Phương trình vi phân có hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian trong không gian bânch

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– LÊ ĐỨC TRUNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CĨ HAI SỐ HẠNG ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ THEO THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC THANH HĨA, NĂM 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————— LÊ ĐỨC TRUNG PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CÓ HAI SỐ HẠNG ĐẠO HÀM BẬC PHÂN SỐ THEO THỜI GIAN TRONG KHÔNG GIAN BANACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Tốn Giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: TS VŨ TRỌNG LƯỠNG THANH HÓA, NĂM 2017 Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số ngày tháng năm 2017 Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức: Học hàm, học vị Họ tên Cơ quan công tác Chức danh hội đồng Chủ tịch Phản biện Phản biện Ủy viên Thư ký Xác nhận người hướng dẫn Học viên chỉnh sửa theo ý kiến hội đồng Ngày tháng năm 2017 (ký ghi rõ họ tên) i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn khơng trùng lặp với khóa luận, luận văn, luận án cơng trình nghiên cứu công bố Người cam đoan Lê Đức Trung ii LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành hướng dẫn TS Vũ Trọng Lưỡng Trong trình làm luận văn Thầy nhiệt tình hướng dẫn chi tiết, tạo môi trường nghiên cứu thuận lợi giúp tác giả hoàn thành luận văn Tác giả xin cảm ơn bày tỏ kính trọng, lịng biết ơn sâu sắc đến Thầy Tác giả xin bày tỏ lịng biết ơn đến Thầy, Cơ nhiệt tình giảng dạy lớp K8 Cao học tốn giải tích Tại tác giả nhận nhiều dẫn, góp ý q báu mơi trường thuận lợi để Tác giả hồn thành luận văn Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, Phòng đào tạo, Ban chủ nhiệm khoa KHTN, Tổ giải tích Trường ĐH HỒNG ĐỨC tạo điều kiện tốt để tác giả hoàn thành thời hạn luận văn Thanh Hóa, tháng năm 2017 Lê Đức Trung iii LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU Chương : KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Một số hàm đặc biệt 1.1.1 Hàm gamma 1.1.2 Hàm beta 1.1.3 Hàm erfc 1.1.4 Hàm Mittaf - Lefle 1.1.5 Hàm Kummer 1.2 Tích phân phân số .7 1.3 Toán tử vi phân bậc phân số Riemann - Liouville 1.4 Toán tử vi phân bậc phân số Caputo 1.5 Tính chất 1.6 Phép biến đổi Laplace 12 1.7 So sánh toán tử Caputo Riemann - Liouville 15 1.7 Mối liên hệ đạo hàm Caputo Riemann - Liouville 16 Chương : THIẾT LẬP BÀI TOÁN 18 2.1 Đặt toán 18 2.2 Khái niệm kết phụ trợ .19 Chương : SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 23 3.1 Sự tồn nghiệm nhẹ phân rã 23 iv 2.2 Ví dụ 31 