Luận Văn Đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *************** NGUYỄN THỊ HẠNH ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC HÀ NỘI, 2012 TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN *************** NGUYỄN THỊ HẠNH ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC CHUYÊN NGÀNH : HÌNH HỌC Người hướng dẫn khoa học PHAN HỒNG TRƯỜNG HÀ NỘI, 2012 LỜI CẢM ƠN Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Tốn – Trường Đại học sư phạm Hà Nội Đặc biệt xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy Phan Hồng Trường, hướng dẫn bảo tận tình để tơi hồn thành khóa luận Xin chân thành cảm ơn ! Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012 Sinh viên Nguyễn Thị Hạnh LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan khóa luận tơi thực Kết công bố không trùng với kết tác giả khác Tôi xin chịu trách nhiệm tính trung thực nội dung khoa học cơng trình MỤC LỤC PHẦN 1: MỞ ĐẦU ……………………………………………………… PHẦN 2: NỘI DUNG………………………………………………….……2 CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian tôpô………………………………………………… 1.2.Tập không gian tôpô……………………………………… .3 1.3.Ánh xạ liên tục……………………………………………………… CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI…………………………………………………………………… 2.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi ví dụ………………………………… 2.2 Ánh xạ khả vi…………………………………………………… 12 2.3.Trường Tenxơ đa tạp khả vi………………………………… 15 2.4 Dạng vi phân đa tạp khả vi…………………………………… 30 KẾT LUẬN……………………………………………………………… 40 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………… 41 PHẦN 1: MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Hình học mơn học tương đối khó chương trình tốn phổ thơng để hiểu người học cần phải tư cao Với mong muốn nghiên cứu sâu hình học tìm hiểu sâu sắc đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi, em chọn đề tài “ đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi ” làm khoá luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Phạm vi nghiên cứu : Một số toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Một số tốn có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Các phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu sách tham khảo tài liệu có liên quan PHẦN 2:NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1.Không gian tôpô 1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô Không gian tôpô tập hợp M (mỗi phần tử gọi điểm) họ  tập M , gọi tập mở (trong M ), cho :  Tập rỗng, tập M tập mở,  Hợp tùy ý tập mở tập mở,  Giao số hữu hạn tập mở tập mở Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M , ) M (khi không cần rõ họ  ) Không gian tôpô M gọi không gian tôpô Hausdorff với cặp điểm p, q  M , p  q , có tập mở U ,V ( p U , q V ) cho U  V =  1.1.2.Ví dụ 1) Khơng gian mêtric : tập hợp M với mêtric (khoảng cách), tức ánh xạ d : M  M  R thỏa mãn :  d  p, q   , d  p, q    p  q  d  p, q   d  q, p   d  p, q   d  q, r   d  p, r  (với p, q, r tùy ý thuộc M ) Trên không gian mêtric M xét tôpô sau : tập U  M gọi tập mở với p U , có số  >0 cho hình cầu mở q  M d ( p, q)    nằm hồn tồn U (tơpơ gây mêtric d ) Đó khơng gian tơpơ Hausdorff Khơng gian tơpơ gây mêtric gọi khơng gian tơpơ mêtric hóa n với khoảng cách thông thường không gian mêtric 2) M không gian tôpô, N