Phương trình vi phân trong mặt phẳng phức và ứng dụng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THỊ BÍCH NGỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Đà Nẵng - 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– VÕ THỊ BÍCH NGỌC PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Lê Hải Trung Đà Nẵng - 2021 MỤC LỤC MỞ ĐẦU CHƯƠNG KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Dẫn nhập số phức 1.1.1 Dạng đại số số phức 1.1.2 Các phép tính số phức 1.1.3 Biểu diễn hình học 1.1.4 Mođun argumen số phức z 1.1.5 Dạng lượng giác số phức 1.1.6 Toạ độ số phức 1.1.7 Dạng mũ số phức 1.1.8 Mặt cầu Rieman 1.2 Hàm biến phức 10 1.2.1 Các khái niệm liên quan đến tô pô mặt phẳng phức 10 1.2.2 Định nghĩa hàm biến phức 14 1.3 Phép tính vi phân hàm phức 15 1.3.1 Giới hạn hàm biến phức 15 1.3.2 Hàm liên tục 16 1.3.3 Định nghĩa đạo hàm 17 1.3.4 Điều kiện khả vi 17 1.3.5 Các quy tắc tính đạo hàm 20 1.3.6 Hàm giải tích 21 1.3.7 Quan hệ hàm giải tích hàm điều hồ 22 1.4 Tích phân hàm phức 23 1.4.1 Tích phân đường hàm biến phức 23 1.4.2 Định lý Cauchy cho miền đơn liên 25 1.4.3 Định lý Cauchy cho miền đa liên 26 1.4.4 Tích phân bất định 29 1.4.5 Công thức Newton-Leibnitz 30 1.4.6 Công thức tích phân Cauchy 31 1.4.7 Đạo hàm cấp cao hàm giải tích 33 1.5 Dẫn nhập chuỗi hàm phức 33 1.5.1 Các khái niệm 33 1.5.2 Chuỗi lũy thừa 37 1.5.3 Chuỗi Taylor 40 1.5.4 Chuỗi Laurent 42 1.5.5 Điểm kì dị hàm biến phức 47 CHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 50 2.1 Sự tồn nghiệm 50 2.2 Phương pháp Frobenius cho phương trình vi phân cấp hai ứng dụng 53 2.2.1 Phương pháp Frobenius cho phương trình vi phân cấp hai mặt phẳng phức 53 2.2.2 Ứng dụng 64 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 64 Hàm Gamma định nghĩa bởi: ∞ xz−1 e−x dx, Re (z) > Γ (z) = Rõ ràng tích phân hội tụ hàm giải tích nửa mặt phẳng Re(z) > Lấy tích phân phần ta có: Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(1) = Vậy Γ (n) = (n − 1) với n ∈ N Từ phương trình Γ (z) = Γ(z + 1)/z ta xác định Γ(z) với z ∈ C\ {0; −1; −2; } 2.2.2 Ứng dụng Ta ứng dụng phương pháp Frobenius vào giải phương trình vi phân cấp cấp hai miền phức Xét ví dụ sau đây: Ví dụ 2.2.6 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Frobenius zu + (1 + z)u = Chia hai vế phương trình cho z ta phương trình: 1+z u = u + z Theo (2.26) phương trình vi phân có nghiệm dạng : ∞ α hj z j , h0 = u(z) = z h(z), h(z) = j=0 Từ (2.25) ta có: p(z) = + z1 Khi đó: z − p(z)d(z) = e− u(z) = e z (1+ z )d(z) = = e−z−ln z = e−z z Với số mũ đặt trưng α = − lim z.p(z) = − lim z.(1 + ) = −1 z→0 z→0 z Vậy: ∞ α −1 hj z j u(z) = z h(z) = z j=0 65 Ví dụ 2.2.7 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Frobenius u − 2u + (1 + )u = 4z Theo (2.17) phương trình cho phương trình vi phân cấp với hệ số +∞ 1 p(z) = pj z j = (p0 + p1 z + ) = −2, z j=0 z đồng hệ số ta có p0 = 0; p1 = −2, +∞ 1 1 q(z) = qj z j = (q0 + q1 z + q2 z + ) = + = (z + ), z j=0 z 4z z đồng hệ số ta có: q0 = Thay p0 = q0 = 4 ; q1 = ; q2 = vào phương trình (2.33) ta có số mũ đặc trưng α nghiệm phương trình: = Từ suy α1 = α2 = 21 Vậy nghiệm cần tìm là: α2 − α + u1 (z) = z h1 (z) u2 (z) = z h2 (z) + c log(z).u1 (z) Ví dụ 2.2.8 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Frobenius 1−z 1−z u + u +( )u = z(1 + z) z(1 + z)2 Theo (2.17) phương trình cho phương