Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình kuramoto sivashinsky

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ PHƯỢNG NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Nghệ An - 2015 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH NGUYỄN THỊ PHƯỢNG NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY CHUYÊN NGÀNH: TOÁN GIẢI TÍCH MÃ SỐ: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC Nghệ An - 2015 MỤC LỤC Trang MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU Chương Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Không gian Banach 1.2 Không gian Hilbert 1.3 Phương trình đạo hàm riêng 11 Chương Nghiệm xác dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky 16 2.1 Nghiệm xác phương trình Kuramoto-Sivashinsky 16 2.2 Dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky 26 KẾT LUẬN 30 TÀI LIỆU THAM KHẢO 31 LỜI NÓI ĐẦU Phương trình Kuramoto-Sivashinsky ut + uux + uxx + vuxxxx = (1) xuất nhiều ứng dụng khác toán học Nó mô hình hệ thống khuếch tán - đối lưu (reaction-diffusion systems), toán dòng chảy chất nhớt (viscous flow problems), truyền ánh sáng (flame propagation) toán nghiên cứu tượng hỗn độn (turbulence phenomena) hóa học Phương trình Kuramoto-Sivashinsky xem mô hình hệ thống với hỗn loạn tự phát sinh (’self-generated’ chaos) lớp rộng lớn phương trình Burgers suy rộng Mặc dù có tính ứng dụng đa dạng, song phương trình KuramotoSivashinsky phương trình phi tuyến có độ phi tuyến "cao" nên khó xử lý Trên thực tế, công trình khoa học viết phương trình hạn chế Để tập dượt nghiên cứu để làm phong phú thêm tài liệu phương trình Kuramoto-Sivashinsky, sở tham khảo báo [2] [3] lựa chọn đề tài cho luận văn là: "Nghiệm xác dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky" Mục đích luận văn nhằm tìm hiểu cách tìm nghiệm xác, đánh giá ổn định nghiệm toán ngược dáng điệu nghiệm t → −∞ phương trình Kuramoto-Sivashinsky (2) ut + uux + uxx + vuxxxx = Với mục đích luận văn chia thành chương: Chương 1: Trình bày không gian Banach, không gian Hilbert, lý thuyết chuỗi không gian Banach, phương trình đạo hàm riêng Chương 2: Trình bày cách tìm nghiệm xác phương trình Kuramoto-Sivashinsky, đề xuất chứng minh định lý đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Kuramoto-Sivashinsky ngược thời gian trình bày dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky Luận văn thực Trường Đại học Vinh hướng dẫn thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơn Ban chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toán học cảm ơn thầy, cô giáo môn Giải tích, khoa Sư Phạm Toán học nhiệt tình giảng dạy giúp đỡ tác giả suốt thời gian học tập hoàn thành đề cương, luận văn Cuối cùng, tác giả cảm ơn gia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt bạn lớp Cao học 21 Giải tích cộng tác, giúp đỡ động viên tác giả suốt trình học tập nghiên cứu Mặc dù có nhiều cố gắng, luận văn không tránh khỏi hạn chế, thiếu sót Chúng mong nhận ý kiến đóng góp thầy, cô giáo bạn bè để luận văn hoàn thiện Nghệ An,tháng năm 