tập M N với tơpơ sau (tơpơ cảm sinh) gọi không gian tôpô M : tập U  N gọi tập mở N giao N với tập mở M 3) M N hai không gian tơpơ tích trực tiếp M  N với tơpơ sau (tơpơ tích) gọi tích trực tiếp không gian tôpô M với N : tập M  N gọi tập mở (trong M  N ) hợp tùy ý tập dạng U  V , U mở M , V mở N 4) M không gian tôpô, tập lớp tương đương M / quan hệ tương đương M , với tôpô sau (tôpô thương ) gọi không gian tôpô thương : tập M / gọi tập mở (trong M / ) nghịch ảnh phép chiếu tắc p : M  M / tập mở (trong M ) 1.2.Tập không gian tôpô M không gian tôpô p  M tập M chứa tập mở chứa p gọi lân cận p (trong M ) Tập F  M gọi tập đóng (trong M ) M \ F tập mở (trong M ) Khi đó, tập rỗng, tập M tập đóng Giao tùy ý tập đóng tập đóng,hợp tùy ý tập đóng tập đóng  A tập M bao đóng A A giao tập đóng chứa  A ; tập đóng bé (theo quan hệ bao hàm) chứa A Phần A A tập mở lớn nằm A ; điểm gọi điểm _  A Tập A \ A gọi biên A , điểm gọi điểm biên A M gọi liên thông tập vừa mở vừa đóng (trong M ) phải tập rỗng hay toàn M Tập A  M , gọi tập liên thông không gian tôpô A liên thông Một thành phần liên thông không gian tôpô M tập liên thông M mà tập liên thông M chứa phải trùng với Ví dụ : tập liên thơng khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, khơng bị chặn…) M gọi compact M không gian tôpô Hausdorff M   U i ,U i mở (trong M ) , có tập hữu hạn J  I mà M   U j jJ iI Tập A không gian tôpô M gọi tập compact không gian tôpô A compact Ví dụ : tập n compact tập đóng, bị chặn 1.3 Ánh xạ liên tục Ánh xạ f : M  N không gian tôpô gọi ánh xạ liên tục nghịch ảnh f tập mở (trong N ) tập mở (trong M ) (và , nghịch ảnh tập đóng tập đóng) Song ánh f : M  N gọi đồng phôi f f 1 ánh xạ liên tục Dễ thấy :  Tích ánh xạ liên tục liên tục ;  Ảnh tập liên thông qua ánh xạ liên tục tập liên thông ;  Ảnh tập compact qua ánh xạ liên tục vào không gian Hausdorff tập compact Từ đơn ánh liên tục từ không gian compact vào không gian Hausdorff đồng phôi lên ảnh Ánh xạ liên tục  : I  M từ đoạn I  t  \  t  1 vào không gian tôpô M gọi cung (liên tục) M nối  (0) với  (1) Không gian tôpô M gọi liên thông cung với p, q  M , có cung (liên tục) M nối p với q Tập A không gian tôpô M gọi liên thông cung không gian tôpô liên thông cung Dễ thấy không gian liên thơng cung liên thơng ; tập mở liên thông n liên thông cung ; ảnh không gian liên thông cung qua ánh xạ liên tục tập liên thông cung Khơng gian tơpơ M gọi đơn liên liên thông cung với ánh xạ liên tục f : S  M ( S đường tròn xạ liên tục H : I  S  M ( I đoạn  x, y   0,1 n  x  y  ,có ánh ) cho đặt H t : S  M ánh xạ p  H (t , p ) ( p  S ) H  f H t ánh xạ (ảnh H1 tập gồm điểm ) Chẳng hạn : hình trịn  x, y    x, y   2 x2 y2  r  x2  y   ( > 0) đơn liên, hình vành khăn  (0  r  ) không đơn liên ứng với trường véctơ X Ta có định lí sau : 2.3.5.3 Định lí Đạo hàm Lie LX ứng với trường véctơ X thỏa mãn điều kiện sau : (1) LX tuyến tính thỏa mãn đẳng thức : LX  K  K '  LX  K   K ' K  LX K ' , Với K , K '  T ( M ) (2) LX giữ nguyên kiểu tenxơ giao hoán với phép chập số (3) LX f  Xf với hàm f (4) LX Y   X , Y  với trường véctơ Y Chứng minh : (1) Giả sử t nhóm – tham số địa phương sinh trường X Khi đó: LX  K  K '   lim  K  K '   t  K  K '   t 0  t      1 = lim  K   K    K  lim  K    K   K   t t t   = lim  K  K '   t K   t K '  t 0 t  ' t t 0 ' t t 0 ' t = L X  K   K '  K  LX  K '  (2) Vì  t giữ nguyên kiểu tenxơ giao hoán với phép chập số, nên LX (3) Giả sử f hàm M , :  L f   lim X t 0  f  x   f t1  x    t 28 = lim  f t1  x    f  x   t 0 t Nhận thấy t1   t nhóm tham số địa phương sinh trường – X , ta có LX f     Xf   Xf Với X , Y trường véctơ M Nếu X sinh nhóm – tham số địa phương t , Y  t   Y  t 0 t  X ,Y   lim Từ  X , Y   LX Y 29 2.4.DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.4.1 CÁC TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ Giả sử V - không gian véc tơ Ts  V *   V* không gian s tenxơ s lần hiệp biến V , đẳng cấu với không gian T s (V ) dạng s – tuyến tính V ( định lí 2.3.2.2) Khi với S  T s V  , K  T k V  S  K  T s  k V  xác định công thức S  K  v1 , , vs , vs 1 , , vs  k   S  v1 , , vs  K  vs 1 , , vs  k  Kí hiệu  S V  tập ten xơ s – lần hiệp biến, phản đối V , nghĩa f   S V  với v1 , vs V , f  v1 , , vi , , v j , , vs    f  v1 , , v j , , vi , , vs  Với T  Ts V  đặt Alt T  v1 , , vs    sign T  v , , v  , s !  S s s S s nhóm phép bậc s 2.4.1.1 Định lí Ta có khẳng định sau s V  Alt (T )   s V  a Nếu T  T b Nếu    s V  Alt     c Alt  Alt (T )   Alt (T ) với T  T s V  Chứng minh : a Xét  chuyển trí hai phần tử i, j Ta có 30 Alt T   v1 , , vi , , v j , , vs    sign T  v , , v s !  S s  s =  sign T v   , , v   , , v   , , v   s!  S    j  i  s  s = sign ' sign T v , , v , , v , , v        s !  S  s ' ' ' j ' i s  = T  v1 , , v j , , vi , , vs  Giả sử    s V  , với v1 , v2 , , vs V   S s : b    v 1 , v  2 , , v  s   sign   v1 , , vs  Do Alt  v1 , , vs    sign  v 1 , , v  s  s!  S   s =  sign    v1 , , vs   s ! sS s =   v1 , , vs  Do Alt     Khẳng định c hệ trực tiếp a b 2.4.1.2 Định nghĩa Cho hai tenxơ phản đối xứng    k V  ,  1 V  Ta gọi tích ngồi   theo thứ tự tenxơ  k  1 lần hiệp biến, phản đối xứng, kí hiệu    xác định      k  1! Alt      k !1! 2.4.1.3 Tính chất Tích ngồi tenxơ phản đối xứng có tính chất sau : a 1  2    1    2   b   1  2     1     c  a        a   a     , a  31 kl d      1    với    k V  ,   l V  e              ,   m V  2.4.1.4 Định lí Giả sử e1 , e2 , em  sở không gian véctơ V , e1* , e2* , , em*  sở đối ngẫu sở ei  V * Khi ei*   ei* 1  i1   is  m  s sở không gian  s V  : dim  s V   Cms  m! s ! m  s !  s  m , dim  s V   s  m Chứng minh : Với dạng    s V   T s V  , m i ei*   ei*   i1 , ,is 1 s s m Vậy   Alt     i1 , ,is 1 i Alt  ei*   ei*  Vì Alt  ei*   ei*  s s 1 s khác với tích ngồi tương ứng thừa số, nên tích sinh  s V  Ta chứng minh hệ  ei*   ei*  1  i1   is  m  độc lập tuyến tính Giả sử  i1   is s i ei*   ei*  s s Lấy hai vế tác động lên véctơ  e j , , e j s  ta có a j j  với  j1   js  m s 2.4.1.5 Đại số ngồi khơng gian véctơ Cho V K – không gian véctơ m chiều;  s V  tenxơ s – lần hiệp biến, phản xứng V Đặt  V     s V  s 0 32 - không gian véctơ, tổng trực tiếp  s V  Với    k V  ,   l V  , phép nhân      k 1 V  xác định định nghĩa 2.4.1.2 làm cho  V  có cấu trúc - đại số phân bậc, kết hợp, phản giao hốn, có đơn vị - đại số  V  gọi đại số V 2.4.2 DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.4.2.1 Định nghĩa Cho M đa tạp khả vi m – chiều lớp C k , k  Một dạng vi phân  bậc s M quy tắc tương ứng p  M với s – dạng tuyến