Báo cáo tốt nghiệp toán học không gian các dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Nội dung đề tài bao gồm 2 chương: Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đềcho việc trình bày những khái niệm ở chươn

LỜI MỞ ĐẦU

Hiện nay cùng với sự phát triển nhanh chóng của Toán học, nội dung củahình học vi phân đã mở rộng sang nghiên cứu các đường và mặt trên đa tạp Đatạp đã trở thành môi trường nghiên cứu trong nhiều lĩnh vực Toán học hiện đại,chẳng hạn như nghành “giải tích trên đa tạp” nghiên cứu về trường vectơ, dạng

vi phân, tích phân,… trên đa tạp khả vi

Mục tiêu cơ bản của đề tài này là trình bày lại không gian các dạng vi phântrên đa tạp khả vi một cách đầy đủ, ngắn gọn

Nội dung đề tài bao gồm 2 chương:

Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm cơ sở để làm tiền đềcho việc trình bày những khái niệm ở chương sau,đó là: hàm vectơ, tính liên tụcvà khả vi của hàm vectơ ,…, trình bày về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi giữa hai đatạp, không gian tiếp xúc, phân thớ tiếp xúc, phân thớ đối tiếp xúc và trườngvectơ

Chương 2: Dạng vi phân

Nội dung của chương này là trình bày các khái niệm : Aùnh xạ đa tuyến tínhthay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ định chuẩn, các dạng

vi phân trên không gian hữu hạn chiều và trên đa tạp, tích ngoài của các dạng viphân,không gian các dạng vi phân và một số ví dụ minh hoạ

Để hoàn thành đề tài này, tuy bản thân đã có nhiều nổ lực và cố gắng songtrong đề tài không tránh khỏi những sai sót, vì vậy em rất mong nhận được sựgóp ý, chỉ bảo của các thầy cô và bạn bè Em xin chân thành cảm ơn!

Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007

Sinh viên Trần Thị Mỹ Hạnh

LỜI CẢM ƠN

Với tình cảm chân thành và lòng biết ơn sâu sắc tôi xin chân thành cảm ơn: Ban Giám hiệu trường Đại học Tây Nguyên, khoa Sư Phạm, bộ môn Toán cùng toàn thể các thầy cô giáo trường Đại học Tây Nguyên đã dạy dỗ và truyền đạt cho tôi những kiến thức quý báu trong suốt quá trình học tập tại trường.

Đặc biệt, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Văn Bồng, người đã trực tiếp giảng dạy và hướng dẫn tận tình, truyền đạt cho tôi những kiến thức và kinh nghiệm để tôi có thể hoàn thành luận văn này.

Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến gia đình và tập thể lớp Sư Phạm Toán K03, những người đã giúp đỡ, động viên, tạo mọi điều kiện tốt nhất cho tôi học tập và hoàn thành luận văn cuối khoá.

Đăk Lăk, ngày 18 tháng 5 năm 2007

Sinh viênTrần Thị Mỹ Hạnh

CHƯƠNG IMỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi sẽ trình bày các khái niệm : Hàm vectơ, tínhliên tục và khả vi của hàm vectơ… Nhắc lại một số kiến thức của đa tạp khả vinhư: khái niệm bản đồ, Atlas, ánh xạ khả vi giữa hai đa tạp, khái niệm về cungtham số, đường cong, vectơ tiếp xúc Mô tả cấu trúc của không gian tiếp xúc vàphân thớ tiếp xúc, trên cơ sở đó xây dựng khái niệm về phân thớ đối tiếp xúc,trường vectơ và trường vectơ khả vi trên đa tạp, là kiến thức cơ sở cho việcnghiên cứu các dạng vi phân ở chương II

1.1.2 Hàm vectơ liên tục.

Hàm vectơf : U⊂ ¡ n→ ¡ m được gọi là liên tục tại x0∈ U nếu

→ ¡ m liên tục tại x0∈ U và

g : f(U)⊂ V ⊂ ¡ m → ¡ p liên tục tại f(x0) thì hàm số hợp

g.f : U ⊂ ¡ n → ¡ p liên tục tại x0

1.1.3 Hàm vectơ khả vi.

Cho U ⊂ ¡ n, hàm vectơ f : U → ¡ m được gọi là khả vi tại a ∈ Unếu tồn tại một ánh xạ tuyến tính λ : ¡ n → ¡ m sao cho

Aùnh xạ tuyến tính λ được gọi là đạo hàm của f tại a Ký hiệu: λ = D f(a)

Ta gọi hàm f khả vi trên U nếu hàm f khả vi tại mọi điểm a của U và gọihạng của f tại a là Ranka (f)= Rank(Df(a))

1.1.4 Hàm khả vi lớp C r

f : U ⊂ ¡ n → ¡ m với U mở gọi là khả vi lớp Cr (r≥1) trên U nếu cáchàm toạ độ f1, f2, …,fm của f khả vi lớp Cr, có nghĩa là :

∀k≤ r thì tồn tại

1 1 n

k i k

Hàm f liên tục tại x0 được gọi là khả vi lớp C0,

Hàm f khả vi lớp C∞ gọi là trơn

1.2 Đa tạp khả vi.

