Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình kuramoto sivashinsky

Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky.. Kuramoto-Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tàiliệu về phương trình Kuramoto-Sivashins

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN ĐỨC

Nghệ An - 2015

MỤC LỤC

Trang

MỤC LỤC 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 4

1.1 Không gian Banach 4

1.2 Không gian Hilbert 5

1.3 Phương trình đạo hàm riêng 11

Chương 2 Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky 16

2.1 Nghiệm chính xác của phương trình Kuramoto-Sivashinsky 16

2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky 26

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

LỜI NÓI ĐẦU

Phương trình Kuramoto-Sivashinsky

ut + uux + uxx+ vuxxxx = 0 (1)xuất hiện trong nhiều ứng dụng khác nhau của toán học Nó là mô hìnhcủa các hệ thống khuếch tán - đối lưu (reaction-diffusion systems), bàitoán dòng chảy của chất nhớt (viscous flow problems), sự truyền ánh sáng(flame propagation) và các bài toán nghiên cứu về hiện tượng hỗn độn (tur-bulence phenomena) trong hóa học Phương trình Kuramoto-Sivashinskyđược xem là mô hình đầu tiên của một hệ thống với sự hỗn loạn tựphát sinh (’self-generated’ chaos) trong một lớp rộng lớn các phương trìnhBurgers suy rộng

Mặc dù có tính ứng dụng đa dạng, song phương trình Sivashinsky là một phương trình phi tuyến có độ phi tuyến "cao" nênrất khó xử lý Trên thực tế, cho đến nay các công trình khoa học viết vềphương trình này còn rất hạn chế

Kuramoto-Để tập dượt nghiên cứu cũng như để làm phong phú thêm các tàiliệu về phương trình Kuramoto-Sivashinsky, trên cơ sở tham khảo cácbài báo [2] và [3] chúng tôi lựa chọn đề tài cho luận văn của mình là:

"Nghiệm chính xác và dáng điệu nghiệm của phương trìnhKuramoto-Sivashinsky"

Mục đích chính của luận văn nhằm tìm hiểu về cách tìm nghiệmchính xác, đánh giá ổn định nghiệm của bài toán ngược và dáng điệu

nghiệm khi t → −∞ của phương trình Kuramoto-Sivashinsky

ut + uux + uxx+ vuxxxx = 0 (2)Với mục đích đó luận văn này được chia thành 2 chương:

Chương 1: Trình bày về các không gian Banach, không gian Hilbert,

lý thuyết chuỗi trong không gian Banach, phương trình đạo hàm riêng.Chương 2: Trình bày cách tìm nghiệm chính xác của phương trìnhKuramoto-Sivashinsky, đề xuất và chứng minh một định lý về đánh giá ổnđịnh nghiệm cho phương trình Kuramoto-Sivashinsky ngược thời gian vàtrình bày về dáng điệu nghiệm của phương trình Kuramoto-Sivashinsky.Luận văn được thực hiện tại Trường Đại học Vinh dưới sự hướngdẫn của thầy giáo, TS Nguyễn Văn Đức Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơnsâu sắc của mình đến Thầy Nhân dịp này, tác giả xin chân thành cảm ơnBan chủ nhiệm phòng Sau đại học, Ban chủ nhiệm khoa Sư Phạm Toánhọc và cảm ơn các thầy, cô giáo trong bộ môn Giải tích, khoa Sư PhạmToán học đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tác giả trong suốt thời gianhọc tập và hoàn thành đề cương, luận văn này Cuối cùng, tác giả cảm ơngia đình, đồng nghiệp, bạn bè, đặc biệt là các bạn trong lớp Cao học 21Giải tích đã cộng tác, giúp đỡ và động viên tác giả trong suốt quá trìnhhọc tập và nghiên cứu

Mặc dù đã có nhiều cố gắng, nhưng luận văn không tránh khỏi nhữnghạn chế, thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được những ý kiến đóng gópcủa các thầy, cô giáo và các bạn bè để luận văn được hoàn thiện hơn