tính phản đối xứng   p  Tp  M  Theo ngôn ngữ tenxơ,một dạng vi phân bậc s M trường tenxơ kiểu  0, s  phản đối xứng M , nghĩa trường tenxơ s – lần hiệp biến, phản đối xứng M 2.4.2.2 Biểu diễn địa phương dạng vi phân Giả sử U , x  đồ địa phương đa tạp khả vi M ,    i  i   i  1,2, , m  trường véctơ sở dx   i  1,2, , m   x     dạng vi phân bậc U , đối ngẫu với  i   x  Theo định lí 2.4.1.4, dạng vi phân  bậc s U biểu diễn dạng :  p      p  dx 1 i1   is  m is is i1   dxi s Ở i i hàm xác định U Dạng vi phân  gọi s 33 thuộc lớp C l  l  k  với p  M U , x  lân cận tọa độ tùy ý quanh p , hàm i i  C l U  s Tập dạng vi phân bậc s lớp C l M kí hiệu ls  M  Đặt l  M    ls  M  , l  M  trở thành - đại số với phép s0 nhân xác định sau :  lk  M  , ls  M  đặt tương ứng với     lk  s  M  cho với p  M ,     p     p     p  Dễ nhận thấy phép nhân ngồi có tính chất 2.4.1.3 2.4.3 VI PHÂN NGỒI 2.4.3.1 Định lí Giả sử M đa tạp khả vi Tồn ánh xạ d đại số dạng lớp C l vào đại số dạng lớp C l 1 có tính chất sau : d 1  2   d1  d2 , với 1 , 2  l  M  Nếu 1 dạng bậc s , : s d 1  2   d1  d2   1 1  d2 3.Nếu f hàm khả vi lớp C l M , df vi phân hàm f xác định df  X   X  f  với X V  M  4, d  df   0, f hàm khả vi lớp C l M , l  Chứng minh : Chỉ cần chứng minh định lí lân cận tọa độ địa phương Trong đồ địa phương U , x  k – dạng biểu diễn thành tổ hợp tuyến tính dạng fdx i   dxi i k Nếu toán tử d thỏa mãn tính chất trên, d  fdx i   dxi   df  dxi   dx i , d xác định Ta chứng i k i k 34 minh tồn Với   i dx i  dx i , ta đặt  i i1  ik k k d  dai i  dxi   dx i  i i1  ik k k Cần phải kiểm tra điều kiện đến định lí Điều kiện suy trực tiếp từ cách xác định d Để chứng minh điều kiện 4, xét f hàm số khả vi lớp C l M , l  ta có : f j dx , j j 1 x m df   m m f  f  Do d  df    d  j   dx j   i j dxi  dx j j 1 i , j 1 x x  x  2 f  i  2 f  dx  dx j    i j j i  x x  i  j  x x = 2 f 2 f i j  j i Để chứng minh 2, cần kiểm tra trường hợp x x x x 1  fdxi   dxi ,2  gdx j   dx j s r Ta có d 1  2   d  f g   dx i   dx i  dx j   dx j s 1 r   fdg  gdf   dxi   dxi  dx j   dx j s r   df  dx i   dx i    gdx j   dx j   s   1 s  fdx i1 r   dx i    dg  dx i   dx j s r  s d1  2   1 1  d2 Định lí chứng minh 2.4.3.2 Định lí Tốn tử d nói định lí 2.4.3.1 gọi tốn tử vi phân ngồi (hay đạo hàm ngồi) 35 2.4.3.3 Định lí Đối với dạng   l  M  , l  ta có d  d   Chứng minh : Giả sử (U, x) đồ địa phương   fdx i   dx i biểu diễn s địa phương  Ta có d  d   d  df  dxi   dxi   d  df   dxi   dx i  l k s s    1 df  dx i   d  dx i    dx i  k s k 1 Trong trường hợp tổng qt suy từ tính cộng tính tốn tử d 2.4.3.4 Kéo lùi dạng vi phân Cho M N hai đa tạp khả vi số chiều m n tương ứng,  : M  N ánh xạ khả vi Giả sử  dạng vi phân bậc s N Khi  *   dạng vi phân bậc s M xác định sau : với trường véctơ X , , X s M ,  *   X , , X s      X , ,  X n  Nếu  , hai dạng vi phân N , kiểm tra :  *       *     *   Hơn nữa, ta có định lí sau : Định lí Giả sử  : M  N ánh xạ khả vi lớp C l  l   ,  dạng vi phân N , d  *      *  d  Chứng minh : Chỉ cần chứng minh công thức lân cận tọa độ M , N trường hợp   fdx i   dx i Ta chứng minh quy nạp theo s bậc  36 + Nếu bậc  0, tức   f  *    f  , d   df Khi với X V  M   *  d  X    *  df  X    df   X      X    f   X  f    X  *      d   *      X  , Do cơng thức chứng