Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Tạ Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về tri thức, phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình thực hiện đề tài. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ trong suốt quá trình học tập, Trường Cao đẳng nghề Việt-Đức Vĩnh Phúc, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Nguyễn Thị Bình 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng và trình bày các kết quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Học viên Nguyễn Thị Bình 3 MỤC LỤC Trang Mở đầu …………………………………………………………. 1 Chương 1. Khái niệm thang thời gian ……………………………… 4 1.1. Khái niệm thang thời gian 4 1.1.1. Thang thời gian 4 1.1.2. Các khái niệm cơ bản 1.2. Tôpô đại cương 1.2.1. Không gian tôpô 1.2.2. Hàm số liên tục 1.2.3. Hàm số khả vi 1.3. Nguyên lí quy nạp trên thang thời gian Chương 2. Phép tinh vi phân trên thang thời gian …………. 2.1. Phép tính vi phân cấp 1 2.1.1. Định nghĩa đạo hàm Hilger 2.1.2. Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian 2.2. Các tính chất của đạo hàm Hilger 2.3. Phép tính vi phân cấp cao Chương 3. Phép tính tích phân trên thang thời gian ………. 3.1. Hàm chính quy và hàm rd-liên tục, hàm tiền khả vi 3.1.1. Các định nghĩa 3.1.2. Các tính chất 3.2. Phép tính tích phân 3.2.1. Tích phân 3.2.2. Các tính chất của tích phân 3.3. Quy tắc xích 4 3.4. Một số ứng dụng của tích phân Kết luận Tài liệu tham khảo 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Giáo sư Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian và phát triển lý thuyết Giải tích và Hệ động lực trên thang thời gian. Từ đó tới nay, đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng ngàn bài báo nghiên cứu về giải tích (Phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thế giới thực, đó là tính liên tục và tính rời rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất mô hình rời rạc và liên tục dưới cùng một khái niệm và công cụ. Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian hiện đang được nhiều nhóm các nhà toán học ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) và trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) quan tâm. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu bài toán tối ưu và phép tính biến phân, các mô hình kinh tế vĩ mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái, Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự và cơ bản của giải tích, từ đó hiểu hơn về giải tích cổ điển, để có hiểu biết rộng rãi và bản chất về những kiến thức của giải tích đã được học trong chương trình đại học và cao học, đồng thời hy vọng với những kiến thức này, tôi có thể giảng dạy tốt môn toán, đặc biệt là môn Giải tích, trong chương trình phổ thông, tôi chọn đề tài Phép tính vi phân và tích phân trên thang thời gian làm đề tài luận văn cao học. 2 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày các khái niệm cơ bản nhất của giải tích trên thang thời gian trong khuôn khổ một luận văn cao học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu các tài liệu (chủ yếu tiếng Anh) và trình bày trong một luận văn cao học các kiến thức cơ bản nhất của giải tích trên thang thời gian. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Thang thời gian. