Phương trình vi phân ngẫu nhiên và vấn đề định giá quyền chọn theo mô hình black scholes khoá luận tốt nghiệp đại học

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH MAI THỊ PHƯƠNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN NGẪU NHIÊN VÀ VẤN ĐỀ ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN THEO MƠ HÌNH BLACK-SCHOLES Chun ngành: Tốn giải tích LUẬN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN HUY CHIÊU VINH - 2012 MỤC LỤC Trang Mở đầu ……………………………………………….……… Chương Các kiến thức chuẩn bị …………………….……………… §1 Khơng gian xác suất tích phân Stieltjes……….…………… §2 Tích phân vi phân ngẫu nhiên Ito……………… …………… 10 Chương Phương trình vi phân ngẫu nhiên……… …………………14 §1 Các khái niệm định lý tồn nghiệm……… 14 §2 Phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính…….……………….…20 Chương Định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes….………24 §1 Thị trường quyền chọn……………………………… ……………24 §2 Mơ hình định giá quyền chọn Black – Scholes…….… …….… 27 Kết luận………………….…………………………………… ……….35 Tài liệu tham khảo……… …… ……………………………………….36 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Phương trình vi phân đóng vai trị quan trọng kĩ thuật, vật lý, kinh tế số ngành khoa học khác Sự đời xuất phát từ nhu cầu xác định mối quan hệ bên đại lượng biến thiên liên tục với bên độ biến thiên đại lượng Các mối quan hệ xuất thường xuyên ứng dụng thực tế Giải tích ngẫu nhiên bao gồm tích phân ngẫu nhiên, phương trình vi phân ngẫu nhiên tính tốn ngẫu nhiên ngày chứng tỏ giá trị phương diện lý thuyết ứng dụng Nó diện chủ đề thời giải tích, xác suất sử dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khác bên ngồi Tốn học Tính tốn ngẫu nhiên trở thành công cụ quan trọng cần xử lý, phân tích mơ hình hóa tượng có nhân tố ngẫu nhiên (xem [3], [4], [5], [6], [8], [9], [10], [12], [13], [14]) Toán học tài lý thuyết tốn học thị trường tài chính, nghiên cứu thành phần, đặc điểm, cấu trúc thị trường tài nhằm xây dựng mơ hình tốn học ứng dụng chúng vào việc tính tốn sản phẩm tài thị trường Đây lĩnh vực quan tâm nghiên cứu năm gần Việt nam (xem [2], [3], [7]) Sự phát triển vượt bậc lý thuyết tài đánh dấu báo “The Pricing of Options and Corporate Liabilities” [Jounal of Polictical Economy Vol 81 (1973), pp 637 – 654] Black Scholes (xem [10]) Hai ơng tìm cơng thức để tính số tiền mà người mua cần phải trả cho người bán để có quyền mua bán loại cổ phiếu thời điểm tương lai với giá trị định trước (cơng thức Black-Scholes nhiều giải vấn đề cốt lõi Tốn tài chính, Định giá tài sản phái sinh) Ngay lập tức, công thức áp dụng rộng rãi thị trường tài (xem [11], [12], [13], [14]) Ngày nay, mơ hình Black–Scholes với mở rộng giữ vai trị quan trọng việc phân tích thị trường tài Mặc dù hình thành phát triển 10 năm, thị trường chứng khoán Việt Nam chưa có sản phẩm phái sinh tài Sự biến động lớn VN-Index đặt yêu cầu cấp bách phải hình thành thị trường phái sinh tài chính, nhằm hạn chế rủi ro cho nhà đầu tư đảm bảo thị trường chứng khốn hoạt động ổn định Ngồi việc bổ sung hành lang pháp lý, định giá sản