trình vi phân cấp với hệ số +∞ 1 1−z p(z) = pj z j = (p0 + p1 z + p2 z ) = z j=0 z z(1 + z) Do đó: +∞ pj z j = j=0 Lại có: 2z 1−z =1− , 1+z 1+z = − z + z − z + 1+z Nên: +∞ pj z j = − 2z(1 − z + z − z + ) = p0 + p1 z + p2 z , j=0 66 đồng hệ số ta có: p0 = 1; p1 = −2, p2 = −2 Và +∞ 1 q(z) = qj z j = (q0 + q1 z + q2 z ) z j=0 z = z−1 z(1+z)2 = z(z−1) z (1+z)2 = z(z−1) z (1+z)2 = z (1 − 3z+1 (1+z)2 ), đồng hệ số ta có: q0 = ; q1 = Thay p0 = q0 = vào phương trình (2.33) ta có số mũ đặc trưng α nghiệm phương trình: α2 + = Từ suy α1 = α2 = i (khơng thuộc N ) Vậy nghiệm cần tìm là: u1 (z) = z i h1 (z), u2 (z) = z i h2 (z) Ví dụ 2.2.9 Giải phương trình vi phân sau phương pháp Frobenius zu + u + u = Ta có: 1 zu + u + u = ⇔ u + u + u = z z Theo (2.17) phương trình cho phương trình vi phân cấp với hệ số ∞ 1 p(z) = pj z j = (p0 + p1 z + p2 z + ) = , z j=0 z z ⇒ p0 = 1 q(z) = z ∞ qj z j = j=0 1 (q + q z + q z + ) = z, z2 z ⇒ q0 = 0; q1 = 1; q2 = Thay p0 = q0 = vào phương trình (2.33) ta có số mũ đặc trưng α nghiệm phương trình: α2 = Từ suy α1 = α2 = Vậy nghiệm cần tìm là: u1 (z) = z h1 (z) = h1 (z), 67 u2 (z) = z h2 (z)+c log(z).u1 (z) = h2 (z)+c log(z).u1 (z)) = h2 (z)+c log(z).h1 (z) 68 KẾT LUẬN Sau thời gian tìm hiểu nghiên cứu phương trình vi phân miền phức, luận văn đạt kết sau ❼ Trình bày lại cách có hệ thống chứng minh chi tiết số kết giải tích hàm biến phức nhằm phục vụ cho việc chứng minh kết luận văn ❼ Trình bày định lý, ví dụ cụ thể tồn nghiệm phương trình vi phân mặt phẳng phức ❼ Trình bày chứng minh định lý, xét ví dụ liên quan đến phương pháp Frobenius phương trình vi phân cấp hai miền phức ❼ Ứng dụng phương pháp Frobenius để giải số phương trình vi phân cấp hai miền phức, phương trình có nhiều ứng dụng thực tế như: dao động lò xo, dao động hệ thống phanh ôtô, chuyển động thang máy Trong trình thực hoàn thành luận văn tác giả nỗ lực hoàn thiện luận văn hạn Tuy luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót, tác giả mong muốn nhận ý kiến đóng góp q báu q thầy cơ, bạn bè độc giả quan tâm đến nội dung luận văn 69 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Nguyễn Kim Đính (2005), Hàm phức ứng dụng, NXB Đại học quốc gia TP HCM [2] Nguyễn Văn Khuê -Lê Mậu Hải (2001), Hàm Biến Phức, NXBĐHQG Hà Nội [3] Bùi Tuấn Khang (2004), Giáo trình hàm biến phức phương trình vật lý tốn, Đại Học Đà Nẵng [4] Trịnh Đức Tài (2008), Bài giảng phương trình vi phân, Đại Học Đà lạt Tiếng Anh [5] Einar Hille (1997), Ordinary Differential Equations in the Complex Domain , Dover Publications.INC Mineola, New York [6] Gerald Teschl (2012), Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems, American Mathematical Society ... Các ứng dụng phương trình vi phân mặt phẳng phức Phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu lý thuyết phương trình vi phân, phương trình vi phân mặt phẳng phức ứng dụng phương trình vi phân mặt phẳng phức Phương. .. mặt phẳng phức tài liệu tham khảo khác ❼ Nghiên cứu phương trình vi phân mặt phẳng phức ❼ Ứng dụng phương trình vi phân mặt phẳng phức Đối tượng nghiên cứu ❼ Phương trình vi phân mặt phẳng phức. .. số phức 1.2 Hàm biến phức 1.3 Phép vi phân hàm phức 1.4 Tích phân hàm phức 1.5 Dẫn nhập chuỗi hàm phức • Chương 2: PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRONG MẶT PHẲNG PHỨC VÀ ỨNG DỤNG 2.1 Sự tồn nghiệm 2.2 Phương