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu chủ yếu tiếng Anh viết về Giải tích trên thang thời gian. 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Chủ yếu dựa trên cuốn sách [6], có tham khảo thêm các tài liệu [3], [4], [5], [7], luận văn trình bày có hệ thống về lý thuyết Giải tích trên thang thời gian. Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về giải tích trên thang thời gian. 3 Chương 1 KHÁI NIỆM THANG THỜI GIAN 1.1. Khái niệm thang thời gian 1.1.1. Thang thời gian Định nghĩa 1.1. Thang thời gian (time scale) là tập con đóng tùy ý khác rỗng trong tập số thực . ℝ Thang thời gian thường được ký hiệu là T . Ví dụ 1.1 1.1.1) Các tập , ℝ 0 , , ℤ ℕ ℕ , [ ] [ ] 0;1 2;3 , ∪ T = [ ] 0, 2 ,2 1 k k k k ∞ = ∈ + ℕ ∪ là thang thời gian. 1.1.2) Các tập , \ ℚ ℝ ℚ , [ ) 0;1 không phải là thang thời gian vì chúng tuy nằm trong ℝ nhưng không phải là tập đóng trong . ℝ 1.1.3) Mặt phẳng phức ℂ cũng không phải là thang thời gian vì nó là tập đóng nhưng không nằm trong . ℝ 1.1.2. Các định nghĩa cơ bản Định nghĩa 1.2. Cho T là thang thời gian Toán tử nhảy tiến (forward jump) là toán tử σ : T → T được xác định bởi công thức ( ) : inf{ t s σ = ∈ T : } s t > . Toán tử nhảy lui (backward jump) là toán tử ρ : T → T được xác định bởi công thức ( ) : sup{ t s ρ = ∈ T : } s t < . Định nghĩa 1.3. Cho T là thang thời gian Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập phải (right-scattered) nếu ( ) t t σ > . Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập trái (left-scattered) nếu ( ) t t ρ < . 4 Điểm t ∈ T được gọi là điểm cô lập (isolated) nếu ( ) ( ) t t t ρ σ < < . Định nghĩa 1.4. Cho T là thang thời gian Điểm t ∈ T được gọi là trù mật phải (right-dence) nếu ( ) . t t σ = Điểm t ∈ T được gọi là trù mật trái (left-dence) nếu ( ) . t t ρ = Điểm t ∈ T được gọi là trù mật (dence) nếu ( ) ( ). t t t ρ σ = = Ta có bảng tóm tắt 1.1 t là điểm cô lập phải ( ) t t σ < t right-scattered t là điểm trù mật phải ( ) t t σ = t right-dense t là điểm cô lập trái ( ) t t ρ < t left-scattered t là điểm trù mật trái ( ) t t ρ = t left-dense t là điểm cô lập ( ) ( ) t t t ρ σ < < t isolated t là điểm trù mật ( ) ( ) t t t ρ σ = = t dense Bảng 1.1 Ta có bảng 1.2 hình ảnh hình học của các điểm có thể mô tả như sau 1 : t Điểm trù mật (trù mật trái và trù mật phải) 2 : t Điểm trù mật trái và cô lập phải 3 : t Điểm trù mật phải và cô lập trái 4 : t Điểm cô lập (cô lập trái và cô lập phải) Bảng 1.2 Định nghĩa 1.5. Cho T là thang thời gian. Hàm hạt (grainiess) là hàm : µ T → [ ) 0; ∞ được xác định bởi công thức ( ) : ( ) . t t t µ σ = − Định nghĩa 1.6. Cho T là thang thời gian và hàm : f T . → ℝ Ta kí hiệu hàm hợp của f và σ là : f σ T → ℝ được xác định theo công thức 5 ( ) ( ( )). f t f t σ σ = Ví dụ 1.2 1.2.1) Cho thang thời gian T = ℝ thì ( ) ( ) , ( ) 0 t t t t σ ρ µ = = = với mọi t ∈ T . Mọi điểm t ∈ T đều là điểm trù mật. 1.2.2) Cho thang thời gian T = ℤ thì ( ) 1, ( ) 1 t t t σ µ = + = và ( ) 1 t t ρ = − với mọi t ∈ T . Mọi điểm t ∈ T đều là điểm cô lập. 1.2.3) Cho thang thời gian T 0 : 2 n n   = ∈     ℕ với 0 ℕ là tập các số tự nhiên và số 0. Ta có 1 ( ) , 2 t t σ = + 1 ( ) 2 t t ρ = − và 1 ( ) . 