Nghệ An,tháng 6 năm 2015

Tác giả

CHƯƠNG 1MỘT SỐ KIẾN THỨC BỔ TRỢ

Chương này trình bày một số kiến thức làm cơ sở cho việc trình bàyChương 2 Các kiến thức trong chương này được chúng tôi tham khảotrong các tài liệu [1] và [4]

Cho X là không gian tuyến tính thực

1.1.1 Định nghĩa Ánh xạ k.k : X → R được gọi là chuẩn nếu

(i) kuk> 0, ∀u ∈ X;

(ii) kuk = 0 ⇔ u = 0;

(iii) kλuk = |λ|kuk, ∀u ∈ X, λ ∈ R;

(iv) ku + vk 6 kuk + kvk, ∀u, v ∈ X

Không gian tuyến tính trang bị chuẩn được gọi là không gian tuyếntính định chuẩn Không gian Banach X là không gian tuyến tính địnhchuẩn đầy đủ

1.1.2 Định lý Ánh xạ chuẩn x 7→ kxk là một hàm liên tục đều từ Xvào R

1.1.3 Định lý Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó, ánh

xạ (x, y) 7→ x + y từ X × X vào X và (λ, x) 7→ λx từ K × X vào X làliên tục

1.1.4 Định lý Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó, ánh

xạ (x, y) 7→ x + y từ X × X vào X và (λ, x) 7→ λx từ K × X vào X làliên tục.

1.1.5 Định lý Giả sử X là một không gian định chuẩn Khi đó, ánh

xạ (x, y) 7→ x + y từ X × X vào X và (λ, x) 7→ λx từ K × X vào X làliên tục

1.1.6 Định nghĩa Một tập con A của một không gian định chuẩn Xđược gọi là toàn vẹn nếu tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của Atrù mật trong X Ta nói rằng dãy {an} ⊂ X là toàn vẹn nếu tập tất cảcác phần tử của dãy là toàn vẹn

Cho H là không gian tuyến tính thực

1.2.1 Định nghĩa 1 Ánh xạ h·, ·i : H × H → R được gọi là tích vôhướng nếu

(i) hu, vi = hv, ui , ∀u, v ∈ H;

(ii) Ánh xạ u 7→ hu, vi là tuyến tính với mọi v ∈ H;

kì của A đều trực giao với nhau

1.2.3 Định nghĩa Giả sử M là một tập con của không gian Hilbert

H Vectơ x ∈ H được gọi là trực giao với M nếu x ⊥ y với mọi y ∈ M,

trong trường hợp này ta kí hiệu x ⊥ M Nếu N là tập con của E sao cho

x ⊥ M với mọi x ∈ N thì N gọi là trực giao với M và kí hiệu là N ⊥ M

và x ∈ M⊥ Vậy M⊥ đóng

1.2.6 Định lý Giả sử F là một không gian Hilbert con của không gianHilbert H Khi đó với mọi x ∈ H tồn tại duy nhất y ∈ F (gọi là hìnhchiếu trực giao của x trên F) sao cho kx − yk = d(x, F ) = inf

y∈F kx − yk.Chứng minh Đặt α = d(x, F ) Lấy dãy xn ∈ F sao cho kx − yk → α

Ta sẽ chứng minh yn là dãy Cauchy.Theo đẳng thức bình hành, áp dụngcho cặp vectơ x − ym và x − yn ta có

Vậy {yn} là dãy Cauchy trong F Do F đầy đủ nên yn → y ∈ F và

kx − yk = d(x, F ).Để chứng minh tính duy nhất của y ta giả sử y0 cũng

kí hiệu là PF(x) Do tính duy nhất của y nên ta có ánh xạ PF : H → F,ánh xạ này gọi là phép chiếu trực giao H lên không gian con Hilbert F.1.2.7 Định lý Giả sử F là không gian con Hilbert của không gianHilbert H Khi đó H = F ⊕ F⊥ và phép chiếu trực giao PF : H → F

