Thuyết trình môn sản phẩm tài chính phái sinh chương 5 định giá quyền chọn bằng mô hình black scholes merton

Giá cố phiếu biến động ngẫn nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn  Giả định rằng, tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu có phânphối chuẩn logarit  Nhất quán các giá trị so với thực

CHƯƠNG 5

ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN

BẰNG MÔ HÌNH BLACK – SCHOLES – MERTON

Trường Đại Học Kinh Tế Viện Sau Đại Học Khoa: Tài Chính Môn: Sản Phẩm Tài Chính Phái Sinh

Giảng viên:

PGS TS NGUYỄN THỊ NGỌC TRANG SVTH:

1 Hà Hoàng Vy

2 Nguyễn Hoàng Tân

3 Huỳnh Thủy Tiên

NỘI DUNG

I GIỚI THIỆU VỀ MÔ HÌNH B–S–M

II CÁC GIẢ ĐỊNH CỦA MÔ HÌNH B–S–M

III CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN MUA

BLACK – SCHOLES – MERTON

IV MÔ HÌNH B-S-M KHI CỔ PHIẾU CHI TRẢ CỔ TỨC

V MÔ HÌNH B-S-M VÀ MỘT SỐ VẤN ĐỀ CHUYÊN

SÂU VỀ QUYỀN CHỌN KIỂU MỸ

VI MÔ HÌNH ĐỊNH GIÁ QUYỀN CHỌN BÁN

VII QUẢN TRỊ RỦI RO QUYỀN CHỌN

I GIỚI THIỆU

 Mô hình Black – Scholes – Merton lấy ý tưởng bắt nguồn bởi nghiên cứu từ đầu thế kỷ 19 về chuyển động ngẫu nhiên trong vật lý được phát hiện bởi nhà khoa học Robert Brown

 Cuối thập niên 1960, Fischer Black và Myron Scholes bắt đầu nghiên cứu về quyền chọn khi đó chỉ được giao dịch trên thị trường phi tập trung.

 Sử dụng hai cách tiếp cận để tính giá quyền chọn, một cách giả định rằng tất cả tài sản được định giá theo Lý thuyết định giá tài sản vốn CAPM, một cách khác sử dụng giải tích ngẫu nhiên

 Năm 1997, Ủy ban Nobel đã trao giải thưởng Nobel về Khoa học Kinh tế cho Myron Scholes và Robert Merton, đồng thời cũng công nhận những đóng góp của Fischer Black

II CÁC GIẢ ĐỊNH TRONG MÔ HÌNH

1 Giá cố phiếu biến động ngẫn nhiên và phát triển theo phân phối logarit chuẩn

 Giả định rằng, tỷ suất sinh lợi của cổ phiếu có phânphối chuẩn logarit

 Nhất quán các giá trị so với thực tế và không chophép giá cổ phiếu nhận giá trị âm

 Tạo điều kiện để thực hiện các phép toán cao cấp cầnthiết để phát triển mô hình Black – Scholes – Merton

2 Lãi suất phi rủi ro và độ bất ổn của tỷ suất sinh lợi theo logarit của cổ phiếu không thay đổi trong suốt thời gian hiệu lực quyền chọn

 Đơn giản hóa mô hình, và trong các nghiên cứu lãisuất không ảnh hưởng nhiều đến giá quyền chọn vàmột số tài sản cơ sở khác

 Việc lãi suất thay đổi sẽ được nghiên cứu và trìnhbày thêm trong các vấn đề về quản trị rủi ro

3 Không có thuế và chi phí giao dịch

 Quyết định của nhà đầu tư sẽ không bị cản trở bởinhững vấn đề về thuế và chi phí giao dịch

II CÁC GIẢ ĐỊNH

4 Cổ phiếu không trả cổ tức

 Không làm thay đổi thu nhập của nhà đầu tư, tức khôngthay đổi tỷ suất sinh lợi, việc đưa cổ tức vào mô hình sẽđược trình bày sau

5 Các quyền chọn là kiểu Châu Âu

 Quyền chọn Châu Âu chỉ cho phép thực hiện quyềnchọn khi đáo hạn, do đó sẽ hạn chế được sự thay đổi

Mô hình Black – Scholes – Merton không nhận được những đánh giá tích cực từ các chuyên gia do những giả định về độ bất ổn không đổi

và các giao dịch năng động diễn ra liên tục là chưa thực tế Tuy nhiên, mô hình B-S-M là khởi nguồn cho những mô hình định giá quyền chọn phức tạp hơn với những nới lỏng giả định Mô hình này

đã được sử dụng rộng rãi trong thực tế và có sức ảnh hưởng

II CÁC GIẢ ĐỊNH

III CÔNG THỨC ĐỊNH GIÁ

QUYỀN CHỌN MUA BLAC – SCHOLES – MERTON

= − . .