phẩm phái sinh (bao gồm Quyền chọn) thiếu việc xây dựng vận hành thị trường phái sinh tài Vì lý nêu trên, chúng tơi chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: “Phương trình vi phân ngẫu nhiên vấn đề định giá quyền chọn theo mơ hình Black- Scholes” 2 Mục đích nghiên cứu Mục đích khóa luận tiếp cận hướng nghiên cứu ứng dụng giải tích ngẫu nhiên vào việc phân tích thị trường tài Trên sở tài liệu tham khảo, chúng tơi tổng hợp, phân tích trình bày chi tiết số vấn đề phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng việc định giá quyền chọn theo mơ hình Black-Scholes: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên; giải số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính; trình bày mơ hình Black-Scholes (lịch sử ảnh hưởng mơ hình thị trường tài chính, cách xây dựng công thức để định giá quyền chọn mua bán theo mơ hình Black-Scholes số trường hợp đơn giản nhất) Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận danh mục tài liệu tham khảo, khóa luận gồm chương Chương trình bày số kiến thức giải tích ngẫu nhiên nhằm chuẩn bị cho chương Chương trình bày chứng minh chi tiết định lý tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên giải số lớp phương trình vi phân ngẫu nhiên tuyến tính Chương trình bày cách khái quát thị trường quyền chọn, mơ hình Black-Scholes, xây dựng cơng thức định giá quyền chọn BlackScholes Khóa luận thực trường Đại Học Vinh hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Huy Chiêu Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy, người bảo, giúp đỡ tác giả suốt trình thực đề tài Nhân dịp tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Thầy Cơ giáo Khoa Tốn nhiệt tình giảng dạy suốt thời gian học tập Cuối cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, người thân bạn bè người giúp đỡ, động viên tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả hồn thành khóa luận Mặc dù có nhiều cố gắng xong luận văn tránh khỏi thiếu sót Tác giả mong nhận góp ý Thầy Cơ giáo bạn để tác giả hồn thiện khóa luận tốt Vinh, tháng năm 2012 Mai Thị Phương Chương CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương nhắc lại số khái niệm tính chất độ đo, xác suất tích phân ngẫu nhiên Ito Thơng tin chi tiết tìm thấy tài liệu [5], [6], [8], [9] §1 Khơng gian xác suất tích phân Stieltjes Mục trình bày số khái niệm tính chất lý thuyết xác suất lý thuyết tích phân cần dùng chương 1.1.1 Định nghĩa Cho  tập hợp khác rỗng Họ  tập  gọi   đại số tập  có tính chất sau: (i)    ; (ii) A   \ A ; (iii) A1 , A2 ,     Ai   i 1 Khi đó, cặp (  ,) gọi không gian đo tập  gọi tập đo (hoặc biến cố) 1.1.2 Định nghĩa Cho (  ,) khơng gian đo Ta nói hàm P :   độ đo xác suất (trên ) thỏa mãn điều kiện sau: (i) P( A)  với A ; (ii) An   (n=1,2,…) Ai  Aj   với i  j    P  An    P( An ) ;  n 1  n 1 (iii) P()  Bộ ba (  ,, P) gọi không gian xác suất 1.1.3 Định lý (Bổ đề Borel – Cantell) Cho (En) dãy biến cố không gian xác suất Khi đó,   P( E )   ) n 1 n   P lim sup En  x  1.1.4 Định nghĩa Cho (  ,, P) không gian xác suất Hàm X :   n gọi  - đo X 1 (U )   , X ( ) U   Ta gọi hàm - đo X :   n véctơ ngẫu nhiên (n chiều) Một véctơ ngẫu nhiên chiều  n  1 gọi biến ngẫu nhiên Để đơn giản việc khảo sát, từ trở đi, giả thiết (  ,, P) không gian xác suất P độ đo đủ (nghĩa là, A có độ đo khơng tập đo được) 1.1.5 Định nghĩa Cho  X n , n  1 dãy biến ngẫu nhiên xác định (  ,, P) (i) Ta nói  X n , n  1 hội tụ hầu chắn (hoặc hội tụ hầu khắp h c c nơi) đến biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n   X ,   P  : lim X n ( )  X ( )  n  (ii) Ta nói  X n  hội tụ theo xác suất (hoặc hội tụ theo độ đo) đến P biến ngẫu nhiên X, kí hiệu X n   X lim P  : X n ( )  X ( )     , x  với   (iii) Giả sử  X n   Lp , p   0,   Ta nói  X n  hội tụ trung bình L cấp p đến X, kí hiệu X n   X lim E X n  X  , ký hiệu EY x  p p để kỳ vọng biến ngẫu nhiên Y (tức tích phân Lebesgue biến ngẫu nhiên Y  theo độ đo xác suất P) Ta có mối liên hệ loại hội tụ đề cập sau: h c c P  X n   X  X n  X   h c c h c c  X n   X   X nk   X n  : X nk  X P p  X n   X , p   0,    X n  X L 1.1.6 Định nghĩa Cho tập số thời gian I (I tập tập số thực không âm, đếm liên thông) X=  X (t )tI họ biến ngẫu nhiên xác định (  ,, P) Khi đó: - Nếu I liên thơng ta nói  X (t )tI trình ngẫu nhiên với thời gian liên tục - Nếu I đếm ta nói  X (t )tI q trình ngẫu nhiên với thời gian rời rạc Quá trình ngẫu nhiên X ký hiệu X(t) hay Xt với t  I 1.1.7 Định nghĩa Một họ   đại số (t, t  )  (t  ) gọi lọc thỏa mãn điều kiện thông thường thỏa mãn điều kiện: (i) Tăng theo thời gian: s  t với s < t; (ii) Liên tục phải theo nghĩa t= t+  ;  0 (iii) Nếu A  P(A) = A 0 1.1.8 Định nghĩa Cho trình ngẫu nhiên X = (Xt, t  ) Ký hiệu tX   đại số sinh tất biến ngẫu nhiên Xs với s  t , tức tX =  ( X s , s  t ) (nó phản ánh thơng tin diễn biến khứ trình X thời điểm t) Ta gọi tX trường thông tin X 1.1.9 Định nghĩa Cho lọc (t, t  ) (  , ) Quá trình ngẫu nhiên X gọi thích nghi với lọc Xt đo   đại số t Một khơng gian xác suất (  ,, P) có lọc (t) t  gọi khơng gian xác suất lọc, kí hiệu (  , , (t), P) 1.1.10 Định nghĩa Cho (  ,, P) không gian xác suất, X :   n véctơ ngẫu nhiên cho E ( X )      đại số  (  ) Khi đó, véctơ ngẫu nhiên Z gọi kỳ vọng có điều kiện X   đại số , kí hiệu E(X|), thỏa mãn: (i) Z véctơ ngẫu nhiên đo ; (ii) Với A , ta có  ZdP   XdP A A  Một số tính chất kỳ vọng có điều kiện: Giả sử X , Y :   n hai véctơ ngẫu nhiên với E( X )  , E(Y )   1) Nếu = ,  E(X|) = EX 2) E(X+Y|) = E(X|) + E(Y|) 3) E(cX|) = c E(X|), với c số 4) Nếu 1  2 E(E(X|2)|1) =E(X|1) Nói riêng ra, E(E(X|)) = EX 5) Nếu g hàm lồi tập I  X véctơ ngẫu nhiên lấy giá trị I thì: g(E(X|))  E(g(X)|) X n |)  liminf E ( X n |) (bổ đề Fatou) 6) Nếu X n  E (liminf n n   7) Nếu P lim X n  X  X n  Y ; EY   lim E ( X n |) = E(X|) (sự x  x  hội tụ bị chặn kỳ vọng có điều kiện) 1.1.11 Định nghĩa Cho không gian xác suất lọc (  ,,(t), P) trình ngẫu nhiên X = (Xt, t  ) thích nghi với lọc (t), khả tích với t  (tức E X t  , t  ) Khi đó, (i) Nếu E ( X t |t )  X s với s, t  thỏa mãn s  t , X gọi martingale với lọc (t, t  ); (ii) Nếu E ( X t |t )  X s với s, t  thỏa mãn s  t , X gọi