Mục tiêu của đề tài nhằm nghiên cứu sự tồn tại của đa tạp bất biến chấp nhận được đối với nghiệm của các phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) và (0.3) dưới các điều kiện phần tuyến tính (B(t))t>0 sinh ra họ tiến hóa có nhị phân mũ hoặc tam phân mũ, phần phi tuyến thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ là hữu hạn hoặc vô hạn.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRỊNH XUÂN YẾN TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA NGHIỆM MỘT SỐ LỚP CÁC PHƯƠNG TRÌNH CĨ TRỄ VÀ TRUNG TÍNH Ngành: Tốn học Mã số: 9460101 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2020 Cơng trình hồn thành Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Người hướng dẫn 1: TS Vũ Thị Ngọc Hà Người hướng dẫn 2: PGS.TS Đặng Đình Châu Phản biện 1: PGS.TS Nguyễn Minh Mẫn Phản biện 2: PGS.TS Trần Đình Kế Phản biện 3: TS Phạm Trường Xuân Luận án bảo vệ trước Hội đồng đánh giá luận án tiến sĩ cấp Trường họp Đại học Bách Khoa Hà Nội Vào hồi giờ, ngày tháng năm 2020 Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Tạ Quang Bửu - Trường ĐHBK Hà Nội Thư viện Quốc gia Việt Nam MỞ ĐẦU Tổng quan hướng nghiên cứu lý chọn đề tài Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân bao gồm đa tạp ổn định, đa tạp không ổn định đa tạp tâm vấn đề cốt yếu việc nghiên cứu tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính Việc nghiên tồn đa tạp tích phân ln thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học mặt mang lại tranh hình học dáng điệu tiệm cận nghiệm phương trình vi phân với nhiễu phi tuyến địa phương xung quanh điểm cân hay xung quanh quỹ đạo xác định Các kết ban đầu thu Hadamard, Perron, Bigoliubov Mitropolsky tồn đa tạp bất biến phương trình vi phân Rn Sau đó, Daleckii Krein chứng minh tồn đa tạp bất biến nghiệm phương trình nửa tuyến tính khơng gian Banach với tốn tử tuyến tính bị chặn Tiếp theo, Henry phát triển kết tồn đa tạp tích phân cho trường hợp A(t) toán tử đạo hàm riêng không giới nội Về sau, nhờ phát triển mạnh mẽ giải tích hàm đại lý thuyết nửa nhóm tham số, kết tồn đa tạp tích phân chuyển sang nấc thang cho lớp phương trình tổng quát bao gồm phương trình đạo hàm riêng có trễ trung tính Năm 2009, N.T.Huy chứng minh tồn loại đa tạp bất biến mới, cụ thể đa tạp ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận Những đa tạp bao gồm quỹ đạo nghiệm thuộc vào lớp khơng gian hàm Banach chấp nhận được, không gian Lebesgue Lp , không gian Lorentz Lp,q nhiều không gian khác thường gặp lý thuyết nội suy Theo hiểu biết chúng tôi, năm 2009 sau Huy tồn loại đa tạp bất biến chấp nhận đến trước năm 2017 có số cơng trình nối tiếp hướng nghiên cứu Các cơng trình chứng minh tồn đa tạp bất biến chấp nhận lớp phương trình tiến hóa nửa tuyến tính phương trình đạo hàm riêng có trễ Vì thế, tồn đa tạp bất biến chấp nhận phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính đến nhiều vấn đề cần nghiên cứu Những phân tích dẫn chúng tơi đến việc lựa chọn đề tài nghiên cứu “Tính chất định tính nghiệm số lớp phương trình có trễ trung tính” Sau chúng tơi trình bày ba lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính trình bày luận án ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ I, us = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X), ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ (0, ∞), u0 = φ ∈ Cγ , (0.1) (0.2) (0.3) Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu ❼ Mục đích nghiên cứu luận án: Nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận nghiệm phương trình tiến hóa (0.1), (0.2) (0.3) điều kiện phần tuyến tính (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ tam phân mũ, phần phi tuyến ϕ-Lipschitz với ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận được, phương trình có trễ hữu hạn vô hạn ❼ Đối tượng nghiên cứu luận án: Đa tạp bất biến chấp nhận lớp phương trình (0.1), (0.2) (0.3) khơng gian hàm chấp nhận ❼ Phạm vi nghiên cứu Luận án: Trong luận án nghiên cứu toán sau – Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp tích phân thuộc lớp chấp nhận nghiệm phương trình (0.1) với trễ hữu hạn – Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp ổn định bất biến, đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận nghiệm phương trình (0.2) với trễ hữu hạn – Nội dung Nghiên cứu tồn đa tạp ổn định bất biến , đa tạp tâm ổn định bất biến thuộc lớp chấp nhận nghiệm phương trình (0.3) Phương pháp nghiên cứu ❼ Nghiên cứu tồn đa tạp bất biến chấp nhận được: Sử dụng phương pháp Lyapunov-Perron ❼ Các đánh giá phần tuyến tính: Sử dụng lý thuyết nửa nhóm ❼ Các đánh giá phần phi tuyến: Sử dụng điều kiện ϕ-Lipschitz lý thuyết không gian hàm chấp nhận Kết luận án Luận án đạt số kết sau đây: ❼ Chứng minh tồn đa tạp tích phân chấp nhận nghiệm phương trình (0.1) Trong trường hợp I ≡ R+ chứng minh tồn đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận Sau đó, trường hợp I ≡ R chứng minh tồn đa tạp không ổn định bất biến chấp nhận tính hút ❼ Chứng minh tồn đa tạp ổn định bất biến chấp nhận được, đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận nghiệm phương (0.2) ❼ Chứng minh tồn đa tạp ổn định bất biến chấp nhận đa tạp tâm ổn định bất biến chấp nhận nghiệm phương trình (0.3) với trễ vơ hạn Các kết luận án đóng góp vào lý thuyết đa tạp bất biến chấp nhận Các kết nghiên cứu luận án viết thành 03 báo nghiên cứu liệt kê “Danh mục cơng trình cơng bố luận án” Cấu trúc luận án Ngoài phần Lời cảm ơn, Một số kí hiệu dùng luận án, Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, Danh mục công trình cơng bố luận án, Chỉ mục, luận án chia thành bốn chương sau: Chương Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày số kiến thức sở để phục vụ cho chương Trước tiên khái niệm không gian hàm Banach chấp nhận nửa trục R+ trục R Tiếp theo khái niệm nửa nhóm liên tục mạnh số tính chất Sau khái niệm họ tiến hóa, nhị phân mũ tam phân mũ họ tiến hóa Chương Đa tạp tích phân chấp nhận phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Trong chương này, chứng minh tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp đa tạp không ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương ∂ trình ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ), t ∈ I, với B(t) sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ tam phân mũ, tốn tử sai phân F tuyến tính bị chặn số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz khác I ≡ R+ I ≡ R Chương Đa tạp bất biến chấp nhận phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính nửa trục Bài tốn nghiên cứu chương chứng minh tồn nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ), t ∈ (0, ∞), điều kiện họ tốn tử (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ tam phân mũ nửa trục, toán tử sai phân F tuyến tính bị chặn số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz R+ Chương Đa tạp bất biến chấp nhận phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn Bài toán chương chứng minh tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm ổn ∂ định bất biến E-lớp nghiệm phương trình ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ∈ R+ , với trễ vơ hạn Bài tốn chương giải điều kiện họ toán tử (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ tam phân mũ nửa trục, toán tử sai phân F tuyến tính bị chặn số hạng phi tuyến Φ thỏa mãn điều kiện ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Để tiện cho việc trình bày, chương ký hiệu I thay cho R, R+ 1.1 1.1.1 Không gian hàm Không gian hàm Banach chấp nhận Định nghĩa 1.1.1 Không gian hàm Banach EI gọi chấp nhận thỏa mãn (1) Tồn số M ≥ cho với tập compact [a, b] ∈ I ta có b |ϕ(t)|dt ≤ a M (b − a) ϕ χ[a,b] EI EI với ϕ ∈ EI , t+1 (2) với ϕ ∈ EI hàm Λ1 ϕ xác định Λ1 ϕ(t) = ϕ(τ )dτ thuộc vào EI , t (3) EI Tτ+ bất biến Tτ− bất biến, Tτ+ Tτ− xác định với τ ∈ I ϕ ∈ EI bởi: Nếu I = R+ Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với t ≥ τ ≥ 0, với ≤ t ≤ τ Nếu I = R Tτ+ ϕ(t) := ϕ(t − τ ) với t, τ ∈ R Tτ− ϕ(t) := ϕ(t + τ ) với t ∈ I Điều có nghĩa rằng, với ϕ ∈ EI τ ∈ I hàm Tτ+ ϕ Tτ− ϕ thuộc vào EI Hơn nữa, tồn số N1 , N2 > cho Tτ+ EI ≤ N1 , Tτ− EI ≤ N2 với τ ∈ I Giả thiết 1.1.1 Giả sử EI không gian hàm Banach chấp nhận cho không gian liên kết EI khơng gian hàm Banach chấp nhận Hơn nữa, không gian hàm Banach chấp nhận EI ta giả sử EI chứa hàm EI -bất biến mũ, nghĩa với hàm ϕ ≥ có tính chất rằng, với ν > cố định hàm hν xác định hν (t) := e−ν|t−·| ϕ(·) 1.2 EI ∈ EI với t ∈ I (1.1) Nhị phân mũ, tam phân mũ họ tiến hóa Định nghĩa 1.2.1 Một họ tiến hố (U (t, s))t≥s không gian Banach X gọi có nhị phân mũ I tồn tốn tử chiếu tuyến tính bị chặn P (t), t ∈ I, X số N, ν > cho (1) U (t, s)P (s) = P (t)U (t, s), t ≥ s t, s ∈ I (2) Ánh xạ hạn chế U (t, s)| : KerP (s) → KerP (t), t ≥ s t, s ∈ I đẳng −1 cấu, biểu diễn ánh xạ ngược U (s, t)| := U (t, s)| , s ≤ t (3) U (t, s)x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ P (s)X, t ≥ s t, s ∈ I (4) U (s, t)| x ≤ N e−ν(t−s) x với x ∈ KerP (t), t ≥ s t, s ∈ I Các toán tử chiếu P (t), t ∈ I, gọi phép chiếu nhị phân số N, ν gọi số nhị phân Hàm Green định nghĩa sau G(t, τ ) = P (t)U (t, τ ) −U (t, τ )| (I − P (τ )) t > τ t, τ ∈ I, t < τ t, τ ∈ I (1.2) Khi đó, có đánh giá G(t, τ ) ≤ (1 + H)N e−ν|t−τ | với H := sup P (t) t∈I với t = τ t, τ ∈ I (1.3) Định nghĩa 1.2.2 Họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 gọi có tam phân mũ nửa trục có ba họ toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, số N, α, β với α < β cho điều kiện sau thỏa mãn: (1) supt≥0 Pj (t) < ∞, j = 1, 2, (2) P1 (t) + P2 (t) + P3 (t) = I với t ≥ Pj (t)Pi (t) = với j = i (3) Pj (t)U (t, s) = U (t, s)Pj (s) với t ≥ s ≥ j = 1, 2, (4) U (t, s)|ImPj (s) đồng phôi từ ImPj (s) vào ImPj (t), với t ≥ s ≥ j = 2, Ta ký hiệu ánh xạ ngược U (t, s)|ImPj (s) U (s, t)| , ≤ s ≤ t (5) Với t ≥ s ≥ x ∈ X, ước lượng sau đúng: U (t, s)P1 (s)x U (s, t)| P2 (t)x U (t, s)P3 (s)x ≤ N e−β(t−s) P1 (s)x , ≤ N e−β(t−s) P2 (t)x , ≤ N e α(t−s) P3 (s)x Toán tử chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, gọi phép chiếu tam phân, số N, α, β số tam phân 2.