Sự tồn tại nghiệm cho một lớp các bất đẳng thức vi biến phân trong các không gian hữu hạn chiều và vô hạn chiều. Tính chất compact của tập nghiệm của hệ vi phân liên kết với DVI được chứng minh. Sự tồn tại nghiệm phân rã tốc độ mũ cho hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân có trễ trong không gian hữu hạn chiều.
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN ANH DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2019 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI NGUYỄN THỊ VÂN ANH DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN Chuyên ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế Hà Nội - 2019 MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN LỜI CẢM ƠN DANH SÁCH KÝ HIỆU MỞ ĐẦU Chương 1.1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 20 NỬA NHÓM MỘT THAM SỐ 20 1.1.1 Nửa nhóm tuyến tính 20 1.1.2 Nửa nhóm phi tuyến 23 1.2 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT (MNC) VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 27 1.3 GIẢI TÍCH ĐA TRỊ, ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÝ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 33 1.3.1 Một số vấn đề giải tích đa trị 33 1.3.2 Ánh xạ nén số định lý điểm bất động 35 1.4 TẬP HÚT TỒN CỤC CỦA NỬA DỊNG ĐA TRỊ 36 1.5 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 37 1.5.1 Một số bất đẳng thức thường dùng 37 1.5.2 Một số bổ đề định lý 38 1.5.3 Một số không gian hàm 39 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN TRONG KHÔNG GIAN HỮU HẠN CHIỀU 41 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 41 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 42 2.3 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM PHÂN RÃ 2.4 TẬP HÚT TỒN CỤC CHO NỬA DỊNG ĐA TRỊ SINH BỞI DVI Chương 48 51 BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC- ELLIPTIC TRONG KHÔNG GIAN VƠ HẠN CHIỀU 57 3.1 ĐẶT BÀI TỐN 57 3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 58 3.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 69 3.4 ÁP DỤNG 74 Chương BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN DẠNG PARABOLIC- PARABOLIC TRONG KHÔNG GIAN VÔ HẠN CHIỀU 78 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 79 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 85 4.3 SỰ TỒN TẠI TẬP HÚT TOÀN CỤC 94 4.4 ÁP DỤNG 99 KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 103 Những kết đạt 103 Đề xuất số hướng nghiên cứu 103 TÀI LIỆU THAM KHẢO 106 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan kết nghiên cứu luận án Dáng điệu nghiệm bất đẳng thức vi biến phân cơng trình nghiên cứu riêng tơi, hồn thành hướng dẫn PGS.TS Trần Đình Kế Các kết luận án hồn tồn trung thực chưa cơng bố cơng trình nghiên cứu khác mà biết Hà Nội, ngày tháng năm 2019 Nghiên cứu sinh Nguyễn Thị Vân Anh LỜI CẢM ƠN Luận án hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc, tận tình, chu đáo PGS.TS Trần Đình Kế Tác giả xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới Thầy tận tâm hướng dẫn mà Thầy dành cho tác giả suốt q trình học tập Thầy ln sẵn sàng đón nhận ý kiến, ln sát giải thích dẫn cho tác giả Tác giả xin cảm ơn Thầy chiều thứ tư hàng tuần dành thời gian mình, khơng ngần ngại bảo, chia sẻ, trao đổi vấn đề mới, phương pháp, đường hướng cho tác giả cho nhóm nghiên cứu Ngồi hành trang quý báu mặt khoa học, động viên Thầy dành cho tác giả nguồn động lực lớn giúp tác giả say mê nghiên cứu Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng Sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Tốn-Tin thầy Bộ mơn Giải tích, khoa Tốn-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, nơi tác giả học tập công tác, giúp đỡ, động viên, tạo môi trường thuận lợi cho tác giả Tác giả xin đặc biệt cảm ơn TS Trần Thị Loan, PGS.TS Cung Thế Anh, TS Nguyễn Như Thắng, TS Dương Anh Tuấn khích lệ tận tình góp ý luận án Tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy cô Hội đồng, dành nhiều thời gian, công sức tâm huyết để đóng góp ý kiến quý báu giúp cho luận án tác giả hoàn thành tốt Tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành đến bạn bè, người chung chí hướng, ln giúp đỡ tác giả suốt trình nghiên cứu Sau cùng, tác giả xin gửi lời cảm ơn từ tận đáy lòng đến gia đình, nơi ln dành cho tác giả tình u thương vơ hạn Nếu khơng có gánh vác san sẻ từ gia đình, tác giả khơng thể có kết Nguyễn Thị Vân Anh DANH SÁCH KÝ HIỆU R tập hợp số thực R+ tập hợp số thực không âm J = [0, T ] với T>0 (E, · E) không gian Banach với chuẩn · E 2E họ tập E P(E) = {A ∈ 2E : A = ∅} Pb (E) = {A ∈ P(E) : A tập bị chặn} Pc (E) = {A ∈ P(E) : A tập đóng} K(E) = {A ∈ P(E) : A compact} Kv(E) = {A ∈ P(E) : A tập lồi compact} L(E) khơng gian tốn tử tuyến tính, bị chặn khơng gian Banach E C(X; Y ) không gian hàm liên tục từ X vào Y Cτ = C([−τ, 0]; E) BE [a, r] = {x ∈ E : x − a ≤ r} I ánh xạ đồng → hội tụ mạnh hội tụ yếu h k n hầu khắp nơi DI bao hàm thức vi phân DVI bất đẳng thức vi biến phân VI bất đẳng thức biến phân DVI-PE bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicelliptic DVI-PP bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicparabolic MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết định tính phương trình vi phân (ODE) trải qua kỷ phát triển, chứng tỏ vai trò quan trọng việc mơ hình hóa giải nhiều toán tự nhiên kĩ thuật Trong thập kỉ cuối kỉ XX, phương trình vi phân đại số quan tâm nghiên cứu nhiều kết quan trọng thiết lập (xem [12, 47]) Theo đó, phương trình vi phân đại số (DAE) sử dụng nghiên cứu toán hệ thống mạng điện, hệ học có ràng buộc, phản ứng hóa học, việc sử dụng phương trình vi phân thường khơng thể mơ tả hết yếu tố ràng buộc Tuy nhiên, nghiên cứu hệ động lực tiếp xúc có ma sát vật thể đa diện hay hệ lai ghép học, ODE DAE lại trở nên hạn chế, phát sinh điều kiện ràng buộc nằm dạng bất đẳng thức (ràng buộc phía), điều kiện ngắt quãng học tiếp xúc toán kĩ thuật chuyển mạch (xem [4, 22]) Chính vậy, để nghiên cứu hệ vi phân với ràng buộc thỏa mãn yêu cầu từ thực tiễn đòi hỏi nhà tốn học phải khảo sát lớp tốn rộng hơn, bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm lớp toán quan trọng hệ bù vi phân Thuật ngữ bất đẳng thức vi biến phân (Differential variational inequality DVI) sử dụng lần Aubin Cellina [5] năm 1984 sách chuyên khảo bao hàm thức vi phân Trong tác giả xét toán ∀t ≥ 0, x(t) ∈ K, (1) supy∈K x (t) − f (x(t)), x(t) − y = 0, x(0) = x0 , với K tập lồi, compact khác rỗng Rn Bằng việc sử dụng hàm nón pháp tuyến tập K, toán đưa bao hàm thức vi phân f (t) ∈ F (x(t)), x(0) = x Từ đó, tác giả sử dụng cơng cụ giải tích đa trị để nghiên cứu tính giải toán (1) Đến năm 1997, toán bất đẳng thức vi biến phân mở rộng Avgerinous Papageorgiou báo [6] Hai nhà toán học nghiên cứu nghiệm tuần hoàn cho lớp DVI tập lồi, đóng, compact K biến thiên theo thời gian t −x (t) ∈ NK(t) (x(t)) + F (t, x(t)), h.k.n t ∈ [0, b], x(0) = x(b) NK(t) (x(t)) nón pháp tuyến tập lồi K(t) điểm x(t) Một cơng trình có ý nghĩa tiên