=

ln + + 2

= −

• C: giá trị quyền chọn mua

• : giá trị hiện tại của chứng khoán

• X: giá trị thực hiện của quyền chọn

• T: thời hạn hiệu lực còn lại của quyền chọn, dưới dạng phân số của một năm

• : lãi suất phi rủi ro ghép lãi liên tục ứng với kỳ hạn T

• : độ bất ổn hàng năm (độ lệch chuẩn) của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục (logarit) của cổ phiếu

• , ( ): xác xuất phân phối tích lũy Cụ thể ( ) thể hiện xác suất xảy ra đối với dòng thu nhập kỳ vọng, ( ) thể hiện xác suất đối với chi phí thực hiện Giá trị , ( ) được xác định theo bảng phân phối xác suất chuẩn (thống kê Z)

1 CÔNG THỨC

= − . ( )

 Cũng như những tài sản sẽ nhận được giá trị trong tươnglai khác, có thể định giá quyền chọn trên cơ sở các nhàđầu tư chấp nhận rủi ro Chiết khấu thu nhập kỳ vọngtrong tương lai của quyền chọn về giá trị hiện tại với lãisuất phi rủi ro

 Xác suất để nhà đầu tư đạt được các giá trị khi chấpnhận rủi ro là và , được gọi là xác suất

chấp nhận rủi ro Thu nhập kỳ vọng của quyền chọn

mua là giá trị kỳ vọng Max(0, − )

2 DIỄN GIẢI

 Biểu thức Khi × . , đây là giátrị kỳ vọng của giá cổ phiếu khi đáo hạn, với điều kiện

> X nhân với xác suất > X khi đến hạn (vì nếu

≤ thì thu nhập kỳ vọng của quyền chọn mua là 0)

Và là xác suất có thể đạt được thu nhập kỳ vọng

 Với biểu thức − ( ) , đây là giá trị kỳ vọng củakhoản chi trả theo giá thực hiện X khi đáo hạn, ( ) làxác suất thực hiện quyền chọn mua tại mức giá thực hiện

X khi đáo hạn của nhà đầu tư chấp nhận rủi ro

 Chiết khấu cả biểu thức theo lãi suất phi rủi ro ghép lãiliên tục, tức là nhân với . , ta có được công thức tínhgiá trị quyền chọn mua C

2 DIỄN GIẢI

 Mô hình B–S–M có liên quan đến phân phối chuẩn,đường cong phân phối chuẩn có hình quả chuông, cótính đối xứng, dữ liệu mẫu sẽ tính toán để có được giá trị

kỳ vọng (hay giá trị trung bình) và phương sai

 Quy tắc 68% - 95% - 99% trong phân phối chuẩn:

 68% mẫu quan sát thuộc phạm vi 1 độ lệch chuẩn ( )

 95% mẫu quan sát thuộc phạm vi 2 độ lệch chuẩn (2 )

 99% mẫu quan sát thuộc phạm vi 3 độ lệch chuẩn (3 )

 Một biến số ngẫu nhiên có phân phối chuẩn được gọi là

có thống kê Z Sử dụng bảng phân phối xác suất chuẩn

(như bảng 5.1.) để xác định xác suất mà một giá trị quansát được của biến ngẫn nhiên sẽ nhỏ hơn hoặc bằng mộtgiá trị mong muốn nhất định (giá trị z)

3 PHÂN PHỐI CHUẨN

 Ví dụ, xác suất để quan sát được một giá trị z thấp hơnhoặc bằng 1.57, sẽ có xác suất là 0.9418.

 Bảng phân phối xác suất chuẩn có tính đối xứng, nên khicần tính xác suất có thể quan sát được giá trị z nhỏ hơn 0(tức -z), sẽ bằng 1 trừ xác suất tương ứng với z

 Xác suất để quan sát được một giá trị nhỏ hơn hoặc bằng

–z, cũng bằng với xác suất quan sát được một giá trị lớn hơn hoặc bằng z, xác suất sẽ bằng (=) 1 - xác suất quan

sát được giá trị nhỏ hơn hoặc bằng z

 Ví dụ, xác suất để quan sát được một giá trị thấp hơnhoặc bằng -1.57, đầu tiên tra giá trị xác suất với z = 1.57

sẽ là 0.9418, như vậy xác suất để quan được một giá trịthấp hơn hoặc bằng -1.12 sẽ là: 1 − 0.9418 = 0.058