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Xét ba họ phép chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, C sau: (Pj (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)Pj (t)φ(0) với θ ∈ [−r, 0] φ ∈ C (2.7) Định nghĩa 2.2.1 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, số N, α, β xác định Định nghĩa 1.2.2 Một tập C ⊂ R+ × C gọi đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (2.5) tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : Im P1 (t) + P3 (t) → ImP2 (t), với phép chiếu {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, xác định (2.7), số Lipschitz độc lập với t cho Ct = graph(Φt ) có tính chất (1) Ct đồng phơi với Im P1 (t) + P3 (t) với t ≥ (2) Với φ ∈ Cs tồn nghiệm u(t) phương trình (2.5) [s − r, ∞) thỏa mãn e−γ(s+θ) P (s)Fs−θ = φ(θ) với θ ∈ [−r, 0] χ[s,+∞ (t)e−γ(t+·) ut (·) thuộc vào E ∩ E∞ , γ = β+α Hơn nữa, với hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (2.5) ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác φ, ψ ∈ Cs , ta có ước lượng sau ut − vt ≤ Cµ e(γ−µ)(t−s) với t ≥ s, (2.8) µ, Cµ số dương không phụ thuộc vào s, u(·), v(·) P (t) = P1 (t) + P3 (t) C P (s)φ (0) − P (s)ψ (0) (3) C F -bất biến dương phương trình (2.5), tức là, u(t), t ≥ s − r, nghiệm phương trình (2.5) thỏa mãn điều kiện hàm e−γ(s+·) u˜s (·) ∈ Cs χ[s,+∞ (t)e−γ(t+·) ut (·) thuộc vào E ∩ E∞ hàm e−γ(t+·) u˜t (·) ∈ Ct với t ≥ s 11 Định lý 2.2.1 Cho họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, số N, α, β cho Định nghĩa 1.2.2 Giả sử hàm hν , ϕ thỏa mãn Giả thiết 1.1.1 cho hàm eν , toán tử F , Φ xác định Định lí 2.1.1 Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, ν = νr k := (1 + H)e N0 N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ − e−ν ∞ β−α , (2.9) Khi đó, k < (1 − Ψ )/(1 + N0 eνr ) tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (2.5) 2.3 Đa tạp không ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Trong phần này, chúng tơi xét phương trình (2.1) trường hợp I ≡ R, tức phương trình có dạng ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, ut ) t ≥ s, t, s ∈ R, (2.10) us = φ ∈ C := C([−r, 0], X) Định nghĩa 2.3.1 Cho E không gian hàm Banach chấp nhận R Ta đặt E := E(R, C) = {f : R → C : f đo mạnh f (·) C ∈ E} (2.11) trang bị chuẩn f E = f (·) C E Khi đó, E khơng gian Banach Ta gọi không gian Banach tương ứng với không gian hàm Banach E Tiếp theo đưa khái niệm ϕ-Lipschitz R toán tử phi tuyến Φ Định nghĩa 2.3.2 Giả sử E không gian hàm Banach chấp nhận ϕ hàm dương thuộc vào E Hàm Φ : R × C → X gọi ϕ-Lipschitz R Φ thỏa mãn 12 (1) Φ(t, 0) = với t ∈ R, (2) Φ(t, φ1 )−Φ(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 −φ2 C với t ∈ R với φ1 , φ2 ∈ C Thay cho phương trình (2.10), ta xét phương trình tích phân sau F ut = U (t, s)F φ + t s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ với t ≥ s, us = φ ∈ C (2.12) Định nghĩa 2.3.3 Một tập U ⊂ R × C gọi đa tạp không ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (2.12) với t ∈ R không gian C phân tích thành tổng trực tiếp C = X0 (t) ⊕ X1 (t) tương ứng với phép chiếu P (t), t ∈ R,(tức là, X0 (t) = ImP (t), X1 (t) = kerP (t)) cho sup P (t) < ∞, tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz t∈R yt : X0 (t) → X1 (t), t ∈ R với số Lipschitz độc lập với t cho (1) U = (t, ψ + yt (ψ)) ∈ R × (X0 (t) ⊕ X1 (t))|t ∈ R, ψ ∈ X0 (t) , ta ký hiệu Ut = {ψ + yt (ψ) : (t, ψ + yt (ψ)) ∈ U, t ∈ R} (2) Ut đồng phôi với X0 (t) với t ∈ R (3) Với t0 ∈ R, φ ∈ Ut0 có tương ứng nghiệm u(·) phương trình (2.12) (−∞, t0 ] thỏa mãn điều kiện P (t0 )ut0 = φ χ(−∞,t0 ] (t)ut , t ∈ R thuộc vào E Hơn nữa, với hai nghiệm u(·) v(·) (2.12) ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác φ1 , φ2 ∈ Ut0 hút cấp mũ, tức là, tồn số dương µ Cµ khơng phụ thuộc vào t0 cho ut − vt C ≤ Cµ e−µ(t0 −t) P (t0 )φ1 (0) − P (t0 )φ2 (0) với t ≤ t0 (2.13) (4) U F -bất biến dương phương trình (2.12), tức là, u(t), t ∈ R, nghiệm (2.12) thỏa mãn điều kiện ut0 ∈ Ut0 , t0 ∈ R hàm χ(−∞,t0 ] (t)ut , t ∈ R thuộc vào E ta có ut ∈ Ut với t ∈ R, ut (θ) = F ut+θ với −r ≤ θ ≤ t ∈ R 13 Định lý 2.3.1 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ với phép chiếu nhị phân P (t), t ∈ R, số nhị phân N, ν > Xét hàm ϕ, hν thỏa mãn Giả thiết 1.1.1 Cho toán tử sai phân F : C → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(C, X), Ψ ≤ 1, δ0 hàm Dirac tập trung Giả thiết toán tử trễ Φ : R×C → X ϕ-Lipschitz R với ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ Giả thiết 1.1.1, đặt k = N (1 + H)eνr hν E , eν (t) = e−ν|t| với t ∈ R Khi N (1 + H)eνr (N1 + N2 ) Λ1 ϕ max 1− Ψ ∞ N N1 (1 + H)eνr eν , 1−k− Ψ E ϕ E < 1, tồn đa tạp khơng ổn định bất biến E-lớp U nghiệm phương trình (2.12) Kết luận Chương Trong chương này, chúng tơi nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính có dạng (2.1) đạt số kết sau: ❼ Trong trường hợp I ≡ R+ tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ số hạng phi tuyến Φ ϕ-Lipschitz R+ ❼ Cũng trường hợp I ≡ R+ tồn đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ số hạng phi tuyến Φ ϕ-Lipschitz R+ ❼ Trong trường hợp I ≡ R tồn đa tạp không ổn định bất biến E-lớp với điều kiện họ tiến hóa (U (t, s))t≥s có nhị phân mũ số hạng phi tuyến Φ ϕ-Lipschitz R Đa tạp có tính chất hút cấp mũ quỹ đạo nghiệm phương trình trung tính Các kết mà thu chương mở rộng phần kết cơng trình nghiên cứu Huy-Khánh (2017), Huy-Bằng (2015, 2017) Mở rộng thứ dạng phương trình, mở rộng thứ hai đa tạp Xét mặt phương trình F ut = u(t) kết trở kết Huy-Khánh (2017) Xét mặt đa tạp E = L∞ (I) kết trở kết Huy-Bằng (2015, 2017) 14 Chương ĐA TẠP BẤT BIẾN CHẤP NHẬN ĐƯỢC ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG HÀM TRUNG TÍNH TRÊN NỬA TRỤC Xét phương trình có dạng ∂ ∂t F ut = B(t)u(t) + Φ(t, ut ), t ∈ (0, ∞), u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X), (3.1) X không gian Banach (chuẩn · ), B(t) : D(B) ⊂ X −→ X tốn tử tuyến tính (có thể khơng bị