phong nghiên cứu DVI cách có hệ thống nhóm tác giả J.S Pang D.E Stewart năm 2008 (xem [49]) Bằng việc xem xét bất đẳng thức vi biến phân mơ hình kết hợp phương trình vi phân có ràng buộc thỏa mãn bất đẳng thức biến phân, DVI cho phép mơ tả q trình có kết hợp hai yếu tố: yếu tố động lực yếu tố ràng buộc dạng biến phân Bài toán DVI [49] phát biểu tổng quát với mơ hình cụ thể sau: Tìm cặp hàm (x, u), x hàm liên tục tuyệt đối u hàm khả tích thỏa mãn hệ: x (t) = f (t, x(t), u(t)), v − u(t), F (t, x(t), u(t) ≥ 0, h.k.n t ∈ [0, T ]; ∀v ∈ K (2) (3) Đặt SOL(K, φ) tập nghiệm toán biến phân v − u, φ(u) ≥ 0, ∀v ∈ K Khi ta chuyển (2)-(3) dạng x (t) = f (t, x(t), u(t)), u(t) ∈ SOL(K, F (t, x(t), ·)) 10 Từ dẫn đến hệ vi phân x(·) liên kết với bất đẳng thức vi biến phân (2)-(3) x (t) ∈ f (t, x(t), SOL(K, F (t, x(t), ·)) Điều kiện cho phương trình đại số Γ(x(0), x(T )) = 0, (4) cho phép xác định điều kiện ban đầu điều kiện biên Một lớp toán đặc biệt bất đẳng thức vi biến phân toán bù vi phân, K = C nón Trong trường hợp này, bất đẳng thức vi biến phân (2)-(3) viết dạng x (t) = f (t, x(t), u(t)), C u(t) ⊥ F (t, x(t), u(t)) ∈ C ∗ , với C ∗ nón đối ngẫu C Cơng trình [49] J.S Pang D.E Stewart rõ tầm quan trọng DVI nhiều lĩnh vực: động lực học tiếp xúc (Contact Dynamics), mạng điện (Electric Circuit), động lực học kinh tế (Economic Dynamics), tốn trò chơi vi phân Nash Bằng việc đề xuất mơ hình (2)-(3), J.S Pang D.E Stewart đưa DVI trở thành mơ hình tổng quát nhiều toán quan trọng nghiên cứu trước phương trình vi phân đại số, toán bù vi phân, bất đẳng thức biến phân tiến hóa, Sau cơng trình J.S Pang D.E Stewart, có nhiều nghiên cứu sâu sắc DVI Các DVI với ứng dụng chúng trở thành vấn đề mở thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học Cơng trình Z Liu cộng năm 2013 nghiên cứu tốn tồn tính rẽ nhánh toàn cục nghiệm tuần hoàn cho lớp bất đẳng thức vi biến phân không gian Euclid hữu hạn chiều phương pháp bậc tô-pô cho ánh xạ đa trị (xem [37]) Một số kết tính giải điều kiện rẽ nhánh cho DVI tham khảo cơng trình [26, 35, 37, 41] Cùng với đó, Gwinner thu kết tính ổn định cho lớp DVI (xem 96 πt (un ) → u∗ C([0, t]; H), πt kí hiệu toán tử cắt [0, t] Vậy (yn , ) hội tụ tới (x∗ (t), u∗ (t)) X × H (x∗ (0), u∗ (0)) = (ξ ∗ , η ∗ ) Từ dẫn đến G(t, ·, ·) tựa compact Ta phải G(t, ·, ·) có đồ thị đóng Thật lấy {(ξn , ηn )} dãy X (ξn , ηn ) hội tụ tới (ξ ∗ , η ∗ ) Lấy (yn , ) ∈ G(t, ξn , ηn ) cho yn → y ∗ X, → v ∗ H Ta chứng tỏ (y ∗ , v ∗ ) ∈ G(t, ξ ∗ , η ∗ ) Lấy (xn , un ) ∈ Σ(ξn , ηn ) cho xn (t) = yn , un (t) = Theo Mệnh đề 4.2.5, {(xn , un )} có dãy hội tụ (vẫn kí hiệu {(xn , un )}) Giả sử lim xn = x∗ C([0, t]; X), n→∞ lim un = u∗ C([0, t]; H) n→∞ Vậy y ∗ = x∗ (t), v ∗ = u∗ (t) Để nhận (y ∗ , v ∗ ) ∈ G(t, ξ ∗ , η ∗ ), ta chứng minh (x∗ , u∗ ) ∈ πt ◦ Σ(ξ ∗ , η ∗ ) Lấy fn ∈ SF (xn , un ) cho xn = S(·)ξn + Q(fn ), (4.10) un = W h(xn ), (4.11) (4.12) un (0) = ηn Vì {(xn , un )} bị chặn giả thiết (F 1) nên {fn } ⊂ L1 (0, t; X) bị chặn tích phân Ngoài ra, {fn (r)} ⊂ K(r) = F ({xn (r), un (r)}), r ∈ [0, t] compact Vậy {fn } dãy nửa compact Từ fn hội tụ yếu đến f ∗ áp dụng Mệnh đề 4.2.3 ta nhận Q(fn ) → Q(f ∗ ) Chuyển qua giới hạn (4.10) ta có x∗ = S(·)ξ ∗ + Q(f ∗ ) Vì SF nửa liên tục yếu nên f ∗ ∈ SF (x∗ , u∗ ) Khi đó, chuyển qua giới hạn (4.11) (4.12) ta u∗ = W h(x∗ ), u∗ (0) = η ∗ 97 Vậy (x∗ , u∗ ) ∈ πt ◦ Σ(ξ ∗ , η ∗ ) Bổ đề chứng minh Bổ đề 4.3.4 Giả sử điều kiện (A∗ ), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi đó, tồn tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G liên kết với (4.8)-(4.9) hệ số dương α, η1F , η2F , ηh , ω thỏa mãn ω min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F } ν Chứng minh Lấy tập (B, D) bị chặn X Với (x(t), u(t)) nghiệm yếu toán, x(0) = x0 , u(0) = u0 , (x0 , u0 ) ∈ (B, D), ta có t x(t) X ≤ S(t) S(t − s)f (s) x0 + L(X) X ds, f ∈ SF (x, u) Áp dụng tính chất ổn định mũ nửa nhóm {S(t)}t≥0 giả thiết ánh xạ F ta có đánh giá sau t x(t) X ≤ e−αt x0 X e−α(t−s) f (s) + X ds t e−α(t−s) (η1F x(s) ≤ e−αt x0 + X + η2F |u(s)| + a)ds Theo bất đẳng thức (4.6), ta có ω −ω νt |u(t)| ≤ e |u0 | + − e− ν t ω ν t ω e− ν (t−s) x(s) b + ηh X ds Không giảm tổng quát, giả sử α > ων , cộng theo vế hai bất đẳng thức ta nhận x(t) ω X + |u(t)| ≤e− ν t ( x0 X + |u0 |) + t b bν a + + α ω α ω e− ν (t−s) x(s) ds + (η1F + ηh ) t + η2F −ω ν (t−s) e |u(s)|ds, ω ≤e− ν t ( x0 t X + |u0 |) + c ω e− ν (t−s) ( x(s) +d X + |u(s)|)ds, 98 b α c = ω νt e ( x(t) X + bν ω + αa ; d = max{η1F + ηh ; η2F } Từ ta có + |u(t)|) ≤ x0 X + |u0 | + c.e ω νt t ω e ν s ( x(s) +d X + |u(s)|)ds Áp dụng bất đẳng thức Gronwall ta có: ω e ν t ( x(t) X + |u(t)|) ≤ x0 ω X + |u0 | + c.e ν t t + ( x0 ω X + |u0 | + c.e ν s )ed(t−s) ds ≤ x0 ω X + |u0 | + c.e ν t ω + ( x0 X edt − c(e ν t − edt ) + + |u0 |) ω d ν −d Vậy x(t) X + |u(t)| ≤( x0 ω X + |u0 |)e− ν t + c ω + ( x0 Từ sử dụng giả thiết ω ν X ω ω e−( ν −d)t − e− ν t c(1 − e−( ν −d)t ) + + |u0 |) ω d − d ν > d, bất đẳng thức cuối dẫn đến hình cầu tâm điểm gốc với bán kính R=c+ cν + 1, ω − νd tập hấp thụ cho nửa dòng đa trị G X × H Bổ đề chứng minh Từ Bổ đề 4.3.2, 4.3.3 4.3.4 ta nhận kết tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị sinh toán DVI dạng parabolic-parabolic Định lý 4.3.5 Giả sử điều kiện (A∗ ), (B), (F ) (H) thỏa mãn Khi ω min{ , α} > max{η1F + ηh , η2F } ν tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị G X β > 4P p Một hệ suy trực tiếp từ Định lý 4.3.5 cho tính ổn định tiệm cận nghiệm hệ phát biểu Hệ 4.3.6 Giả sử a = b = 0, ∈ F (0, 0) điều kiện Định lý 4.3.5 thỏa mãn Khi nghiệm hệ ổn định mũ Nói riêng, tồn nghiệm phân rã tốc độ mũ toán (4.1)-(4.3) 99 4.4 ÁP DỤNG Cho Ω ⊂ Rn miền có biên trơn thuộc lớp C Xét hệ parabolicparabolic ∂Z (t, x) − ∆x Z(t, x) = f (t, x), t > 0, x ∈ Ω, ∂t f (t, x) ∈ [f1 (x, Z(t, x), u(t, x)), f2 (x, Z(t, x), u(t, x))], ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) + β(u(t, x) − ψ(x)) h(x, Z(t, x)), ∂t Z(t, x) = u(t, x) = 0, x ∈ ∂Ω, t ≥ 0, Z(0, x) = Z0 (x), u(0, x) = u0 (x) (4.13) (4.14) (4.15) (4.16) (4.17) f1 , f2 , h : Ω × R → R hàm liên tục, hàm ψ ∈ H (Ω) cho ψ ≤ ∂Ω theo nghĩa vết β : R → 2R hàm đơn điệu cực đại cho β(r) = R− ∅ r > 0, r = 0, r < Chú ý (4.15) viết lại ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) = h(x, Z(t, x)) {(t, x) ∈ Q := (0, T ) × Ω : u(t, x) ≥ ψ(x)}, ∂t ∂u (t, x) − ∆x u(t, x) ≥ h(x, Z(t, x)) Q, ∂t u(t, x) ≥ ψ(x), ∀(t, x) ∈ Q, mơ tả q trình khuyếch tán biên tự dịch chuyển Mơ hình gọi tốn parabolic có chướng ngại (xem [9]) Đặt X = H = L2 (Ω), U = H01 (Ω) U = H −1 (Ω), chuẩn X H u2 (x)dx, u ∈ L2 (Ω) |u| = Ω Chuẩn H01 (Ω) cho |∇u(x)|2 dx, u ∈ H01 (Ω) u = Ω 100 −1/2 Vậy theo bất đẳng thức Poincaré, ta có |u| ≤ λ1 λ1 = inf{ u u Từ ν = λ−1 với : u ∈ H01 (Ω), |u| = 1} Định nghĩa ánh xạ đa trị F : X × H → P(X) F (¯ u, y¯) = {λf1 (x, u¯(x), y¯(x)) + (1 − λ)f2 (x, u¯(x), y¯(x)) : λ ∈ [0, 1]}, toán tử A = ∆ : D(A) → X; D(A) = H (Ω) ∩ H01 (Ω) Gọi Z(t) ∈ X, u(t) ∈ H cho