 Bởi vì hz, vi = 0 với mọi

v ∈ F nên z ∈ F⊥ Như vậy với mọi x ∈ H ta đều có

x = y + (x − y) = y + z ∈ F + F⊥ Chú ý rằng F ∩ F⊥ = 0 nên H làtổng trực tiếp đại số của F và F⊥.Bởi vì PF chính là phép chiếu H lên F

trong tổng trực tiếp đại số, do đó PF là ánh xạ tuyến tính Để hoàn thànhchứng minh chỉ còn phải chỉ ra PF liên tục Bởi vì PF(x) ⊥ (x − PF(x))nên theo định lí Pythagore kxk2 = kPF(x)k2 + kx − PF(x)k2.

| hx, eii |2 ≤ kxk2 với mọi x ∈ H (Bất đẳng thức Bessel)

b) Với mọi (λi) ∈ l2 chuỗi

∞

P

i=1

λiei hội tụ trong H.Chứng minh a) Đặt hx, eii = ci Với mọi n ∈ N, ta có

nên mọi ε > 0 tồn tại n0 sao cho mọi n ≥ n0, p ∈ N,

n+p

P

i=n+1

|λi|2 < ε Theođịnh lí Pythagore, ksn+p− snk2 =

Vậy ta có điều phải chứng minh

1.2.10 Định lý Giả sử không gian Hilbert H có một cơ sở trực chuẩnđếm được {en} Khi đó,

Do hệ {ej} đầy đủ nên x − y = 0 hay x = y

b) Vì tích vô hướng liên tục nên theo a)

Chứng minh Giả sử {an} là một dãy toàn vẹn, độc lập tuyến tính trong

E Kí hiệu L là không gian các tổ hợp tuyến tính hữu hạn của tập {an}.Gọi D là tập tất cả các tổ hợp tuyến tính hữu hạn với hệ số hữu tỉ (tagọi số phức α + iβ là hữu tỉ nếu α và β là hữu tỉ) Ta đã biết D là đếmđược Để chứng minh D là trù mật trong E ta chỉ cần chứng minh D trùmật trong L.Lấy tùy ý x =

kn−1 sao cho akn không là tổ hợp tuyến tính của ak1, , akn−1 Ta nhậnđược dãy {akn} gồm các phần tử độc lập tuyến tính trong E Vì tổ hợptuyến tính của các phần tử này chứa D, nên dãy {an} là toàn vẹn

1.2.12 Định lý Trong một không gian Hilbert H vô hạn chiều, cácđiều kiện sau đây là tương đương

a) H là khả li;

b) Hcó một dãy toàn vẹn độc lập tuyến tính;

c) H có một cơ sở trực chuẩn đếm được;

d) H đẳng cấu với l2.

Phương trình đạo hàm riêng là phương trình bao gồm một hàm chưabiết của hai hoặc nhiều biến và các đạo hàm riêng của nó Cố định một

số nguyên n ≥ 1 và lấy U là một tập con mở của Rn

(ii) Phương trình đạo hàm riêng (1.1) được gọi là nửa tuyến tính nếu

1.3.4 Ví dụ Lấy x ∈ U, trong đó U là một tập con mở của Rn, và

t ≥ 0 Đặt Du = Dxu = (ux1, , uxn) là građien của u đối với biến

x = (x1, , xn)

a Phương trình tuyến tính

10 Phương trình điện báo

7 Định luật bảo toàn vô hướng

b Hệ phi tuyến

Các phương trình Navier-Stokes không nén được, dòng chảy nhớt



ut + u.Du − ∆u = −Dpdivu = 0

CHƯƠNG 2NGHIỆM CHÍNH XÁC VÀ DÁNG ĐIỆU NGHIỆM CỦAPHƯƠNG TRÌNH KURAMOTO-SIVASHINSKY

Trong phần này, đầu tiên chúng tôi trình bày cách tìm một nghiệm củaphương trình Kuramoto-Sivashinsky (KS)

ut + uux + uxx+ vuxxxx = 0 (2.1)Cách tìm nghiệm của phương trình (2.1) được chúng tôi tham khảo trongbài báo [2] Sau đó, chúng tôi đề xuất và chứng minh một định lý nói vềkết quả đánh giá ổn định nghiệm cho bài toán ngược của phương trìnhnày với v = 1