2015 Tác giả CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ Chương trình bày số kiến thức làm sở cho việc trình bày Chương Các kiến thức chương tham khảo tài liệu [1] [4] 1.1 Không gian Banach Cho X không gian tuyến tính thực 1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ : X → R gọi chuẩn (i) u 0, ∀u ∈ X ; (ii) u = ⇔ u = 0; (iii) λu = |λ| u , ∀u ∈ X, λ ∈ R; (iv) u + v u + v , ∀u, v ∈ X Không gian tuyến tính trang bị chuẩn gọi không gian tuyến tính định chuẩn Không gian Banach X không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ 1.1.2 Định lý Ánh xạ chuẩn x → x hàm liên tục từ X vào R 1.1.3 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi đó, ánh xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X (λ, x) → λx từ K × X vào X liên tục 1.1.4 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi đó, ánh xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X (λ, x) → λx từ K × X vào X liên tục 1.1.5 Định lý Giả sử X không gian định chuẩn Khi đó, ánh xạ (x, y) → x + y từ X × X vào X (λ, x) → λx từ K × X vào X liên tục 1.1.6 Định nghĩa Một tập A không gian định chuẩn X gọi toàn vẹn tập tất tổ hợp tuyến tính hữu hạn A trù mật X Ta nói dãy {an } ⊂ X toàn vẹn tập tất phần tử dãy toàn vẹn 1.2 Không gian Hilbert Cho H không gian tuyến tính thực 1.2.1 Định nghĩa Ánh xạ ·, · : H × H → R gọi tích vô hướng (i) u, v = v, u , ∀u, v ∈ H ; (ii) Ánh xạ u → u, v tuyến tính với v ∈ H ; (iii) u, u 0; (iv) u, u = ⇔ u = Không gian Hilbert không gian Banach với chuẩn sinh tích vô hướng Hai phần tử u, v ∈ H trực giao u, v = Khi ta ký hiệu u ⊥ v 1.2.2 Định nghĩa Một hệ trực giao không gian Hilbert H tập A vectơ khác H cho hai vectơ khác A trực giao với 1.2.3 Định nghĩa Giả sử M tập không gian Hilbert H Vectơ x ∈ H gọi trực giao với M x ⊥ y với y ∈ M , trường hợp ta kí hiệu x ⊥ M Nếu N tập E cho x ⊥ M với x ∈ N N gọi trực giao với M kí hiệu N ⊥ M Rõ ràng N ⊥ M M ⊥ N Ta kí hiệu M ⊥ = {x ∈ H : x ⊥ M } gọi phần bù trực giao M 1.2.4 Bổ đề Một hệ trực giao không gian Hilbert độc lập tuyến tính Chứng minh Giả sử A hệ trực giao n i=1 αi = tổ hợp tuyến tính phần tử A Với j = 1, , n ta có 0= αi , aj = αi , aj = αj aj Vì aj > nên αj = với j = 1, , n Từ A độc lập tuyến tính 1.2.5 Bổ đề Nếu M tập tùy ý không gian Hilbert H M ⊥ không gian đóng E Chứng minh Giả sử x, y ∈ M ⊥ , α, β ∈ K Với a ∈ M , ta có αx + βy|a = α x, a + β y, a = 0, αx + βy ∈ M ⊥ M ⊥ không gian vectơ E Để chứng minh M ⊥ đóng, ta lấy tùy ý dãy xn ⊂ M ⊥ , xn → x ∈ E Với a ∈ M tính liên tục tích vô hướng ta có xn , a → x, a Bởi xn , a = với n nên x, a = x ∈ M ⊥ Vậy M ⊥ đóng 1.2.6 Định lý Giả sử F không gian Hilbert không gian Hilbert H Khi với x ∈ H tồn y ∈ F (gọi hình chiếu trực giao x F ) cho x − y = d(x, F ) = inf x − y y∈F Chứng minh Đặt α = d(x, F ) Lấy dãy xn ∈ F cho x − y → α Ta chứng minh yn dãy Cauchy.Theo đẳng thức bình hành, áp dụng cho cặp vectơ x − ym x − yn ta có ym − yn ym − yn 2 + x − yn ), từ 2 + x − yn ) − x − (ym − yn ) Bởi + 2x − (ym + yn ) = 2( x − ym 2 = 2( x − ym 1 (ym + yn ) ∈ F nên x − (ym + yn ) ≥ α2 Với ε > 0, tồn n0 2 2 cho x − yn ≤ α + ε với n ≥ n0 Do đó, với m, n ≥ n0 ta có ym − yn ≤ 2(α2 + ε + α2 + ε) − 4α2 = 4ε Vậy {yn } dãy Cauchy F Do F đầy đủ nên yn → y ∈ F x − y = d(x, F ).