Z(t)(x) = Z(t, x) u(t)(x) = u(t, x) Khi nửa nhóm {S(t)}t≥0 sinh A compact ổn định mũ Cụ thể ta có S(t) L(X) ≤ e−λ1 t Vậy điều kiện (A∗ ) thỏa mãn Tiếp theo giả sử tồn hàm không âm a1 , a2 ∈ L∞ (Ω) c1 , c2 ∈ L2 (Ω) cho |f1 (x, p, q)| ≤ a1 (x)|p| + b1 (x)|q| + c1 (x), |f2 (x, p, q)| ≤ a2 (x)|q| + b2 (x)|q| + c2 (x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R Lập luận tương tự phần áp dụng Chương 3, ta có ánh xạ đa trị F nửa liên tục với giá trị compact Hơn ta có ¯ u¯) ≤ max{ a1 F (Z, ∞, ∞} a2 Z¯ X + max{ b1 ∞, b2 ∞} u¯ H + max{|c1 |, |c2 |} Từ dẫn đến điều kiện (F ) Chúng ta xét bất đẳng thức biến phân (4.15), đặt B = −∆, −∆ tốn tử Laplace xác định u, −∆v := ∇u(x)∇v(x)dx, ∀u ∈ U, Ω từ ta có Bu, u ≥ λ1 u H Thêm vào đó, giả thiết khơng dương hàm ψ ∂Ω đảm bảo điều kiện (B2) thỏa mãn (xem [9, Mệnh đề 2.11]) Vậy ta có (B) với ω = ν = λ1 101 Ánh xạ h : Ω × R → R giả thiết h(x, 0) = 0, ∀x ∈ Ω |h(x, p)| ≤ b(x)|p| + c(x), ∀x ∈ Ω, p ∈ R, với b, c hàm không âm thuộc L∞ (Ω) L2 (Ω) ¯ ¯ Bằng cách đặt h : X → H, h(Z)(x) = h(x, Z(x)), ta có ¯ H≤ b |h(Z)| ∞ Z¯ X + |c| Khi bất đẳng thức biến phân (4.15) tương đương với u (t) + Bu(t) + ∂IK (u(t)) h(Z(t)), K = {u ∈ L2 (Ω) : u(x) ≥ ψ(x), với hầu khắp x ∈ Ω}; ∂IK (u) = {v ∈ L2 (Ω); v(x)(u(x) − z(x))dx ≥ 0, ∀z ∈ K}; Ω = {v ∈ L2 (Ω); v(x) ∈ β(u(x) − ψ(x)), với hầu khắp x ∈ Ω} Ta kiểm tra h(0) = ∈ ∂IK (0) Vậy điều kiện (H) thỏa mãn Bài toán (4.13)-(4.17) viết lại sau Z (t) − AZ(t) ∈ F (Z(t), u(t)), u (t) + Bu(t) + ∂IK (u(t)) h(Z(t)), Z(0) = Z0 , u(0) = u0 Vậy giả thiết kiểm tra, ta suy kết tồn nghiệm toán (4.13)-(4.17) tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị liên kết với toán (4.13)-(4.17) Định lý 4.4.1 Tồn tập hút tồn cục nửa dòng đa trị sinh hệ (4.13)-(4.17) L2 (Ω) × K cảm sinh từ tơpơ L2 (Ω) × L2 (Ω), ta có λ1 > max b ∞ + max{ a1 ∞, a2 ∞ }; max{ b1 ∞, b2 ∞} 102 Kết luận Chương Mục đích Chương nghiên cứu dáng điệu nghiệm lớp toán bất đẳng thức vi biến phân với ràng buộc thỏa mãn bất đẳng thức biến phân tiến hóa parabolic Các kết thu bao gồm: 1) Chứng minh tính giải (Định lý 4.2.4) tính chất tập nghiệm hệ (Mệnh đề 4.2.5) 2) Xây dựng nửa dòng đa trị liên kết với tốn tính chất quy nửa dòng đa trị (Hệ 4.2.6, Bổ đề 4.2.7, Bổ đề 4.3.1, Bổ đề 4.3.2, Bổ đề 4.3.3, Bổ đề 4.3.4) 3) Chứng minh tồn tập hút tồn cục compact nửa dòng đa trị liên kết với toán (Định lý 4.3.5) 4) Áp dụng cho lớp hệ phương trình đạo hàm riêng thu kết dáng điệu nghiệm cho hệ (Định lý 4.4.1) Mặc dù hai Chương Chương dành cho việc nghiên cứu bất đẳng thức vi biến phân không gian vô hạn chiều, cách tiếp cận toán Chương tương đối khác biệt Lý nằm việc ràng buộc u(·) Chương xác định hệ động lực Từ đó, phải xét hệ DVI-PP khơng gian tích với nghiệm cặp (x(·), u(·)) Các kết tồn nghiệm tồn tập hút toàn cục nhận tốn tử A sinh C0 -nửa nhóm điều kiện hàm vế phải bất đẳng thức biến phân tiến hóa khơng thiết liên tục Lipschitz Theo hiểu biết chúng tôi, lần mơ hình DVI-PP (4.1)-(4.3) khảo sát KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ Những kết đạt Luận án Dáng điệu nghiệm bất đẳng thức vi biến phân nghiên cứu tính ổn định nghiệm số lớp bất đẳng thức vi biến phân, bao gồm lớp tốn khơng gian hữu hạn chiều không gian vô hạn chiều Luận án đạt kết sau: • Sự tồn nghiệm bất đẳng thức vi biến phân • Dáng điệu nghiệm lớp bất đẳng thức biến phân hữu hạn chiều thông qua tồn nghiệm phân rã tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị liên kết với hệ động lực tốn • Sự tồn tập hút tồn cục cho nửa