3 PHÂN PHỐI CHUẨN

 Giá cổ phiếu hiện tại: = $125.94

 Giá thực hiện: X = $125

 Ngày hiện tại: 14/05/2017

 Ngày đáo hạn: 18/06/2017

 Số ngày đến khi đáo hạn là 35 ngày, = = 0.0959

 Lãi suất T-bill với kỳ hạn tương ứng là 4.56% Trong công thức Black – Scholes – Merton, lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng lãi suất được ghép lãi liên tục, như vậy

= ln 1.0456 = 4.46 %

 Độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi ghép lãi liên tục của cổ phiếu: = 0.83

VÍ DỤ

 −0.08 = 1 − 0.5319 = 0.4681

VÍ DỤ

B5: Áp dụng công thức, tìm giá trị C

= 125.95 × 0.5675 − 125 × . × × 0.4681

= 13.21 ($)

 Giá trị quyền chọn mua cổ phiếu theo mô hình B–S–M là

$13.21, giá quyền chọn mua hiện tại trên thị trường là

$13.50, như vậy quyền chọn mua đang được định giá cao,giả định chi phí giao dịch không đáng kể, nhà đầu tư cóthể bán quyền chọn mua

 Số quyền chọn mua cần được bán để tạo ra một danh mụcphòng ngừa rủi ro thu được tỷ suất sinh lợi cao hơn lãisuất phi rủi ro sẽ được trình bày ở phần sau

VÍ DỤ

 Các giá trị quyền chọn theo mô hình B–S–M rất nhạy cảm với các tính toán xác suất phân phối chuẩn, sai sót do làm tròn số và giá có thể chênh lệch nhiều dựa trên phương pháp được sử dụng.

 Những sai sót sẽ khiến kết quả xác định giá trị quyền chọn

bị sai, dẫn đến việc nhà đầu tư ra quyết định sai lầm Các tính toán nên được thực hiện trên excel để hạn chế làm tròn

số và xác định xác suất phân phối chuẩn chính xác hơn, giảm rủi ro sai sót.

LƯU Ý

4 Công thức B–S–M khi một số biến nhận giá trị đặc biệt

 Còn vế ( ) sẽ tiến đến −∞ hoặc +∞, tùy thuộc vào

lớn hơn hay bé hơn X.

 Logarit tự nhiên của một số lớn hơn 1 là dương và logarit tự nhiên của một số dương như bé hơn 1 sẽ là âm:

 Nếu > X, thì > 1  ( ) > 0, thì  +∞

 Nếu ≤ X, thì ≤ 1  ( ) ≤ 0, thì  −∞

 Nếu  −∞ thì  −∞ ; Nếu  +∞ thì  +∞

 Nếu hoặc  +∞, thì N( ) hoặc N( )  1

 Nếu hoặc  −∞, thì N( ) hoặc N( )  0

Khi T = 0

Công thức Black – Scholes – Merton sẽ như sau:

 Nếu > X, thì ln > 0  tiến đến +∞, và tiến đến +∞,

 Thì N( ) tiến đến 1, N( ) tiến đến 1 và ( . = 1), công thức trở thành −

 Nếu ≤ X, thì ln ≤ 0  tiến đến −∞, và tiến đến −∞,

 Thì N( ) tiến đến 0, N( ) tiến đến 0, công thức trở thành

0 − 0 = 0.

Như vậy, khi T = 0 công thức sẽ có giá trị thuộc

Khi T = 0

4.2 Khi =

 Trong trường hợp này, trước khi đáo hạn, giá cổ phiếutiến dần về 0, công ty rơi vào tình trạng phá sản vàkhông còn cơ hội phục hồi

 Xét , Với < X, thì ln( ) là một số âm Khi giá

cổ phiếu tiến đến 0, thì ln( ) tiến đến −∞, và

 Vì vậy à → −∞, với N( ) và N( )  0

 Như vậy, khi = 0 công thức sẽ có giá trị là 0, tức giá

trị quyền trọn mua sẽ là 0

4.3 Khi =

 Nếu quyền chọn mua là ngang giá ATM hoặc kiệt giá OTM,

sẽ không tạo ra bất cứ giá trị nào sau này và giá trị hiện tại của quyền chọn là 0

 Nếu quyền chọn mua là cao giá ITM ( < ) thì sẽ giống như một trái phiếu zero-coupon, tạo ra một khoản thu nhập dương và giá trị không thay đổi

Khi  0, vế sẽ tiến về 0, còn vế . . :