Để chứng minh tính y ta giả sử y có tính chất Theo đẳng thức bình hành 2 y−y = 4α − x − (y − y ) 2 Vì (y + y ) ∈ F nên từ suy y − y ≤ tức y = y Điểm y hình chiếu trực giao x không gian F thường kí hiệu PF (x) Do tính y nên ta có ánh xạ PF : H → F , ánh xạ gọi phép chiếu trực giao H lên không gian Hilbert F 1.2.7 Định lý Giả sử F không gian Hilbert không gian Hilbert H Khi H = F ⊕ F ⊥ phép chiếu trực giao PF : H → F ánh xạ tuyến tính, liên tục Chứng minh Lấy tùy ý x ∈ H, x = Đặt y = PF (x) Ta có x − y = d(x, F ) = α Ta chứng minh z = x − y ∈ F ⊥ Với v ∈ F λ ∈ K ta có y − λv ∈ F Do : α2 ≤ = x − (y − λv) z 2 = z + λv = z + λv, z + λv + λ z, v + λ z, v + |λ|2 v Vì z = α nên với λ ∈ K : λ z, v + λ z, v + |λ|2 v ≥ Lấy λ = t z, v với t ∈ K ta có : t| z, v |2 (2 + t v ) ≥ Đến ta kết luận z, v = z, v = bất đẳng thức cuối xảy t ∈ − , Bởi z, v = với v v ∈ F nên z ∈ F ⊥ Như với x ∈ H ta có x = y + (x − y) = y + z ∈ F + F ⊥ Chú ý F ∩ F ⊥ = nên H tổng trực tiếp đại số F F ⊥ Bởi PF phép chiếu H lên F tổng trực tiếp đại số, PF ánh xạ tuyến tính Để hoàn thành chứng minh phải PF liên tục Bởi PF (x) ⊥ (x − PF (x)) nên theo định lí Pythagore x = PF (x) + x − PF (x) Từ PF (x) ≤ x PF liên tục có PF ≤ 1.2.8 Định nghĩa Một hệ trực giao A gọi hệ trực chuẩn x = với x ∈ A x : x ∈ A hệ trực chuẩn x Hệ B gọi trực chuẩn hóa hệ A Nếu hệ A toàn vẹn hệ B toàn Nếu A hệ trực giao hệ B = vẹn Một hệ trực chuẩn toàn vẹn không gian Hilbert H gọi hệ trực chuẩn đầy đủ sở trực chuẩn H 1.2.9 Bổ đề Giả sử {ei } dãy trực chuẩn không gian Hilbert H Khi đó, ta có ∞ | x, ei |2 ≤ x a) với x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel) i=1 ∞ b) Với (λi ) ∈ l2 chuỗi λi ei hội tụ H i=1 Chứng minh a) Đặt x, ei = ci Với n ∈ N, ta có n 0≤ x− ci ei n = n x− i=1 ci e i , x − i=1 cj ej j=1 n n = x, x − ci x, ei − i=1 n = x n cj x, ej + j=1 ci ci i=1 |ci |2 − i=1 n Vì | x, ei |2 ≤ x Do n tùy ý nên ta có bất đẳng thức Bessel i=1 b) Vì không gian H đầy đủ nên ta cần chứng minh dãy tổng ∞ n riêng sn = λi ei thỏa mãn tiêu chuẩn Cauchy Vì chuỗi i=1 i=1 |λi |2 hội tụ 17 uux = cdf ”(w)wx2 + c2 f (w)f ”(w)wx3 + df (4) (w)wx4 + cf ”(w)f (3) (w)wx5 + cf (w)f (4) (w)wx5 + f (3) (w)f (4) (w)wx7 + cdf (w)wxx + c2 f (w)2 wx wxx + 6df (3) (w)wx2 wxx + 3cf ”(w)2 wx3 wxx + 7cf (w)f (3) (w)wx3 wxx + 6f (3) (w)2 wx5 wxx + 3f ”(w)f (4) (w)wx5 wxx + 3df ”(w)wxx 2 + 6cf (w)f ”(w)wx wxx + 21f ”(w)f (3) (w)wx3 wxx + 9f ”(w)2 wx wxx + 4df ”(w)wx wxxx + 5cf (w)f ”(w)wx2 wxxx + 4f ”(w)f (3) (w)wx4 wxxx + f (w)f (4) (w)wx4 wxxx + cf (w)2 wxx wxxx + 12f ”(w)2 wx2 wxx wxxx + 6f (w)f (3) (w)wx2 wxx wxxx 2 + 3f (w)f ”(w)wxx wxxx + 4f (w)f ”(w)wx wxxx + df (w)wxxxx + cf (w)2 wx wxxxx + f (w)f (3) (w)wx3 wxxxx + 3f (w)f ”(w)wx wxx wxxxx + f (w)2 wxxx wxxxx , (2.4) uxx = cf (w)wx3 + f (5) (w)wx5 + 3cf ”(w)wx wxx + 10f (4) (w)wx3 wxx + 15f (3) (w)wx wxx + cf (w)wxxx + 10f (3) (w)wx2 wxxx + 10f ”(w)wxx wxxx + 5f ”(w)wx wxxxx + f (w)wxxxxx , (2.5) 18 vuxxxx = cvf (w)wx5 + vf (7) (w)wx7 + 10cvf (4) (w)wx3 wxx + 21vf (6) (w)wx5 wxx 2 + 15cvf (3) (w)wx wxx + 105vf (5) (w)wx3 wxx + 105vf (4) (w)wx wxx + 10cvf (3) (w)wx2 wxxx + 35vf (5) (w)wx4 wxxx + 10cvf ”(w)wxx wxxx + 210vf (4) (w)wx2 wxx wxxx + 105vf (3) (w)wxx wxxx + 70vf (3) (w)wx wxxx + 5cvf ”(w)wx wxxxx + 35vf (4) (w)wx3 wxxxx + 105vf (3) (w)wx wxx wxxxx + 35vf ”(w)wxxx wxxxx + cvf (w)wxxxxx + 21vf (3) (w)wx2 wxxxxx + 21vf ”(w)wxx wxxxxx + 7vf ”(w)wx wxxxxxx + vf (w)wxxxxxxx (2.6) Thay (2.3)–(2.6) vào (2.1), đồng số hạng tương ứng ta thu phương trình vi phân thường f (3) (w)f (4) (w) + vf (7) (w) = (2.7) Phương trình có nghiệm f = 60v ln w (2.8) Tiếp theo thay f f (2) = −30vf (3) f f (3) = −20vf (4) f f (4) = −15vf (5) f ”f (3) = −5vf (5) f ”f (4) = −3vf (6) (f )2 = −60vf ” (f ”)2 = −10vf (4) (f (3) )2 = −2vf (6) (2.9) vào phương trình đạt thay (2.3)-(2.6) vào (2.1), ta đạt (1 − 19cv)wx5 = 0, (2.10) 19 dwx4 + 15vwx wxx − 30vwx2 wxx wxxx + wt wx3 + 10wx3 wxx − 160cvwx3 wxx + 15vwx3 wxxxx = 0, (2.11) 2 (c − 30c2 v)wx3 + 15vwxx wxxx + 3wt wx wxx + 15wx wxx 2 − 165cvwx wxx − 50vwx wxxx + 15vwx wxx wxxxx + 3wtx wx2 + 6dwx2 wxx + 10wx2 wxxx − 140cvwx2 wxxx + 21vwx2 wxxxxx = 0, (2.12) cdwx2 + 3wtx wxx + 3dwxx + wt wxxx + 10wxx wxxx − 50cvwxx wxxx − 25vwxxx wxxxx + 21vwxx wxxxxx cwt wx + 3cwx wxx − 60c2 vwx wxx + 3wx wtxx + 4dwx wxxx + 5wx wxxxx − 55cvwx wxxxx + 7vwx wxxxxxx = 0, (2.13) cwtx + cdwxx + cwxxx + wtxxx + dwxxxx + wxxxxx + cvwxxxxx + vwxxxxxxx = 0, (2.14) Ta tìm w có dạng w(x, t) = µ + eαx+βt+γ , (2.15) α, β, γ xác định sau µ số tùy ý Thay cho w phương trình (2.10)-(2.14) rút gọn, ta thu tương ứng − 19cv = 0, (2.16) β + αd + α2 (10 − 160cv) = 0, (2.17) 6β + c + 6αd + α4 v − 30c2 v + α2 (25 − 305cv) = 0, (2.18) βc+cdα+(7β +3c−60c2 v)α2 +7dα3 +(15−105cv)α4 +3vα6 = 0, (2.19) (α2 + c)(α2 + β + αd + α4 v) = 0, (2.20) Giải hệ phương trình đại số cho (2.16)–(2.20), ta nghiệm: , 19v −330 β= ∓ 361v c= α=± 3971 d, 6859v 11 , 19v (2.21) 20 với d tùy ý Với w xác định (2.15) thỏa mãn (2.10)–(2.14) f (w) cho (2.8) thỏa mãn (2.7) u cho (2.2) nghiệm (2.1) Từ (2.2) (2.8) ta thu nghiệm phương trình KS sau: 30 u=− 19 11 19v φ φ + × 12 − 11 + 2 + d (2.22) φ=± 11 x− 19v 330 ± 361v 3971 d t+γ 6859v (2.23) với γ tùy ý µ phương trình (2.15) lấy phần tử đơn vị để thuận tiện cho tính toán Tiếp theo, đề xuất chứng minh kết đánh giá ổn định nghiệm cho toán ngược phương trình (2.1) với v = Cho L, T số dương Kí hiệu D = {(x, t) : < x < L, < x < T } 2.1.1 Định lý Giả sử u1 (x, t) u2 (x, t) nghiệm phương trình ut + uxxxx + uxx + uux = f (x, t), u(0, t) = u(L, t) = 0, ux (0, t) = h1 (t), t (x, t) ∈ D, (2.25) T, ux (L, t) = h2 (t), (2.24) t T, (2.26) h1 (t), h2 (t) f (x, t) hàm trơn Nếu u1 (x, t) u2 (x, t) thỏa mãn điều kiện max |uix | E, i = 1, 2, (2.27) (x,t)∈D u1 (·, T ) − u2 (·, T ) u1 (·, t) − u2 (·, t) L2 (0,L) L2 (0,L) δ , k(t)δ µ(t) E 1−µ(t) , ∀t ∈ [0, T ], (2.28) 21 √ k(t) = L exp 3E(T + t) C1 (t − T µ(t)) + 2C 39 C1 = 4L2 + E2 C = L2 E , , eCt − µ(t) = CT , ∀t ∈ [0, T ] e −1 · Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu (2.29) thay cho · L2 (0,L) Đặt z = u1 − u2 Từ (2.24)–(2.26) ta có zt + zxxxx + zxx + u1 zx + u2x z = 0, (x, t) ∈ D, z(0, t) = z(L, t) = zx (0, t) = zx (L, t) = 0, t T (2.30) Giả sử z(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ] Ký hiệu L (2u2x − u1x )z dx , L z dx g(t) = t ∈ [0, T ] Chú ý giả thiết (2.27) kéo theo E, ∀t ∈ [0, T ] |g(t)| Đặt v(x, t) = z(x, t) exp − t g(s)ds (2.31) Khi vt + vxxxx + vxx + u1 vx + u2x vx + gv = 0, (x, t) ∈ D, v(0, t) = v(L, t) = vx (0, t) = vx (L, t) = 0, t ∈ [0, T ] Đặt h(t) = v(·, t) = L v dx, L ∀t ∈ [0, T ] Ta có L vvt dx = −2 h (t) = (2.32) v (vxxxx + vxx + u1 vx + u2x 2vx + gv) dx L vxx dx = −2 L L vx2 dx + +2 L v dx (u1x − 2u2x ) v dx + 2g 0 (2.33) 22 Mặt khác, L L (2u2x − u1x )z dx z exp L 0 z dx L (2u2x − u1x )v dx L 2g v dx = = t −2 g(s)ds dx (2.34) Từ (2.33) (2.34), ta có L L vxx dx + h (t) = −2 vx2 dx (2.35) Đặt φ = u1 vx + u2x v − gv , ta đạt L h = −4 L vxx vxxt dx + vx vxt dx L = −4 (vxxxx + vxx )vt dx L (vxxxx + vxx )(vxxxx + vxx + φ)dx =4 L vxxxx + vxx + φ =4 L φ2 dx, dx − (2.36) L L u2x − u1x v dx − g vφdx = 0 L v dx (2.37) Từ (2.34) (2.37), ta có L vφdx = 0 Mặt khác, L L vxx dx + h = −2 vx2 dx L = −2 (vxxxx + vxx )vdx L =2 vxxxx + vxx + φ vdx (2.38) 23 Từ (2.36) (2.38) ta có L vxxxx + vxx + φ 2 h h − (h ) = L L dx − vxxxx + vxx + φ vdx −4 L v dx φ dx (2.39) Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có L L vxxxx + vxx + φ 2 v dx 0 L dx vxxxx + vxx + φ vdx − (2.40) Từ (2.39) (2.40), ta đạt L h h − (h ) L − v dx φ dx (2.41) Hơn nữa, L L φ dx = (u1 vx + u2x v − gv)2 dx 0 L u21 vx2 + u22x v + g v dx L 27 3E + E u21 vx2 dx + L u21 vx2 dx + =3 L 39 E v dx L v dx (2.42) Mặt khác, x u21 (x, t) = u1s (s, t)ds x u1s (s, t)2 ds x L E (2.43) 24 Từ (2.42) (2.43) ta kết luận L L 2 φ dx 3L E L 39 E vx2 dx + v dx (2.44) Từ (2.41) (2.44) ta có L 2 h h − (h ) −3L E L vx2 dx 0 L = L E L vx2 dx − 4L2 E L E vx2 dx + 4L2 E 2 v dx − vxx vdx − 4L E L vx2 dx − v dx − v dx 0 L 39 2 E h L vxx dx L 2 L E 2 L vx2 dx − 39 2 E h L L L E L v dx − L = L vx2 dx 39 2 E h v dx − 39 2 E h L vxx dx v dx − C1 h2 (2.45) Từ (2.35) (2.45) ta đạt h h − (h )2 Ch h − C1 h2 (2.46) Từ (2.46) ta có h(t) e C1 t C h(T )e− C1 T C µ(t) (h(0))1−µ(t) , t ∈ [0, T ] Điều kéo theo v(t) v(T ) Từ v = z exp − z(t) z(0) × exp µ(t) v(0) t g(s)ds 1−µ(t) exp |g(t)| C1 (t − T µ(t)) 2C , ∀t ∈ [0, T ] E, ∀t ∈ [0, T ], ta có 1−µ(t) z(T ) µ(t) 3E(T µ(t) + t) C1 (t − T µ(t)) + 2C , ∀t ∈ [0, T ] (2.47) 25 Bây giờ, ta xem xét trường hợp z(·, t) triệt tiêu Nếu z(·, 0) = z(·, t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] Thật vậy, ta có d z(t) dt L L zxx dx − = −2 L (u1x − 2u2x ) z dx zxx zdx + 0 L z dx + L (u1x − 2u2x ) z dx (2 + 3E) z(t) Do đó, d e−(2+3E)t z(t) dt = e−(2+3E)t d z(t) dt Điều kéo theo e−(2+3E)t z(t) e−(2+3E)t z(t) 2 − (2 + 3E) z(t) hàm giảm Do đó, ta có z(0) , ∀t ∈ [0, T ] hay