Phép tính vi phân trên đa tạp 2 chiều trong en

TRNG I HC S PHM H NI KHOA TON *** - NGễ TH HNG TRANG PHẫP TNH VI PHN TRấN A TP CHIU TRONG En KHểA LUN TT NGHIP I HC Chuyờn ngnh: Hỡnh hc Ngi hng dn khoa hc PGS.TS NGUYN NNG TM H Ni - 2011 LI CM N hon thnh khúa lun ny, trc ht em xin by t lũng bit n sõu sc n cỏc thy cụ giỏo khoa Toỏn, trng HSP H Ni ó ng viờn, giỳp em sut quỏ trỡnh lm khúa lun c bit, em xin chõn thnh cm n thy giỏo hng dn PGS.TS Nguyn Nng Tõm ó to iu kin tt nht v ch bo tn tỡnh em cú th hon thnh khúa lun ny Do thi gian v kin thc cú hn nờn nhng trỡnh by khúa lun ny khụng trỏnh nhng thiu sút Vỡ vy em rt mong nhn c nhng ý kin úng gúp ca cỏc thy cụ v cỏc bn sinh viờn Em xin chõn thnh cm n! H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Ngụ Th Hng Trang LI CAM OAN Khúa lun ny c hon thnh di s hng dn tn tỡnh ca thy giỏo PGS.TS Nguyn Nng Tõm cựng vi s c gng ca bn thõn Trong quỏ trỡnh nghiờn cu em ó k tha nhng thnh qu nghiờn cu ca cỏc nh khoa hc, cỏc nh nghiờn cu vi s trõn trng v bit n Em xin cam oan nhng kt qu khúa lun ny l kt qu nghiờn cu ca bn thõn, khụng trựng vi kt qu ca cỏc tỏc gi khỏc H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Ngụ Th Hng Trang MC LC Trang M u Ni dung Chng Mt s kin thc chun b 1.1 Phộp tớnh vi phõn Ă n 1.2 Khụng gian Euclid 1.3 Hm vect 10 1.4 Vect tip xỳc, trng vect trờn khụng gian Euclid 11 n 1.5 Cung E 12 1.6 Cung hỡnh hc 13 1.7 a chiu 14 1.8 Mnh tham s 15 1.9 Mnh hỡnh hc 16 n 1.10 a chiu E 16 n Chng Phộp tớnh vi phõn trờn a chiu E 19 2.1 nh x kh vi 19 2.2 Trng vect v trng vect tip xỳc trờn S 22 n 2.3 Dng vi phõn trờn a chiu S E 24 n 2.4 a chiu nh hng c E 30 2.5 Bi ỏp dng 33 Kt lun 43 Ti liu tham kho 44 M U Lớ chn ti Phộp tớnh vi phõn cựng vi phộp tớnh tớch phõn úng mt vai trũ quan trng lý thuyt cng nh ng dng Sau hc xong chng trỡnh toỏn dnh cho c nhõn c bit sau hc xong mụn hỡnh hc vi phõn tụi mong mun hc hi v tỡm hiu sõu thờm v s m rng phộp tớnh vi phõn Vỡ lớ ú tụi ó chn ti Phộp tớnh vi n phõn trờn a chiu E lm khúa lun tt nghip Vic nghiờn cu ti ny khụng ch mang li nhng kin thc b ớch n v hỡnh hc vi phõn, v phộp tớnh vi phõn trờn a hai chiu E m cũn giỳp phỏt trin t duy, tớnh cn thn, chớnh xỏc ca ngi hc Mc ớch nghiờn cu Bc u lm quen vi cụng tỏc nghiờn cu khoa hc, v tỡm hiu sõu thờm v hỡnh hc vi phõn c bit l phộp tớnh vi phõn Nhim v nghiờn cu n Nghiờn cu v phộp tớnh vi phõn trờn a hai chiu E Phng phỏp nghiờn cu C s lý lun, phõn tớch, tng hp v ỏnh giỏ Cu trỳc ca khúa lun Ngoi phn m u, kt lun, ti liu tham kho, khúa lun gm chng: Chng Mt s kin thc chun b n Chng Phộp tớnh vi phõn trờn a chiu E NI DUNG Chng MT S KIN THC CHUN B 1.1 Phộp tớnh vi phõn Ă n 1.1.1.o hm v vi phõn cp nh ngha 1.1.1 U l m Rn , hm f : U Rn c gi l kh vi ti im a (a1 ,a2 , ,an ) U nu