Luận văn tốt nghiệp khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp

MỤC LỤC Trang phụ bìa Mục lục Lời cảm ơn Lời mở đầu 1 Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò 3 1. Hàm vectơ 3 1.1 Đònh nghóa 3 1.2 Hàm vectơ liên tục 3 1.3 Hàm vectơ khả vi 4 1.4 Hàm khả vi lớp C r 4 2. Đa tạp khả vi 4 2.1 Khái niệm bản đồ 4 2.2 Khái niệm Atlas 6 2.2.1 Đònh nghóa 6 2.2.2 Hai Atlas phù hợp 6 2.2.3 Mệnh đề 6 2.2.4 Atlas cực đại 6 2.3 Đa tạp khả vi 7 2.4 Ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp 8 2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc 9 2.5.1 Cung tham số 9 2.5.2 Đường cong 9 2.5.3 Vectơ tiếp xúc 10 2.6 Không gian tiếp xúc 11 2.7 nh xạ tiếp xúc của hai đa tạp 11 2.8 Phân thớ tiếp xúc 12 2.9 Phân thớ đối tiếp xúc 12 2.10 Trường vectơ 13 2.11 Trường vectơ khả vi 13 Chương 2: Dạng vi phân 14 1. Đại số ngoài 14 1.1 Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 14 1.2 Nhóm các hoán vò 15 1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu 15 1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài 16 1.5 Các dạng vi phân trên không gian vectơ 16 1.5.1 Đònh nghóa 16 1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân 17 1.5.3 Phép toán vi phân ngoài 18 1.5.4 Các tính chất của phép toán vi phân ngoài 18 1.5.5 Các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều 19 1.5.6 Phép đổi biến trong các dạng vi phân 20 1.5.7 Các tính chất của ánh xạ ϕ * 20 2. Dạng vi phân trên đa tạp 20 2.1 Đònh nghóa 20 2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân 21 2.3 Phép đổi biến trong các dạng vi phân trên đa tạp 24 2.3.1 Đònh nghóa 25 2.3.2 Các tính chất của ánh xạ f* 25 2.4 Vi phân ngoài của dạng vi phân 27 2.4.1 Đònh nghóa 27 2.4.2 Các tính chất của vi phân ngoài 27 Kết luận 30 Tài liệu tham khảo 31 LỜI MỞ ĐẦU Như chúng ta đã biết để tính diện tích của một mảnh phẳng thì người ta phải phân hoạch mảnh phẳng đó thành các mảnh nhỏ sao cho mỗi mảnh nhỏ đều có thể tính được diện tích của nó. Giới hạn diện tích của mỗi mảnh nhỏ đối với một phép phân hoạch sao cho các mảnh nhỏ được coi là đều nhau thì diện tích của mỗi mảnh nhỏ được gọi là dạng diện tích (volume foms). Cách làm này được sử dụng để tính thể tích của một vật thể trong không gian 3 chiều. Vấn đề đặt ra là xây dựng các dạng thể tích để tính thể tích của một đa tạp con bất kỳ trong không gian? Để giải quyết những bài toán như vậy người ta xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp. Trong giới hạn của luận văn này chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp nhằm hiểu rõ bản chất của dạng vi phân và thông qua đó nêu lên một vài ví dụ mang tính minh hoạ. Nội dung đề tài bao gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bò Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đề cho việc trình bày những khái niệm ở chương sau, đó là: hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc và trường vectơ. Chương 2: Dạng vi phân Đây là chương trọng tâm của luận văn, nội dung của chương này là trình bày các khái niệm : nh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn, các dạng vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ. Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng song trong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận được sự góp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè. Em xin chân thành cảm ơn! CHƯƠNG I MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm: Hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ…. Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả vi như: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc. Mô tả cấu trúc của không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho việc nghiên cứu các dạng vi phân ở chương II. 1.Hàm vectơ 1.1 Đònh nghóa Cho U là tập mở trong ¡ n , hàm vectơ trên U là ánh xạ f :U → ¡ m x a f(x)= (f 1 (x),….,f m (x)), trong đó x=(x 1 ,x 2 ,….,x n ) f i :U → ¡ x a f i (x) , ∀ i=1,2…m. 1.2 Hàm vectơ liên tục Hàm vectơ f : U ⊂ ¡ n → ¡ m được gọi là liên tục tại x 0 ∈ U nếu ∀ ε >0, ∃ δ > 0 : ∀ x ∈ U mà P x – x 0 P < δ thì P f(x) – f(x 0 ) P < ε . Nhận xét: • f = (f 1 ,… , f m ) liên tục trên U khi và chỉ khi các f i liên tục trên U, tức là f i liên tục tại mọi x ∈ U, i=1,2,…,m. • Nếu hàm f : U ⊂ ¡ n → ¡ m liên tục tại x 0 ∈ U và g : f(U) ⊂ V ⊂ ¡ m → ¡ p liên tục tại f(x 0 ) thì hàm số hợp g.f : U ⊂ ¡ n → ¡ p liên tục tại x 0 . 1.3 Hàm vectơ khả vi Cho U ⊂ ¡ n , hàm vectơ f : U → ¡ m được gọi là khả vi tại a ∈ U nếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính λ : ¡ n → ¡ m sao cho 0 ( ) ( ) ( ) lim h f a h f a h h λ → + − −P P P P =0 nh xạ tuyến tính λ được gọi là đạo hàm của f tại a, ký hiệu là λ = D f(a). Ta gọi hàm f khả vi trên U nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a của U và gọi hạng của f tại a là Rank a (f)= Rank(Df(a)). 1.4 Hàm khả vi lớp C r Hàm vectơ f : U ⊂ ¡ n → ¡ m , với U mở, được gọi là khả vi lớp C r (r ≥ 1) trên U nếu các hàm toạ độ f 1 , f 2 , …,f m của f khả vi lớp C r , có nghóa là : ∀ k ≤ r thì tồn tại 1 1 n k i k k n f x x ∂ ∂ ∂ với k 1 +k 2 +…+ k m = k, i= 1, m . Một hàm liên tục tại x 0 được gọi là khả vi lớp C 0 , hàm f khả vi lớp C ∞ được gọi là trơn; ta viết f C ∞ ∈ . 2. Đa tạp khả vi 2.1 Khái niệm bản đồ Cho M là không gian tôpô Hausdorff. Nếu U là tập mở trong M, V là tập mở trong ¡ n và ϕ : U → V là đồng phôi thì (U, ϕ ) được gọi là một bản đồ của M. • Với p ∈ U thì ϕ (p) ∈ ¡ n nên ϕ (p)= (x 1 ,x 2 ,…,x n ). Khi đó (x 1 ,x 2 , ,x n ) được gọi là toạ độ của p đối với (U, ϕ ) và (U, ϕ ) được gọi là hệ toạ độ đòa phương (vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách đòa phương p với (x 1 ,x 2 ,…,x n )). • Giả sử (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là hai bản đồ của M sao cho W= U 1 ∩ U 2 ≠ ∅ . Khi đó: (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ ϕ 2 . 1 1 ϕ − là vi phôi. Quy ước: Nếu U 1 ∩ U 2 = ∅ thì (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là phù hợp. 2.1.1 Ví dụ Ví dụ1: Lấy M= ¡ = U = V ϕ : ¡ → ¡ x a 2x-1 thì ( ¡ , ϕ ) là một bản đồ của ¡ . Ví dụ2 Đặt M=S 1 = { (x,y) : x 2 +y 2 =1 } U 1 = { (x,y) ∈ S 1 : x>0 } = { ( 2 1 y− , y): y ∈ ( ) 1,1− } V 1 = ( ) 1,1− U 1 U 2 M ϕ 1 ϕ 2 ϕ 2 ϕ 2 .ϕ 1 -1 R n ϕ 1 : U 1 → V 1 ( 2 1 y− , y) a y. Khi đó (U 1 , ϕ 1 ) là một bản đồ của S 1 . Ví dụ3 Đặt U 2 = { (x,y) ∈ S 1 : y>0 } = { (x, 2 1 x− ): x ∈ (-1,1) } V 2 =(-1,1) ϕ 2 : U 2 → V 2 (x, 2 1 x− ) a x. Khi đó (U 2 , ϕ 2 ) là một bản đồ của M=S 1 và (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là phù hợp. 2.2 Khái niệm Atlas 2.2.1 Đònh nghóa Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, A = { (U i , ϕ i ) i ∈ I } là họ các bản đồ trên M. Nếu A thoã mãn đồng thời hai tính chất sau • i I∈ ∪ U i =M • (U i , ϕ i ) và (U i , ϕ j ) là phù hợp với mọi i,j thì ta nói A là một Atlas của M. 2.2.2 Hai Atlas phù hợp (tương thích) Cho A = { (U i , ϕ i ) } i ∈ I và B = { (V j , ψ j ) } j ∈ J là hai Atlas trên không gian tôpô Hausdorff M. Khi đó A và B được gọi là phù hợp nếu mọi bản đồ (U i , ϕ i ) ∈ A đều phù hợp với mọi bản đồ(V j , ψ j ) ∈ B với mọi i,j. Nhận xét Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A ∪ B cũng là một Atlas. 