minh bậc  + Giả sử công thức với  có bậc  s  Xét   fdx i   dx i Khi s d  *      d *   d  *  fdx   fdx  d  *  fdx i   dx i s 1 i1 i1   dx i s s 1   dx i s 1   dx  is    *  dx   is     *  dx  is   1  *  fdx i   dx i s 1   d  dx   * is   * d  fdxi   dxi    *  dxi s s    *  df  dx i   dx i  dx i    *  d    s 1 s Định lí chứng minh 2.4.3.5 Tính chất tồn thể tốn tử đạo hàm a Định nghĩa Cho trường véctơ X trường tenxơ S kiểu  0, s  đa tạp M , ta gọi tích trường véctơ X tenxơ hiệp biến S trường tenxơ kiểu  0, s  1 xác định ix ( S )  p, v1 , , vs 1   S p  X  p  , v1 , , vs 1  Với p  M v j  Tp  M  , j  1, , s  37 b Định lí Giả sử  s – dạng đa tạp khả vi M , LX đạo hàm Lie ứng với trường véctơ X Khi đó, ta có : LX  d    d  LX    nghĩa toán tử d giao hoán với toán tử đạo hàm Lie LX    d  iX     iX  d   Với X , , X s  s  1 trường véctơ , ta có s j    d  X ,,X s     1 LX   X ,, X i , ,X s  j 0   j + i j   1  i j     X i , X j  ,X ,, X i , , X j , ,X s  c Chú ý Khi  – dạng M , : d   X , Y   X  Y    Y   X      X , Y   Với X , Y  v  M  2.4.4 DẠNG VI PHÂN LẤY GIÁ TRỊ TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ Xét F không gian véctơ tùy ý trường số thực ; M đa tạp khả vi m – chiều Ta nói  dạng vi phân bậc s M với giá trị không gian véctơ F (hay F – giá trị) với p  M ,   p  ánh xạ F – tuyến tính thay phiên từ Tp  M  đến F Nếu dim F  n giả sử   p  M , v1 , , vs  Tp  M  , ta có n  e1 , , en   p  v1 , , vs     pj  v1 , , vs  e j j 1 38  sở F, với Ta thấy  j  j  1,2, , n  dạng vi phân bậc s M (lấy giá    trị thực) gọi dạng vi phân tọa độ  sở e1 , , en  F Ta nói  thuộc lớp Ck  j thuộc lớp Ck với j  1,2, , n Một cách tương tự, xét TM phân thớ tiếp xúc đa tạp khả vi M số chiều m Ta nói  s – dạng M với giá trị TM với p  M ,  p ánh xạ s – tuyến tính thay phiên từ Tp M đến Tp M , nghĩa   p  : Tp M   Tp M  Tp M   s    Giả sử U , x  đồ địa phương,  j   j  1,2, , m  trường  x  véctơ sở Khi với p U , v1 , , vs  Tp M m Ta có  p  v1 , , v p     pj  v1 , , v j  j 1 Ta thấy  j dạng vi phân (  x j p - giá trị ) lân cận U Dạng vi phân  gọi khả vi lớp C k dạng  j khả vi lớp C k với j  1,2, , m KẾT LUẬN 39 Phần nội dung trình bày số khái niệm toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Sau trình nghiên cứu, em tìm hiểu thêm nhiều kiến thức mới, đúc rút cho số kiến thức vấn đề nghiên cứu Em hy vọng điều em trình bày kết luận giúp cho việc nghiên cứu vấn đề có lên quan hình học thuận lợi Do lần đầu làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, có TÀI LIỆU THAM KHẢO 40 Khu Quốc Anh - Nguyễn Dỗn Tuấn (2011), Lý thuyết liên thơng hình học Riemann,Nxb ĐHSP, Hà Nội Phạm Bình Đơ (2010), Hình học vi phân, Nxb ĐHSP, Hà Nội Đồn Quỳnh (2010), Hình học vi phân, Nxb giáo dục, Hà Nội 41 42 ... sâu sắc đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi, em chọn đề tài “ đa tạp khả vi dạng vi phân đa tạp khả vi ” làm khố luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường... số toán đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Nhiệm vụ nghiên cứu Trình bày lý thuyết đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Một... trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Đối tượng, phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân đa tạp khả vi Phạm vi nghiên cứu