dòng đa trị sinh hệ động lực liên kết với bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic parabolic-parabolic không gian vô hạn chiều Đề xuất số hướng nghiên cứu Bên cạnh kết đạt luận án, số vấn đề mở cần tiếp tục nghiên cứu như: • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm, tính hút nghiệm thời gian hữu hạn bất đẳng thức vi biến phân Nghiên cứu lớp nghiệm đặc biệt nghiệm tuần hoàn, nghiệm đối tuần hoàn • Trường hợp vô hạn chiều, nghiên cứu dáng điệu nghiệm DVI với ràng buộc biến phân không nghiệm 103 104 • Nghiên cứu tính ổn định nghiệm bất đẳng thức vi biến phân với đạo hàm bậc cao đạo hàm bậc phân số bất đẳng thức biến phân gắn với hệ động lực trung tính DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN [1] N.T.V Anh, T.D Ke (2015), "Asymptotic behavior of solutions to a class of differential variational inequalities", Annales Polonici Mathematici, 114.2, 147-164.(SCIE) [2] N.T.V Anh, T.D Ke (2017), "On the differential variational inequalities of parabolic-elliptic type", Mathematical Methods in the Applied Sciences, 40(13), 4683–4695.(SCIE) [3] N.T.V Anh, T.D Ke, "On the differential variational inequalities of parabolicparabolic type", submitted 105 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Cung Thế Anh (2012), Cơ sở lý thuyết hệ động lực vô hạn chiều, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [2] Cung Thế Anh, Trần Đình Kế (2016), Nửa nhóm tốn tử tuyến tính ứng dụng, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội Tiếng Anh [3] R.R Akhmerov, M.I Kamenskii, A.S Potapov, A.E Rodkina, B.N Sadovskii (1992), Measures of Noncompactness and Condensing Operators, Birkhăauser, Boston-Basel-Berlin [4] M Anitescu, G.D Hart (2004), "A constraint-stabilized time-stepping approach for rigid multibody dynamics with joints, contact and friction." Internat J Numer Methods Engrg 60(14), 2335–2371 [5] J.P Aubin, A Cellina (1984), Differential Inclusions Set-Valued Maps and Viability Theory Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 264 Springer-Verlag, Berlin [6] E.P Avgerinos, N.S Papageorgiou (1997), "Differential variational inequalities in RN ", Indian J Pure Appl Math 28(9), 1267-1287 [7] V Barbu (1976), Nonlinear semigroups and differential equations in Banach spaces, Noordhoff, Leyden [8] V Barbu (1993), Analysis and control of nonlinear infinite-dimensional systems, Academic Press, Inc., Boston, MA [9] V Barbu (2010), Nonlinear Differential Equations of Monotone Types in Banach Spaces , Springer Monographs in Mathematics, London [10] T Basar, G.J Olsder (1999), Dynamic Noncooperative Game Theory SIAM Series in Classics in Applied Mathematics (Philadelphia) 106 107 [11] D Bothe (1998), "Multivalued Perturbations of m-Accretive Differential Inclusions", Israel J Math 108, 109-138 [12] K.E Brenan, S.L Campbell, L.R Petzold (1996), Numerical Solution of Initial-Value Problems in Differential Algebraic Equations vol 14, SIAM Publications Classics in Applied Mathematics, Philadelphia [13] T Caraballo, P.E Kloeden (2009), "Non-autonomous attractors for integrodifferential evolution equations", Discrete Contin Dyn Syst Ser S 2(1), 17-36 [14] F.H Clarke (1983), Optimization and Nonsmooth Analysis, Willey, New York [15] M.K Camlibel, W.P.M.H Heemels, J.M Schumacher (1999), "The nature of solutions to linear passive complementarity systems" In Proc of the 38th IEEE Conference on Decision and Control, 3043-3048, Phoenix (USA) [16] M.K