H.K Son, T.M Thuyet, N.T Long, An N-order iterative scheme for a nonlinear Carrier wave equation in the annular with Robin-Dirichlet conditions, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22 (1) (2017) 147-169 (Scopus, Q3) [S3] L.H.K Son, D.T.N Quynh, L.T.P Ngoc, N.A Triet, A high order iterative scheme associated with a Dirichlet-Robin problem for a nonlinear Carrier equation in the annular membrane, Nonlinear Functional Analysis and Applications, 22 (4) (2017) 841-864 (Scopus, Q3) [S4] L.H.K Son, L.T.P Ngoc, N.T Long, Existence, blow-up and exponential decay estimates for the nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in an annular with nonhomogeneous Dirichlet conditions, FILOMAT, 33:17 (2019), 5561-5588 (SCI-E, Q2) [S5] L.T.P Ngoc, L.H.K Son, N.T Long, Existence, blow-up and exponential decay estimates for the nonlinear Kirchhoff-Carrier wave equation in an annular with Robin-Dirichlet conditions, Kyungpook Mathematical Journal, 61 (2021), 859-888 (ESCI, Scopus, Q3) 26 ... toán biên phi tuyến, cần thiết có ý nghĩa thực tiễn Luận án nghiên cứu tồn tại, nghiệm số tính chất nghiệm phương trình sóng phi tuyến hình vành khăn có chứa số hạng phi địa phương có dạng sau... x ), (4) µ, f , g, u˜ , u˜ , g0 , g1 hàm cho trước; ρ, ζ số cho trước, với < ρ < 1, ζ Các số hạng phi tuyến xuất hai vế (1) chứa số hạng phi địa phương dạng tích phân sau ku(t)k20 = Z ρ xu2 (... ) tính tắt dần bùng nổ nghiệm cịn tốn mở Kết luận Trong Luận án này, sử dụng phương pháp giải tích hàm phi tuyến cách phù hợp để khảo sát tính giải tìm kiếm số tính chất nghiệm tốn 24 biên phi