1.2.1 Khái niệm bản đồ.

Cho M là không gian tôpô Hausdorff Nếu U mở trong M, V là tập mởtrong ¡ n và ϕ : U → V đồng phôi thì (U,ϕ) được gọi là một bản đồ của M

 Với p ∈ U thì ϕ(p)∈ ¡ n nên ϕ(p)= (x1,x2,…,xn) Khi đó (x1,x2, ,xn)được gọi là toạ độ của p đối với (U,ϕ) và (U,ϕ) được gọi là hệ toạđộ địa phương (vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồng nhất một cách địaphương p với (x1,x2,…,xn))

 Giả sử (U1,ϕ1) và (U2,ϕ2) là hai bản đồ của M sao cho W= U1∩U2≠

∅ Khi đó : (U1, ϕ1) và (U2,ϕ2) được gọi là phù hợp nếu ánh xạ ϕ2

1 1

ϕ− là vi phôi

Quy ước: Nếu U1∩ U2 = ∅ thì (U1,ϕ1) và (U2, ϕ2) là phù hợp.

1.2.1.1 Ví dụ.

Ví dụ1: Lấy M=¡ = U = V

ϕ: ¡ → ¡

x a 2x-1

Khi đó (¡ , ϕ) là một bản đồ của ¡

Ví dụ2: Đặt M=S1={ (x,y) : x2+y2=1 }

ϕ1

ϕ2

ϕ2.ϕ1-1

Rn

1.2.2 Khái niệm Atlas.

1.2.2.1 Định nghĩa Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff.

A ={ (Ui,ϕi)i ∈I là họ các bản đồ trên M }

Nếu A thoã mãn:

B = { (Vj,ψ j) } j∈J được gọi là phù hợp nếu (Ui,ϕi) và (Vj,

ψ j) phù hợp với mọi i,j

Nhận xét: Nếu A và B là hai Atlas phù hợp thì A ∪ B cũng là một Atlas

1.2.2.3 Mệnh đề.

Trong tập hợp các Atlas của M, nếu gọi R là quan hệ phù hợp giữa haiAtlas thì R là quan hệ tương đương

1.2.2.4 Atlas cực đại(tối đại).

Hợp của tất cả các Atlas thuộc lớp tương đương R là Atlas tối đại của lớpấy

Nếu A là một Atlas cực đại trên M thì A còn được gọi là một cấu trúckhả vi trên M

1.2.3 Đa tạp khả vi.

Một không gian tôpô Hausdorff M có cấu trúc khả vi được gọi là đa tạpkhả vi n- chiều

Nhận xét: Từ một Atlas bất kỳ trên M đều có thể bổ sung để được một Atlas

cực đại Vì thế khi xét một cấu trúc khả vi trên M ta chỉ xét Atlas có số bản đồ ítnhất

Ví dụ:

a) Xét M là tập mở, M⊂¡ n Lấy U=V=M và ϕ=id: M→M Khi đó

( )

{ U,ϕ } là một Atlas của M Do đó M là đa tạp khả vi n- chiều

Đặc biệt (a,b), ¡ là các đa tạp khả vi 1- chiều, ¡ n là đa tạp khả vi chiều

n-b) Lấy M = S1 = { (x,y): x2+y2 =1 } Ở ví dụ trước ta đã có (U1,ϕ1) và (U2,

ϕ2) là hai bản đồ của M.

Vậy M=S1 là một đa tạp khả vi 1- chiều

1.2.4 Aùnh xạ khả vi giữa hai đa tạp.

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng

Aùnh xạ liên tục f : M→ N được gọi là khả vi tại điểm p∈M nếu với mọibản đồ địa phương (U,ϕ) quanh p và (V,ψ ) quanh q = f(p) sao cho f(U)⊂ V thìánh xạ ψ f.ϕ-1 là khả vi tại điểm ϕ(p)∈ ¡ m

Aùnh xạ f được gọi là khả vi nếu nó khả vi tại mọi điểm p ∈ M

Ví dụ: Xét M =(0,1), N = ¡ 3 và

f : (0,1) → ¡ 3

t a (t2, t3, t+1)

Khi đó f là ánh xạ khả vi

1.2.5 Khái niệm về cung tham số, đường cong, vectơ tiếp xúc.

1.2.5.1 Cung tham số.

1.2.5.1.1 Định nghĩa.

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều, J là khoảng mở(a,b) Mỗi ánh xạ khả vi

ρ : J→M được gọi là một cung tham số.

1.2.5.1.2 Cung tham số tương đương.

Cho hai cung tham số:

ρ : J → M và δ : I→ M

ρ được gọi là tương đương với δ , ký hiệu ρ : δ , khi và chỉ khi ∃ λ viphôi sao cho ρ.λ = δ

[ ]γ = { δ δ : γ } được gọi là một lớp các cung tham số tương đương.

Nhận xét: Nếu hai cung tham số tương đương thì chúng có cùng một tập ảnh.