tn ti mt ỏnh x tuyn tớnh A : Ă n Ă m cho f (a h) lim f (a) A(h) (1.1) h h hay l f (a h) f (a) A(h) (h) h ú h (h1 ,h2 , ,hn ) l vụ cựng h h (1.2) tc l (h) Trong trng hp ny ỏnh x tuyn tớnh A c gi l o hm ca hm vect f ti a v thng c kớ hiu l Df (a) hay f (a) Nu f kh vi ti mi im a U thỡ ta núi f kh vi U Rn , hm f : U nh lý 1.1.1 Gi thit m U Khi ú tn ti nht mt ỏnh x tuyn tớnh A : Rn f (a h) f (a) A(h) Chng minh Gi s (1.3) ỳng vi R m kh vi ti a U Rm cho h (1.3) A A1 , A A2 t B A1 A2 , ta cú B(h) A1 (h) A2 (h) f (a h) f ( a) A1 (h) f (a h) f (a) A2 (h) = 0(h) B(h) Nờn h vi lim h h 0 Vi h c nh khỏc , t Ă , t nh, t B(th) B(th) h th t h ta suy t h Cho t , B(h) tựy ý, cú ngha l B(h) 0, h Ă n , tc l B A1 A2 hay A1 A2 1.1.2 o hm riờng Gi s e1 , e2 , , en l c s chớnh tc khụng gian Ă mt m Ă n Ă v f : U n n U l l mt hm vect ca n bin s x ( x1 , x2 , , xn ) U nh ngha 1.1.2 Gii hn lim t f ( x tej ) f ( x) t nu nú tn ti, c gi l o hm riờng th j ca hm f ti x hay o hm riờng theo bin x j ca hm f ti x v kớ hiu l D j f ( x) hay f ( x) xj hoc f( x ) ( x) j nh lý 1.1.2 Cho U l m R n , v f : U R nu f cú cỏc o hm riờng D1 f ( x), D2 f ( x), , Dn f ( x) mt lõn cn no ú ca im a (a1 ,a2 , ,an ) U v chỳng l cỏc hm s liờn tc ti a thỡ hm f kh vi n ti a v Df (a)h Di f (a)hi i Chng minh n gin vic kớ hiu ta chng minh cho trng hp n 2, trng hp tng quỏt c tin hnh mt cỏch tng t Ta cú f (a h) f (a) f (a1 h1 , a2 h2 ) f (a1 , a2 ) f (a1 h1, a2 h2 ) f (a1, a2 h2 ) f (a1, a2 h2 ) f (a1, a2 ) Bõy gi ỏp dng cụng thc s gia hu hn i vi hm s mt bin ta cú f (a1 h1 , a2 h2 ) f (a1 , a2 ú 1, f (a1 , a2 h2 ) h2 ) D1 f (a1 1h1 , a2 h2 )h1 f (a1 , a2 ) D2 f (a1 , a2h2 h2 )h2 Do ú ỏp dng bt ng thc Cauchy ta cú f (a h) = D1 f (a1 D1 f (a1 h12 1h1 , a2 1h1 , a1 f (a) D1 f (a)h1 D2 f (a)h2 h2 ) D1 f (a) h1 h2 ) D1 f (a) D1 f (a1 , a2 D2 f (a1 , a2 h2 ) D2 f (a) h2 h2 ) D2 f (a) h2 T ú tớnh liờn tc ca cỏc o hm riờng ti a ta suy lim h Trong ú h f (a h) h f (a) D1 f (a)h1 D2 f (a)h2 h12 + h2 Chỳ ý rng ỏnh x A : R2 R xỏc nh bi Ah D1 f (a)h1 + D2 f (a)h2 vi h (h1 ,h2 ) l ỏnh x tuyn tớnh Theo nh ngha ta suy hm f kh vi ti a v Df (a)h D1 f (a)h1 D2 f (a)h2 1/ n D j f (a)hj l vi phõn ton phn ca nh ngha 1.1.3 Ta gi i lng j hm f ti a v kớ hiu n df (a) D j f (a)hj f (a)h j Thụng thng cỏc s gia ca bin s c lp kớ hiu l h j = dx j , j =1,2, ,n Khi ú n Df (a) D j f (a)dx j j 1.1.3 Cỏc phộp tớnh v o hm nh lý 1.1.3 Cho U l mt m Rn v f , g : U R , nu f , g kh vi ti a U thỡ ta cú cỏc cụng thc sau (i) (ii) D( f g )(a) df (a) Dg (a) D( fg )(a) g (a) Df (a) f (a) Dg (a) (iii) D f ( a) g g (a) Df (a) f (a) Dg ( a) g (a) ( g (a) ) 1.2 Khụng gian Euclid nh ngha 1.2.1 Khụng gian vect n - chiu trờn trng s thc gi l uur khụng gian vect Euclid n - chiu, kớ hiu l E n nu vi mi cp cú