Mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm nghiên cứu dáng điệu nghiệm của một số hệ vi phân phân thứ có trễ theo cách tiếp cận của lý thuyết ổn định. Đầu tiên chúng tôi nghiên cứu tính ổn định của nghiệm đối với lớp phương trình vi tích phân phân thứ bao gồm hiệu ứng xung và điều kiện không cục bộ với trễ hữu hạn. Sau đó, chúng tôi nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu của nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi tích phân phân thứ chứa trễ vô hạn. Cuối cùng luận án đạt được một số kết quả về tính hút trong khoảng thời gian hữu hạn đối với phương trình sóng phân thứ có trọng, nửa tuyến tính với trễ hữu hạn và phần phi tuyến tăng trưởng trên tuyến tính.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ Chuyên ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 TĨM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Hà Nội - 2018 Luận án hoàn thành tại: Trường Đại học Sư phạm Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Trần Đình Kế TS Nguyễn Thành Anh Phản biện 1: GS.TSKH Đinh Nho Hào, Viện Toán học Phản biện 2: PGS TS Nguyễn Sinh Bảy, Trường Đại học Thương Mại Phản biện 3: PGS TS Cung Thế Anh, Trường ĐHSP Hà Nội Luận án bảo vệ trước Hội đồng chấm luận án cấp Trường họp Trường Đại học Sư phạm Hà Nội vào hồi ngày tháng năm Có thể tìm hiểu luận án thư viện: Thư viện Quốc Gia, Hà Nội Thư viện Trường Đại học Sư phạm Hà Nội MỞ ĐẦU Tổng quan vấn đề nghiên cứu lí chọn đề tài Giải tích phân thứ cho bắt nguồn từ câu hỏi đưa vào năm 1695 L´Hospital Leibniz Đó làm để khái quát hóa khái niệm giải tích bậc ngun cho trường hợp có bậc bất kỳ? Qua lịch sử ba kỷ hình thành phát triển, thời gian dài ta thấy giải tích phân thứ chủ yếu thu hút quan tâm nhà toán học, chưa biết nhiều đến ứng dụng vào thực tiễn lĩnh vực khoa học khác Tuy nhiên, thập kỷ gần có nhiều nhà nghiên cứu dành quan tâm cho giải tích phân thứ thấy đạo hàm tích phân phân thứ cơng cụ mơ tả tốt nhiều tượng giới tự nhiên kỹ thuật là: hệ nhớt đàn hồi, phân cực chất điện mơi, sóng điện từ, truyền nhiệt, kỹ thuật chế tạo người máy, hệ sinh học, tài số lĩnh vực khác (xem Ahmed (2007), Butzer Hilfer (2000), Kilbas (2006)) Trong lịch sử, giải tích phân thứ thu hút ý nhiều nhà toán học tiên phong Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, Riesz Các ứng dụng giải tích phân thứ vật lý thực Abel Heaviside Ngày nay, phương trình vi phân phân thứ có ứng dụng rộng rãi hầu hết lĩnh vực khoa học Trong nhiều ứng dụng thực tế, sử dụng phương trình vi phân phân thứ mang lại hiệu tốt so với phương trình vi phân cổ điển Lý thuyết định tính ứng dụng phương trình vi phân phân thứ vật lý, kỹ thuật, kinh tế, sinh học sinh thái học nghiên cứu rộng rãi, tìm thấy cơng trình Kiryakova (1994), Mainardi (1997), Metzler (1995), MilRos Samko (1993) trích dẫn Khi xem xét mơ hình thực tiễn, đặc biệt tốn điều khiển trễ nhân tố khơng thể tách rời Do đó, hệ có trễ thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm tốn quan trọng hấp dẫn Trong nhiều mơ hình ứng dụng, người ta sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng phân thứ dạng ∂tα u(t, x) = ∆u(t, x) (1) với bậc đạo hàm α ∈ (0, 2], ∆ toán tử Laplace Trường hợp α ∈ (0, 1), phương trình khuếch tán, ứng dụng vật lý Nigmatullin (1986) để mơ tả q trình khuếch tán mơi trường vật liệu fractal (một dạng đặc biệt vật liệu xốp) Trường hợp α ∈ (1, 2), phương trình sóng phân thứ, mơ tả lan truyền sóng vật liệu nhớt đàn hồi Lý thuyết sở phương trình vi phân phân thứ phát triển trình bày nhiều tài liệu, kể đến sách tiêu biểu Kilbas (2006), MilRos (1993), Podlubny (1999) Những kết gần phương trình vi phân phân thứ chủ yếu dành cho tính giải khoảng thời gian hữu hạn (xem Phung (2013), R.N.Wang (2011), J Wang (2012) tài liệu tham khảo đó) tính điều khiển (chính xác xấp xỉ, xem Sakthivel (2011), J Wang (2011, 2012)) Trong lý thuyết ổn định cho phương trình vi phân bậc ngun có lịch sử phát triển lâu dài đạt nhiều kết quan trọng (xem Driver (1977), Drabek (2007), Hale (1993) với trích dẫn) kết tính ổn định phương trình vi phân phân thứ biết đến Trên thực tế, việc sử dụng công cụ phổ biến phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ gặp nhiều khó khăn việc tính đạo hàm phân thứ phiếm hàm Lyapunov khó thực Quay lại phương trình (1) trường hợp α ∈ (1, 2), dạng tương tự xem xét t ∂t u(t, x) = (t − s)α−2 ∆u(s, x)ds Γ(α − 1) (2) Phương trình gọi phương trình tán xạ-sóng (một dạng trung gian phương trình khuếch tán (α = 1), phương trình sóng (α = 2)), Fujita nghiên cứu lần đầu năm 1990 Phương trình với nhiễu phi tuyến tương ứng dạng t ∂t u(t, x) = (t − s)α−2 ∆u(s, x)ds + f (u(t, x)), Γ(α − 1) (3) mơ tả q trình khuếch tán kỳ dị truyền sóng vật liệu nhớt đàn hồi (xem Hilfer (2000), Mainardi (2001), Metzler (2000)) Để nghiên cứu lớp phương trình này, ta thường chuyển phương trình vi phân khơng gian Banach Cụ thể, ta coi u : [0, T ] → L2 (Ω) hàm theo biến t nhận giá trị L2 (Ω) xác định u(t) = u(t, ·) Khi đó, phương trình (3) viết dạng phương trình vi phân trừu tượng t u (t) = (t − s)α−2 Au(s)ds + f (t, u(t)), Γ(α − 1) (4) A = ∆ với miền xác định phù hợp theo điều kiện biên f (t, u(t)) = f (t, ·, u(t, ·)) Gần đây, vấn đề nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình nhận quan tâm số nhà nghiên cứu, nhiên kết đạt hạn chế Theo hiểu biết chúng tơi, chưa có kết tính ổn định nghiệm phương trình dạng (4) cơng bố Chính đặt vấn đề nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm tốn tổng qt sau khơng gian Banach X : t u (t) = (t − s)α−2 Au(s)ds + f (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, Γ(α − 1) − u(t+ k ) − u(tk ) = Ik (u(tk )), k ∈ Λ, u(¯ s) + g(u)(¯ s) = ϕ(¯ s), s¯ ∈ [−h, 0], (5) (6) (7) A tốn tử tuyến tính, đóng khơng bị chặn, f hàm phi tuyến xác định R+ × X × Ch , hàm khơng cục g : PC([−h, T ]; X) → Ch hàm xung Ik : X → X, k ∈ Λ − với Λ ⊂ N tập số Ký hiệu u(t+ k ), u(tk ) tương ứng giới hạn phải trái u tk ; ut khứ hàm trạng thái tính tới thời điểm t, nghĩa ut (¯ s) = u(t + s¯), s¯ ∈ [−h, 0] Bài tốn Cauchy với điều kiện khơng cục hay điều kiện xung nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu năm gần Điều kiện không cục dạng (7) cho ta mơ tả tốt mơ hình thực tế so với điều kiện ban đầu cổ điển, ví dụ điều kiện M u(s) + ci u(τi + s) = ϕ(s) i=1 cho phép mô tả đo đạc bổ sung số thời điểm thay đo thời điểm ban đầu Ý nghĩa vật lý kết nghiên cứu tốn khơng cục trình bày Byszewski (1991) Sau đó, tốn khác với điều kiện không cục liên quan đến phương trình vi phân bậc nguyên, bao hàm thức vi phân bậc nguyên nhận quan tâm lớn nhà nghiên cứu Liên quan đến kết tính giải được, chúng tơi trích dẫn cơng trình Chuong (2012), Hernández (2003), Jesús (2008), Ke (2012), Liu (2003) Mặt khác, điều kiện xung dạng (6) thường sử dụng để mô tả hệ động lực có trạng thái thay đổi đột ngột Về lý thuyết hệ vi phân chứa xung, tham khảo tài liệu Lakshmikantham (1989) Rõ ràng, toán Cauchy tổng quát với điều kiện không cục hiệu ứng xung đóng vai trò quan trọng việc mơ tả nhiều tốn thực tế Dựa ngun lí điểm bất động, chúng tơi chứng minh nghiệm khơng tốn (5)-(7) có tính hút tồn cục, nghĩa u(t) → t → +∞ với kiện ban đầu bị chặn ϕ Lưu ý rằng, nghiệm (5)-(7) có tính tiêu hao ω -tuần hồn S -tiệm cận (xem Andrade (2010) Cuevas (2009, 2010)) Tiếp theo, mở rộng lớp phương trình (4) cho trường hợp phần phi tuyến hàm đa trị với trễ vô hạn t u (t) ∈ (t − s)α−2 Au(s)ds + F (t, ut ), t > 0, Γ(α − 1) u0 = ϕ ∈ B, (8) (9) A tốn tử tuyến tính đóng khơng bị chặn, F ánh xạ đa trị xác định tập R+ × B, B khơng gian pha định nghĩa Chương Ở α ∈ (1, 2) ut khứ hàm trạng thái thời điểm t, nghĩa ut (s) = u(t + s), s ≤ Trong toán này, hàm F phi tuyến sinh từ hệ điều khiển với phản hồi đa trị (Kamenskii (2001)), nhiều tốn khác tốn quy hóa phương trình vi phân với vế phải không liên tục (Filippov (1988)), từ toán liên quan đến bất đẳng thức vi biến phân (Pang (2008)) Trễ vô hạn thường xuất toán điều khiển, nhân tố điều khiển lấy thông tin từ khứ hệ khơng có thơng tin thời điểm bắt đầu xuất trễ Mục đích chúng tơi nghiên cứu tốn phân tích tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm không, hệ (8)-(9) dựa khái niệm sau: Kí hiệu Σ(ϕ) tập nghiệm hệ (8)-(9) với điều kiện ban đầu ϕ Giả sử ∈ Σ(0), tức (8) có nghiệm khơng Nghiệm khơng (8) gọi ổn định tiệm cận yếu 1) Ổn