trong đó hàm u được biểu thị theo hàm f (w) của hàm w(x, t), viết tắt là

w, với f, w cũng như các hằng số c và d sẽ được xác định sau Đánh giátừng phần tử trong phương trình (2.1) bằng cách sử dụng (2.2), ta được

ut = cf ”(w)wtwx + f(4)(w)wtwx3 + cf0(w)wtx+ 3f(3)(w)w2xwtx + 3f(3)(w)wtwxwxx+ 3f ”(w)wtxwxx+ 3f ”(w)wxwtxx+ f ”(w)wtwxxx+ f0(w)wtxxx (2.3)

vuxxxx = cvf5(w)wx5 + vf(7)(w)wx7

+ 10cvf(4)(w)w3xwxx+ 21vf(6)(w)wx5wxx+ 15cvf(3)(w)wxwxx2 + 105vf(5)(w)wx3w2xx+ 105vf(4)(w)wxw3xx+ 10cvf(3)(w)wx2wxxx+ 35vf(5)(w)w4xwxxx + 10cvf ”(w)wxxwxxx+ 210vf(4)(w)wx2wxxwxxx + 105vf(3)(w)w2xxwxxx+ 70vf(3)(w)wxwxxx2 + 5cvf ”(w)wxwxxxx

+ 35vf(4)(w)w3xwxxxx + 105vf(3)(w)wxwxxwxxxx+ 35vf ”(w)wxxxwxxxx + cvf0(w)wxxxxx

+ 21vf(3)(w)w2xwxxxxx+ 21vf ”(w)wxxwxxxxx+ 7vf ”(w)wxwxxxxxx + vf0(w)wxxxxxxx (2.6)Thay (2.3)–(2.6) vào (2.1), đồng nhất các số hạng tương ứng ta thu đượcphương trình vi phân thường

f(3)(w)f(4)(w) + vf(7)(w) = 0 (2.7)Phương trình này có nghiệm là

dw4x + 15vwxwxx3 − 30vw2xwxxwxxx+ wtwx3 + 10wx3wxx

− 160cvw3xwxx+ 15vwx3wxxxx = 0, (2.11)(c − 30c2v)wx3 + 15vw2xxwxxx + 3wtwxwxx+ 15wxwxx2

− 165cvwxw2xx− 50vwxw2xxx+ 15vwxwxxwxxxx + 3wtxwx2

+ 6dwx2wxx+ 10w2xwxxx− 140cvw2xwxxx+ 21vw2xwxxxxx = 0, (2.12)cdwx2 + 3wtxwxx+ 3dw2xx+ wtwxxx + 10wxxwxxx

β + αd + α2(10 − 160cv) = 0, (2.17)6β + c + 6αd + α4v − 30c2v + α2(25 − 305cv) = 0, (2.18)βc+cdα+(7β +3c−60c2v)α2+7dα3+(15−105cv)α4+3vα6 = 0, (2.19)

(α2 + c)(α2+ β + αd + α4v) = 0, (2.20)Giải hệ phương trình đại số được cho bởi (2.16)–(2.20), ta được nghiệm:

c = 119v, α = ±

r1119v,

β = −330361v ∓

r3971

với d tùy ý.

Với w được xác định như trong (2.15) thỏa mãn (2.10)–(2.14) và f (w)được cho bởi (2.8) thỏa mãn (2.7) thì u được cho bởi (2.2) là một nghiệmcủa (2.1) Từ (2.2) và (2.8) ta thu được nghiệm của phương trình KS nhưsau:

u = −30

19

r

1119v

tanhφ

2 + 1

2#+ d (2.22)

trong đó

φ = ±

r1119vx −

330361v ±

r39716859vd

!

t + γ (2.23)

với γ là tùy ý và µ trong phương trình (2.15) được lấy bằng phần tử đơn

vị để thuận tiện cho tính toán

Tiếp theo, chúng tôi đề xuất và chứng minh kết quả đánh giá ổn địnhnghiệm cho bài toán ngược của phương trình (2.1) với v = 1