th t uur uur r r (a, b) thuc E n E n xỏc nh mt s thc gi l tớch vụ hng ca hai r r rr rr vect a , b Kớ hiu l a.b hoc ab tha cỏc tiờn sau õy r r r uurn Vi mi a, b, c E , " l ẻ Ă ta cú r r r r i ) a ìb = b ìa r r r r r r r ii ) a ì(b + c) = a ìb + a ìc r r r r iii ) (l a ) ìb = l (b ìa ) r r r iv ) a ìa , du bng xy v ch a l vect khụng uur nh ngha 1.2.2 Khụng gian Euclid n - chiu E n l khụng gian afin liờn kt vi khụng gian Euclid n - chiu uur uur r n Lu ý rng vi mi im M thuc E , mi vect x thuc E n ta luụn tỡm uur uuur r n c nht im N ca E cho MN = x r uuur r Nu MN = x thỡ vit N = M + x uur uur n nh ngha 1.2.3 Cho khụng gian vect Euclid E , a ẻ E n , ta gi s a ur l di (chun / mụun) ca vect a Khong cỏch gia hai im uuur M , N ẻ E n l giỏ tr MN Ta kớ hiu d(M , N ) l khong cỏch gia hai uuur im M , N Khi ú d (M , N ) = MN ur nh ngha 1.2.4 H ei i 1,n ur uur ei e j ur Mc tiờu 0, ei n i ú c gi l h vect trc chun nu ur ei i i i 1,n j j l c s trc chun ca khụng uur gian E n , c gi l muc tiờu trc chun ca khụng gian Euclide E n v thng c gi l h ta cỏc vuụng gúc Cho hai trng vect U i = A ji j= ả ,( j = 1,2) trờn U vi ma trn ảuj hm (Aij ) khụng suy bin ti mi im, cn tỡm cỏc hm s (v 1, v ) trờn mt lõn cn U ca p ẻ U tha dv (U 1) = U ộờv ựỳ= ỷ dv (U ) = U ộờv ựỳ= ỷ ả v1 A1j j= ảuj j ảv A2 j= dv 1(U ) = U ộờv ựỳ= ỷ dv (U 1) = U ộờv ựỳ= ỷ A 2j j= A1j j= ảuj ả v1 j ảu ảv2 ảuj 0, 0, = 0, = Lý thuyt phng trỡnh vi phõn chng t nú cú li gii 2.4 a chiu nh hng c E n nh ngha 2.4.1 Mt hng trờn a chiu S E n l vic t ng vi mi im p ẻ S mt hng ca khụng gian vect thc hai chiu T pS cho vi mi p0 ẻ S cú tham s húa a phng r : U đ S ca S , p0 ẻ r (U ) v vi mi (u, v ) ẻ U , T (u ,v )r bin hng chớnh tc ca R thnh hng ca T r (u ,v )S , tc vi mi p ẻ r (U ) , hng ca T pS xỏc nh bi c s (Ru ( p), Rv ( p)) (tham s húa ny gi l tng thớch vi hng ú) S gi l nh hng c S cú hng v S gi l a (ó) nh hng (hay cú hng) nu ó chn mt hng trờn S 30 Tớnh cht 2.4.1 a chiu S E n nh hng c v ch cú h tham s húa a phng ri : U i đ S ca S m Uri (U i ) = S v nu i thỡ thu hp trờn giao ú hai tham s húa y tng ng nh hng iu ny suy t nh ngha Tớnh cht 2.4.2 Nu S ó nh hng thỡ cú dng vi phõn (kh vi) bc hai m0 trờn S gi l dng tớch chớnh tc trờn S xỏc nh nh sau: Vi mi p ẻ S , vi a , b ẻ T pS , ( m0 ) p (a b ) l din tớch i s ca hỡnh bỡnh hnh to bi a , b T pS ó cú hng (tc l in tớch thụng thng ca hỡnh bỡnh hnh ú, ly du + hay tựy c s {a , b } l thun hay nghch) thy m0 kh vi, vit biu thc ta ca nú tham s húa r : U đ S ca S tng thớch vi hng ó chn ca S : m0 r (U ) = Gr (Ru , R v )d (u o r - 1) d (v o r - 1) Trong ú Gr (Ru , Rv ) l nh thc Gram Ru o Ru Rv o Ru Ru o Rv Rv o Rv Rừ rng dng din tớch chớnh tc m0 trờn S l mt dng vi phõn bc hai khỏc ti mi im ca S Ngc li nu a chiu S E n cú dng vi phõn