Định nghĩa 1.5.5. Ta gọi chuỗi luỹ thừa, chuỗi hàm mà các số hạng là các hàm luỹ thừa. Nó có dạng:
Σ∞n=0cn(z−a)n = c0+c1(z−a)n+c2(z−a)n+...+cn(z−a)n+... (1.30) Trong đó cn(n= 0,1,2, ...) và a là những hằng số phức, a được gọi là tâm của chuỗi. Bằng cách đổi biến ζ = z −a, chuỗi (1.30) có dạng:
có tâm tại ζ = 0.
Định lí 1.5.6. (Định lý Abel) Nếu chuỗi luỹ thừa (1.31) hội tụ tại
ζ0 6= 0 thì nó hội tụ tuyệt đối trong hình tròn |ζ| < |ζ0|. Trong mọi hình
tròn |ζ| < |ζ0|, (1.31) hội tụ đều.
Chứng minh. Lấy ρ là một số dương bất kì ρ < |ζ0| ta sẽ chứng minh trong hình tròn |ζ| ≤ ρ thì chuỗi (1.31) là một chuỗi hội tụ trội. Thật vậy, theo giả thiết, chuỗi P∞
n=0cnζ0n hội tụ. Do đó limn→∞cnζ0n = 0. Dãy số cnζ0n có giới hạn. Vậy nó bị chặn, nghĩa là tồn tại số M > 0 sao cho:
|cnζ0n| ≤ M (1.32) ∀n nguyên dương. Từ (1.32) suy ra rằng với bất kì ζ nào trong hình tròn kín |ζ| ≤ ρ ta có: |cnζn| = |cnζ0nζ n ζ0n| = |cnζ0n||ζ ζ0|n ≤ M|ρ ζ0|n. Điều đó chứng tỏ rằng chuỗi P∞
n=0cnζ0n thừa nhận một chuỗi dương trội là chuỗi M P∞
n=0|ζρ
0|n. Chuỗi dương này là một cấp số nhân hội tụ vì công bội là |ζρ
0| < 1.
Vậy theo tiêu chuẩn Weierstrass, chuỗi (1.31) hội tụ tuyệt đối và đều trong mặt tròn |ζ| 6= ρ. Vì số ρ có thể chọn gần |ζ| bao nhiêu cũng được nên (1.31) hội tụ tuyệt đối tại mọi điểm của hình tròn mở |ζ| < ζ0.
Hệ quả 1.5.7. Nếu chuỗi (1.31) phân kì tại ζ1 thì nó phân kì tại mọi
điểm của miền |ζ| > |ζ1|.
Chứng minh. Ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử chuỗi (1.31) hội tụ tại ζ0 thuộc miền |ζ| > |ζ1|. Áp dụng định lý Abel suy ra chuỗi hội tụ trong hình tròn |ζ| < |ζ0|, đặc biệt chuỗi hội tụ tại ζ1 vì |ζ1| < |ζ0|. Điều này mâu thuẫn với giả thiết.
Bán kính hội tụ. Trước hết chú ý là điểm ζ = 0 bao giờ cũng là điểm hội tụ của chuỗi (1.31). Tại đó chuỗi hàm tổng là c0. Bây giờ ta xét tia Ot bất kì, xuất phát từ gốc ζ = 0. Có thể xảy ra 3 trường hợp:
a/ Trên tia Ot có cả những điểm hội tụ và những điểm phân kì.
phân kì bất kì. Do đó trên tia Ot tìm được một điểm ζ∗ ngăn cách những diểm hội tụ trên tia với những điểm phân kì. Bản thân ζ∗, tuỳ trường hợp, có thể là điểm hội tụ hay phân kì.
Cũng theo định lí Abel, chuỗi hội tụ trong hình tròn G : |ζ| < |ζ∗| và phân kì bên ngoài, tức trong miền|ζ| > |ζ∗|. Hình tròn G được gọi là hình tròn hội tụ của chuỗi hàm (1.31), bán kính của nó R = |ζ∗| được gọi là bán kính hội tụ. Trên biên C của hình tròn có thể có cả điểm hội tụ lẫn phân kì.
b/ Trên tia Ot, tất cả các điểm đều là điểm hội tụ. Khi đó, theo định lí Abel, chuỗi hàm hội tụ trong một hình tròn bán kính lớn tuỳ ý. Nghĩa là nó hội tụ trong toàn mặt phẳng ζ và ta nói rằng bán kính hội tụ là ∞. c/ Trên tia Ot không có điểm nào là điểm hội tụ trừ ζ = 0. Khi đó theo hệ quả của định lí Abel, chuỗi hàm phân kì bên ngoài một hình tròn mà bán kính của nó nhỏ tuỳ ý. Nói cách khác, mọi điểm c khác 0 đều là điểm phân kì và ta nói bán kính hội tụ R = 0.
Lập luận tương tự giải tích thực, dựa vào tiêu chuẩn D’Alembert hay Cauchy, ta thấy bán kính hội tụ có thể tìm theo công thức:
R = lim n→∞| cn cn+1|, (1.33) hay : R = limn→∞ |√n1 cn|. Ví dụ 1.5.8. Xét chuỗi : P∞ n=0zn = 1 +z + z2 +...+ zn +.... Ta tính bán kính hội tụ R của nó bằng công thức (1.33):
R = limn→∞| cn
cn+1| = 1 vì cn = cn+1 = 1.
Vậy chuỗi hội tụ tuyệt đối trong hình tròn |z| < 1. Trong hình tròn |z| ≤ρ ≤ 1, chuỗi hội tụ đều. Ta xét tổng riêng:
Sn(z) = 1 +z+z2 +...+zn−1 = 1−zn 1−z .
Cho n → ∞, nếu |z| < 1 thì limn→∞zn = 0. Vậy limn→∞Sn(z) = 1−1z. Như vậy: P∞