KẾT LUẬN 34 TÀI LIỆU THAM KHẢO 35 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Bài tốn ban đầu phương trình vi phân bậc phân số khơng gian Banach X có dạng β Dα+1 u(t) + µD0 u(t) − Au(t) = F(t, u(t)), u(0) + g(u) = u0 , t > 0, µ ≥ ut (0) = 0, (1) (2) < α ≤ β ≤ 1, Dα0 đạo hàm Caputo bậc phân số cấp α với cận 0, A : D(A) ⊂ X −→ X tốn tử tuyến tính đóng, bị chặn, xảy miền liên tục {Sα,β (t)} tốn tử tuyến tính đóng bị chặn không gian X, u0 ∈ X đạo hàm Caputo bậc phân số cấp α , tốn tử tuyến tính đóng, sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục mạnh Khái niệm điều kiện ban đầu không địa phương đưa Byszewski Điều kiện phù hợp điều kiện ban đầu cổ điển cho nhiều thơng tin điều kiện ban đầu Phương trình (1.1) với điều kiện ban đầu cổ điển vế phải hàm Lipschitz theo biến thứ hai nghiên cứu [9] Gần đây, [10] tác giả chứng minh tồn nghiệm phân rã Tuy nhiên việc nghiên cứu tốc độ phân rã nghiệm vấn đề mở chưa nghiên cứu Vì vậy, khn khổ luận văn thạc sĩ, nghiên cứu đề tài: Phương trình vi phân có hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian không gian Banach Mục đích nghiên cứu Thiết lập tồn nghiệm tốn ban đầu khơng địa phương phương trình vi phân có hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian R+ Nghiên cứu tốc độ phân rã nghiệm thời gian tiến tới vô hạn Nhiệm vụ đề tài - Thiết lập tồn nghiệm toán với số điều kiện thích hợp hàm cho - Chứng minh tồn nghiệm phân rã thời gian tiến tới vô hạn Đối tượng phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu luận văn Phương trình vi phân có hai số hạng đạo hàm bậc phân số theo thời gian không gian Banach Phạm vi nghiên cứu tồn nghiệm phân rã thời gian vô hạn Dự kiến kết đạt đề tài Kết đề tài luận văn nhằm làm phong phú kết phương trình vi phân bậc phân số Hơn nữa, kết đề tài luận văn sử dụng nghiên cứu mơ hình giải tích vật lý, sinh học, Cấu trúc luận văn Ngoài lời cảm ơn, mở đầu, phần kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương tác giả trình bày hàm đặc biệt, khái niệm tích phân đạo hàm bậc phân số, khơng gian Sobolev toán tử liên quan Chương 2: Thiết lập toán Chương dành để thiết lập toán điều kiện liên quan đến hàm cho Chương 3: Sự tồn nghiệm Chứng minh tồn nghiệm nhẹ toán nêu ví dụ minh họa Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Chương dành cho việc trình bày số kiến thức biết có liên quan đến luận văn 1.1 1.1.1 Một số hàm đặc biệt Hàm gamma Định nghĩa 1.1.1 Ta gọi hàm gamma (hay tích phân Ơle loại hai) tích phân dạng Z∞ Γ(p) = e−x x p−1 dx Hàm Γ hàm tham số p tích phân suy rộng, cận vơ ngồi x → p < hàm dấu tích phân tăng vơ hạn Tích phân hội tụ p > phân kì p ≤ Hàm Gamma tổng quát hàm giai thừa Một số tính chất quan trọng Γ(1) = Γ(2) = 1, Γ(z + 1) = zΓ(z), Γ(n) = (n − 1)!, n ∈ N, √ = π, √ π = n (2n − 1)!, n ∈ N Γ( 12 ) Γ(n + 12 ) 1.1.2 (1.1) Hàm beta Định nghĩa 1.1.2 Ta gọi hàm beta (hay tích phân Ơle loại một) tích phân dạng Z1 B(p, q) = x p−1 (1 − x)q−1 dx Hàm B hàm hai tham số p q hội tụ p > 0, q > Hàm B hàm đối xứng với tham số nên B(p, q) = B(q, p) α (n) (n) lim D∗ f (t) = ( f (0)t + f (τ)(t − τ)) − − f (n) (τ)dτ α→n−1 τ=0 t = f (n−1) (τ) =f (n−1) τ=0 (n−1) (t) − f (0) Vậy đạo hàm phân số Riemann-Liouville ta có tính chất sau: lim Dα∗ f (t) = f (n) (t), α→n lim Dα∗ f (t) = f (n−1) (t) α→n−1 • Tính tuyến tính Bổ đề 1.5.5 Cho n − < α < n, n ∈ N, α, λ ∈ R hàm f(t), g(t) cho tồn đạo hàm Dα∗ f (t) Dα∗ g(t) tốn tử Caputo có tính tuyến tính Có nghĩa là, Dα∗ (λ f (t) + g(t)) = λ Dα∗ f (t) + Dα∗ g(t) (1.17) Chứng minh Dα∗ (λ t (λ f (t) + g(t))(n) dτ f (t) + g(t)) = Γ(α) (t − τ)α+1−n Z t Z t f (n) (τ) g(n) (τ) = + λ Γ(α) (t − τ)α+1−n Γ(α) (t − τ)α+1−n Z = λ Dα∗ f (t) + Dα∗ g(t) • Khơng giao hốn Bổ đề 1.5.6 Giả sử n − < α < n, m, n ∈ N, α ∈ R hàm f(t) có đạo hàm Dα∗ f (t) nói chung Dα∗ Dm f (t) = Dα+m f (t) 6= Dm Dα∗ ∗ (1.18) 11 Chứng minh Dα∗ f (m) (t) = Γ(n − α) Z t f (m+n) (τ) dτ (t − τ)α+1−n f (m+n) (τ) dτ (t − τ)α+m+1−(m+n) Z t f (m+n) (τ) = dτ Γ(m + n − (α + m)) (t − τ)α+1−n Dα+m f (t) = ∗ Γ(m + n − (α + m)) Z t Hệ 1.5.7 Giả sử n−1 < α < n, β = α −(n−1), (0 < β < 1), n ∈ N, α, β ∈ R hàm f(t) có đạo hàm Dα∗ f (t) Dα∗ f (t) = D∗ Dn−1 f (t) β Chứng minh Thay β cho α n − cho m vào cơng thức (2.5) β +n−1 Dα∗ Dn−1 f (t) = D∗ α−(n−1)+n−1 f (t) = D∗ f (t) = Dα∗ f (t) Nhận xét 1.5.8 Để tìm đạo hàm phân số Caputo bậc α tuỳ ý, (n − < α < n) hàm f(t) tìm đạo hàm phân số Caputo bậc β = α − (n − 1) đạo hàm thứ n − với α − (n − 1) số thực thuộc (0, 1) Vì nghiên cứu hình thành đạo hàm Caputo bậc số thực β ∈ (0, 1) tìm đạo hàm Caputo bậc tuỳ ý Nói chung tốn tử Riemann-Liouville khơng thay đổi thoả mãn Dm Dα f (t) = Dα+m f (t) 6= Dα Dm f (t), n − < α < n, m, n ∈ N, α ∈ R (1.19) Nhận xét 1.5.9 Sự không tương đương phương trình (2.5) phương trình (2.6) trở nên tương đương thêm điều kiện sau f (s) (0) = 0, s = n, n + 1, · · ·, m , Dα∗ f (s) (0) = 0, s = 0, 1, 2, 3, · · ·, m , Dα Cần lưu ý trường hợp đạo hàm Caputo không hạn chế giá trị f (∗) , s = 0, 1, 2, · · · , n − Ví dụ với m = 3, n = hàm f (t) = a0 + a1t + a4t + a5t + · · · thoả mãn điều kiện Caputo không thoả mãn điều kiện RiemannLiouville 12 1.6 Phép biến đổi Laplace Định nghĩa 1.6.1 Nếu hàm Z ∞ F(s) := L( f (t); s) := e−st f (t)dt, s∈C (1.20) tồn gọi phép biến đổi Laplace