bc hai khỏc ti mi im (gi l mt dng din tớch trờn S ) thỡ S nh hng c vỡ h cỏc tham s a phng ri : U i đ S ca S m m(Ru , Rv ) > rừ rng tho tớnh cht 2.4.1 Tớnh cht 2.4.3 a chiu S E nh hng c v ch cú trng vect phỏp tuyn n v (kh vi) trờn S vỡ coi E ó cú hng thỡ 31 vi p ẻ S , hng ca T pS v hng ca phỏp tuyn ca S ti p xỏc nh C th tham s húa r : U đ S ca S tng thớch vi hng ó chn trờn S , xột trng vect phỏp tuyn n v trờn r (U ) : Ru Rv Ru Rv Vớ d a) j l mt hm s (kh vi) trờn mt m W E m trng vect grad j trờn W (xỏc nh bi gradj X = X ộờj ự vi mi trng vect ởỳ ỷ X trờn W ) khỏc ti mi im ca j j - (j ( p)) ( p ẻ W) no ú) thỡ - (j ( p)) l mt a chiu nh hng c E T ú suy chng hn mt cu E nh hng c b) a chiu (mt) E khụng nh hng c l di Mobius (hỡnh 2) Hỡnh Nú cú c dỏn hai cnh i AB, CD (sau o hng) ca mt mnh giy hỡnh ch nht ABCD Xột phỏp tuyn ca lỏ dc ng trung bỡnh ca nú 32 Chỳ ý 2.4.1 Gi a chiu S E n l liờn thụng cung nu vi hai im tựy ý p, q ẻ S , cú cung trờn S ni chỳng v gi S l compc nu nú l úng, b chn E n thỡ ngi ta chng minh c rng: Mi a chiu, liờn thụng cung, compc, nh hng c E n u vi phụi vi mt cu ớnh q quai (q 0) E , mụ t nh sau: Mt xuyn ct i mt l thng trũn gi l mt quai, b ca l thng ny gi l b ca quai (nú vi phụi mt ng trũn) Mt cu ớnh q quai cú c ct q l thng trũn di mt cu ri dỏn b ca mi l thng ú vi b mt quai (hỡnh 3) Hỡnh Khi q = , ú l mt cu, q = , ú l mt xuyn Trong E khụng cú a chiu, compc, khụng nh hng c Mi a chiu, liờn thụng cung, compc, khụng nh hng c E n (n 4) u vi phụi vi mt cu ớnh q lỏ Mobius mụ t nh sau: ct q l thng trũn ri mt cu ri dỏn b ca mi l thng ú vi b ca lỏ Mobius 33 2.5 Bi ỏp dng Bi Cho tham s húa r : U S , (u, v) a r (u, v) ca a chiu S En 1) Chng minh rng mi cung tham s (t , (t )) trờn S m vi mi t cú th vit c di dng (t ) r (U ) (t ) r (u (t ), v(t )) , t a (u (t ), v(t )) ( u (t ), v(t ) l hai hm s (kh vi)) 2) Hóy khai trin theo Ru o , Rv o Gii 1) Vỡ kh vi nờn j o nờn ỏnh x r o kh vi, li vỡ r (U ) ng nhiờn l mnh hỡnh hc kh vi D nhiờn cú th biu th (t ) (u (t ), v(t )) vi u(t ), v(t ) kh vi Vy ta cú (t ) r o (t ), tc l (t ) r o (t ) r (u (t ), v(t )) 2) Vỡ (t ) r (u (t ), v(t )) , nờn (t ) ru (u ,v ) u ( Ru o r ) (vỡ ru (t ) rv (u ,v ) u (u ,v ) v (t ) (t ) ( Rv o r ) Ru o r, rv (u ,v ) v (t ) Rv o r ), tc l: (t ) u (t ).( Ru o r )(u, v) v (t ).( Rv o r )(u, v) Bi Xột ỏnh x r : R E , (u, v) a ( x(u, v), y(u, v), z (u, v)) ú 34 x(u, v) (a b cos u )cos2 v, y (u, v) (a b cos u )sin v, z (u, v) b sin u, ( a v b l cỏc hng s, a b , ( x, y, z ) l ta cỏc vuụng gúc ca E Chng minh rng r ( R ) l mt a chiu T E cú c quay mt ng trũn quanh mt trc nm mt phng cha ng trũn nhng khụng ct nú (mt xuyn) Vit phng trỡnh n ca mt xuyn ú Gii Chng minh r ( R ) l xuyn T Tht vy, cho ng trũn, bỏn kớnh b , nm mt phng ( xOz ) phng