martingale với lọc (t, t  ); (iii) Nếu E ( X t |t )  X s với s, t  thỏa mãn s  t , X gọi martingale lọc (t, t  ) 1.1.12 Định lý (Bất đẳng thức Kolmogorov) Nếu ( X n ,n, n= 0,…,N) p martingale với E X n   với n= 0,…,N  p     P max X n    0 n  N E Xn với   p p , 1.1.13 Định nghĩa Quá trình ngẫu nhiên W   Wt , t   gọi trình Wiener hay chuyển động Brown tiêu chuẩn nếu: (i) W0=0 hầu chắn; (ii) Hiệu Wt  W0 biến ngẫu nhiên có phân phối chuẩn với kỳ vọng 0, phương sai (t-s); (iii) Với n  phân hoạch hữu hạn  t0  t1   tn , Wt  Wt , r  0, n biến ngẫu nhiên độc lập; (iv) W trình liên tục, tức hầu hết quỹ đạo W liên tục Nếu điều kiện (ii) phương sai Wt  Ws  (t  s) (các kiện khác giữ ngun), ta nói W chuyểng cụ tài mà khơng bị rủi ro vỡ nợ 3.1.2 Vai trị quyền chọn mục đích người mua, bán quyền chọn a) Vai trò quyền chọn - Vai trò định giá: giá hợp đồng quyền chọn phản ánh độ rủi ro gắn liền với mặt hàng sở - Quản lý rủi ro giá cả: quyền chọn cung cấp chế hiệu cho phép phòng tránh, hạn chế rủi ro cho phép chuyển dịch rủi ro từ người khơng thích rủi ro sang người chấp nhận - Góp phần thúc đẩy thị trường tài phát triển: thị trường giao dịch quyền chọn cho phép nhà đầu tư đạt tỷ suất sinh lợi cao Bên cạnh đó, việc tham gia thị trường khơng địi hỏi chi phí q lớn nhà đầu tư dễ dàng tham gia rút lui khỏi thị trường Điều làm cho thị trường trở nên sơi động b) Mục đích người mua bán quyền chọn  Người mua: Nhà đầu tư thường mua quyền chọn nhằm mục đích như: bảo hiểm, đầu trì hỗn định - Bảo hiểm: Thị trường chứng khốn ln biến động khơng lường trước động thái tương lai Vì quyền chọn sử dụng công cụ bảo hiểm vị có nhà đầu tư việc cố định giá mua giá bán hợp đồng - Đầu cơ: Nhà đầu tư sử dụng quyền chọn để đầu với số tiền bỏ ban đầu thấp nhiều so với việc mua bán trực tiếp thị trường tìm mức tỷ suất lợi nhuận cao - Trì hoãn định: Quyền chọn sử dụng nhà đầu tư muốn mua bán loại cổ phiếu chưa muốn thực ý định mà chờ đợi diễn biến thị trường Trong trường hợp quyền chọn giúp nhà đầu tư hạn chế rủi ro biến động giá 24  Người bán: Khi bán quyền chọn chủ thể bán quyền kiếm lợi nhuận hữu hạn bị lỗ vơ hạn Do đó, thơng thường người bán quyền thường nhằm đến mục đích bảo hiểm vị tăng lợi suất - Bảo hiểm vị thế: Người bán quyền chọn có nhu cầu cố định giá mua hay giá bán cổ phiếu định lo sợ diễn biến thị trường Việc bán quyền chọn giúp cho nhà đầu tư tính tốn phần thu nhập hay chi phí mua cổ phiếu tương lai Trong trường hợp quyền chọn không thực phần phí quyền chọn thu giúp nhà đầu tư bù lỗ giá cổ phiếu biến động bất lợi - Tăng lợi suất: Khi quyền chọn thực ngồi phần tiền có cố định giá bán người bán quyền cịn thu thêm phần phí hợp đồng Trường hợp quyền chọn khơng thực người bán hưởng phần phí hợp đồng quyền chọn mà khơng phải thực nghĩa vụ mua bán Sau hợp đồng đáo hạn, người bán quyền chọn khác nhận tiền phí từ hợp đồng 3.1.3 Quá trình hình thành phát triển thị trường quyền chọn Vào đầu năm 1900, hiệp hội nhà môi giới kinh doanh quyền chọn đời Nhà đầu tư muốn mua quyền chọn liên hệ với công ty thành viên, cơng ty tìm người bán quyền