Camlibel, W.P.M.H Heemels, J.M Schumacher (2000), "Well-posedness of a class of linear network with ideal diodes".Proc International Symposium on Mathematical Theory of Networks and Systems (MTNS) in Perpignan, France [17] M.K Camlibel (2001), Complementarity methods in the analysis of piecewise linear dynamical systems Ph.D Thesis, Center for Economic Research, Tilburg University, The Netherlands [18] M K Camlibel, J.S Pang, J Shen (2006), "Lyapunov stability of complementarity and extended systems", SIAM J Optim 17(4), 1056-1101 [19] X Chen; Z Wang (2014), "Differential variational inequality approach to dynamic games with shared constraint", Math Program 146(1-2), 379-408 [20] R.W Cottle, J.S Pang, and R.E Stone (1992), The Linear Complementarity Problem Academic Press, Boston, MA [21] J Diestel, W M Ruess, W Schachermayer (1993), " Weak compactness in Ll (µ, X)", Proc Amer Math Soc 118, 447 - 453 [22] J.T.J Eijndhoven (1986), "Solving the linear complementarity problem in circuit simulation", SIAM J Control Optim., 24(5), 1050-1062 [23] K.-J Engel, R Nagel (2000), One-parameter Semigroups for Linear Evolution Equations, with contributions by S Brendle, M Campiti, T Hahn, G Metafune, G Nickel, D Pallara, C Perazzoli, A Rhandi, S Romanelli and R Schnaubelt Graduate Texts in Mathematics, 194 Springer-Verlag, New York 108 [24] A.F Filippov (1988), Differential equations with discontinuous right hand sides, Translated from the Russian, Mathematics and its Applications (Soviet Series), Kluwer Academic Publishers Group, Dordrecht [25] J Gwinner (2007), "On differential variational inequalities and projected dynamical systems - equivalence and a stability result" Discrete Contin Dyn Syst., Dynamical systems and differential equations Proceedings of the 6th AIMS International Conference, suppl., 467–476 [26] J Gwinner (2013), "A Note on Linear Differential Variational Inequalities in Hilbert Spaces" Syst Model Opt 391, 85-91 [27] J Gwinner (2013), "On a new class of differential variational inequalities and a stability result".Math Program 139(1-2), Ser B, 205-221 [28] A Halanay (1996), Differential equations, stability, oscillations, time lags, Academic Press, New York, London [29] A Halanay, and Vl Rasvan (2012), Applications of Liapunov methods in stability, Vol 245, Springer Science & Business Media [30] W.P.M.H Heemels, J.M Schumacher, S Weiland (2000), "Linear complementarity systems", SIAM J Appl Math 60, 1234–1269 [31] W Jăager, S Luckhaus (1992), "On explosions of solutions to a system of partial differential equations modelling chemotaxis" Trans Amer Math Soc 329, 819–824 [32] Z Jin, X Yang (2010), "Weak solutions of a parabolic-elliptic type system for image inpainting", ESAIM Control Optim Calc Var 16, 1040–1052 [33] M Kamenskii, V Obukhovskii, P Zecca (2001), Condensing Multivalued Maps and Semilinear Differential Inclusions in Banach Spaces, in: de Gruyter Series in Nonlinear Analysis and Applications, vol 7, Walter de Gruyter, Berlin, New York [34] T.D Ke, N.V Loi, V Obukhovskii (2015), "Decay solutions for a class of fractional differential variational inequalities", Fract Calc Appl Anal 18(3), 531-553 [35] T.D Ke, N.V Loi, V Obukhovskii, P Zecca (2016), "Topological methods for some classes of differential variational inequalities", J Nonlinear Convex Anal 17(3), 403-419 109 [36] Y Komura (1967), "Nonlinear semigroup in Hilbert spaces", J Math Soc Japan 19(4), 493-507 [37] Z Liu, N.V