z(t) e(2+3E)t z(0) , ∀t ∈ [0, T ] Vì z(0) = 0, ta kết luận z(t) = 0, ∀t ∈ [0, T ] Do đó, z(0) = bất đẳng thức (2.28) Nếu z(·, 0) > z(·, t) > 0, ∀t ∈ [0, T ] Thật vậy, giả sử ngược lại Ta ký hiệu t0 điểm (bé nhất) thỏa mãn z(·, t) = Khi z(·, t) > với t < t0 Sử dụng bất đẳng thức (2.47) với T thay s < t0 sau cho s ↑ t0 ta đạt mâu thuẫn Do z(·, t) triệt tiêu, bất đẳng thức (2.47) Mặt khác, ta có z(T ) = u1 (·, T ) − u2 (·, T ) L z(0) = (2.48) ε, (u1 (x, 0) − u2 (x, 0))2 dx 4E L (2.49) Bất đẳng thức (2.28) suy từ bất đẳng thức (2.47), (2.48) (2.49) Định lý chứng minh 26 2.2 Dáng điệu nghiệm phương trình KuramotoSivashinsky Trong phần này, xét phương trình KS miền Ω = (−L/2, L/2), L > cho trước ∂ 4u ∂ 2u ∂u ∂u +v + +u = 0, ∂t ∂x ∂x ∂x u(x, 0) = u0 (x), (2.50) (2.51) với điều kiện biên ∂ iu ∂ iu (−L/2, t) = i (L/2, t), ∂xi ∂x (2.52) i = 0, 1, 2, 3, v > số cho, u0 ∈ L2 (Ω) hàm lẻ giá trị thực u ẩn hàm Đặt L/2 H= u ∈ L2 (Ω) : u(x)dx = 0, u hàm lẻ −L/2 Khi đó, H không gian Hilbert với tích vô hướng L/2 u, v = u(x)v(x)dx −L/2 chuẩn u = u, u 1/2 k (Ω) tập phần tử Với k ∈ N∗ , kí hiệu Hper không gian Sobolev H k (Ω) cho u tất đạo hàm đến bậc (Ω) ∩ H k − tuần hoàn với chu kỳ L Ta giới thiệu tập V = Hper không gian Hilbert với tích vô hướng L/2 u, v D2 uD2 vdx, = D= −L/2 chuẩn u = u, v 1/2 ∂ ∂x Cho A, R toán tử tuyến tính đóng H , định nghĩa bởi: Au = D4 u, Ru = D2 u 27 (Ω) ∩ H D(R) = V Ta đặt với miền tương ứng D(A) = Hper B = V × V → H dạng song tuyến tính liên tục định nghĩa L/2 B(u, v), w = b(u, v, w) = uDvwdx, u, v, w ∈ V −L/2 Dễ thấy B(u, u), u = b(u, u, u) = 0, u ∈ V (2.53) Bây phương trình (2.50) với (2.51) (2.52) tương đương với phương trình du + vAu + B(u, u) + Ru = dt với điều kiện ban đầu (2.54) (2.55) u(0) = u0 , u0 ∈ H cho u ẩn Đẳng thức (2.54) xảy V , đối ngẫu V 2.2.1 Bổ đề ([3]) Cho α > xét M q(x) = 2α cos k=1 2πkx L Nếu M lớn số nguyên phụ thuộc vào α, L V , khẳng định sau vD4 w − qw, w ≥ v D w 2 + α w 2, w ∈ D(A) 2.2.2 Hệ ([3]) Với β > 0, tồn hàm φ ∈ D(A) cho vAw + B(φ, w) + B(w, φ) + Rw, w ≥ β w , Chứng minh Cố định α > 0, lấy 2αL φ(x) = − π M k=1 2πkx sin k L w ∈ D(A) (2.56) 28 ý q = −(1/2)Dφ Biểu thức vế trái (2.56) L/2 L/2 v D w, w + w Dφ w dx − Dw φDw w dx + −L/2 = v D w, w + 2 −L/2 −L/2 w2 Dφdx − Dw L/2 −L/2 = v D4 w, w − w2 qdx − Dw L/2 = D w − qw, w − Dw , w ∈ D(A) Bây sử dụng bổ đề bất đẳng thức nội suy Dw ≤ w D2 w để thấy biểu thức cuối lớn v 2 D w + α w − D2w w v v ≥ D2w + α w − D2w 2 = α− w 2v − w 2v Tại ta chọn α = 1/2v + β chứng minh kết thúc 2.2.3 Định lý ([3]) Cho u : R → V nghiệm (2.54), (2.55) thỏa mãn lim t→−∞ u(t) = ∞ Khi đó, ta có log u(t) = ∞ t→−∞ |t| lim Chứng minh Cho β > 1/2 tùy ý, cho u chọn φ ∈ D(A) hệ 2.2.2 Khi đó, v(t) = u(t) − φ, t ∈ R, thỏa mãn phương trình dv + vAv + B(v, φ) + B(φ, v) + B(v, v) + Rv = ψ dt v(0) = u0 − φ (2.57) (2.58) 29 ψ = −Aφ − B(φ, φ) − Rφ Lấy tích vô hướng với v hai vế phương trình (2.57) sử dụng (2.53), (2.56) ta 1d v dt +β v ≤ ψ, v ≤ v 2 + ψ 2 Vì ta cho α = 2β − > suy d v dt +α v ≤ ψ Ta thu v(t1 ) ψ ≤ α + v(t) ψ − α − ψ α e−α(t1 −t) , t1 ≥ t, điều tương đương với v(t) ≥ ψ α + v(t1 ) eα(t1 −t) , t ≤ t1 (2.59) Từ lim u(t) = ∞ suy lim |v(t)| = ∞ Do tồn t1 ∈ R cho v(t1 ) 2− t→−∞ t→−∞ ψ /α > Với t1 này, bất đẳng thức (2.59) kéo theo lim inf log v(t) α ≥ |t| lim inf log u(t) α ≥ |t| t→−∞ Vì t→−∞ Do β > 1/2 số tùy ý α = 2β − nên ta suy kết định lý 30 KẾT LUẬN Kết đạt Luận văn Trình bày khái niệm không gian Banach, khái niệm không gian Hilbert, phép chiếu trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn tính chất Trình bày chi tiết kết báo [2] cách tìm nghiệm xác phương trình Kuramoto-Sivashinsky Trình bày chi tiết kết báo [3] dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky Đề xuất chứng minh Định lý 2.1.1 đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Kuramoto-Sivashinsky ngược thời gian 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000) ), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [2] B Abdel-Hamid (1999), "An exact solution to the KuramotoSivashinsky equation", Physics Letters A, 263, 338Ọ340 [3] I Kukavica (1992), "Note on the Behavior of the Solutions of the Kuramoto-Sivashinsky Equation for Negative Time", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 166, 601-606 [4] L.C Evans (1998), Partial Differential Equations, American Math Society [...]... CHƯƠNG 2 NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO- SIVASHINSKY Trong phần này, đầu tiên chúng tôi trình bày cách tìm một nghiệm của phương trình Kuramoto- Sivashinsky (KS) ut + uux + uxx + vuxxxx = 0 (2.1) Cách tìm nghiệm của phương trình (2.1) được chúng tôi tham khảo trong bài báo [2] Sau đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh một định lý nói về kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho... nghiệm cho bài toán ngược của phương trình này với v = 1 2.1 Nghiệm chính xác của phương trình KuramotoSivashinsky Nghiệm của phương trình (2.1) được tìm dưới dạng ∂3 ∂ (2.2) u = 3 f (w) + c f (w) + d, ∂x ∂x trong đó hàm u được biểu thị theo hàm f (w) của hàm w(x, t), viết tắt là w, với f , w cũng như các hằng số c và d sẽ được xác định sau Đánh giá từng phần tử trong phương trình (2.1) bằng cách sử... utt − bi uxi = 0 a uxi xj + i,j=1 i=1 12 Phương trình Airy ut + uxxx = 0 13 Phương trình chùm ut + uxxxx = 0 b Phương trình phi tuyến 1 Phương trình Eikonal |Du| = 1 2 Phương trình Poisson phi tuyến −∆u = f (u) 3 Phương trình p-Laplace div(|Du|p−2 Du) = 0 4 Phương trình bề mặt cực tiểu div Du (1 + |Du|2 )1/2 = 0 5 Phương trình Monge-Ampère det(D2 u) = f 6 Phương trình Hamilton-Jacobi ut + H(Du, x) = 0... Ví dụ sau đây trình bày một số phương trình quen thuộc trong phương trình đạo hàm riêng 1.3.4 Ví dụ Lấy x ∈ U , trong đó U là một tập con mở của Rn , và t ≥ 0 Đặt Du = Dx u = (ux1 , , uxn ) là građien của u đối với biến x = (x1 , , xn ) a Phương trình tuyến tính 13 1 Phương trình Laplace n ∆u = uxi xi = 0 i=1 2 Phương trình Helmholtz (hay phương trình giá trị riêng) −∆u = λu 3 Phương trình vận tải... i=1 4 Phương trình Liouville n (bi u)xi = 0 