trỡnh l x a b cos y z b sin u u quay quanh Oz thỡ c xuyn T (theo nh ngha ca xuyn), ri lp phng trỡnh tham s ca xuyn ny (xem nh mt trũn xoay) thỡ phng trỡnh thu c ca xuyn trựng vi cỏc phng trỡnh xỏc nh r ( R ) ó cho toỏn Kớ hiu h phng trỡnh ny l (1) Lp phng trỡnh n ca xuyn T T h (1) suy ra: x y z a b 2ab cos2 u a b (do a b nờn a b cos2 u 0, t ú x2 ab y2 x y b a a b cos u ) Vy c: x2 y2 z 2a x y2 35 a b2 (2) Ngc li, cho im cú ta ( x, y, z ) tha (2) thỡ cú u R, v R xy (1) Vy (2) l phng trỡnh n ca xuyn T T ú suy T c ph bi mi mnh hỡnh hc l cỏc th ca cỏc hm s sau õy ( x, y ) a b2 a2 x2 y2 ( y, z ) a a b2 y2 z 2a b2 z (4 hm), ( z , x) a a2 x2 z2 z (4 hm) b2 2a x2 2a b y ( hm), Tc l T l mt a Cng cú th chng minh T l a bng cỏch nhn xột rng F ( x, y , z ) x2 y2 z 2a x y2 a b cú F x F y F z ch ti ( x, y, z ) (0,0,0) m im ny thỡ khụng thuc T Bi Xột h ta cỏc vuụng gúc Oxyz E v mt cu S tõm O bỏn kớnh R ,U ca trng mc tiờu ta 1) Chng minh rng hai trng vect U ,U ,U cu U trờn E \ Oz thu hp trờn S thc l b i hai im cc bc v cc nam) lm thnh mt trng mc tiờu tip xỳc trờn a chiu S \ Oz Kớ hiu hai trng vect ú l U1, U 36 2) Xột cỏc hm kinh hm trờn , v trờn S \ ú m ca x, O, z x coi l cỏc a S \ Oz , hóy tớnh U [ ], U [ ], U [ ], U [ ] 3) Xột cỏc hm ta x, y, z coi l cỏc hm s trờn S \ Oz , hóy tớnh U [x], U [y], U [z], U [x], U [y], U [z ] Gii 1) Kớ hiu p, p l cc bc v cc nam ca S Theo nh ngha ,U ,U ca trng mc tiờu ta cu U U2 U thỡ U1 U S \ p, p l cỏc trng vect tip xỳc (n v) theo th t S \ p, p dc v tuyn v kinh tuyn ca S \ p, p 2) Nu r%, , %l ta cu S \ p, p % , S \{ p , p } thỡ ,U U tỏc ng vo v % ta suy U[ ] 3) Vỡ x , U [ ] 0, U 2[ ] 0, U 2[ ] R cos Rcos cos R nờn U1[x] U1[Rcos cos ] R U1[cos ]cos =R sin U1[ ]cos cos U1[cos ] cos sin U1[ ] = sin Cng nh vy U1[y ] cos , U1[z ] 0, U 2[x] U 2[y ] cos sin , sin sin , U 2[z ] cos Bi Xột h ta cỏc vuụng gúc Oxy E v mt cu S tõm O bỏn kớnh R U1,U ,U3 l trng mc tiờu ta cu trờn E \ Oz Kớ 37 hiu cc bc O, O, R ca S l p , ri vi mi q S \ p xột f ( q ) l giao ca ng thng ni p v q vi mt phng Z R (tip din ca S ti im cc nam (O, O, R) ca S thỡ c phộp chiu a cu f t f \ p lờn mt phng ú Chng minh f l vi phụi v hóy tớnh f*U1, f*U Gii 1) ( x, y, z ) R3 x S E2 y2 ( X ,Y ) R , R2 x, y, z z r2 : E Xột tham s húa z2 E3 , E 3, p R ( X , Y , R) ca ,( X , Y ) 0,0, R Vỡ (ng thng ni p, q) uuuuuur uur x, y, z , f (q) ( X ,Y , R) thỡ cú pf (q) pq, f :S \ p q , q a f (q ) tc x X y Y Z R 2R m x y2 z2 R2 , nờn suy 4R2 Y 4R2 X2 Vy X x ,Y y , m ( R z) , 2R cũn f : S \ p , X ,Y , R a 38 x, y, z xỏc nh bi S x X, y Y, z R(1 ) , ú Vy f l song ỏnh v f , f a phng (r1 : (u, v) (u, v) X2 4R2 Y 4R2 liờn tc , tc f l ng phụi Vi tham s húa x(u, v), y(u, v), z (u, v)) S thỡ cỏc hm s x(u, v), y (u, v), z (u, v) l kh vi Do ú