 Nếu > . , thì . . sẽ tiến về +∞  tiến

đến +∞  N( ), N( ) tiến đến 1 Giá quyền chọn mua sẽ

là − . Khi đáo hạn người mua quyền chọn mua chỉ trả một khoản tiền là X, có hiện giá là . và sẽ sở hữu cổ phiếu có giá trên thị trường

 Nếu ≤ . , thì . . tiến về −∞  tiến đến

− ∞  N( ), N( ) tiến đến 0  giá quyền chọn mua là 0 Khi = , sẽ không ai mua quyền chọn mua với mức giá thực

hiện X cao hơn giá cổ phiếu trên thị trường khi biết chắc rằng giá cổ phiếu sẽ không thay đổi.

4.5 Khi =

 Lãi suất phi rủi ro bằng không, thế = vào côngthức sẽ có . = 1, công thức B-S-M vẫn được tínhtoán như bình thường

5 Các biến trong mô hình B–S–M

5.1 Giá cổ phiếu

 Giá quyền chọn mua sẽ cao hơn khi cổ phiếu đang đượcgiao dịch trên thị trường với giá cao hơn Theo công thứctính giá quyền chọn mua đồng biến với C.

 Mối quan hệ giữa giá cổ phiếu và giá quyền chọn muathường được biểu diễn dưới dạng một giá trị delta Delta xấp xỉ bằng thay đổi giá quyền chọn ứng với mức thay đổi

N( ) là xác suất nên delta phải có giá trị từ 0 – 1

 Khi giá cổ phiếu cao hơn so với giá thực hiện, delta sẽgần với 1, và ngược lại, khi giá cổ phiếu thấp hơn giáthực hiện thì delta sẽ gần với 0

 Phòng ngừa delta, là một hoạt động liên tục mua một lượng

h cổ phiếu và bán lại một quyền chọn mua Với hoạt động

phòng ngừa delta như vậy thể hiện sự tăng/giảm giá cổ phiếu

sẽ được bù đắp bởi sự giảm/tăng giá quyền chọn Vị thế được

phòng ngừa delta gọi là trung lập delta

 Ví dụ delta = N( ) = 0.5692, tức giá quyền chọn mua sẽ biến động 56.92% so với mức thay đổi rất nhỏ của giá cổ phiếu Giá cổ phiếu hiện là $125.94, vì delta là 0.5692, nên xây dựng danh mục phòng ngừa delta bằng cách mua 569 cổ phiếu và bán 1,000 quyền chọn mua.

 Nếu giá cổ phiếu giảm $0.01, danh mục cổ phiếu sẽ lỗ $5.69, giá trị quyền chọn mua sẽ giảm 1,000x($0.01x0.569) = $5.69, đồng nghĩa với việc bán quyền chọn mua ban đầu, bán quyền chọn sẽ sinh lời $5.69 bù đắp lại khoản lỗ $5.69 từ cổ phiếu

Delta

 Lưu ý, delta còn phụ thuộc vào các biến khác và sẽ thay đổi,

để thực hiện phòng ngừa delta cần tái xây dựng danh mục liên tục, tuy nhiên trên thực tế không thể thực hiện các tính

toán và giao dịch liên tục, do đó không thể xây dựng một

danh mục phòng ngừa delta hoàn hảo Và một rủi ro khác

nữa đó là giá cổ phiếu không thay đổi một mức giá trị nhỏ

 Ví dụ, giá cổ phiếu $125.94, giá quyền chọn mua là $13.55, giả sử giá cổ phiếu tăng lên $130, tăng mạnh dẫn đến

và thay đổi lớn, lúc này N( ) = và

N( ) = tạo ra giá trị C là $15.96 (chứ không phải

$13.55 + (4.06 × 0.569) = $15.86 )

 Như vậy, các cổ phiếu sẽ sinh lời $130 − $125.94 ×

569 = $2,310 Các quyền chọn mua sẽ tăng giá, dẫn đến việc bán 1,000 quyền chọn sẽ lỗ $15.96 − $13.55 ×

1000 = $2,410.

 Tổng danh mục sẽ gánh chịu khoản lỗ là $100

Delta

 Khi giá cổ phiếu sẽ thay đổi một mức lớn, khiến phòng ngừa delta không còn hiệu quả. Gamma là phần thay đổi của delta tương ứng với một mức thay đổi rất nhỏ trong giá cổ phiếu

 Gamma càng lớn thì delta càng nhạy cảm đối với thay đổi trong giá cổ phiếu và càng khó duy trì vị thể trung lập delta

Gamma

5.2 Giá thực hiện

 Giá thực hiện X thay đổi dẫn đến sự thay đổi trong xác định

và , như vậy giá trị quyền chọn mua C cũng thay đổi Nếu giá thực hiện tăng một mức nhỏ thì giá quyền chọn mua sẽ giảm, tính theo công thức: - . ( ).

