Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)Dáng điệu nghiệm của phương trình và bao hàm thức vi phân phân thứ chứa trễ (Luận án tiến sĩ)
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2018 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TỐN HỌC Chun ngành: Phương trình vi phân tích phân Mã số: 46 01 03 LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS TS Trần Đình Kế TS Nguyễn Thành Anh Hà Nội - 2018 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu tơi hướng dẫn PGS TS Trần Đình Kế TS Nguyễn Thành Anh Các kết phát biểu luận án trung thực chưa cơng bố cơng trình tác giả khác Nghiên cứu sinh Nguyễn Như Quân LỜI CẢM ƠN Luận án hồn thành Bộ mơn Giải tích Khoa Tốn-Tin, trường Đại học sư phạm Hà Nội, hướng dẫn tận tình, chu đáo, đầy trách nhiệm PGS.TS Trần Đình Kế TS Nguyễn Thành Anh Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Trần Đình Kế cảm thấy may mắn vinh dự nhận dìu dắt, hướng dẫn thầy đường nghiên cứu khoa học Tác giả xin gửi lời cám ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Thành Anh, thầy người giới thiệu, động viên tác giả ngày đầu suốt trình làm nghiên cứu sinh Tác giả xin trân trọng gửi lời cảm ơn đến Ban Giám hiệu, Phòng sau Đại học, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán-Tin, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, đặc biệt thầy cô giáo Bộ môn Giải tích ln giúp đỡ, động viên, tạo mơi trường học tập nghiên cứu thuận lợi cho tác giả Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến Ban Giám hiệu trường Đại học Điện lực, anh chị đồng nghiệp cơng tác Bộ mơn Tốn, Khoa Khoa học bản, Trường Đại học Điện lực tạo điều kiện thuận lợi, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Lời cảm ơn sau cùng, tác giả xin dành cho gia đình, người ln u thương, chia sẻ, động viên tác giả vượt qua khó khăn để hồn thành luận án Tác giả Mục lục Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 15 1.1 GIẢI TÍCH PHÂN THỨ 15 1.1.1 Đạo hàm tích phân phân thứ 15 1.1.2 Đạo hàm tích phân phân thứ có trọng 17 1.2 LÍ THUYẾT GIẢI THỨC 18 1.3 ĐỘ ĐO KHÔNG COMPACT VÀ CÁC ƯỚC LƯỢNG 23 1.4 ÁNH XẠ NÉN VÀ CÁC ĐỊNH LÍ ĐIỂM BẤT ĐỘNG 25 1.4.1 Một số vấn đề giải tích đa trị 25 1.4.2 Ánh xạ nén số định lí điểm bất động 27 1.5 TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA CÁC HỆ VI PHÂN 27 1.5.1 Ổn định Lyapunov 27 1.5.2 Ổn định thời gian hữu hạn tính hút thời gian hữu hạn 29 1.6 MỘT SỐ KẾT QUẢ BỔ TRỢ 31 1.6.1 Các không gian hàm 31 1.6.2 Một số bất đẳng thức thường dùng 34 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH TÁN XẠ-SĨNG NỬA TUYẾN TÍNH CHỨA XUNG VÀ TRỄ HỮU HẠN 36 2.1 ĐẶT BÀI TOÁN 36 2.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM TÍCH PHÂN 36 2.3 TÍNH ỔN ĐỊNH NGHIỆM 43 2.4 ÁP DỤNG 47 Chương TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU CỦA NGHIỆM BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG TÁN XẠ-SÓNG VỚI TRỄ VÔ HẠN 50 3.1 ĐẶT BÀI TOÁN 50 3.