chặn) với t ≥ cố định với chuẩn · D(B) B(t)x ≤ K x D(B) , x ∈ D(B); Với r > ta kí hiệu C := C([−r, 0], X) không gian Banach tất hàm liên tục từ [−r, 0] vào X, trang bị chuẩn φ C = sup φ(θ), φ ∈ C Xét tốn tử tuyến tính bị chặn θ∈[−r,0] F : C → D(B) toán tử sai phân, Φ : R+ × C → X tốn tử phi tuyến liên tục gọi toán tử trễ , ut hàm lịch sử xác định ut (θ) := u(t + θ) với θ ∈ [−r, 0] BÀI TOÁN Chứng minh tồn nghiệm, đa tạp ổn định bất biến E-lớp, đa tạp tâm E-lớp nghiệm phương trình (3.1) ❼ họ tốn tử tuyến tính (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa có nhị phân mũ tam phân mũ (xem Định nghĩa 1.2.1, 1.2.2) thỏa mãn điều kiện (1) Giả thiết 3.1 đây; ❼ toán tử sai phân F : C → D(B) thỏa mãn điều kiện (2) Giả thiết 3.1; ❼ số hạng phi tuyến Φ : R+ × C → X hàm ϕ-Lipschitz R+ , Φ(t, 0) ≤ ϕ(t), Φ(t, φ1 ) − Φ(t, φ2 ) ≤ ϕ(t) φ1 − φ2 C , với t ∈ R+ với φ1 , φ2 ∈ C, ϕ thuộc vào không gian hàm chấp nhận 15 3.1 Sự tồn nghiệm đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính Giả thiết 3.1 Ta giả sử F, B(t) Φ thỏa mãn giả thiết sau: (1) Họ toán tử (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 Hơn nữa, miền xác định B(t) độc lập với t, ta ký hiệu D(B), không gian Banach với chuẩn · D(B) cho B(t)x ≤ K x D(B) với x ∈ D(B) (2) Toán tử sai phân F : C → D(B) có dạng F φ = φ(0) − Ψφ với φ ∈ C, Ψ ∈ L(C, D(B)) thỏa mãn Ψ < (3) Toán tử trễ Φ ϕ-Lipschitz R+ xác định Định nghĩa 2.1.2 Sử dụng toán tử F, B(t) Φ, ta xác định tốn tử Φ : R+ × C([−r, ∞), D(B)) × C → X cho Φ(t, v, φ) = −B(t)F vt + B(t)v(t) + Φ(t, φ) (3.2) Khi đó, tốn tử Φ thỏa mãn (1) Φ(t, 0, 0) ≤ ϕ(t) với t ∈ R+ , (2) Φ(t, u, φ) − Φ(t, v, ψ) ≤ K Ψ ut − vt C + ϕ(t) φ − ψ C với t ∈ R+ , φ, ψ ∈ C u, v ∈ C([−r, ∞), D(B)) Ta viết lại phương trình (3.1) dạng ∂ ∂t F ut = B(t)F ut + Φ(t, u, ut ), u0 = φ ∈ C := C([−r, 0], X) t ∈ (0, ∞), (3.3) Trong không gian vô hạn chiều, thay cho phương trình (3.3) ta xét phương trình tích phân sau t F ut = U (t, s)F us + U (t, ξ)Φ(ξ, u, uξ )dξ s 16 với t > s ≥ 0, us ∈ C (3.4) Sau đây, tồn đa tạp ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (3.4) Định lý 3.1.1 Cho ϕ ∈ E hàm E-bất biến mũ hàm hν xác định Giả thiết 1.1.1 Giả sử F, (B(t))t≥0 Φ thỏa mãn Giả thiết 3.1 với (B(t))t≥0 sinh họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có nhị phân mũ Đặt νr k1 := N (1 + H)e 2K Ψ N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ + ν − e−ν ∞ , k := N (1 + H)eνr 2K Ψ N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ + N2 Λ1 ϕ × max{ + ν − e−ν ∞ , K Ψ N1 eν E + hν (·) E} (3.5) eν (t) = e−ν|t| Khi đó, k N k1 eνr , max − k1 − Ψ − Ψ e−γθ Đa tạp ổn định bất biến E-lớp phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vô hạn Định nghĩa 4.1.1 Giả sử E không gian hàm Banach chấp nhận nửa trục X không gian Banach trang bị với chuẩn · Ta đặt E := E(R+ , Cγ ) = {f : R+ → Cγ : f đo mạnh f (·) γ ∈ E} trang bị chuẩn f E = f (·) γ E Ta dễ dàng nhận thấy E khơng gian Banach Ta gọi khơng gian Banach ứng với khơng gian hàm Banach E Xét họ tốn tử (P (t))t≥0 Cγ sau P (t) : Cγ → Cγ (P (t)φ)(θ) = U (t − θ, t)P (t)φ(0) với θ ∈ (−∞, 0] (4.3) Xét phương trình tích phân sau F ut = U (t, s)F φ + t s U (t, ξ)Φ(ξ, uξ )dξ us = φ ∈ Cγ với t ≥ s ≥ 0, (4.4) Định nghĩa 4.1.2 Một tập S ⊂ R+ × Cγ gọi đa tạp ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.4) với t ∈ R+ không gian Cγ phân tích thành tổng trực tiếp Cγ = X0 (t) ⊕ X1 (t) với phép chiếu tương ứng P (t) (tức là, X0 (t) = ImP (t) X1 (t) = kerP (t)) cho supt≥0 P (t) < ∞, tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz yt : ImP (t) → kerP (t), t ∈ R+ với số Lipschitz độc lập với t cho 20 (1) S = {(t, ψ + yt (ψ)) ∈ R+ × (ImP (t) ⊕ kerP (t)) | t ∈ R+ , ψ ∈ X0 (t)}, ta ký hiệu St := {ψ + yt (ψ) : (t, ψ + yt (ψ)) ∈ S} (2) St đồng phôi với ImP (t) với t ≥ (3) Với φ ∈ Ss tồn nghiệm u(t) phương trình (4.4) R thỏa mãn điều kiện P (s)˜ us = φ, hàm χ[s,∞) (t)ut , t ∈ R, thuộc vào E u˜s (θ) = F us−θ với θ ≤ (4) S F -bất biến dương phương trình (4.4) tức là, u(t), t ∈ R, nghiệm phương trình (4.4) thỏa mãn điều kiện us ∈ Ss hàm χ[s,∞) (t)ut , t ∈ R, thuộc vào E, ta có u˜t ∈ St với t ≥ s, hàm u˜t xác định u˜t (θ) = F ut−θ với θ ≤ t ≥ Định lý 4.1.1 Giả sử toán tử sai phân F : Cγ → X có dạng F = δ0 − Ψ với Ψ ∈ L(Cγ , X), Ψ < 1, δ0 hàm Dirac tập trung đặt k := N (1 + H) hν (·) E thỏa mãn N N1 (1 + H) eν E ϕ 1−k− Ψ E < 1, Khi đó, tồn đa tạp ổn định bất biến S thuộc E-lớp nghiệm phương trình (4.4) N (1+H)(N1 Λ1 T1+ ϕ ∞ +N2 Λ1 ϕ ∞ ) Hơn nữa, < với hai nghiệm 1− Ψ u(t), v(t) đa tạp S E-lớp nghiệm phương trình (4.4) tương ứng với hai hàm giá trị ban đầu khác φ, ψ ∈ Ss hút cấp mũ, tức là, tồn số dương µ Cµ không phụ thuộc vào s ≥ cho ut − vt γ ≤ Cµ e−µ(t−s) P (s)φ − P (s)ψ γ với t ≥ s, (4.5) P (t), t ≥ xác định (4.3) Ss xác định Định nghĩa 4.1.2 21 4.2 Đa tạp tâm ổn định bất biến phương trình đạo hàm riêng hàm trung tính với trễ vơ hạn Định nghĩa 4.2.1 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}, t ≥ 0, j = 1, 2, 3, số N, α, β cho Định nghĩa 1.2.2 Một tập C ⊂ R+ × Cγ gọi đa tạp tâm ổn định bất biến E-lớp nghiệm phương trình (4.4) tồn họ ánh xạ liên tục Lipschitz Φt : Im(P1 (t) + P3 (t)) → ImP2 (t), số Lipschitz độc lập với t cho Ct = graph(Φt ) có tính chất: (1) Ct đồng phơi với Im(P1 (t) + P3 (t)) với t ≥ (2) Với φ ∈ Cs tồn nghiệm u(t) phương trình (4.4) R thỏa mãn e−ξ(s+θ) P (s)F us−θ = φ(θ) với θ ∈ (−∞, 0] χ[s,+∞) (t)e−ξ(t+·) ut (·), t ∈ R thuộc vào E, ξ = β+α Hơn nữa, hai nghiệm u(t) v(t) phương trình (4.4) tương ứng với hai hàm giá trị đầu khác φ, ψ ∈ Cs , ta có ước lượng ut − vt ≤ Cµ e(ξ−µ)(t−s) với t ≥ s, (4.6) µ, Cµ số dương không phụ thuộc vào s, u(·) v(·) đồng thời P (t) = P1 (t) + P3 (t) γ P (s)φ (0) − P (s)ψ (0) (3) C F -bất biến dương phương trình (4.4) tức là, u(t) nghiệm phương trình (4.4) thỏa mãn điều kiện hàm e−ξ(s+·) u˜s (·) ∈ Cs χ[s,+∞) (t)e−ξ(t+·) ut (·), t ∈ R thuộc vào E, hàm e−ξ(t+·) u˜t (·) ∈ Ct với t ≥ s Định lý 4.2.1 Giả sử họ tiến hóa (U (t, s))t≥s≥0 có tam phân mũ với phép chiếu tam phân {Pj (t)}t≥0 , j = 1, 2, 3, số N, α, β cho Định nghĩa 1.2.2 Cho E E không gian hàm Banach chấp nhận khơng gian liên kết Giả sử Φ : R+ × Cγ → X ϕ-Lipschitz với trễ vô hạn, ϕ hàm dương 22 thuộc vào E Đặt q := sup{ Pj (t) : t ≥ 0, j = 1, 3}, N0 := max{N, 2N q}, β−α ν= k := (1 + H)N0 hν (·) E (4.7) Nếu max N02 N1 (1+H) eν 1−k− Ψ E ϕ E , N0 (1+H)(N1 Λ1 T1+ ϕ 1− Ψ ∞ +N2 Λ1 ϕ ∞ )