ChoL,T là các số dương Kí hiệuD = {(x, t) : 0 < x < L, 0 < x < T }.2.1.1 Định lý Giả sử u1(x, t) và u2(x, t) là các nghiệm của phươngtrình

ut+ uxxxx + uxx + uux = f (x, t), (x, t) ∈ D, (2.24)u(0, t) = u(L, t) = 0, 0 6 t 6 T, (2.25)

ux(0, t) = h1(t), ux(L, t) = h2(t), 0 6 t 6 T, (2.26)trong đó h1(t), h2(t) và f (x, t) là các hàm trơn

Nếu u1(x, t) và u2(x, t) thỏa mãn điều kiện

trong đó

k(t) = 2√

L exp

3E(T + t)

C1(t − T µ(t))2C

,

C = 1

2L

4L2+ 39

4



E2và

µ(t) = e

eCT − 1, ∀t ∈ [0, T ]. (2.29)Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu k · k thay cho k · kL2 (0,L) Đặt

z = u1 − u2 Từ (2.24)–(2.26) ta có



zt+ zxxxx + zxx+ u1zx + u2xz = 0, (x, t) ∈ D,

z(0, t) = z(L, t) = zx(0, t) = zx(L, t) = 0, 0 6 t 6 T (2.30)Giả sử rằng kz(·, t)k > 0, ∀t ∈ [0, T ] Ký hiệu



vt+ vxxxx + vxx+ u1vx + u2xvx + gv = 0, (x, t) ∈ D,

v(0, t) = v(L, t) = vx(0, t) = vx(L, t) = 0, t ∈ [0, T ] (2.32)Đặt h(t) = kv(·, t)k2 = R0Lv2dx, ∀t ∈ [0, T ] Ta có

v (vxxxx + vxx + u1vx + u2x2vx + gv) dx

= −2

Z L 0

vxx2 dx+ 2

Z L 0

vx2dx +

Z L 0

(u1x− 2u2x) v2dx + 2g

Z L 0

v2dx (2.33)



−2

Z t 0

g(s)ds

dx

=

Z L 0

(2u2x− u1x)v2dx (2.34)

Từ (2.33) và (2.34), ta có

h0(t) = −2

Z L 0

vxx2 dx + 2

Z L 0

vx2dx (2.35)Đặt φ = u1vx + u2xv − gv, ta đạt được

h00 = −4

Z L 0

vxxvxxtdx + 4

Z L 0

vxvxtdx

= −4

Z L 0

(vxxxx + vxx)vtdx

= 4

Z L 0

(vxxxx + vxx)(vxxxx + vxx + φ)dx

= 4

Z L 0

v2dx (2.37)

Từ (2.34) và (2.37), ta có

Z L 0

vφdx = 0

Mặt khác,

h0 = −2

Z L 0

vxx2 dx + 2

Z L 0

vx2dx

= −2

Z L 0

(vxxxx + vxx)vdx

= 2

Z L 0

Từ (2.36) và (2.38) ta có

h00h − (h0)2 = 4

Z L 0

φ2dx

!

Z L 0

v2dx

− 4

Z L 0



vxxxx + vxx+ 1

2φ

vdx

2

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có

Z L 0

v2dx

Z L 0



vxxxx + vxx+ 1

2φ

vdx

φ2dx

Z L 0

v2dx (2.41)Hơn nữa,

Z L

0

φ2dx =

Z L 0

(u1vx + u2xv − gv)2dx

6 3

Z L 0

u21vx2 + u22xv2+ g2v2
dx

6 3

Z L 0

u21vx2dx +

3E2 + 27

4 E

2

 Z L 0

v2dx

= 3

Z L 0

u21vx2dx + 39

4 E

2

Z L 0

Mặt khác,

u21(x, t) =

Z x 0

u1s(s, t)ds

2

6 x

Z x 0

u1s(s, t)2ds

Từ (2.42) và (2.43) ta kết luận rằng

Z L 0

φ2dx 6 3L2E2

Z L 0

vx2dx + 39

4 E

2

Z L 0

v2dx (2.44)