ut − i=1 5 Phương trình nhiệt (hay phương trình khuếch tán) ut − ∆u = 0 6 Phương trình Schrõdinger iut + ∆u = 0 7 Phương trình Kolmogorov n n bi uxi = 0 ij ut − a uxi xj + i=1 i,j=1 8 Phương trình Fokker-Planck n n ij ut − (bi u)xi = 0 (a u)xi xj − i,j=1 i=1 9 Phương trình sóng utt − ∆u = 0 14 10 Phương trình điện báo utt + dut − uxx = 0 11 Phương trình. .. bày chi tiết các kết quả trong bài báo [3] về dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto- Sivashinsky 4 Đề xuất và chứng minh Định lý 2.1.1 về đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Kuramoto- Sivashinsky ngược thời gian 31 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Đậu Thế Cấp (2000) ), Giải tích hàm, NXB Giáo Dục [2] B Abdel-Hamid (1999), "An exact solution to the KuramotoSivashinsky equation", Physics Letters A, 263,... là số tùy ý và α = 2β − 1 nên ta suy ra được kết quả của định lý 30 KẾT LUẬN Kết quả đạt được trong Luận văn này là 1 Trình bày khái niệm không gian Banach, khái niệm không gian Hilbert, phép chiếu trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn và các tính chất cơ bản của nó 2 Trình bày chi tiết các kết quả trong bài báo [2] về cách tìm một nghiệm chính xác của phương trình Kuramoto- Sivashinsky 3 Trình bày... = 0 8 Phương trình Burger không nhớt ut + uux = 0 9 Phương trình phản khuếch tán vô hướng ut − ∆u = f (u) 10 Phương trình môi trường xốp ut − ∆(uγ ) = 0 11 Các phương trình sóng phi tuyến utt − ∆u = f (u), utt − div a(Du) = 0 12 Phương trình Korteweg-deVries (KdV) ut + uux + uxxx = 0 c Hệ tuyến tính Các phương trình Maxwell  Et = curlB Bt = −curlE  divB = divE = 0 b Hệ phi tuyến Các phương trình. .. 6859v (2.23) với γ là tùy ý và µ trong phương trình (2.15) được lấy bằng phần tử đơn vị để thuận tiện cho tính toán Tiếp theo, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả đánh giá ổn định nghiệm cho bài toán ngược của phương trình (2.1) với v = 1 Cho L, T là các số dương Kí hiệu D = {(x, t) : 0 < x < L, 0 < x < T } 2.1.1 Định lý Giả sử u1 (x, t) và u2 (x, t) là các nghiệm của phương trình ut + uxxxx + uxx +... riêng Phương trình đạo hàm riêng là phương trình bao gồm một hàm chưa biết của hai hoặc nhiều biến và các đạo hàm riêng của nó Cố định một số nguyên n ≥ 1 và lấy U là một tập con mở của Rn Kí hiệu |α| = α1 + + αn và ∂ α u(x) D u(x) = α1 ∂x1 ∂xαnk α với x = (x1 , x2 , , xn ) ∈ U 1.3.1 Định nghĩa Một biểu thức có dạng F (Dk u(x), Dk−1 u(x), , Du(x), u(x), x) = 0 (x ∈ U ), (1.1) được gọi là một phương trình ... u.Du − ∆u = −Dp divu = 16 CHƯƠNG NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY Trong phần này, trình bày cách tìm nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky (KS) ut +... 1.3 Phương trình đạo hàm riêng 11 Chương Nghiệm xác dáng điệu nghiệm phương trình Kuramoto-Sivashinsky 16 2.1 Nghiệm xác phương. .. gian Banach, phương trình đạo hàm riêng Chương 2: Trình bày cách tìm nghiệm xác phương trình Kuramoto-Sivashinsky, đề xuất chứng minh định lý đánh giá ổn định nghiệm cho phương trình Kuramoto-Sivashinsky