Phép biến đổi tích phân trên thang thời gian

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI TRẦN KIM HƯƠNG TRẦN KIM HƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN TỐN ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TỐN ỨNG DỤNG KHĨA 2016A Hà Nội – Năm 2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI - TRẦN KIM HƯƠNG PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC CHUYÊN NGÀNH TOÁN ỨNG DỤNG MÃ CHUYÊN NGÀNH: 60.46.01.12 Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Xuân Thảo Hà Nội – Năm 2017 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn cơng trình nghiên cứu riêng hướng dẫn PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Tôi xin cam đoan luận văn không trùng lặp với luận văn công bố thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Tác giả Trần Kim Hương Lời cảm ơn Luận văn hoàn thành dìu dắt bảo tận tình PGS TS Nguyễn Xuân Thảo, tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành sâu sắc đến thầy Tôi xin chân thành cảm ơn thầy, cô giáo Semina Tốn Giải tíchViện Tốn ứng dụng Tin học trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội tạo cho môi trường làm việc, nghiên cứu, học hỏi, sẻ chia truyền thụ lại cho kiến thức cần thiết quan trọng để tơi hồn thành luận văn Cuối cùng, xin gửi lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè tồn thể cán giảng viên Viện Tốn ứng dụng Tin Học nói riêng trường Đại Học Bách Khoa Hà Nội nói chung cho tơi mơi trường làm việc, học tập nghiên cứu nghiêm túc thân thiện để tơi hồn thành luận văn Do khả cịn hạn chế, luận văn khơng thể tránh khỏi thiếu sót Tơi mong nhận góp ý thầy giáo, bạn độc giả quan tâm tới vấn đề Hà Nội, tháng 11 năm 2017 Học viên Trần Kim Hương MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN ………………………………………………………………… LỜI CẢM ƠN …………………………………………………………………… LỜI NÓI ĐẦU …………………………………………………………………….4 Lý chọn đề tài ………………………………………………………… Mục đích nghiên cứu ……………………………………………………… Nhiệm vụ nghiên cứu ……………………………………………………… Đối tượng phạm vi nghiên cứu ………………………………………… Bố cục luận văn ………………………………………………………5 CHƢƠNG 1: PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN………….6 1.1 Thang thời gian …………………………………………………………8 1.2 Đạo hàm thang thời gian ………………………………………… 1.3 Kết luận chương …………………………………………………… 16 CHƢƠNG 2: PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN…….17 2.1 Định nghĩa tích phân thang thời gian ……………………………17 2.2 Điều kiện   khả tích phương pháp tính tích phân ……………20 2.3 Hàm đa thức hàm mũ thang thời gian ……………………… 23 2.4 Phương trình động lực học ………………………………………… 31 2.4.1 Phương trình động lực học tuyến tính cấp I……………………………31 2.4.2 Phương trình động lực học gần tuyến tính cấp I…………………………33 2.4.3 Phương trình động lực học gần tuyến tính cấp cao………………………34 2.5 Kết luận chương …………………………………………………….37 CHƢƠNG 3: PHÉP BIẾN ĐỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN….38 3.1 Biến đổi Fourier ………………………………………………………38 3.2 Các tính chất phép biến đổi Fourier …………………………… 41 3.3 Biến đổi Fourier ngược …………………………………………… 46 3.4 Kết luận chương ……………………………………………………49 KẾT LUẬN …………………………………………………………………… 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO ………………………………………………………51 LỜI NÓI ĐẦU -o0o Lý chọn đề tài Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn giáo sư Bernd Aulbach), với mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian phát triển lý thuyết Giải tích thang thời gian Từ đến nay, có số sách giải tích, hàng chục luận án tiến sĩ nhiều báo nghiên cứu giải tích thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất giới thực, tính rời rạc tính liên tục khái niệm công cụ Giải tích thang thời gian nhiều nhóm nhà tốn học ngồi nước quan tâm Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu toán tối ưu phép tính biến phân, mơ hình kinh tế vĩ mơ, áp dụng vào tốn trị chơi, hệ sinh thái, … Với mong muốn tìm hiểu vấn đề thời giải tích, từ hiểu sâu giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi chất, kiến thức học tập chương trình đại học sau đại học, em xin chọn đề tài Phép biến đổi tích phân thang thời gian làm đề tài luận văn thạc sỹ khoa học Mục đích nghiên cứu Phép biến đổi tích phân thang thời gian Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu khái niệm thang thời gian, đạo hàm, tích phân phép biến đổi Fourier thang thời gian ứng dụng Phƣơng pháp nghiên cứu Sử dụng biến đổi tích phân, thang thời gian, bất đẳng thức tích phân, tích chập, giải tích hàm, phương pháp toán tử Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu tài liệu tham khảo, luận văn gồm ba chương với nội dung sau: Chƣơng Phép tính vi phân thang thời gian Chƣơng Phép tính tích phân thang thời gian Chƣơng Phép biến đổi Fourier thang thời gian Kết đạt đƣợc CHƢƠNG 1: ĐẠO HÀM TRÊN THANG THỜI GIAN Chương đưa số khái niệm thang thời gian, vi phân đạo hàm thang thời gian Các kết chương trích từ tài liệu [1];  4 ; [10] 1.1 Thang thời gian Định nghĩa 1.1 Một thang thời gian, ký hiệu T, tập hợp đóng khác rỗng tập hợp số thực Có vài thang thời gian đặc biệt, chẳng hạn tập số thực , số nguyên , h  hz : z   , h số thực dương cố định, số tự nhiên  1, 2,  ,  0 , q  q n : n   , q  điều chỉnh Trong luận văn này, ta giả định thang thời gian định có cấu trúc liên kết tương đối chặt chẽ với số thực Xét số nguyên chọn t  Chúng ta biết số nguyên liền sau t  Tiếp theo ta xét tập số thực, , với t  Trong cách này, khơng có số thực lớn t Bây giờ, ta xem xét thang thời gian T   1,0 Nếu chọn t  T mà t  , khơng có phần tử lớn khác T Tuy nhiên, chọn t  T mà t  , T có phần tử lớn đặt t  Định nghĩa sau đưa hướng nghiên cứu có ý nghĩa thang thời gian tùy ý Định nghĩa 1.2 Với t  T toán tử bước nhảy tiến  :T  T xác định   t  : inf s  T : s  t , toán tử bước nhảy lùi  :T  T xác định   t  : sup s  T : s  t , hàm hạt  : T  0,  xác định   t  :   t   t Quy ước inf   supT sup   inf T Toán tử bước nhảy tiến cho ta số liền sau t t khơng có Tốn tử bước nhảy lùi tương tự cho ta số liền trước t Cuối cùng, hàm hạt tạo khoảng cách đến số liền sau Định nghĩa sau sử dụng toán tử để phân loại điểm thang thời gian Định nghĩa 1.3 Nếu   t   t ta nói t lập bên phải Nếu   t   t ta có t lập bên trái Nếu điểm vừa cô lập bên phải vừa cô lập bên trái, điểm gọi điểm lập Nếu t  sup T   t   t , t gọi điểm trù mật bên phải Nếu t  inf T   t   t , t gọi điểm trù mật bên trái Điểm vừa điểm trù mật bên phải vừa điểm trù mật bên trái gọi điểm trù mật Hai định nghĩa thiết lập điều kiện tương tự tính liên tục có phần yếu tính liên tục Định nghĩa 1.4 Một hàm f : T  gọi hàm quy tồn giới hạn bên phải tất điểm trù mật bên phải T Hàm quy gián đoạn điểm có bước nhảy Ví dụ 1.5 Xét hàm khơng quy Đặt f :   1;1 xác định  1 sin f  t     t  0  t0 t  Chú ý f liên tục t  \ 0 không tồn giới hạn trái giới hạn phải lim sin  x  khơng tồn x  lim sin  x  không tồn x  Tuy nhiên, giới hạn f với thang thời gian xác định f hàm quy khơng có điểm trù mật bên trái điểm trù mật bên phải Định nghĩa 1.6 Một hàm f : T  gọi hàm rd- liên tục (hoặc liên tục trù mật bên phải) điểm t0  T điểm t0 điểm trù mật bên trái giới hạn bên trái f tồn t0 t0 điểm trù mật bên phải f liên tục t0 , nghĩa hàm f quy liên tục bên phải Một hàm hàm rd- liên tục tất điểm gọi hàm rd- liên tục Ví dụ 1.7 Đặt 1  T : 0  : n   n  2  2  : n   n 1 f t    0   xác định f : T  0,1  t2 t2 rõ ràng f liên tục điểm lập T Vì ta xét điểm trù mật bên phải điểm trù mật bên trái Giới hạn phải f tồn f   Vì vậy, f liên tục Trong f không liên tục 2, giới hạn trái f tồn Ta thấy f không liên tục f hàm rd-liên tục Định lý 1.8 Cho f : T  g : T  T thì, (i) Nếu f liên tục, f hàm rd-liên tục (ii) Nếu f liên tục g quy rd-liên tục, g f tương ứng hàm quy rd-liên tục 1.2 Đạo hàm thang thời gian Định nghĩa 1.9 Tập T k định nghĩa T \    sup  ,sup T  T k :  T sup T   sup T   Đạo hàm thang thời gian hàm thích hợp khơng thể xác định cho tất điểm toàn thang thời gian Đặc biệt, xác định cận hữu hạn thang thời gian Tuy nhiên, xác