định, nghĩa với ε > tồn δ > cho |ϕ|B < δ |ut |B < ε, với u ∈ Σ(ϕ), t > 0; 2) Hút yếu, nghĩa với ϕ ∈ B, tồn u ∈ Σ(ϕ) cho |ut |B → t → +∞ Chúng đưa khái niệm dựa khái niệm ổn định yếu Filippov cho hệ vi phân thường không chứa trễ Rõ ràng khái niệm ổn định tiệm cận yếu phù hợp cho hệ vi phân mà tính nghiệm tốn Cauchy khơng đảm bảo, đặc biệt bao hàm thức vi phân Để chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu, chúng tơi sử dụng nguyên lý điểm bất động cho ánh xạ nén không gian hàm liên tục xác định R+ Cụ thể, dựa vào dáng điệu α-giải thức {Sα (t)}t≥0 sinh phần tuyến tính, chúng tơi xây dựng khơng gian nghiệm thích hợp, định nghĩa độ đo không compact không gian nghiệm Cg ([0, ∞); X) để xác định tiêu chuẩn compact khơng gian này, sau chứng minh tốn tử nghiệm có tính nén Với cách tiếp cận này, trường hợp α-giải thức có tăng trưởng mũ, chúng tơi chứng minh tốn (8)-(9) có nghiệm bị chặn mũ Tiếp theo, α-giải thức ổn định tiệm cận, chúng tơi chứng minh tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm không Mở rộng khái niệm đạo hàm tích phân phân thứ, giải tích phân thứ có trọng phát triển để nghiên cứu số toán liên quan đến vật liệu xốp (Hanyga (2001)), dòng chảy địa vật lý (Meerschaert (2014)), thủy văn nước ngầm (Meerschaert (2008)), Có thể tìm hiểu thêm mục tiêu lý mở rộng giải tích phân thứ cơng trình Sabzikar (2015) Phương trình vi phân phân thứ có trọng chủ đề quan tâm thập kỷ qua, số kết tính giải được, phương pháp giải số thiết lập (Chen (2017), Deng (2017), Li (2016)) Mở rộng khái niệm đạo hàm tích phân phân thứ, giải tích phân thứ có trọng phát triển để nghiên cứu số toán liên quan đến vật liệu xốp, dòng chảy địa vật lí, thủy văn nước ngầm v.v Trong trường hợp này, thay xét phương trình (1), người ta xét phương trình Dα,σ u(t) = Au(t) + f (t, ut ), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], u (0) = y, (10) (11) (12) α ∈ (1, 2), σ > 0, Dα,σ đạo hàm phân thứ có trọng với bậc α theo nghĩa Caputo, hàm trạng thái u nhận giá trị không gian Banach X với trễ ut ∈ C([−h, 0]; X) xác định ut (s) = u(t + s), s ∈ [−h, 0], A tốn tử tuyến tính đóng X hàm phi tuyến f xác định [0, T ] × C([−h, 0]; X) Ở đây, mục tiêu chúng tơi chứng minh tính giải toán (10)-(12) thiết lập tổng qt (khơng có điều kiện Lipschitz f tính compact nửa nhóm sinh A, tình thảo luận Feng (2016) trường hợp σ = 0) Thêm nữa, nghiên cứu dáng điệu nghiệm (10) thông qua khái niệm tính hút thời gian hữu hạn đưa Giesl (2012) Có thể thấy rằng, dáng điệu tiệm cận nghiệm hệ vi phân thời gian đủ lớn nghiên cứu qua hàng kỷ, thu nhiều thành tựu có tính hệ thống đóng vai trò quan trọng nhiều toán thực tiễn Tuy nhiên, nhiều ứng dụng tượng xảy thời gian ngắn việc phân tích dáng điệu nghiệm khoảng thời gian hữu hạn lại đóng vai trò quan trọng thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Trong nội dung chúng tơi chứng minh tồn nghiệm cách sử dụng định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, điều yêu cầu hàm phi tuyến f phải thỏa mãn tính quy thể thơng qua độ đo không compact Hausdorff Chú ý rằng, thiết lập chúng tơi, hàm f tăng trưởng tuyến tính Để đạt kết tính hút thời gian hữu hạn nghiệm, thực số ước lượng cục (ước lượng với kiện ban đầu nhỏ) sử dụng bất đẳng thức Gronwall kì dị Cuối chúng tơi áp dụng kết trừu tượng cho lớp phương trình đạo hàm riêng phân thứ có trọng theo biến thời gian Mục đích – Đối tượng – Phạm vi nghiên cứu luận án 2.1 Mục đích nghiên cứu: Nghiên cứu dáng điệu nghiệm số hệ vi phân phân thứ có trễ theo cách tiếp cận lý thuyết ổn định Đầu tiên chúng tơi nghiên cứu tính ổn định nghiệm lớp phương trình vi tích phân phân thứ bao gồm hiệu ứng xung điều kiện không cục với trễ hữu hạn Sau đó, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm tầm thường cho bao hàm thức vi tích phân phân thứ chứa trễ vơ hạn Cuối luận án đạt số kết tính hút khoảng thời gian hữu hạn phương trình sóng phân thứ có trọng, nửa tuyến tính với trễ hữu hạn phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính 2.2 Đối tượng nghiên cứu: Trong luận án này, tác giả xét ba lớp toán: ∗ Lớp thứ nhất: Phương trình vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng với trễ hữu hạn ∗ Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng với trễ vơ hạn ∗ Lớp thứ ba: Phương trình sóng phân thứ có trọng nửa tuyến tính với trễ hữu hạn 2.3 Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận án thể thông qua nội dung sau ∗ Nội dung 1: Nghiên cứu tồn nghiệm phương trình bao hàm thức vi phân phân thứ với trễ hữu hạn vơ hạn ∗ Nội dung 2: Nghiên cứu tính ổn định nghiệm lớp phương trình vi tích phân phân thứ bao gồm hiệu ứng xung điều kiện không cục với trễ hữu hạn ∗ Nội dung 3: Nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm bao hàm thức vi tích phân phân thứ dạng sóng khuếch tán với trễ vơ hạn ∗ Nội dung 4: Nghiên cứu tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm phương trình vi phân phân thứ có trọng (tempered) với trễ hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Luận án sử dụng cơng cụ giải tích đa trị, lí thuyết nửa nhóm, giải tích phân thứ, lí thuyết điểm bất động, để thực nội dung nghiên cứu nêu Ngoài nội dung cụ thể, sử dụng số kỹ thuật tương ứng: • Nghiên cứu tính giải toán phi tuyến: Phương pháp ước lượng theo độ đo khơng compact • Nghiên cứu tồn nghiệm phân rã tốc độ phân rã tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm: Sử dụng cách tiếp cận Burton Furumochi, kỹ thuật ước lượng độ đo khơng compact định lí điểm bất động cho ánh xạ nén • Nghiên cứu tính hút thời gian hữu hạn dựa khái niệm đưa Giesl Rasmussen Cấu trúc kết luận án Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Danh mục cơng trình cơng bố Tài liệu tham khảo, luận án chia làm bốn chương: Chương trình bày số kiến thức chuẩn bị Chương chứng minh tính ổn định nghiệm cho lớp phương trình vi tích phân phân thứ với trễ hữu hạn Chương nghiên cứu tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm cho lớp bao hàm thức vi tích phân phân thứ với trễ vơ hạn Chương với phương trình vi phân phân thứ có trọng trễ hữu hạn, chúng tơi chứng minh tính hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Ý nghĩa kết luận án Các kết thu luận án góp phần làm phong phú thêm hướng nghiên cứu ổn định nghiệm cho phương trình bao hàm thức vi tích phân phân thứ có trễ trong khơng gian Banach tổng quát, áp dụng cho nhiều lớp phương trình đạo hàm riêng phi tuyến hệ vi phân thường có trễ Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này, nhắc lại kết giải tích phân thứ, lí thuyết giải thức, lí thuyết độ đo khơng compact (MNC) ánh xạ nén, số kiến thức giải tích đa trị 1.1 GIẢI TÍCH BẬC PHÂN SỐ Trong mục này, nhắc lại số khái niệm tính chất liên quan đến đạo hàm, tích phân phân thứ phân thứ có trọng 1.2 LÍ THUYẾT GIẢI THỨC Mục trình bày số khái niệm vài kết liên quan đến họ cosine, nửa nhóm giải thức 1.3 ĐỘ ĐO KHƠNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG Trong mục này, trình bày khái niệm độ đo khơng compact số ước lượng liên quan đến độ đo không compact Hausdorff 1.4 ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 1.4.1 Một số vấn đề giải tích đa trị Trình bày số khái niệm kết giải tích đa trị Trong có khái niệm hàm chọn hàm đa trị, tồn hàm chọn số kết then chốt 1.4.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động Trong mục này, chúng tơi trình bày nguyên lí điểm bất động cho ánh xạ nén 1.5 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN Ở nhặc lại khái niệm ổn định Lyapunov, ổn định yếu, ổn định thời gian hữu hạn, tính hút thời gian hữu hạn số tính chất liên quan đến khái niệm 1.6 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 1.6.1 Các không gian hàm Trong mục này, nhắc lại số không gian hàm cần dùng luận án như: Lp (Ω), ≤ p < +∞; L∞ (Ω); Lploc (Ω), ≤ p < +∞, với Ω miền bị chặn Rn Các không gian hàm phụ thuộc thời gian, C([a, b]; E); Lp (a, b; E); Ch := C([−h, 0]; E), h > cho trước, E khơng gian Banach Đặc biệt, chúng tơi trình bày khơng gian pha kiểu Hale-Kato B 1.6.2 Một số bất đẳng thức thường dùng Nhắc lại số bất đẳng thức sử dụng lun ỏn: bt ng thc Hăolder v mt vi dng bất đảng thức Gronwall 10 (2) tồn hàm m : R2+ → R+ , cho m(t, ·) ∈ L1 (0, t), t > 0, với tập bị chặn V ⊂ X, W ⊂ Ch , χ(Sα (t − s)f (s, V, W )) ≤ m(t, s)[χ(V ) + χh (W )], hầu khắp t, s ∈ [0, T ], s ≤ t (I) Hàm xung Ik : X → X, k ∈ Λ, thỏa mãn: (1) Ik liên tục tồn số lk ≥ thỏa mãn Ik (x) ≤ lk ΨI ( x ), ΨI hàm giá trị thực liên tục, khơng giảm; (2) tồn số µk ≥ 0, cho χ(Ik (V ) ≤ µk χ(V ), với tập bị chặn V ⊂ X (G) Hàm không cục g : PC([−h, T ]; X) → Ch thỏa mãn điều kiện: (1) g liên tục g(u) Ch ≤ Ψg ( u PC ), ∀u ∈ PC , Ψg hàm liên tục, không giảm R+ ; (2) tồn η ≥ 0, cho với tập bị chặn D ⊂ PC([−h, T ]; X), χh (g(D)) ≤ ηχPC (D) Sau định nghĩa nghiệm tích phân hệ (2.1)-(2.3) Định nghĩa 2.1 Hàm u ∈ PC([−h, T ]; X) gọi nghiệm tích phân toán (2.1)-(2.3) đoạn [−h, T ] u(t) = ϕ(t) − g(u)(t) với t ∈ [−h, 0], u(t) = Sα (t)[ϕ(0) − g(u)(0)] + Sα (t − tk )Ik (u(tk )) 0 0, Γ(α − 1) (3.1) (3.2) u0 = ϕ ∈ B, hàm chưa biết u nhận giá trị không gian Banach (X, · ), A tốn tử tuyến tính đóng khơng bị chặn, F ánh xạ đa trị xác định R+ × B, B khơng gian pha định nghĩa Chương Ở α ∈ (1, 2) ut khứ hàm trạng thái thời điểm t, nghĩa ut (s) = u(t + s), s ≤ 3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM BỊ CHẶN MŨ Giả sử g : R+ → [1, +∞) hàm liên tục không giảm Trong mục này, ta giả thiết: (A ) A toán tử quạt kiểu (ω, θ) với ω ≥ ≤ θ < π(1 − α/2), cho α-giải thức Sα (·) sinh A liên tục theo chuẩn (B ) B không gian pha Chương 1, với K M g hàm bị chặn (F ) Ánh xạ đa trị F : R+ × B → Kv(X) thỏa mãn: (1) với ψ ∈ B ánh xạ đa trị F (·, ψ) : R+ → Kv(X) có hàm chọn đo mạnh địa phương, nghĩa với T > tìm hàm đo mạnh f : [0, T ] → X cho f (t) ∈ F (t, ψ) với hầu khắp t ∈ [0, T ]; (2) với hầu khắp t ∈ R+ , ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) nửa liên tục trên; (3) tồn hàm không âm m, p cho m, gp ∈ L1 (R+ ), với ψ ∈ B, ta có F (t, ψ) := sup{ ξ : ξ ∈ F (t, ψ)} ≤ m(t)|ψ|B + p(t) với hầu khắp t ∈ R+ ; 15 (4) tồn hàm k ∈ L∞ (R+ ) cho, với tập bị chặn D ⊂ B ta có χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup χ(D(s)) với hầu khắp t ∈ R+ s≤0 Xét không gian hàm sau u(t) = 0}, t→+∞ g(t) Cg (R+ ; X) = {u ∈ C([0, ∞); X) : lim với chuẩn u g (3.3) u(t) g(t) = sup t≥0 Dễ thấy Cg (R+ ; X) không gian Banach Bây ta định nghĩa độ đo không compact không gian Sử dụng toán tử πT : Cg (R+ ; X) → C([0, T ]; X) định nghĩa πT (u) = u|[0,T ] Cho Ω tập bị chặn Cg (R+ ; X) Đặt χ∞ (Ω) = sup ωT (πT (Ω)) + sup modT (πT (Ω)), T >0 T >0 d∞ (Ω) = lim sup sup u(t) , g(t) T →+∞ u∈Ω t≥T (3.4) (3.5) χ∗ (Ω) = χ∞ (Ω) + d∞ (Ω), (3.6) ωT modT cho Chương Bổ đề sau đưa điều kiện đủ cho tính compact tập bị chặn Cg (R+ ; X) Bổ đề 3.1 Cho Ω ⊂ Cg (R+ ; X) tập bị chặn cho χ∗ (Ω) = Khi đó, Ω compact tương đối Cg (R+ ; X) Trong phần này, ta xét không gian Cg (R+ ; X) với g(t) = eβt β > ω α Với ϕ ∈ B, ta định nghĩa không gian Cg,ϕ = u ∈ Cg (R+ ; X) : u(0) = ϕ(0) Ta có, Cg,ϕ khơng gian đóng Cg (R+ ; X) Nghiệm toán (3.1)-(3.2) định nghĩa, sau Định nghĩa 3.1 Cho trước ϕ ∈ B Hàm liên tục u : R → X gọi nghiệm tích phân tốn (3.1)-(3.2), tồn f ∈ PF (u|R+ ), cho u(t) = t ≤ 0, ϕ(t), t S (t − s)f (s)ds, α Sα (t)ϕ(0) + t > Xét toán tử đa trị F : Cg,ϕ → P(Cg,ϕ ), t F(v)(t) = Sα (t)ϕ(0) + Sα (t − s)f (s)ds : f ∈ PF (v) (3.7) Rõ ràng v điểm bất động F v[ϕ] nghiệm tích phân (3.1)-(3.2) Ta gọi F tốn tử nghiệm (3.1)-(3.2) Kết phần trình bày định lí sau 16 Định lí 3.1 Nếu giả thiết (A ), (B ) (F ) thỏa mãn t sup t≥0 Sα (t − s) K(s)m(s)ds < g(t − s) (3.8) u(t) Khi tốn (3.1)-(3.2) có nghiệm tích phân thỏa mãn = o(1) g(t) t → +∞, 3.3 KẾT QUẢ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH YẾU Trong mục này, xét trường hợp A toán tử quạt kiểu (ω, θ) với ω < ≤ θ < π(1 − α/2), nghĩa α-giải thức Sα (·) ổn định tiệm cận Ta thấy rằng, cách chọn g ≡ tiến hành tương tự phần trước, ta chứng minh tồn nghiệm toán (3.1)-(3.2) suy tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm khơng Cụ thể là, ta xét tốn tử nghiệm F không gian BC0,ϕ = {v ∈ C([0, ∞); X) : v(0) = ϕ(0), lim t→+∞ v(t) = 0}, với chuẩn v ∞ = sup v(t) t≥0 Trong tình này, giả thiết (A ), (B ) (F ) thay giả thiết sau (Aa ) A toán tử quạt kiểu (ω, θ) với ω < ≤ θ < π(1 − α/2), cho α-giải thức Sα (·) sinh A liên tục theo chuẩn (Ba ) Không gian pha B cho Chương 1, với hàm K bị chặn M thỏa mãn M (t) = o(1) t → ∞ (Fa ) Ánh xạ đa trị F : R+ × B → Kv(X) thỏa mãn: (1) với ψ ∈ B ánh xạ đa trị F (·, ψ) : R+ → Kv(X) có hàm chọn đo mạnh địa phương, nghĩa với T > ta tìm hàm đo mạnh f : [0, T ] → X , cho f (t) ∈ F (t, ψ) với hầu khắp t ∈ [0, T ]; (2) với hầu khắp t ∈ R+ ánh xạ đa trị F (t, ·) : B → Kv(X) nửa liên tục trên B; (3) tồn hàm m ∈ L1 (R+ ), cho với ψ ∈ B, ta có F (t, ψ) := sup{ ξ : ξ ∈ F (t, ψ)} ≤ m(t)|ψ|B , với hầu khắp t ∈ R+ ; (4) tồn hàm k ∈ L∞ (R+ ), cho với tập bị chặn D ⊂ B, ta có χ(F (t, D)) ≤ k(t) sup χ(D(s)) với hầu khắp t ∈ R+ s≤0 Định lí sau hệ Định lí 3.1 Định lí 3.2 Giả sử giả thiết (Aa ), (Ba ) (Fa ) thỏa mãn Với điều kiện t Sα (t − s) K(s)m(s)ds < 1, Λ∞ = sup t≥0 nghiệm khơng tốn (3.1)-(3.2) ổn định tiệm cận yếu (3.9) 17 3.4 ÁP DỤNG Cho Ω miền bị chặn RN với biên trơn ∂Ω Xét phương trình đạo hàm riêng sau t ∂u (t, x) = ∂t (t − s)α−2 ∆x u(s, x)ds + f (t, x), t > 0, x ∈ Ω, Γ(α − 1) (3.10) α ∈ (1, 2), hàm u thỏa mãn điều kiện biên u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, (3.11) u(t, x) = ϕ(t, x), x ∈ Ω, t ≤ 0; (3.12) điều kiện ban đầu hàm f ràng buộc f (t, x) ∈ b(t, x) ν(θ, y) f1 (u(t + θ, y)), f2 (u(t + θ, y)) dydθ, −∞ (3.13) Ω [f1 , f2 ] = {τ f1 + (1 − τ )f2 : τ ∈ [0, 1]} Xét A = ∆ với D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω), tập giải A, ρ(A) ⊂ C\(−∞, −λ1 ], λ1 = inf{ ∇u 2L2 (Ω) : u L2 (Ω) = 1} Vậy A toán tử quạt kiểu (−λ1 , θ) với θ ∈ (0, π2 ) Cho X = L2 (Ω) Ta thấy Sα (·) khả vi (0, +∞) d Sα (t)u0 ≤ Cα t−1 u0 , t > 0, dt với Cα số dương Đặc biệt, Sα (·) liên tục theo chuẩn Vậy giả thiết (Aa ) đáp ứng Xét không gian pha B = CL2g với g(θ) = ehθ , nửa chuẩn B cho −r |w|B = sup w(θ) X ehθ w(θ) + −r≤θ≤0 X dθ , −∞ với r = − h1 ln(1 − h) Ta có K(t) = 1, 1+ √1 h √ ≤ t ≤ r, e−hr − e−ht , max e− 12 ht , + M (t) = − 21 ht e , t > r; e−hr −ht ) h (1 − e , ≤ t ≤ r, t > r Ta thấy K(t) = O(1), M (t) = o(1) t → +∞, (Ba ) thỏa mãn Ta hệ (3.10)-(3.13) ổn định tiệm cận yếu với thiết lập thích hợp phần phi tuyến Cụ thể, giử sử (N1) b ∈ L1 (R+ ; L2 (Ω)); 18 (N2) f1 , f2 : R → R liên tục thỏa mãn |fi (z)| ≤ Cf |z|, ∀z ∈ R, với Cf > đó; (N3) ν : (−∞, 0] × Ω → R hàm liên tục, cho |ν(θ, y)| ≤ Cν ehθ , ∀y ∈ Ω, θ ≤ 0, h ∈ (0, 1) Cν > Cho F : R+ × B → P(X) ánh xạ đa trị, định nghĩa F (t, w)(x) = b(t, x) ν(θ, y) f1 (w(θ, y)), f2 (w(θ, y)) dydθ −∞ Ω Khi ta thấy rằng, với τ ∈ [0, 1] hàm số ν(θ, y) τ f1 (w(θ, y)) + (1 − τ )f2 (w(θ, y)) dydθ f (t, x) = b(t, x) −∞ Ω hàm chọn khả tích F (t, w) Giả thiết (Fa )(1) thỏa mãn Bây giờ, với tập bị chặn W ⊂ B, F (t, W ) ⊂ span{b(t, ·)}, không gian chiều L2 (Ω) Thêm nữa, nhờ (N2), F (t, W ) tập bị chặn compact tương đối Do χ(F (t, W )) = 0, giả thiết (Fa )(4) thỏa mãn với k = Đặc biệt, F (t, w) compact tương w ∈ B Nhờ tính liên tục f1 , f2 Định lý hội tụ trội Lebesgue, ta kiểm tra tính đóng F (t, ·) Do đó, F (t, ·) có giá trị compact nửa liên tục Giả thiết (Fa )(2) thỏa mãn Đối với giả thiết (Fa )(3), ta có ước lượng sau F (t, w) ≤ Cν2 Cf2 b(t, ·) ehθ −∞ |w(θ, y)|dydθ Ω 2 Cν Cf µ(Ω) b(t, ·) |w|2B , h ≤ nhờ bất ng thc Hăolder v r = h1 ln(1 h), µ(Ω) độ đo Lebesgue Ω Khi F (t, w) ≤ √ Cν Cf h µ(Ω) b(t, ·) |w|B Như vậy, giả thiết (Fa )(3) thỏa mãn với m(t) = √1 Cν Cf h µ(Ω) b(t, ·) Cuối cùng, ta giả sử thêm b(t, x) = b1 (t)b2 (x) với b1 ∈ L1 (R+ ), b2 ∈ L2 (Ω) b(t, ·) = b1 (t) b2 , ta kiểm tra điều kiện (3.9) sau t Λ∞ ≤ sup t≥0 C0 = ˆ ν Cf √1 CC h C0 K∞ b2 b1 (s) ds ≤ C0 K∞ b2 + λ1 (t − s)α µ(Ω) Do đó, (3.9) thỏa mãn với b2 b1 b1 L1 (R+ ) , L1 (R+ ) nhỏ 19 Chương TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SĨNG BẬC PHÂN SỐ CĨ TRỌNG Trong chương này, chứng minh tồn tính hút thời gian hữu hạn nghiệm, phương trình sóng phân thứ có trọng, nửa tuyến tính với tốn tử quạt phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Vấn đề nêu nghiên cứu dựa lý thuyết α-giải thức, định lí điểm bất động cho ánh xạ nén, ước lượng cục nghiệm Cuối ứng dụng cho lớp phương trình đạo hàm riêng cụ thể Nội dung chương dựa viết số [3](dạng tiền ấn phẩm) Danh mục cơng trình khoa học tác giả liên quan đến luận án 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN Cho (X, · ) khơng gian Banach Xét tốn sau Dα,σ u(t) = Au(t) + f (t, ut ), t ∈ [0, T ], u(s) = ϕ(s), s ∈ [−h, 0], u (0) = y, (4.1) (4.2) (4.3) α ∈ (1, 2), σ > 0, Dα,σ đạo hàm phân thứ có trọng với bậc α theo nghĩa Caputo, hàm trạng thái u nhận giá trị X với trễ ut ∈ C([−h, 0]; X) xác định ut (s) = u(t + s), s ∈ [−h, 0], A tốn tử tuyến tính đóng X hàm phi tuyến f định nghĩa [0, T ] × C([−h, 0]; X) 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM Để nghiên cứu tồn nghiệm toán (4.1)-(4.3) trường hợp phần phi tuyến có tăng trưởng tuyến tính, chúng tơi sử dụng giả thiết sau: (A∗ ) A toán tử quạt kiểu (0, θ) với góc θ ∈ [0, (1 − α2 )π) ∈ ρ(A) (F∗ ) Ánh xạ f : [0, T ] × Ch → X liên tục thỏa mãn: (1) điều kiện tăng trưởng f (t, v) ≤ a + b v Ch , ∀v ∈ Ch , hầu khắp t ∈ [0, T ], với a, b số không âm; (2) (λI − A)−1 , λ ∈ ρ(A), khơng compact với tập bị chặn Ω ⊂ Ch , ta có χ(f (t, Ω)) ≤ k(t) sup χ(Ω(θ)), θ∈[−h,0] k ∈ L1 (0, T ) hàm không âm 20 Chúng tơi đưa định nghĩa nghiệm tích phân toán (4.1)-(4.3) sau Định nghĩa 4.1 Cho trước (ϕ, y) ∈ Ch × X Hàm u ∈ C([−h, T ]; X) gọi nghiệm tích phân tốn (4.1)-(4.3) đoạn [−h, T ] u(t) = ϕ(t) t ∈ [−h, 0] u(t) = e−σt Sα (t)ϕ(0) + e−σt (1 ∗ Sα )(t)(y + σϕ(0))ds, t e−σ(t−s) (gα−1 ∗ Sα )(t − s)f (s, us )ds, + t ∈ [0, T ] Sau đây, ta xét toán tử F : Cϕ → Cϕ cho F(v)(t) = e−σt Sα (t)ϕ(0) + e−σt (1 ∗ Sα )(t)(y + σϕ(0)) t e−σ(t−s) (gα−1 ∗ Sα )(t − s)f (s, vs )ds + (4.4) Dễ thấy v điểm bất động F v[ϕ] nghiệm tích phân (4.1)-(4.3) Định lí sau kết tồn nghiệm tốn phần phi tuyến có tăng trưởng tuyến tính Định lí 4.1 Với giả thiết (A∗ ) (F∗ ) Tập nghiệm toán (4.1)-(4.3) khác rỗng Bây giờ, để xét trường hợp f tăng trưởng tuyến tính, ta thay điều kiện (F ) điều kiện sau ∗ (F∗a ) Hàm phi tuyến f : [0, T ] × Ch → X liên tục thỏa mãn (F)(2) Hơn nữa, tồn hàm m ∈ C([0, T ]; R+ ) hàm không giảm Ψ ∈ C(R+ ; R+ ), cho f (t, v) ≤ m(t)Ψ( v Ch ), ∀v ∈ Ch Đặt Cσ = max{σ −1 e−1 , T e−σT }, kí hiệu | · |∞ chuẩn sup C([0, T ]; R) Ta có kết tồn nghiệm phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính Định lí 4.2 Giả sử giả thiết (A∗ ) (F∗a ) thỏa mãn Nếu tồn R > 0, cho (4.5) M ϕ Ch + M Cσ ( y + σ ϕ Ch ) + Cα Γ(α)|I0α,σ m|∞ Ψ( ϕ Ch + R) ≤ R, tốn (4.1)-(4.3) có nghiệm tích phân 4.3 TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN Trong phần này, chúng tơi chứng minh kết chương tính hút thời gian hữu hạn nghiệm khơng Kí hiệu S(ξ) tập nghiệm toán (4.1)-(4.3) với kiện ban đầu ξ = (ϕ, y) Chúng sử dụng khái niệm hút khoảng thời gian hữu hạn nghiệm phương trình (4.1) sau Định nghĩa 4.2 (Tính hút khoảng thời gian hữu hạn) Cho ξ0 = (ϕ0 , y0 ) ∈ Ch × X Nghiệm u ∈ S(ξ0 ) gọi 21 (i) hút [0, T ] tồn η > cho vT − uT Ch + v (T ) − u (T ) < ϕ − ϕ0 Ch + y − y0 với ξ = (ϕ, y) ∈ Bη (ξ0 ) \ {ξ0 } v ∈ S(ξ), Bη (ξ0 ) hình cầu đóng Ch × X có tâm ξ0 bán kính η (ii) hút mũ [0, T ] lim sup η sup sup η ξ∈Bη (ξ0 ) v∈S(ξ) vT − uT Ch + v (T ) − u (T ) < Hiển nhiên, từ tính hút mũ suy tính hút Chúng tơi đưa điều kiện đủ cho tính hút mũ bổ đề sau Bổ đề 4.1 Cho trước ξ0 = (ϕ0 , y0 ) ∈ Ch × X Nghiệm u ∈ S(ξ0 ) hút mũ [0, T ], lim sup vT − uT sup Ch ξ →0 v∈S(ξ+ξ0 ) + v (T ) − u (T ) < ξ (4.6) Bổ đề 4.2 Nếu giả thiết (A∗ ) (F∗a ) thỏa mãn với Ψ Lipschitz địa phương Ψ(r) = γr + o(r) r → 0, γ số khơng âm, lim sup ξ=(ϕ,y)→0 u∈S(ξ) ut Ch = 0, ∀t ∈ [0, T ] Trước hết chúng tơi nghiên cứu tính hút mũ nghiệm khơng phương trình (4.1) Định lí 4.3 Giả thiết Bổ đề 4.2 Khi nghiệm không (4.1) hút mũ [0, T ], bất đẳng thức sau thỏa mãn (4.7) Φ(T ) + Σ(T ) < 1, Φ(t) = M max{t, + σt}e−σ(t−h) Eα tα γ|m|∞ eσh Cα Γ(α) , Σ(t) = e−σt max Ct−1 + M σ t, M (1 + σt) t σ(t − s)α−1 + (t − s)α−2 e−σ(t−s) Φ(s)ds + γCα Để chứng minh tính hút nghiệm khác khơng, cần giả thiết sau phần phi tuyến (F∗b ) Hàm f : [0, T ] × Ch → X liên tục, thỏa mãn (F∗ )(2) Hơn nữa, tồn hàm m ∈ C([0, T ]; R+ ) hàm không giảm, Lipschitz địa phương Ψ ∈ C(R+ ; R+ ) cho Ψ(r) = γr + o(r) r → với γ ≥ 0, f (t, v1 ) − f (t, v2 ) ≤ m(t)Ψ( v1 − v2 Ch ), ∀v1 , v2 ∈ Ch Định lí 4.4 Nếu giả thiết (A∗ ), (F∗b ) thỏa mãn Φ(T ) + Σ(T ) < 1, Φ, Σ hàm cho Định lí 4.3 Khi đó, nghiệm phương trình (4.1) hút mũ [0, T ] 22 4.4 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền bị chặn với biên trơn ∂Ω Xét toán sau ∂tα,σ u(t, x) = ∆x u(t, x) + f˜ t, u(t, x), k(y)u(t − h, y)dy , x ∈ Ω, t ∈ [0, T ], (4.8) Ω (4.9) (4.10) (4.11) u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t > 0, u(s, x) = ϕ(s, x), x ∈ Ω, s ∈ [−h, 0], ∂t u(0, x) = y(x), x ∈ Ω, α ∈ (1, 2), σ > 0, ∂tα,σ đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa Caputo với bậc α, f˜ : [0, T ] × R2 → R hàm liên tục k ∈ L2 (Ω) Lấy X = L2 (Ω) A = ∆ với D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω) Khi A tốn tử sinh nửa nhóm compact {S(t)}t≥0 Phổ −A tập giá trị riêng −A, gồm số dương, dễ thấy ∈ ρ(A) A toán tử quạt kiểu (0, θ) với θ = Vì vậy, A sinh α-giải thức compact {Sα (t)}t≥0 Về phần phi tuyến f˜, giả thiết thêm |f˜(t, y, z)| ≤ m(t)|y||z|p , ∀(t, y, z) ∈ [0, T ] × R2 , (4.12) với m ∈ C([0, T ]; R+ ), p > Đặt Ch = C([−h, 0]; L2 (Ω)) Xét hàm số f : [0, T ] × Ch → L2 (Ω) xác định sau f (t, φ)(x) = f˜ t, φ(0, x), k(y)φ(−h, y)dy Ω Rõ ràng, toán (4.8)-(4.11) trường hợp riêng toán (4.1)-(4.2) Sử dụng (4.12), ta có p |f (t, φ)(x)| ≤ m(t)|φ(0, x)| |k(y)||φ(−ρ(0), y)|dy ≤ m(t)|φ(0, x)| k Ω p X φ(−ρ(0), ã) p X, bt ng thc Hăolder Vỡ vy f (t, φ) ≤ m(t) k ≤ m(t) k = m(t) k p X p X φ(0, ·) sup s∈[−h,0] p p+1 X φ Ch X φ(−ρ(0), ·) φ(s, ·) p X p+1 X Có thể kiểm tra f liên tục, nhờ vào tính liên tục f˜ định lí hội tụ trội Lebesgue Do đó, f thỏa mãn (F∗a ) với Ψ(r) = k pX rp+1 = o(r) r → Sử dụng Định lí 4.3, ta suy nghiệm không (4.8) hút mũ [0, T ], thỏa mãn M max{T, + σT }eσh + max CT −1 + M σ T, M (1 + σT ) < eσT , M = supt∈[0,T ] Sα (t) C = supt∈[0,T ] tA(gα−1 ∗ Sα )(t) 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Trong luận án, chúng tơi trình bày số kết dáng điệu nghiệm phương trình/bao hàm thức vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng chứa trễ không gian Banach tổng quát Các kết đạt bao gồm: • Đối với lớp phương trình vi tích phân phân thứ có trễ hữu hạn: Chứng minh tính giải tính ổn định tiệm cận nghiệm • Đối với lớp bao hàm thức vi tích phân phân thứ có trễ vơ hạn: Chứng minh tồn nghiệm tích phân tính ổn định tiệm cận yếu nghiệm • Với phương trình vi phân phân thứ có trọng: Chứng minh tồn nghiệm đoạn compact với phần phi tuyến tăng trưởng tuyến tính, đưa khái niệm tính hút, hút mũ khoảng hữu hạn cho trường hợp có trễ hữu hạn, nêu điều kiện đủ cho tính hút mũ khoảng thời gian hữu hạn sử dụng để thu tính hút mũ của nghiệm Kiến nghị số vấn đề nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở liên quan cần tiếp tục nghiên cứu: • Nghiên cứu dáng điệu nghiệm phương trình bao hàm thức vi phân phân thứ luận án khơng có giả thiết độ đo khơng compact • Nghiên cứu tồn tính ổn định (thời gian hữu hạn Lyapunov) nghiệm cho hệ vi phân ngẫu nhiên phân thứ • Nghiên cứu vấn đề liên quan tính qui nghiệm, cấu trúc tập nghiệm hệ vi phân phân thứ DANH MỤC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN N.M Chuong, T.D Ke, N.N Quan, Stability for a class of fractional partial integro-differential equations, J Integral Equations Appl 26 (2014), 145-170 (SCIE) N.T Anh, T.D Ke, N.N Quan Weak stability for integro-differential inclusions of diffusion-wave type involving infinite delays, Discrete Contin Dyn Syst Ser B 21 (2016), 3637-3654.(SCI) T.D Ke, N.N Quan Finite-time attractivity for semilinear tempered fractional wave equations, submitted Các kết luận án báo cáo tại: 1) Xêmina Bộ môn Giải tích, Khoa Tốn - Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội; 2) Hội thảo cho Nghiên cứu sinh, Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, 2018 ... nhất: Phương trình vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng với trễ hữu hạn ∗ Lớp thứ hai: Bao hàm thức vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng với trễ vơ hạn ∗ Lớp thứ ba: Phương trình sóng phân thứ. .. Sα )(t) 23 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Các kết đạt Trong luận án, chúng tơi trình bày số kết dáng điệu nghiệm phương trình/ bao hàm thức vi tích phân phân thứ dạng tán xạ-sóng chứa trễ không gian Banach... cứu dáng điệu nghiệm phương trình bao hàm thức vi phân phân thứ luận án khơng có giả thiết độ đo khơng compact • Nghiên cứu tồn tính ổn định (thời gian hữu hạn Lyapunov) nghiệm cho hệ vi phân