2 t µ = Điểm 0 t = là điểm cô lập phải và mọi t ∈ T , 0 t ≠ đều là điểm cô lập. 1.2.4) Cho 0 h > là một số cố định. Xác định thang thời gian h Z như sau T = h Z { : } { , 3 , 2 , ,0, ,2 ,3 , } hn n h h h h h h = ∈ = − − − Z . Ta có ( ) , ( ) , ( ) . t t h t t h t h σ ρ µ = + = − = Vì 0 h > nên mọi điểm t ∈ T đều là điểm cô lập. Chú ý rằng 0 h > có thể là số vô tỉ, thí dụ 2. h = 1.2.5) Cho T = [ ] 0, 2 ,2 1 . k k k k ∞ = ∈ + ℕ ∪ Ta có Nếu ( ) 2 ,2 1 t k k ∈ + thì ( ) ( ) t t t σ ρ = = nên t là điểm trù mật. Nếu 2 1 t k = + thì ( ) 2 2 t t t σ = + > và ( ) t t ρ = nên t là điểm cô lập phải và là điểm trù mật trái. Nếu 2 t k = thì ( ) 2 t t k σ = = và ( ) 2 1 t k t ρ = − < nên t là điểm cô lập trái và là điểm trù mật phải. 1.2.6) Cho thang thời gian T = { } 2 2 0 0 : . n n= ∈ ℕ ℕ 6 Nếu t ∈ T thì tồn tại số 0 n ∈ ℕ sao cho 2 t n = hay . t n = Ta có 2 2 ( ) ( ) ( 1) , t n n σ σ = = + 2 ( ) ( 1) t t σ = + và 2 ( ) ( 1) t t ρ = − và 2 ( ) ( ) ( 1) 1 2 . t t t t t t µ σ = − = + − = + Điểm 0 t = là điểm cô lập phải. Mọi điểm t ∈ T , 0 t ≠ đều là điểm cô lập. 1.2.7) Cho thang thời gian T { } 0 :n n= ∈ ℕ . Nếu t ∈ T thì tồn tại số 0 n ∈ ℕ sao cho t n = hay 2 , n t = 2 1 1. n t + = + Ta có 2 ( ) 1 t t σ = + , 2 ( ) 1 t t ρ = − , và 2 ( ) 1 t t t µ = + − . Điểm 0 t = là điểm cô lập phải. Mọi điểm t ∈ T , 0 t ≠ đều là điểm cô lập. 1.2.8) Cho thang thời gian T { } 3 2 1 2 3 2 : ={ ,2 ,2 ,2 ,1,2,2 ,2 , }. z z − − − = ∈ ℤ Nếu t ∈ T thì tồn tại số nguyên z ∈ ℤ sao cho 2 0 z t = > hay 2 log . z t = Ta có 1 ( ) 2 2.2 2 . z z t t σ + = = = 1 1 1 ( ) 2 2 . 2 2 z z t t ρ − = = = và ( ) ( ) 2 . t t t t t t µ σ = − = − = Mọi điểm t ∈ T , 0 t ≠ đều là điểm cô lập. Nhận xét rằng inf{ : t t ∈ T } 0 = ∉ T . 1.2.9) Cho 0, 1 q q > ≠ là một số cố định, có thể là số vô tỉ. Ta xác định thang thời gian q Z như sau 3 2 1 2 3 { : } { , , , ,1, , , , } z q q z q q q q q q − − − = ∈ = Z Z . Tương tự như trên ta có ( ) , ( ) , ( ) ( 1) . t t qt t t q t q σ ρ µ = = = − Cũng có thể định nghĩa thang thời gian ___ : {0} q q= ∪ Z Z . Ta có (0) 0, (0) 0 σ µ = = nên 0 t = là điểm cô lập trái và trù mật phải. Mỗi điểm khác 0 của ___ q Z đều là điểm cô lập. [...]... ( x ) được gọi là khả vi trên ( a, b ) nếu nó khả vi tại mọi điểm trên ( a, b ) Qui nạp, hàm f ( x ) được gọi là khả vi cấp n trên ( a, b ) nếu đạo hàm cấp ( n − 1) của nó là khả vi tại mọi điểm trên ( a, b ) 1.3 Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian Nguyên lí qui nạp trên thang thời gian dưới đây là mở rộng nguyên lí qui nạp trên tập số tự nhiên Nguyên lí này là cần thiết và quan trọng trong các... U của điểm t trong tôpô cảm sinh trên T sao cho S ( s ) đúng ∀s ∈ U ∩ ( −∞, t ) iv) Nếu t ∈ ( −∞, t0 ] là điểm trù mật phải và S ( s ) đúng ∀s ∈ ( t , t0 ] thì S (t ) đúng Khi đó phát biểu S (t ) là đúng với mọi t ∈ ( −∞, t0 ] 12 Chương 2 PHÉP TÍNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Phép tính vi phân cấp 1 2.1.1 Định nghĩa đạo hàm Hilger Định nghĩa 2.1 Cho thang thời gian T Ta kí hiệu tập T k như sau... 2.3 Phép tính vi phân cấp cao 2 Định nghĩa 2.4 Giả sử f : T k → ℝ là hàm khả vi trên T k và f ∆ : T k → ℝ 2 2 là hàm khả vi trên T k với T k = (T k ) k Delta đạo hàm cấp hai (được vi t là f ∆∆ ) của hàm f là delta đạo hàm của hàm f ∆ , và được tính theo công thức f ∆∆ = ( f ∆ ) ∆ Tương tự ta có thể định nghĩa delta đạo hàm cấp n như sau Định nghĩa 2.5 Cho f : T k → ℝ có đạo hàm cấp n − 1 , f ∆ n trên. .. 