f(t) Nhận xét 1.6.2 (Điều kiện đủ để tồn phép biến đổi Laplace) Hàm f(t) thoả mãn (i) Từng đoạn trơn tất khoảng hữu hạn [0, ∞) (ii) Số mũ bậc α có nghĩa tồn M > T > không đổi cho | f (t)| ≤ Meαt với t > T Nhận xét 1.6.3 Sự biến đổi laplace áp dụng nhiều cho vấn đề giá trị ban đầu miền bán vô hạn Nhận xét 1.6.4 (Phép biến đổi Laplace nghịch đảo) Các hàm f(t) ban đầu khơi phục lại từ biến đổi Laplace cách sử dụng phép biến đổi Laplace nghịch đảo f (t) = L (F(s);t) := 2πi −1 Z c+i∞ c−i∞ est F(s)ds, c = Re(s) > c0 (1.21) Bổ đề 1.6.5 (Các tính chất biến đổi Laplace) Giả sử f(t) g(t) hai hàm mà t < có biến đổi Laplace tương ứng F(s) G(s) (a) Biến đổi Laplace nghịch đảo có tính tuyến tính L(λ f (t) + g(t); s) = λ L( f (t); s) + L(g(t); s) = λ F(s) + G(s) L−1 (λ f (t) + g(t); s) = λ L−1 ( f (t); s) + L−1 (g(t); s) = λ f (t) + g(t) (1.22) (b) Biến đổi Laplace tích chập f(t) g(t) tính L( f (t) ∗ g(t); s) = F(s)G(s), (1.23) tích chập định nghĩa f (t) ∗ g(t) = Z t f (t − τ)g(τ)dτ = Z t f (τ)g(t − τ)dτ (c) Giới hạn hàm sF(s) s → ∞ lim sF(s) = f (0) s→∞ (1.24) 13 (d) Biến đổi Laplace đạo hàm bậc n (n ∈ N) hàm f(t) cho n−1 n−1 k=0 k=0 L( f (n) (t); s) = sn F(s) − ∑ sn−k−1 f (k) (0) = sn F(s) − ∑ sk f (n−k−1) (0) (1.25) Bổ đề 1.6.6 (Biến đổi Laplace toán tử phân số): Giả sử p > F(s) biến đổi Laplace hàm f(t) ta có (a) Biến đổi Laplace tích phân phân số bậc α cho L{J α f (t); s} = s−α F(s) (1.26) (b) Biến đổi Laplace đạo hàm phân số Riemann-Liouville bậc α cho n−1 L{Dα f (t); s} = sα F(s) − ∑ sk [Dα−k−1 f (t)]t=0 k=0 n−1 (1.27) = sα F(s) − ∑ sn−k−1 [Dk J n−α f (t)]t=0 , n − < α < n k=0 (c) α, β , λ ∈ R, α, β > 0, p ∈ N biến đổi Laplace hàm Mittag-Lefler định nghĩa (p) L{t α p+β −1 Eα,β (±λt α ; s} p!sα−β = α , Re(s) > |λ |1/a) p+1 (s ∓ λ ) (1.28) Định lý 1.6.7 Giả sử p > F(s) biến đổi Laplace hàm f(t) biến đổi Laplace đạo hàm phân số Caputo bậc α (1.10) định nghĩa n−1 L{Dα∗ f (t); s} = s F(s) − ∑ sα−k−1 f (k) (0), n − < α < n α (1.29) k=0 Chứng minh Theo công thức (2.1) Dα∗ f (t) = J n−α Dn f (t) thay g(t) := Dn f (t) cơng thức (2.1) trở thành Dα∗ f (t) = J n−α g(t) (1.30) sử dụng biến đổi Laplace cho tích phân phân số bậc n − α hàm g(t) theo cơng thức (2.13) phương trình (2.17) ta có L{Dα∗ f (t); s} = L{J n−α g(t); s} = s−(n−α) G(s), (1.31) 14 G(s) = L{g(t); s} theo cơng thức (2.12) ta có n−1 G(s) = sn F(s) − ∑ sn−k−1 f (k) (0) (1.32) k=0 Từ (2.19) (2.18) ta có L{Dα∗ f (t); s} = s −(n−α) n−1 n s F(s) − ∑ s ! n−k−1 (k) f (0) n−1 = s F(s) − ∑ sα−k−1 f (k) (0) α k=0 1.7 k=0 So sánh toán tử Caputo Riemann-Liouville Trong tiểu mục này, so sánh đạo hàm bậc phân số Riemann-Liouville