Từ (2.41) và (2.44) ta có

h00h − (h0)2 > −3L2E2

Z L 0

v2xdx

Z L 0

vx2dx

 Z L 0

vxxvdx

 Z L 0

vxx2 dx



− 4L2E2

Z L 0

v2dx

 Z L 0

v2xdx − 2

Z L 0

vxx2 dx

 Z L 0

, ∀t ∈ [0, T ]

Từ v = z exp−R0tg(s)ds và |g(t)| 6 3

2E, ∀t ∈ [0, T ], ta cókz(t)k 6 kz(0)k1−µ(t)kz(T )kµ(t)

× exp

3E(T µ(t) + t)

C1(t − T µ(t))2C

, ∀t ∈ [0, T ] (2.47)

Bây giờ, ta xem xét trường hợpkz(·, t)kcó thể triệt tiêu Nếukz(·, 0)k = 0thì kz(·, t)k = 0, ∀t ∈ [0, T ] Thật vậy, ta có

d

dtkz(t)k2 = −2

Z L 0

zxx2 dx − 2

Z L 0

zxxzdx +

Z L 0

(u1x− 2u2x) z2dx

6 2

Z L 0

z2dx +

Z L 0

dtkz(t)k2 − (2 + 3E)kz(t)k2



6 0.Điều này kéo theo rằng e−(2+3E)tkz(t)k2 là hàm giảm Do đó, ta có

e−(2+3E)tkz(t)k2 6 kz(0)k2, ∀t ∈ [0, T ]hay

kz(t)k2 6 e(2+3E)tkz(0)k2, ∀t ∈ [0, T ]

Vì kz(0)k = 0, ta kết luận rằng kz(t)k = 0, ∀t ∈ [0, T ] Do đó, nếukz(0)k = 0thì bất đẳng thức (2.28) đúng Nếukz(·, 0)k > 0 thì kz(·, t)k >

0, ∀t ∈ [0, T ] Thật vậy, giả sử ngược lại Ta ký hiệu t0 là điểm đầu tiên(bé nhất) thỏa mãn kz(·, t)k = 0 Khi đó kz(·, t)k > 0 với 0 6 t < t0 Sửdụng bất đẳng thức (2.47) với T được thay thế bởi s < t0 và sau đó cho

s ↑ t0 ta đạt được mâu thuẫn Do đó khi kz(·, t)ktriệt tiêu, bất đẳng thức(2.47) vẫn đúng Mặt khác, ta có

kz(T )k = ku1(·, T ) − u2(·, T )k 6 ε, (2.48)kz(0)k2 =

Z L 0

(u1(x, 0) − u2(x, 0))2dx 6 4E2L (2.49)Bất đẳng thức (2.28) được suy ra từ các bất đẳng thức (2.47), (2.48) và(2.49)

Định lý được chứng minh

2.2 Dáng điệu nghiệm của phương trình

k − 1 của nó tuần hoàn với chu kỳ L Ta giới thiệu tập V = Hper2 (Ω) ∩ H

là một không gian Hilbert với tích vô hướng

với các miền tương ứng D(A) = Hper4 (Ω) ∩ H và D(R) = V Ta cũng đặt

B = V × V → H là dạng song tuyến tính liên tục được định nghĩa bởi

du

dt + vAu + B(u, u) + Ru = 0 (2.54)với điều kiện ban đầu

và chú ý rằng q = −(1/2)Dφ Biểu thức ở vế trái của (2.56) là bằng

w2 Dφdx − kDwk2

= v D4w, w−

Z −L/2 L/2

kwk2.Tại đây ta có thể chọn α = 1/2v + β và chứng minh kết thúc

2.2.3 Định lý ([3]) Cho u : R → V là một nghiệm của (2.54), (2.55)thỏa mãn lim

dv

dt + vAv + B(v, φ) + B(φ, v) + B(v, v) + Rv = ψ (2.57)

KẾT LUẬNKết quả đạt được trong Luận văn này là

1 Trình bày khái niệm không gian Banach, khái niệm không gianHilbert, phép chiếu trực giao, hệ trực giao, hệ trực chuẩn và các tính chất