chọn từ khách hàng công ty công ty thành viên khác Nếu khơng có người bán, cơng ty tự phát hành quyền chọn với giá thích hợp Thị trường hoạt động theo cách gọi thị trường phi tập trung OTC, nhà kinh doanh không gặp sàn giao dịch Việc mua bán quyền chọn trở nên phổ biến Chicago Board of Options Exchange Vào thời kỳ chủ yếu trao đổi cổ phiếu thương mại đơn lẻ Năm 1982, quyền chọn bắt đầu giao dịch hợp đồng tương lai với trái phiếu phủ loại giao dịch phát triển nhanh Khi xã hội ngày phát triển, giao dịch quyền chọn ngày trở nên phổ biến hơn, lan rộng sang Anh, Brazil, Đức, Pháp, Nhật Bản… Những hệ thống đáng ý GLOBEX Project A 3.1.4 Phân loại quyền chọn - Nếu vào tính chất quyền mua hay quyền bán quyền chọn chia làm hai loại Quyền chọn mua (người giữ quyền chọn mua có quyền mua tài sản với mức giá xác định trước hợp đồng vào thời điểm định) Quyền chọn bán (người sở hữu quyền chọn bán có quyền bán tài sản với mức giá xác định trước hợp đồng vào thời điểm định) 25 - Nếu vào tính chất thời gian hợp đồng quyền chọn chia làm hai loại Hợp đồng quyền chọn kiểu Mỹ (người giữ quyền chọn thực quyền vào thời điểm thời gian hiệu lực hợp đồng) Hợp đồng quyền chọn kiểu Châu Âu (người giữ quyền chọn thực quyền vào ngày đáo hạn) 3.1.5 Các phận cấu thành nên giá quyền chọn - Giá trị nội quyền: Giá trị nội quyền chọn giá trị mà người nắm giữ quyền chọn nhận cách thực quyền - Giá trị thời gian quyền: Giá trị thời gian quyền chọn khoản chênh lệch giá quyền so với giá trị nội Thời gian đáo hạn quyền chọn dài giá trị thời gian quyền lớn người mua quyền chọn hi vọng vào thời điểm trước hết hiệu lực, thay đổi giá tài sản sở thị trường làm tăng giá trị quyền chọn, họ sẵn sàng trả khoản tiền chênh lệch giá trị nội §2 Mơ hình định giá quyền chọn Black - Scholes Mục giới thiệu phân tích mơ hình định giá quyền chọn BlackScholes Vì kiến thức thời gian có nhiều hạn chế, nên chúng tơi giới hạn việc nghiên cứu mơ hình cho trường hợp đơn giản 3.2.1 Lịch sử, ý nghĩa ảnh hưởng mơ hình Black-Scholes Ngày 29 tháng 03 năm 1900 xem ngày khai sinh Tốn học tài chính, đánh dấu kiện Louis Bachelier (1870-1946) bảo vệ thành công luận án tiến sĩ với nhan đề “Lý thuyết đầu tài chính” Đại học Sorbornne (Paris) hướng dẫn Giáo sư Henri Poincare Đối tượng nghiên cứu Tốn tài phái sinh tài Và quyền chọn ví dụ điển hình phái sinh tài Một kiện có tính chất cách mạng Tốn tài vào năm 1973, dựa vào nguyên lý “nếu quyền chọn định giá cách 26 ... hợp, phân tích trình bày chi tiết số vấn đề phương trình vi phân ngẫu nhiên ứng dụng chúng vi? ??c định giá quyền chọn theo mơ hình Black- Scholes: chứng minh tồn nghiệm phương trình vi phân ngẫu nhiên; ... Quyền chọn) thiếu vi? ??c xây dựng vận hành thị trường phái sinh tài Vì lý nêu trên, chọn đề tài nghiên cứu cho luận văn là: ? ?Phương trình vi phân ngẫu nhiên vấn đề định giá quyền chọn theo mơ hình. .. phân ngẫu nhiên tuyến tính…….……………….…20 Chương Định giá quyền chọn theo mơ hình Black- Scholes? ??.………24 §1 Thị trường quyền chọn? ??…………………………… ……………24 §2 Mơ hình định giá quyền chọn Black – Scholes? ??….…