2.2.3 Mệnh đề Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa hai Atlas thì R là quan hệ tương đương. 2.2.4 Atlas cực đại Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas cực đại của lớp ấy ( Cực đại được hiểu theo nghóa là không có Atlas nào phù hợp với nó mà chứa nó). Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu trúc khả vi trên M. 2.3 Đa tạp khả vi Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi A = { (U i , ϕ i ) } i ∈ I mà : n i i i V ϕ → ⊂U ¡ thì được gọi là đa tạp khả vi n- chiều. Nhận xét Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas cực đại. Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản đồ ít nhất. Ví dụ a) Xét M là tập mở, M ⊂ ¡ n . Lấy U=V=M và ϕ =id: M → M. Khi đó ( ) { } ,U ϕ là một Atlas của M. Do đó M là đa tạp khả vi n- chiều. Như vậy mỗi tập mở trong ¡ n đều là một đa tạp khả vi n- chiều. Đặc biệt các khoảng mở trong ¡ là các đa tạp khả vi 1- chiều, ¡ n là đa tạp khả vi n- chiều. b) Lấy M = S 1 = { (x,y): x 2 +y 2 =1 } . Ở ví dụ trước ta đã có (U 1 , ϕ 1 ) và (U 2 , ϕ 2 ) là hai bản đồ của M. Đặt: U 3 = { (x,y) ∈ S 1 : x<0 } = { (- 2 1 y− , y) : y ∈ (-1,1) } V 3 = (-1, 1) ϕ 3 : U 3 → V 3 (- 2 1 y− , y) a y Đặt U 4 = { (x,y) ∈ S 1 : y<0 } = { (x, - 2 1 x− ) : x ∈ (-1,1) } V 4 = (-1,1) ϕ 4 : U 4 → V 4 (x, - 2 1 x− ) a x Tương tự các ví dụ ta đã xét thì (U 3 , ϕ 3 ) và (U 4 , ϕ 4 ) là các bản đồ của M. Do đó { (U i , ϕ i ) } 4 i=1 là một Atlas của M. Vậy M=S 1 là một đa tạp khả vi 1- chiều. 2.4 nh xạ khả vi giữa hai đa tạp Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng. Đònh nghóa nh xạ liên tục f : M → N được gọi là khả vi tại điểm p ∈ M nếu với mọi bản đồ đòa phương (U, ϕ ) quanh p và (V, ψ ) quanh q = f(p) sao cho f(U) ⊂ V thì ánh xạ ψ .f. ϕ -1 là khả vi tại điểm ϕ (p) ∈ ¡ m . nh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M. M N U . p . q ψ ϕ ϕ(p) f R m R n ψ.f.ϕ -1 [...]... k(M) • k (M)=0 nếu k>n Các trường hợp riêng: a) 1 -dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ: θ : M → T*M p a θ p mà θ p ∈ T*pM, tức là θ p : TpM → ¡ Nhận xét: Một dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm trên đa tạp thành một dạng tuyến tính xác đònh trên không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm đó, ký hiệu là Ω 1(M) b) 2- dạng vi phân trên đa tạp M là một ánh xạ: η : M → T*M × T*M p a η p... ngoài của các dạng vi phân để một dạng vi phân trở thành một môđun, không gian các dạng vi phân lập thành một đại số Ngoài ra chúng tôi còn trình bày phép đổi biến của các dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài Dạng vi phân chúng tôi vừa trình bày là cơ sở để lấy tích phân trên đa tạp khả vi Vì thời gian và khả năng có hạn nên trong đề tài mới chỉ đề cập đến dạng vi phân và các phép toán của chúng Hy... thành một Atlas khả vi trên TM TM cùng với cấu trúc khả vi xác đònh như trên là đa tạp khả vi 2n- chiều, được gọi là phân thớ tiếp xúc của đa tạp khả vi M 2.9 Phân thớ đối tiếp xúc Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta đã xây dựng được không gian tiếp xúc TpM và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúc trên đa tạp TM Khi đó, không... dạng vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều Từ đó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoài của các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong các dạng vi phân và phép toán vi phân ngoài 1 Đại số ngoài 1.1 Đònh nghóa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu • Cho E1,E2,…,Ep,F la ø(p+1) không gian vectơ đònh chuẩn nh xạ f: E1... hàm khả vi với một k- dạng vi phân là một kdạng vi phân Đònh lý Ω k(M) là một môđun trên F (M) Chứng minh Vi c chứng minh đònh lý này là kiểm tra 8 tiên đề của đònh nghóa môđun Khi Ω k(M) là một môđun, ta muốn Ω k(M) trở thành một đại số thì phải có thêm phép toán sau, gọi là tích ngoài của các dạng vi phân:  Tích ngoài của các dạng vi phân: Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, (U, ϕ ) là một bản đồ đòa... và f : U → F là các ánh xa khả vi lớp C thì ϕ *(df) = d( ϕ *f) 2 Dạng vi phân trên đa tạp 2.1 Đònh nghóa Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Dạng vi phân bậc k trên đa tạp M là ánh xạ: 1 4 4 T *2 × 4 T *M ω : M → T * M ×4 4 M 4 ×4 43 k T M × T M × × T M p p p 4 3 p a ω p với ω p : 1 4 4 4 2 4 4 4 4 → ¡ k ω p là ánh xạ k- tuyến tính thay dấu Tập các dạng vi phân bậc k trên M làm thành một ¡ - không... xúc, phân thớ đối tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi Nhắc lại khái niệm ánh xạ đa tuyến tính thay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ đònh chuẩn Luận văn còn trình bày một cách đầy đủ, ngắn gọn các dạng vi phân trên không gian vectơ và trên đa tạp từ trường hợp tổng quát đến các trường hợp cụ thể Qua đó, chúng tôi trang bò các phép toán và tích ngoài của các dạng vi phân. .. là k- dạng vi phân trên M thì ω = ci i dxi ∧ ∧ dxi 1 k 1 k Ta có: d(f* ω ) = d(f*( ci1 ik )f* ω ∧ ( dxi1 ∧ ∧ dxik )) = f*(d ci1 ik ) ∧ f*( dxi1 ∧ ∧ dxik ) = f*( d ci1 ik ∧ ( dxi1 ∧ ∧ dxik ) = f*(d ω ) k ) KẾT LUẬN Trong luận văn này chúng tôi đã trình bày một số kiến thức cơ bản như hàm vectơ, tính liên tục và khả vi của hàm vectơ,… trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, phân. .. thay dấu, ký hiệu là Ω 2(M) 2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân Ta ký hiệu : Ω 0(M) = F (M) : vành các hàm khả vi trên M Bây giờ ta trang bò cho Ω k(M) các phép toán sau:  Phép cộng: Nếu ω ∈ Ω k(M) và θ ∈ Ω k(M) thì: ω + θ : p a ω p + θ p , ∀ p ∈ M Nhận xét: Tổng của hai k- dạng vi phân là một k- dạng vi phân  Nhân một hàm khả vi với một k- dạng vi phân: ϕ ω : p a ∀ p∈ M , ϕ ∈ F (M) và ϕ (p) ω... ip.Với cách vi t của ω như vậy thì vi phân ngoài của dạng vi phân ω được vi t như sau: d ω = dc ∧ d xi 1 ∧ … ∧ d xi p Trường hợp riêng: Nếu p = 1 , tức là ω ∈ Ω 1(U,F) thì ω được vi t một cách k duy nhất dưới dạng: ω = ϕ ∑ ci(x) dxi , trong đó ci là các ánh xạ U → F khả vi i=1 lớp Cn * Giả sử U là tập con mở trong ¡ k Nếu f : U → F là hàm khả vi lớp C1 thì vi phân df của nó được vi t dưới dạng chính . dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp. Trong giới hạn của luận văn này chúng tôi chỉ trình bày những khái niệm cơ bản đầu tiên về dạng vi phân trên đa tạp nhằm hiểu rõ bản chất của dạng vi. chất của ánh xạ ϕ * 20 2. Dạng vi phân trên đa tạp 20 2.1 Đònh nghóa 20 2.2 Các phép toán trên các dạng vi phân 21 2.3 Phép đổi biến trong các dạng vi phân trên đa tạp 24 2.3.1 Đònh nghóa 25 2.3.2. xúc và phân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc, trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho vi c nghiên cứu các dạng vi phân ở