r2 o f o r1 : (u, v) rng f ( X (u, v), Y (u, v)) l kh vi Vy f kh vi V rừ o r2 kh vi nờn r1 o f o r2 kh vi Vy f kh vi Vy f l vi phụi 2) ta (t ) l v tuyn, R2 Z cos t R2 Z02 R2 Z sin t R2 Z02 , Z0 S (Z0 (t ) U1( (t )) T ú t a f o (t ) ( X (t ),Y (t ) R) , Trong ú X (t ) Y (t ) 2R R2 R Z0 Z cos 2R R2 R Z0 Z sin t R Z0 t R Z02 , Suy uuuuuuuuuuuuur (r2 o f o ) (t ) ( X (t ),Y (t )) R uur V2 (r2 o f R Z0 Trong ú V1,V2 l trng mc tiờu ta cc E \ Vy kớ hiu V1 (r2 ).V1, V2 (r2 ).V2 thỡ f U1 39 2R R zo f V2 o (t )) , R) Bi Cho h ta cỏc vuụng gúc Oxyz ca E Xột mt cu S xỏc nh bi phng trỡnh n x v mt tr C xỏc nh bi phng trỡnh x y2 R2 y2 z2 R ( R 0) Vi mi im M ca C , gi f ( M ) l giao ca S vi na ng thng OM (gc O ) Tỡm nh ca ỏnh x f Phi chng f l vi phụi lờn nh? Nu ỳng hóy xỏc nh f*U , f*U3 ú U , U3 l thu hp lờn C ca cỏc trng vect U , U3 trng mc tiờu ta tr U1,U ,U3 trờn E \ Oz Gii 1) C x, y , x x y2 R2 X ,Y , Z X Y S \ { p, p } Z2 R2 , Z ( x, y , z ) a ( X , Y , Z ) D tớnh Rx X R nh x ngc S \ p, p x Z Ry ,Y R Z Rz ,Z R Z C,( X ,Y , Z ) a ( x, y, z) m d tớnh RX R2 Z RY ,y R2 Z ,z RZ R2 Z Vy f l vi phụi tham s húa a phng r1 ca C, r2 ca S thỡ r2 o f o r1, r1 o f o r2 kh vi a) ta (t ) t t R cos ,sin , z0 R R Vy 40 C cú (t ) U ( (t )) R R 2cos t a ( f o )(t ) R2 uuuuuur (f o ) t t R sin R , R z0 R z R R2 Z 02 R R2 z02 t R t , cos ,0 R R2 Z R sin uur V1 ( f ( (t ))) Trong ú V1, V2 , V3 l trng mc tiờu ta cu E Vy t V1, V2 l thu hp ca V , V trờn S \ p, p R xỳc ca f oU 2.b) R Xột t a (z o f (t ) ) V l trng vect tip thỡ V, .V x0 , y0 , t C, x0 R cos , y0 R sin (t ) U3 ( (t )) t a ( f )(t ) Vy R cos R sin Rt , , R2 t R2 t R2 t Bi Cho h ta cỏc vuụng gúc Oxyz E Xột mt cu tõm O bỏn kớnh R v tham s húa a phng ca nú r :U (u, v) R u , v E3 (u, v) a ( R cos u cos v, R sin u cos v, R sin v) 1) Trờn E cho dng vi phõn d r (U ) 1d (u o r ) yzdx zxdy xydz Tỡm biu thc 2d (u o r 41 ), i l hm s trờn r (U ) 2) Tớnh d v tỡm biu thc d d (u o r 1)d (v o r 1) ú r (U ) l hm s trờn r (U ) Gii 1) T r : (u, v) Suy ( x o r (u, v) R cos u cos v, y o r(u, v) R sin u cos v, z o r (u, v) R sin v) r * dx r (U ) R sin u cos vdu R cos u sin vdv, r * dy r (U ) R cos u cos vdu R sin u sin vdv, r * dz r (U ) R cos vdv yzdx zxdy Mt khỏc, theo gi thit xydz Do ú r* (y o r)(z o r)r* dx = r (U ) ( z o r )( x o r ) dy r (U ) ( x o r )(y o r) dz r (U ) R3 cos2u cos v sin 2vdu sin 2u cos v(cos2v sin v)dv Vy t u o r r (U ) 2) d v%thỡ R3 cos2u.cosv%.sin 2v%.dv% sin 2u% cosv%(cos2v% sin v%)dv% d (yx) dx d ( xz ) dy+d( yz ) dz ( ydz Do ú d u% , v or r (U ) zdy ) dx ( zdx xdz ) dy ( xdy 42 ydx) dz KT LUN Qua quỏ trỡnh tỡm hiu, nghiờn cu khúa lun tụi ó bc u lm quen vi cỏch thc lm vic khoa hc, hiu qu Qua ú tụi cng cng c thờm kin thc hỡnh hc vi phõn, ng thi thy c s