Caputo đưa • Tổng quan Nhận xét 1.7.1 Lấy f(t) hàm mà tồn hai đạo hàm Dα f (t) Dα f (t)∗ với n − < α < n nói chung Dα f (t) 6= Dα∗ f (t) Mệnh đề 1.7.2 n − a < α < n ta có lim Dα f (t) = lim Dα∗ f (t) = f (n) (t) α→n α→n Mệnh đề 1.7.3 Liên quan đến việc biến đổi hàm f(t) cho f (s) = 0, s = 0, 1, 2, · · · , m với hai đạo hàm phân số bậc m (m ∈ N) có tính chất giao hốn cụ thể Dm Dα f (t) = Dα+m f (t) = Dα Dm f (t), Dα∗ Dm f (t) = Dα+m f (t) = Dm Dα∗ f (t) ∗ Mệnh đề 1.7.4 Lấy hàm f(t) cho f (s) = 0, s = 0, 1, 2, · · · , n − đạo hàm phân số Caputo Riemann-Liouville trùng nhau, có nghĩa Dα∗ f (t) = Dα f (t) Bảng 1: So sánh đạo hàm Riemann-Liouville Caputo 15 Tính chất Rieaman-Liouville Caputo lim Dα f (t) = f (n) (t) Nội suy lim Dα∗ f (t) = f (n) (t) α→n α→n lim Dα f (t) = f (n−1) (t) lim Dα∗ f (t) = f (n−1) (t) − f (n−1) (0) α→n−1 α→n−1 Tính tuyến tính Dα (λ f (t) + g(t)) = λ Dα f (t) + Dα g(t) Dα∗ (λ f (t) + g(t)) = λ Dα∗ f (t) + Dα∗ g(t) Không giao hoán Dm Dα f (t) = Dα+m f (t) 6= Dα Dm f (t) Dα∗ Dm f (t) = Dα+m f (t) 6= Dm Dα∗ f (t) ∗ Phương pháp Laplace L{Dα f (t); s} = i n−1 h sα F(s) − ∑ sk Dα−k−1 f (t) L{Dα∗ f (t); s} = t=0 k=0 Dα c = f(t)=c=const c t −α 6= Γ(1 − α) n−1 sα F(s) − ∑ sα−k−1 f (k) k=0 Dα∗ c = Nhận xét 1.7.5 Cần lưu ý hai trường hợp, đạo hàm phân số Caputo Riemann-Liouville có bậc β nằm khoảng (0, 1) xem xét, từ ý (2.8) công thức (2.5), (2.6) với n − < α < n ta có α−(n−1) Dα∗ f (t) = D∗ Dn−1 f (t), Dα f (t) = Dn−1 Dα−(n−1) f (t) β = α − (n − 1) ∈ (0, 1) • Các hàm Một không đồng gây ấn tượng hai toán tử phân biệt hàm Với Caputo Dα∗ c = 0, c = const, với Riemann-Liouville ta lại có Dα c = 1.8 c t −α 6= 0, c = const Γ(1 − a) Mối quan hệ đạo hàm Caputo Riemann-Liouville Định lý 1.8.1 Lấy t > 0, α ∈ R, n − < α < n ∈ N theo mối quan hệ toán tử Riemann-Liouville (1.9) toác tử Caputo (1.10) ta có n−1 Dα∗ t k−α f (t) = D f (t) − ∑ f (k) (0) Γ(k + − α) k=0 α (1.33) 16 Chứng minh t 00 t n−1 (n−1) f (t) = f (0) + t f (0) + f (0) + · · · + f (0) + Rn−1 2! (n − 1)! n−1 tk =∑ f (k) (0) + Rn−1 , k=0 Γ(k + 1) theo (1.7) Rn−1 = Z t (n) f (τ)(t − τ)n−1 (n − 1)! d(τ) = Γ(n) Z t f (n) (τ)(t − τ)n−1 d(τ) = J n f (n) (t) Ta áp dụng tính tuyến tính đạo hàm phân số Rieamann-Liouville kết đạo hàm phân số Rieamann-Liouville hàm luỹ thừa (3.2), tính chất tích phân phân số ta có ! ! n−1 n−1 α k k D t t f (k) (0) + Rn−1 = ∑ f (k) (0) + Dα Rn−1 Dα f (t) = Dα ∑ k=0 Γ(k + 1) k=0 Γ(k + 1) ! n−1 Γ(k + 1) t k−α = ∑ f (k) (0) + Dα J n f (n) (t) k=0 Γ(k − α + 1) Γ(k + 1) n−1 t k−α =∑ f (k) (0) + Dα∗ f (t) k=0 Γ(k − α + 1) điều có nghĩa n−1 Dα∗ t k−α f (k) (0) f (t) = D f (t) − ∑ k=0 