Loi, V Obukhovskii (2013), "Existence and global bifurcation of periodic solutions to a class of differential variational inequalities", Internat J Bifur Chaos Appl Sci Engrg 23(07), 1350125, 10pp [38] Z Liu, S Zeng (2017), "Differential variational inequalities in infinite Banach spaces", Acta Math Sci Ser B (Engl Ed.) 37(1), 26-32 [39] Z Liu, S Zeng, D Motreanu (2016), "Evolutionary problems driven by variational inequalities", J Differential Equations 260, 6787-6799 [40] Z Liu, S Mig´rski, S Zeng (2017), "Partial differential variational inequalities involving nonlocal boundary conditions in Banach spaces", J Differential Equations 263(7), 3989-4006 [41] N.V Loi (2015), "On two-parameter global bifurcation of periodic solutions to a class of differential variational inequalities", Nonlinear Anal 122, 83-99 [42] L Lu, Z Liu, V Obukhovskii (2019), "Second order differential variational inequalities involving anti-periodic boundary value conditions", J Math Anal Appl 473(2), 846-865 [43] V.S Melnik, J Valero (1998), "On attractors of multivalued semi-flows and differential inclusions", Set-Valued Anal 6, 83-111 [44] S Migórski, S Zeng (2018), "A class of differential hemivariational inequalities in Banach spaces", J Global Optim 72(4),761-779 [45] Y Morita, T Ogawa (2010), "Stability and bifurcation of nonconstant solutions of a reaction-diffusion system with conservation of mass" Nonlinearity 23, 1387–1411 [46] A Pazy (1983), Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations, Springer-Verlag, New York [47] L.R Petzold, U.M Ascher (1998), Computer Methods for Ordinary Differential Equations and Differential-Algebraic Equations SIAM Publications, Philadelphia [48] M Renardy, R.C Rogers (2004), An introduction to partial differential equations Texts in Applied Mathematics 13 (Second ed.) New York: SpringerVerlag 110 [49] J.S Pang, D.E Stewart (2008), "Differential variational inequalities", Math Program 113, Ser A, 345-424 [50] J.S Pang, D.E Stewart (2009), "Solution dependence on initial conditions in differential variational inequalities", Math Program 116(1-2), Ser B, 429-460 [51] B Perthame (2015), Parabolic Equations in Biology: Growth, reaction, movement and diffusion, Lecture Notes on Mathematical Modelling in the Life Sciences, Springer [52] P.S Suresh, L.T Gerald (2006), Optimal control theory: Applications to management science and economics, Springer Science and Business Media [53] I.I Vrabie (1987), Compactness Methods for Nonlinear Evolutions, Pitman, London [54] I.I Vrabie (2003), C0 -Semigroup and Applications, North-Holland Publishing Co., Amsterdam [55] S Zeng , Z Liu, S Migorski (2018), "A class of fractional differential hemivariational inequalities with application to contact problem", Z Angew Math Phys 69(2), Art 36, 23pp ... x − a ≤ r} I ánh xạ đồng → hội tụ mạnh hội tụ yếu h k n hầu khắp nơi DI bao hàm thức vi phân DVI bất đẳng thức vi biến phân VI bất đẳng thức biến phân DVI-PE bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolicelliptic... NGUYỄN THỊ VÂN ANH DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA CÁC BẤT ĐẲNG THỨC VI BIẾN PHÂN Chuyên ngành : Phương trình vi phân tích phân Mã số : 9.46.01.03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA... luận án này, xét ba lớp tốn DVI: • Bất đẳng thức vi biến phân khơng gian hữu hạn chiều, • Bất đẳng thức vi biến phân dạng parabolic-elliptic không gian vô hạn chiều, • Bất đẳng thức vi biến phân