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM BỊ CHẶN MŨ 50 3.3 KẾT QUẢ VỀ TÍNH ỔN ĐỊNH TIỆM CẬN YẾU 59 3.4 ÁP DỤNG 62 Chương TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN CỦA NGHIỆM PHƯƠNG TRÌNH SĨNG PHÂN THỨ CĨ TRỌNG 67 4.1 ĐẶT BÀI TOÁN 67 4.2 SỰ TỒN TẠI NGHIỆM 67 4.3 TÍNH HÚT TRONG THỜI GIAN HỮU HẠN 74 4.4 ÁP DỤNG 80 DANH MỤC CÁC CƠNG TRÌNH KHOA HỌC CỦA TÁC GIẢ LIÊN QUAN ĐẾN LUẬN ÁN 84 TÀI LIỆU THAM KHẢO 85 MỘT SỐ KÍ HIỆU THƯỜNG DÙNG TRONG LUẬN ÁN tập hợp số thực tập hợp số thực dương (E, · E ) không gian Banach với chuẩn E 2E họ tập E P(E) = {A ∈ 2E : A = ∅}, Pb (E) = {A ∈ P(E) : A tập bị chặn} Pc (E) = {A ∈ P(E) : A tập đóng} Kv(E) = {A ∈ P(E) : A tập lồi compact} L(E) khơng gian tốn tử tuyến tính, bị chặn không gian Banach E R R+ Ch χh BE [a, r] I0α f (t) = C([−h, 0]; E) độ đo không compact không gian Ch = {x ∈ E : x − a ≤ r} tích phân phân thứ Riemann-Liouville bậc α > hàm f đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville bậc D0α f (t) α > hàm f C α D0 f (t) đạo hàm phân thứ Caputo bậc α > hàm f I0α,σ f (t) tích phân phân thứ Riemann-Liouville có trọng với bậc α > hàm f C α,σ D0 f (t) đạo hàm phân thứ có trọng theo nghĩa Caputo với bậc α > hàm f I ánh xạ đồng → hội tụ mạnh hội tụ yếu MỞ ĐẦU TỔNG QUAN VỀ VẤN ĐỀ NGHIÊN CỨU VÀ LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI Giải tích phân thứ bắt nguồn từ câu hỏi đưa vào năm 1695 L´Hospital Leibniz Đó làm để khái quát hóa khái niệm giải tích bậc ngun cho trường hợp có bậc bất kỳ? Như thường gọi, giải tích phân thứ thuật ngữ dùng để đạo hàm tích phân phân thứ Qua lịch sử ba kỷ hình thành phát triển, thời gian dài giải tích phân thứ chủ yếu thu hút quan tâm nhà toán học, chưa biết nhiều đến ứng dụng mơ hình thực tiễn lĩnh vực khoa học khác Trong thập kỷ gần đây, nhiều nhà nghiên cứu dành quan tâm cho giải tích phân thứ thấy đạo hàm tích phân phân thứ cơng cụ mơ tả tốt nhiều tượng giới tự nhiên kỹ thuật như: hệ nhớt đàn hồi, phân cực chất điện mơi, sóng điện từ, truyền nhiệt, kỹ thuật chế tạo người máy, hệ sinh học, tài số lĩnh vực khác [4, 10, 37, 43] Trong lịch sử, giải tích phân thứ thu hút ý nhiều nhà toán học tiên phong Euler, Laplace, Fourier, Liouville, Riemann, Laurant, Hardy, Riesz [44, 57, 59, 68] Các ứng dụng giải tích phân thứ vật lí thực Abel Heaviside [44, 68] Ngày nay, phương trình vi phân phân thứ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học Đối với số ứng dụng thực tế việc sử dụng phương trình vi phân phân thứ mang lại hiệu tốt so với phương trình vi phân cổ điển Lí thuyết định tính ứng dụng phương trình vi phân phân thứ vật lí, kỹ thuật, kinh tế, sinh học sinh thái học nghiên cứu rộng rãi, tìm thấy cơng trình [44, 51, 52, 57, 68] trích dẫn Khi xem xét mơ hình thực tiễn, đặc biệt toán điều khiển trễ nhân tố khơng thể tách rời Do đó, hệ có trễ thu hút quan tâm nhiều nhà tốn học, việc nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm toán quan trọng hấp dẫn Trong nhiều mơ hình ứng dụng [51], người ta sử dụng phương trình vi phân đạo hàm riêng phân thứ dạng ∂tα u(t, x) = ∆u(t, x), t > 0, x ∈ Ω ⊂ RN , (1) với bậc đạo hàm α ∈ (0, 2], ∆ toán tử Laplace Trường hợp α ∈ (0, 1), phương trình khuếch tán, ứng dụng vật lí Nigmatullin [58] để mơ tả q trình khuếch tán môi trường vật liệu fractal (một dạng đặc biệt vật liệu xốp) Trường hợp α ∈ (1, 2), phương trình sóng phân thứ, mơ tả lan truyền sóng vật liệu nhớt đàn hồi Lí thuyết sở phương trình vi phân phân thứ phát triển trình bày nhiều tài liệu, kể đến sách tiêu biểu [43, 57, 65] Những kết gần phương trình vi phân phân thứ chủ yếu dành cho tính giải khoảng thời gian hữu hạn [63, 72, 74] tính điều khiển (chính xác xấp xỉ) [42, 45, 66, 73, 74] Trong lí thuyết ổn định cho phương trình vi phân bậc nguyên có lịch sử phát triển lâu dài đạt nhiều kết quan trọng [22, 23, 32] kết tính ổn định phương trình vi phân phân thứ biết đến Trên thực tế, việc sử dụng công cụ cổ điển phương pháp hàm Lyapunov cho phương trình vi phân phân thứ gặp nhiều khó khăn việc tính đạo hàm phân thứ phiếm hàm Lyapunov khó thực Quay lại phương trình (1) trường hợp α ∈ (1, 2), dạng tương tự xem xét t ∂t u(t, x) = (t − s)α−2 ∆u(s, x)ds, t > 0, x ∈ Ω Γ(α − 1) (2) Phương trình gọi phương trình tán xạ-sóng (một dạng trung gian phương trình khuếch tán (α = 1) phương trình sóng (α = 2)), Fujita nghiên cứu lần đầu cơng trình [25, 26] Phương trình với nhiễu phi tuyến tương ứng dạng t ∂t u(t, x) = (t − s)α−2 ∆u(s, x)ds + f (t, x, u(t, x)), t > 0, x ∈ Ω, Γ(α − 1) (3) mơ tả q trình khuếch tán kỳ dị truyền sóng vật liệu nhớt đàn hồi, nghiên cứu [37, 50, 53, 54] Để nghiên cứu lớp phương trình này, ta thường chuyển phương trình vi phân khơng gian Banach Cụ thể, ta coi u : [0, T ] → L2 (Ω) hàm theo biến t nhận giá trị L2 (Ω) xác định u(t) = u(t, ·) Khi đó, phương trình (3) viết dạng phương trình vi phân trừu tượng t u (t) = (t − s)α−2 Au(s)ds + f (t, u(t)), Γ(α − 1) (4) A = ∆ với miền xác định phù hợp theo điều kiện biên f (t, u(t)) = f (t, ·, u(t, ·)) Gần đây, vấn đề nghiên cứu dáng điệu tiệm cận nghiệm lớp phương trình nhận quan tâm số nhà nghiên cứu [1, 15, 16, 17], nhiên kết đạt hạn chế Theo hiểu biết chúng tơi, chưa có kết tính ổn định nghiệm phương trình dạng (4) cơng bố Chính đặt vấn đề nghiên cứu tồn tính ổn định nghiệm tốn tổng quát sau không gian Banach X : t (t − s)α−2 u (t) = Au(s)ds + f (t, u(t), ut ), t > 0, t = tk , k ∈ Λ, (5) Γ(α − 1) u(t+k ) − u(t−k ) = Ik (u(tk )), k ∈ Λ, (6) u(¯ s) + g(u)(¯ s) = ϕ(¯ s), s¯ ∈ [−h, 0], (7) A toán tử tuyến tính, đóng khơng bị chặn, f hàm phi tuyến xác định R+ × X × Ch , hàm không cục g : PC([−h, T ]; X) → Ch hàm xung Ik : X → X, k ∈ Λ với Λ ⊂ N tập số Kí hiệu u(t+ k ), u(t−k ) tương ứng giới hạn phải trái u tk ; ut khứ hàm trạng thái tính tới thời điểm t, nghĩa ut (¯ s) = u(t + s¯), s¯ ∈ [−h, 0] Trong trường hợp hệ khơng chứa trễ, khơng có hiệu ứng xung (Ik = 0) điều kiện ban đầu cục (g = 0), ta có tốn Cauchy cổ điển ứng với phương trình (4) Bài tốn Cauchy với điều kiện không cục hay điều kiện xung nhận nhiều quan tâm nhà nghiên cứu năm gần Điều kiện không cục dạng (7) cho ta mô tả tốt mơ hình thực tế so với điều kiện ban đầu cổ điển, ví dụ điều kiện M u(s) + ci u(τi + s) = ϕ(s) i=1 cho phép mô tả đo đạc bổ sung số thời điểm thay đo thời điểm ban đầu Ý nghĩa vật lí kết nghiên cứu tốn khơng cục Byszewski trình bày [12] Sau đó, tốn khác với điều kiện khơng cục liên quan đến phương trình vi phân bậc nguyên, bao hàm thức vi phân bậc nguyên nhận quan tâm lớn nhà nghiên cứu Liên quan đến kết ... DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI ——————— * ——————— NGUYỄN NHƯ QUÂN DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VÀ BAO HÀM THỨC VI PHÂN PHÂN THỨ CHỨA TRỄ LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Chun ngành: Phương. .. tích phân phân thứ Riemann-Liouville bậc α > hàm f đạo hàm phân thứ Riemann-Liouville bậc D0α f (t) α > hàm f C α D0 f (t) đạo hàm phân thứ Caputo bậc α > hàm f I0α,σ f (t) tích phân phân thứ. .. nay, phương trình vi phân phân thứ có ứng dụng rộng rãi nhiều lĩnh vực khoa học Đối với số ứng dụng thực tế vi c sử dụng phương trình vi phân phân thứ mang lại hiệu tốt so với phương trình vi phân