định đạo hàm thang thời gian tất điểm T k Theo định nghĩa sau đây, T k tập xác định để đạo hàm thang thời gian có nghĩa Định nghĩa 1.10 Hàm f : T  gọi Δ-khả vi t  T k f  (t ) : lim s t f ( (t ))  f ( s) ,  (t )  s s  T \  (t ) tồn f   t  gọi Δ-đạo hàm f t Hàm f gọi Δ- khả vi T k f   t  tồn tất t  T k f  : T k  gọi Δ- đạo hàm k f T Chú ý, ta quy ước s    t  , s = t Khi điểm t thang thời gian cô lập bên phải, Δ-đạo hàm t độ dốc đường thẳng qua điểm  t , f t    t  , f  t  Khi t trù mật bên phải, Δ-đạo hàm t tương tự định nghĩa thông thường đạo hàm Định lý 1.11 Cho f : T  với t  T k Nếu f Δ-khả vi t thì: f  (t )   f (t )   (t ) f  (t ) (i) (ii) f liên tục t Chứng minh:  i  Giả sử f Δ-khả vi điểm t  T k Ta thấy t trù mật phải   t     t   t , ta có 2.5 Kết luận chƣơng Trong chương trình bày vấn đề sau:  Định nghĩa, tính chất tích phân thang thời gian  Định nghĩa tính chất hàm đa thức, hàm mũ, phép tốn cộng vịng trịn  phép tốn trừ vòng tròn  thang thời gian  Một số hàm lượng giác với đạo hàm tương ứng thang thời gian  Phương trình động lực học cho toán truyền nhiệt với điều kiện ban đầu 37 CHƢƠNG PHÉP BIẾN DỔI FOURIER TRÊN THANG THỜI GIAN Trong chương ta nghiên cứu phép biến đổi Fourier thang thời gian cho hàm: liên tục, tuần hoàn, rời rạc hàm hữu hạn thang thời gian cụ thể Nêu định nghĩa, tính chất phép biến đổi Fourier phép biến đổi Fourier ngược Các kết chương trích từ tài liệu [5]; [6]; [7] 3.1 Biến đổi Fourier Trước định nghĩa phép biến đổi Fourier, ta cần phải xác định số thang thời gian đặc biệt Định nghĩa 3.1.1 Thang thời gian Th định nghĩa h 0  Th : h   h0 h  Chú ý Th ,   tạo thành nhóm giao hốn Nếu H> bội số h H = ∞, TH nhóm Th Điều dẫn đến định nghĩa Định nghĩa 3.1.2 Cho H  h mà TH nhóm Th Khi đó, thang thời gian ThH nhóm thương định nghĩa ThH : Th / TH , ThH xác định ThH : ThH h  lim 2 H  lim 2 xH x h Chú ý h   2 h h x x h Ở đây, h số thực dương cố định H coi chiều dài thang thời gian Ta chứng minh điều vài ví dụ Ví dụ 3.1.3 Th  h / 0  h 38 / 0  T0  Giả sử H   T0 H  / H  x  mod H  : x   Cũng giả sử h  ThH  h / H  H / h Mệnh đề 3.1.4 Tất thang thời gian nhóm giao hốn viết dạng ThH số h H Chứng minh: Giả sử G thang thời gian mà  G,   nhóm giao hốn Trước hết ta Gk phải có độ hạt khơng đổi,   b   h , số h    , h  Chú ý xét t  Gk t  Gk , không xét trường hợp G hữu hạn k có  sup  G   Giả sử a, b  G Khi đó, rõ ràng   a  ,   b   G a, b  G có phần tử nghịch đảo a, b  G Vì vậy,   a  ,   b   G G đóng Theo thứ tự , ta có   a     b  ,   b     a  , hai Khơng tính tổng qt ta giả sử   a     b  Vì G đóng nên b    a   G Theo định nghĩa σ,   b   b    a  Do   b   b    a     b     a  Vì vậy,   a     b  Vì vậy, để h độ hạt G , G  Th Đặt H  sup b  a  h a ,bG Nếu h  G khoảng đóng với chiều dài H Nếu h  0, H / h thứ tự nhóm G Vì vậy, ta có G  ThH □ Bây đưa vài định nghĩa để thiết lập mối quan hệ hàm xác định Th hàm xác định ThH Định nghĩa 3.1.5 Đối với hàm f : ThH  , ta định nghĩa hàm f  : Th  công thức: f   t  : f  t mod H    H H   t   ,   Trong   H H  ,    2   H H ,  2  hàm đặc trưng khoảng   Ở mở rộng tự nhiên f sang Th , hạn chế tính liên tục  H H ,  , bỏ điểm đầu mút  H  2 khoảng   39 Định nghĩa 3.1.6 Cho f : Th  thức Khi f : ThH    f t   f   t  :    f   H       xác định biểu H H t  t   H  f      Ở ta xét hàm tuần hồn với chu kì H giới hạn f khoảng  H H   ,  , trung bình cộng hai điểm đầu mút thuộc ThH Chú ý f : Th  , f     f Biểu thức liên hệ cho phép xác định Δ-tích phân ThH  điều kiện tính Δ-tích phân Th Định nghĩa 3.1.7 Cho f: ThH  Khi đó, ta định nghĩa Δ-tích phân ThH : b  f  t  t :    a f t  ThH , s  Th f   s  a ,b  s , Trong a ,b  hàm đặc trưng đoạn  a, b   Bây ta đưa định nghĩa phép biến đổi Fourier thang thời gian Fourier Định nghĩa 3.1.8 Cho f : ThH  Ta xác định phép biến đổi Fourier f F  f   :   f t e  it t  cho ω ∈ ThH mà Δ-tích phân tồn Một vài trường hợp ta viết F  f   f   Với T0,  , F  f   viết lại F  f      f t e  it dt  Là tích phân Fourier thơng thường Khi h = H