Γ(k − α + 1) α Hệ 1.8.2 Mối liên hệ đạo hàm phân số Rieamann-Liouville Caputo ! n−1 k t Dα∗ f (t) = Dα f (t) − ∑ f (k) (0) k=0 k! Chứng minh n−1 Dα∗ t k−α f (k) (0), f (t) = D f (t) − ∑ Γ(k − α + 1) k=0 α n−1 Dα t k (k) = D f (t) − ∑ f (0), k=0 Γ(k + 1) ! n−1 k t = Dα f (t) − ∑ f (k) (0) k=0 k! α 17 Chương 2.1 THIẾT LẬP BÀI TỐN Đặt tốn Trong luận văn chúng tơi nghiên cứu tốn β Dα+1 u(t) + µD0 u(t) − Au(t) = F(t, u(t)), u(0) + g(u) = u0 , ut (0) = 0, t > 0, µ ≥ (2.1) (2.2) < α ≤ β ≤ 1, Dα0 đạo hàm Caputo bậc phân số cấp α với cận 0, A : D(A) ⊂ X −→ X tốn tử tuyến tính đóng, bị chặn, sinh họ tốn tử tuyến tính liên tục {Sα,β (t)} khơng gian X, u0 ∈ X Khái niệm điều kiện ban đầu không địa phương sử dụng lần Byszewski [5] Khái niệm thích hợp so với khái niệm cổ điển sử dụng để miêu tả tượng tự nhiên cho phép xét thêm nhiều thông tin [7] [6] Hơn nữa, phương trình (2.1) với loại điều kiện ban đầu kiểu cổ điển chứng minh có mối quan hệ với phương trình vi phân phần phương trình vi phân có quy trình thời gian Cauchy, loại quy trình lặp ngẫu nhiên (xem [3]) Trong trường hợp, < α < 1, β = 1, µ = 0, phương trình (2.1) mơ hình phương trình khuếch tán bậc phân số (xem [13, 14]) Trong hệ [9] , nghiên cứu phương trình (2.1) với điều kiện ban đầu kiểu cổ điển đạo hàm phải F = Dα0 f , f hàm Lipschitzian theo biến số thứ hai Gần [10] nghiên cứu toán (2.1) (2.2) tồn nghiệm, nhiên việc tồn nghiệm phân rã với tốc độ tường minh chưa nghiên cứu 18 2.2 Khái niệm kết phụ trợ Trong phần này, giới thiệu vài mệnh đề đơn giản, chúng dùng xuyên suốt luận văn Cho β > 0, ta có:    ϕ (t) = t β −1 , t > 0, β Γ(β )   0, t ≤ 0, Với ϕβ hàm thỏa mãn thỏa mãn tính chất nửa nhóm ([4]) ϕα ∗ ϕβ = ϕα+β , ∀α, β > Đối với hàm bị chặn mũ f : R+ → X (tồn M > ω ∈ R cho k f (t)k ≤ Meωt ) phép biến đổi Laplace L[ f ](λ ) := Z ∞ e−λ s f (s)ds, Tồn Re(λ ) > ω Chúng nhắc lại số định nghĩa sau: Định nghĩa 2.2.1 Với hàm f ∈ CN (R+ ; X), đạo hàm Caputo bậc α có giới hạn ,xác định bởi:    R t (t − s)N−α−1 f (N) (s)ds, if α ∈ (N − 1, N), Dα0 f (t) = Γ(N−α)   f (N) (t), if α = N Để cung cấp cho cách tiếp cận lý thuyết phương trình (2.1)−(2.2) nhắc lại định nghĩa sau [9] Định nghĩa 2.2.2 Cho µ ≥ ≤ α, β ≤ cho trước Cho A tốn tử tuyến tính, đóng với tập xác định D(A) miền không gian Banach X Ta nói A tốn tử sinh họ (α, β )µ quy tồn ω ∈ R hàm liên tục mạnh Sα,β : R+ → L(X) cho {λ α+1 + µλ β : Re(λ ) > ω} ⊂ ρ(A) α λ (λ α+1 β −1 + µλ − A) x = Z ∞ e−λt Sα,β (t)xdt, Re(λ ) > ω, x ∈ X Trong trường hợp µ = 0, α = 0, C0 µ = 0, α = 1, ta có họ hàm cơsin Sự tồn đặc tính phần tử họ (α, β )µ quy nêu nội dung trước [11].Đặc biệt, A toán