phong phỳ, lý thỳ ca toỏn hc c bit khúa lun ny tụi nghiờn cu mt cỏch khỏi quỏt v mt s ca phộp tớnh vi phõn trờn a hai chiu E n Hi vng ti liu ny s giỳp mt chỳt cho cỏc bn sinh viờn quan tõm n hỡnh hc vi phõn núi riờng v toỏn hc núi chung Mc dự cú nhiu c gng, song nhiu hn ch v thi gian v kin thc nờn khúa lun khụng trỏnh nhng thiu sút Tụi rt mong nhn c s úng gúp quý bỏu ca bn c H Ni, thỏng nm 2011 Sinh viờn Ngụ Th Hng Trang 43 TI LIU THAM KHO [1] Nguyn Vn onh (2007), a kh vi, NXB HSP [2] Phm Bỡnh ụ (2010), Hỡnh hc vi phõn, NXBHSP [3] Nguyn Vn Khuờ, Lờ Mu Hi, Gii tớch toỏn hc (tp I, II), NXB HQG H Ni [4] M.Xpivak, Gii tớch toỏn hc trờn a tp, NXB i hc v trung hc chuyờn nghip [5] on Qunh, Hỡnh hc vi phõn, NXBGD [6] on Qunh, Trn ỡnh Vin, Trng c Hinh, Nguyn Hu Quang, (1993), Bi hỡnh hc vi phõn, NXBGD 44 [...]... , x2 ) v ta c mt lõn cn ca p trong S l th hm s ú Vy theo a) S l mt a tp 2 chiu trong E3 Vớ d S x3 (nu cn ( x, y, z ) Ă 3 x2 l a tp 2 chiu trong E3 18 y2 z2 R2 Chng 2 PHẫP TNH VI PHN TRấN A TP 2 CHIU TRONG E n 2. 1 nh x kh vi S l mt a tp 2 chiu trong En, kớ hiu j : S a E n l ỏnh x nhỳng chớnh tc nh ngha 2. 1.1 nh x f : V đ S , V l mt tp m trong E n , gi l kh vi (lp C k ) nu j o f : V đ E n l kh vi. .. ẻ R } 1 2 2 29 2 Cho hai trng vect U i = ồ A ji j= 1 ả ,( j = 1 ,2) trờn U vi ma trn ảuj hm (Aij ) khụng suy bin ti mi im, cn tỡm cỏc hm s (v 1, v 2 ) trờn mt lõn cn U ca p ẻ U tha món dv (U 1) = U 1 ộờv 1 ựỳ= ở ỷ 1 dv 2 (U 2 ) = U 2 ộờv 2 ựỳ= ở ỷ ả v1 2 ồ A1j j= 1 2 ồ ảuj 2 j ảv A2 j= 1 2 dv 1(U 2 ) = U 2 ộờv 1 ựỳ= ở ỷ ồ dv 2 (U 1) = U 1 ộờv 2 ựỳ= ở ỷ ồ A 2j j= 1 2 A1j j= 1 ảuj ả v1 j ảu ảv2 ảuj ạ... ngha nh r1 cũn d2w nh ngha nh r2 thỡ r1 * (d1w) = d(r1*w) = d(l *r2*w) = l *d(r2*w) = l *(r2*(d2w) = r1*(d2w) T ú d1w = d 2w (trờn r1(U 1) = r2(U 2 ) ) T nh ngha thy ngay cỏc tớnh cht ca d tng t trc õy (i vi dng vi phõn trờn tp m ca khụng gian Euclid) chng hn i vi dng vi phõn bc l , l Ê 1, d(dw) = 0 v vi mi ỏnh x kh vi f : S 1 đ S 2 ( S 1, S 2 l a tp 1 hay 2 chiu hay tp m trong E n ) 26 Vớ d Cho j ẻ... ca S n 2. 3 Dng vi phõn trờn a tp 2 chiu S trong E 2. 3.1 Dng vi phõn trờn a tp 24 nh ngha Dng vi phõn bc 0 trờn S l hm s trờn S , dng vi phõn bc 1 trờn S l vic t ng vi mi p ẻ S mt ỏnh x tuyn tớnh qp : T pS đ R , dng vi phõn bc hai trờn S l vic t ng vi mi p ẻ S mt hm song tuyn tớnh phn i xng mp : T pS T pS đ R Cỏc dng vi phõn bc cao hn hai trờn S l 0 2. 3 .2 Dng vi phõn vi ỏnh x kh vi Rừ rng i vi a tp... kh vi nh ngha 2. 1.3 nh x h : S 1 đ S 2 ( S 1, S 2 l a tp 1 chiu hay 2 chiu m hay mt tp m trong R ) gi l kh vi ti x S nu h liờn tc v vi mi tham s húa a phng r1 : U 1 đ S 1, r2 : U 2 đ S 2 (khi S i l mt tp m m trong R thỡ cú th coi ri l thu hp ca ỏnh x ng nht) m h(r1(U 1) è r2(U 2 ) , ỏnh x r2- 1 o h o r1 : U 1 đ U 2 l ỏnh x kh vi ti r ( x ) (xem hỡnh) Hỡnh 1 nh ngha 2. 