 Lưu ý rằng giá thực hiện của một quyền chọn không thay đổi, sự thay đổi giá thực hiện này chỉ có ý nghĩa khi xem xét giữa 2 quyền chọn mua có giá thực hiện khác nhau sẽ

có giá trị so với nhau như thế nào Và chỉ đúng cho trường hợp X thay đổi một lượng giá trị rất nhỏ.

 Trong mô hình B–S–M, lãi suất phi rủi ro phải được biểu diễn dưới dạng ghép lãi liên tục hay tỷ suất sinh lợi logarit.

 Ví dụ, đầu tư $100 với lãi suất đơn là = 6%/ ă , một năm sau sẽ nhận được $106 Lãi suất ghép lãi liên tục tương đương là ln 1 + = ln 1.06 = 0.0583 = 5.83% Như vậy, với $100 đầu tư với lãi suất ghép lãi liên tục là 5.83% sẽ đạt được $106 sau một năm.

 Kiểm tra lại, ta có số tiền nhận được sau một năm tính theo ghép lãi liên tục 365 ngày sẽ là $100 × 1 + . %⁄ =

$106, và lãi suất đơn là . − 1 = 0.06 = 6%

5.3 Lãi suất phi rủi ro

 Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua với lãi suất phi rủi

ro được ký hiệu là Rho

Rho quyền chọn mua = . ( )

 Ví dụ, sử dụng dữ liệu như ví dụ đầu bài, lãi suất phi rủi

ro hiện tại là 4.46%, ℎ = 5.57, nếu lãi suất phi rủi rotăng lên 12% Rho dự báo giá quyền chọn mua sẽ thayđổi là 12% − 4.46% 5.57 = 0.42($) Mức thay đổithực sự của giá quyền chọn mua là $0.43, sự chênh lệchkhông lớn

 Lưu ý, Rho cũng thay đổi cùng với giá cổ phiếu, nếu giá

cổ phiếu tăng thì Rho cũng tăng Mô hình B–S–M giảđịnh lãi suất phi rủi ro không thay đổi, do đó để thể hiệnchính xác hơn tác động của biến lãi suất cần sử dụng các

mô hình phức tạp hơn

Rho

 Độ bất ổn là độ lệch chuẩn của tỷ suất sinh lợi ghép lãiliên tục của cổ phiếu, độ bất ổn là biến số duy nhấtkhông thể quan sát được mà chỉ có thể ước lượng giá trịthông qua các dữ liệu.

 Khi độ bất ổn tăng, giá quyền chọn mua cũng sẽ tăng,một mức thay đổi nhỏ độ bất ổn có thể mang lại mứcthay đổi khá lớn trong giá quyền chọn mua

 Độ nhạy cảm của giá quyền chọn mua đối với một thay

đổi rất nhỏ trong độ bất ổn được gọi là vega

ề ọ = . .

( ) /

Vega

5.4 Độ bất ổn (độ lệch chuẩn)

 Ví dụ, một quyền chọn mua có vega bằng 15.32, nếu độbất ổn thay đổi rất nhỏ, tăng 0.01, thì giá quyền chọnmua sẽ tăng 15.32 × 0.01 = 0.1532($)

 Lưu ý:

 Độ bất ổn và giá quyền chọn gần như tuyến tính nếuquyền chọn gần như ngang giá ATM, vega rất lớn, tứcgiá quyền chọn rất nhạy cảm với thay đổi của độ bất ổn

 Ngược lại nếu quyền chọn không rơi vào trạng tháingang giá ATM, thì mối quan hệ không thật sự tuyếntính và vega sẽ không phản ánh tất cả rủi ro của một độbất ổn thường thay đổi, vega nhỏ, giá quyền chọn ít nhạycảm với thay đổi của độ bất ổn

 Mức giảm trong giá trị quyền chọn mua khi thời gian

trôi đi là phần suy giảm giá trị thời gian Theta là thay

đổi của giá quyền chọn mua ứng với thay đổi của thờihạn còn lại, đo lường giá trị thời gian bị suy giảm

0.0959 − 0.0767 −68.91 = −1.32($) Mức giảmthật sự của giá quyền chọn mua là $1.39

5.5 Thời gian đến khi đáo hạn

Theta