2.1 Bất đẳng thức trên có thể vi t dưới dạng [ f (σ (t )) − f ( s)] − f ∆ (t ) [σ (t ) − s ] σ (t ) − s ≤ ε với mọi s ∈U Hay [ f (σ (t )) − f ( s)] − f ∆ (t ) ≤ ε σ (t ) − s với mọi s ∈U Định nghĩa 2.3 Hàm f : T → ℝ được gọi là ∆ khả vi (ngắn ngọn khả vi) trên T k nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm t ∈ T k 2.1.2 Đạo hàm Hilger trên một số thang thời gian 13 Ví dụ 2.1 Cho thang thời gian T bất kì 2.1.1)... ∆ (t ) = t + σ (t ) Nếu T= ℝ thì σ (t ) ≡ t Do đó f ∆ (t ) = 2t = f ′(t ) Ví dụ này chỉ ra rằng, ∆ đạo hàm phụ thuộc vào hàm nhảy tiến σ (t ) của thang thời gian T, tức là phụ thuộc vào cấu trúc của thang thời gian T Các thí dụ sau đây chỉ rõ hơn điều đó 14 n  2.1.4) Cho thang thời gian T :=  : n ∈ ℕ 0  Theo Ví dụ 1.2.5 (hay Bảng 1.2, 2  1 n n +1 1 T= hℤ với h = ) ta có σ (t ) = σ ( ) = = t... các khái niệm liên tục, đạo hàm, tích phân trên thang thời gian, dưới đây chúng tôi nhắc lại một số kiến thức cơ bản nhất của tôpô đại cương 1.2.1 Không gian tôpô 8 Định nghĩa 1.7 Cho tập hợp X bất kỳ Ta nói một họ τ những tập hợp con của X là một tôpô trên X (hay trên X xác định một cấu trúc tôpô), nếu i) Hai tập ∅ (tập rỗng) và X đều thuộc họ τ ii) τ đóng kín đối với phép giao hữu hạn, tức là giao... = 0 Nghĩa là mọi hàm f : ℤ → ℝ đều là ∆ khả vi tại mọi điểm t ∈ ℤ và ta có f ∆ (t ) = f (t + 1) − f (t ) = ∆f (t ) Ở đây ∆f (t ) = f (t + 1) − f (t ) là toán tử sai phân tiến theo định nghĩa thông thường Như vậy, khái niệm Delta đạo hàm thống nhất hai khái niệm đạo hàm và sai phân thông thường Ví dụ 2.3 Tính delta đạo hàm của f (t ) = t 3 trên thang thời gian 1 3 0 T := ℕ := { 3 } n : n∈ℕ0 Với mỗi... các chứng minh toán học trên thang thời gian Cho thang thời gian T (1) Với mọi t0 ∈ T Giả sử {S (t ), t ∈ [t0 , ∞ )} là một họ các phát biểu thỏa mãn i) Phát biểu S (t0 ) là đúng ii) Nếu t ∈ [t0 , ∞ ) là điểm cô lập phải và S (t ) đúng thì S (σ (t )) cũng đúng 11 iii) Nếu t ∈ [t0 , ∞ ) là điểm trù mật phải và S (t ) đúng thì tồn tại một lân cận U của điểm t trong tôpô cảm sinh trên T sao cho S ( s )... ∑ ∑ f Λ  g∆  Λ∈S ( m +1)   Λ∈S ( m +1)    k =1 Λ∈S ( m +1)  o   m +1   k  m +1   ∆k Λ = ∑ ∑ f  g   k = 0 Λ∈S ( m +1)  k  29 Chương 3 PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN 3.1 Hàm chính quy và rd-liên tục, hàm tiền khả vi 3.1.1 Các định nghĩa Định nghĩa 3.1 ( hàm chính quy) Hàm f : T → ℝ được gọi là hàm chính qui (regulated) nếu giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi... nhất thiết hai lần khả vi, thậm chí trong trường hợp f và g hai lần khả vi Ta đã biết (Mục iii) Định lí 2.2) ( fg ) ∆ (t ) = f ∆ (t ) g (t ) + f σ (t ) g ∆ (t ) Nếu f và g hai lần khả vi và nếu f σ khả vi thì ( fg ) ∆∆ = ( f ∆ g + f σ g ∆ ) = f ∆ g + f ∆ g ∆ + f σ g ∆ + f σ g ∆ ∆ ∆ σ ∆ σ ∆ = f ∆∆ g + f ∆σ g ∆ + f σ∆ g ∆ + f σσ g ∆∆ ∆ Ở đây, thay vì vi t f σ , , để cho gọn, ta vi t f ∆σ , Ta cũng sử . sĩ và hàng ngàn bài báo nghiên cứu về giải tích (Phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép. Hilger trên một số thang thời gian 2.2. Các tính chất của đạo hàm Hilger 2.3. Phép tính vi phân cấp cao Chương 3. Phép tính tích phân trên thang thời gian ………. 3.1. Hàm chính quy và. tục 1.2.3. Hàm số khả vi 1.3. Nguyên lí quy nạp trên thang thời gian Chương 2. Phép tinh vi phân trên thang thời gian …………. 2.1. Phép tính vi phân cấp 1 2.1.1. Định nghĩa