1.4 nh x f : S S ( S , S l a tp 2. .. f 2 kh vi, t ú " i 3, f i (q) = j i ( f 1(q), f 2( q)) cng kh vi Vy j o f kh vi Ta suy ra c rng nh ngha (2. 1.3) ny tng thớch vi nh ngha (2. 1.1) v (2. 1 .2) , nú cú u im l khụng cn xột n cỏc nhỳng chớnh tc j 1, j 2 ca S 1, S 2 vo khụng gian Euclid nh x r2-1 o h o r1 núi trờn cng gi l biu thc ta ca h trong cỏc tham s húa a phng r1, r2 Tớnh cht 2. 4.1 nh x ng nht idS : S đ S ca a tp 2 chiu S l kh vi 21 ... ả z ố ứ 27 nh ngha 2. 3 .2 Cho trng mc tiờu tip xỳc (U 1, U 2 ) trờn a tp 2 chiu S trong E n thỡ cú cỏc dng vi phõn bc mt q1, q2 trờn S sao cho qi (U j ) = dji , (i, j = 1 ,2) ; (q , q2 ) gi l trng i mc tiờu ng vi trng mc tiờu (U 1, U 2 ) Khi ú mi dng vi phõn bc hai m trờn S vit c duy nht di dng m = j q1 q2 ( j l hm s trờn S ) Ngc li, cho cỏc dng vi phõn bc mt q1, q2 trờn S m dng vi phõn bc 1 2 hai q... Nu f : S 1 đ S 2, g : S 2 đ S 3 (gia cỏc a tp mt hay m hai chiu trong E n hay tp m trong R ) l nhng ỏnh x kh vi thỡ g o f : S 1 đ S 3 l kh vi nh ngha 2. 1.5 nh x kh vi f : S 1 đ S 2 (gia cỏc a tp 2 chiu trong E n ) gi l mt vi phụi nu cú g : S 2 đ S 1 kh vi m g = f - 1 tc g o f = idS , f o g = idS Chng hn nu r : U đ S l mt tham s húa a 1 2 phng ca a tp 2 chiu trong S trong E n thỡ r l mt vi phụi t U lờn... tp 1 chiu trong E n cng cú th núi n dng vi phõn bc 0 , bc 1 (mi dng vi phõn bc mt cao hn nú l 0 ) tng t i vi a tp hai chiu trong E n Nu f : S 1 đ S 2 l mt ỏnh x kh vi, S 1, S 2 l nhng a tp 1 chiu hay 2 chiu hay l tp m trong E m thỡ f gõy nờn ỏnh x f * bin dng vi phõn bc l Ê 2 trờn S 2 thnh dng vi phõn bc l trờn S 2 tng t trc õy khi xột cỏc tp m trong khụng gian Euclid, chng hn nu m l mt dng vi phõn... Cng cú th núi n vi phụi a phng cho a tp 2 chiu trong E n (tng t i vi tp m trong E n ) 2. 2 Trng vect v trng vect tip xỳc trờn S nh ngha 2. 2.1 S l mt a tp 2 chiu trong E n , vic t ng mi p ẻ S vi mt vect X ( p) ẻ T pE n gi l mt trng vect X trờn S , nú uv n hon ton c xỏc nh bi ỏnh x S đ E , p a X ( p) trong ú uv X ( p ) = ( p, X ( p)) Trng vect X gi l kh vi (lp C k ) nu ỏnh x ny kh vi (lp C k ) tc l ... b2 a2 x2 y2 ( y, z ) a a b2 y2 z 2a b2 z (4 hm), ( z , x) a a2 x2 z2 z (4 hm) b2 2a x2 2a b y ( hm), Tc l T l mt a Cng cú th chng minh T l a bng cỏch nhn xột rng F ( x, y , z ) x2 y2 z 2a x y2... (a h) = D1 f (a1 D1 f (a1 h 12 1h1 , a2 1h1 , a1 f (a) D1 f (a)h1 D2 f (a)h2 h2 ) D1 f (a) h1 h2 ) D1 f (a) D1 f (a1 , a2 D2 f (a1 , a2 h2 ) D2 f (a) h2 h2 ) D2 f (a) h2 T ú tớnh liờn tc ca cỏc... dng cụng thc s gia hu hn i vi hm s mt bin ta cú f (a1 h1 , a2 h2 ) f (a1 , a2 ú 1, f (a1 , a2 h2 ) h2 ) D1 f (a1 1h1 , a2 h2 )h1 f (a1 , a2 ) D2 f (a1 , a2h2 h2 )h2 Do ú ỏp dng bt ng thc Cauchy