 Hai đường cong tương đương:

Cho đa tạp khả vi n- chiều M và một điểm p ∈ M

Cho hai đường cong:

Nhận xét: Hai đường cong được gọi là tương đương với nhau tại một điểm nếu

chúng có cùng một vectơ tiếp xúc tại điểm đó

1.2.5.3.Vectơ tiếp xúc.

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều.

Aùnh xạ f: M→ ¡ được gọi là một hàm khả vi trên M Nếu U mở nằmtrongM và f : U → ¡ khả vi thì f được gọi là khả vi trong lân cận U⊂ M Ký hiệu: F (M) là tập hợp các hàm khả vi trên M

F (p) là tập hợp các hàm khả vi trong lân cận Up chứa p

Định nghĩa Vectơ tiếp xúc tại điểm p ∈ M là một ánh xạ

v : F (p) → ¡

f a v(f) = dt d f.ρ(t)| t t = 0

Khi đó ta cũng nói v là vectơ tiếp xúc với M tại p

Xét bản đồ địa phương (U,ϕ) quanh p và γ là đường cong trên M qua p Khiđó γ xác định vectơ tiếp xúc

ξϕ

1.2.6 Không gian tiếp xúc.

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều Tập các vectơ tiếp xúc tại p của M tạothành không gian tiếp xúc của M Ký hiệu :TpM

Nhận xét:

 Tập các vectơ tiếp xúc tại p là không gian con của không gian vectơcác đạo hàm tại p, sinh bởi n vectơ ϕj

1.2.7 Aùnh xạ tiếp xúc của hai đa tạp.

Giả sử M, N là hai đa tạp khả vi với số chiều m, n tương ứng và

Ví dụ: Giả sử lấy M = ¡ 2 và N = ¡ 3 và f : ¡ 2

Ta có ρρ(0)'(0)==p v



Aûnh của đường cong ρ(t) qua ánh xạ f là f ρ(t) : 2

1.2.8 Phân thớ tiếp xúc.

Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta gọi :

TM =

p MU∈ TpM là phân thớ tiếp xúc của M, là một đa tạp khả vi 2n- chiều Thật vậy, trên TM ta mô tả cấu trúc đa tạp như sau:

Đối với mỗi bản đồ (U,ϕ) trên M , ta đặt TU =

p UU∈ TpM và xét ánh xạ

∑ p , ϕ là một song ánh từ TU lên ϕ(U)×

¡ n Ta gọi (TU,ϕ) là bản đồ trên TM, kết hợp với (U,ϕ) Nếu (V, ψ ) là mộtbản đồ địa phương khác trên M, với U∩V≠ ∅ thì với (a,b)∈ψ ( U∩V) ס n, tacó:

ϕ.ψ -1(a,b) =

1 1

1.2.9 Phân thớ đối tiếp xúc.

Cho M là một đa tạp khả vi n- chiều Ta đã xây dựng được không gian tiếpxúc TpM và phân thớ tiếp xúc TM của M là một đa tạp

Tương tự như vậy ta xây dựng không gian tiếp xúc và phân thớ tiếp xúctrên đa tạp TM Khi đó, không gian tiếp xúc với đa tạp TM được gọi là khônggian đối tiếp xúc của M Ký hiệu: T*pM Phân thớ tiếp xúc của đa tạp TM đượcgọi là phân thớ đối tiếp xúc của M Ký hiệu : T*M.

Nhận xét: Một trường vectơ trên đa tạp M là một ánh xạ biến mỗi điểm

trên đa tạp thành một vectơ tiếp xúc xác định trên không gian tiếp xúc với đa tạptại điểm đó

1.2.11 Trường vectơ khả vi.

Cho M là đa tạp khả vi n- chiều Với mỗi bản đồ địa phương (U,ϕ) của M,

p ∈ U thì ϕ(p) ∈ ¡ n nên ϕ(p) = (x1,…,xn) Vì ϕ là đồng phôi nên có thể đồngnhất một cách địa phương (x1,…,xn) là toạ độ của p đối với (U, ϕ)

Ta có {

i x

  là cơ sở của tập hợp các

trường vectơ trong U Khi đó với trường vectơ X thì X =

1

n i

Ta nói X khả vi khi và chỉ khi Xi khả vi với mọi i = 1,…,n

Ký hiệu: B (U) = { các trường vectơ khả vi trên U }

CHƯƠNG IIDẠNG VI PHÂN

Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm : Aùnh xạ đa tuyến tínhthay dấu và các tính chất của chúng trên không gian vectơ định chuẩn, các dạng

vi phân cùng các phép toán của chúng trên không gian vectơ hữu hạn chiều Từđó xây dựng khái niệm các dạng vi phân trên đa tạp khả vi n- chiều, tích ngoàicủa các dạng vi phân, không gian các dạng vi phân, phép đổi biến trong cácdạng vi phân và phép toán vi phân ngoài

2.1 Đại số ngoài.

2.1.1 Định nghĩa ánh xạ đa tuyến tính thay dấu.

Cho E1,E2,…,Ep là(p+1) không gian vectơ định chuẩn Aùnh xạ

f: E1×E2×…×Ep → F

(x1,x2,…,xp) a f(x1,x2,…,xp)

(trong đó xi là một vectơ trong Ei)

được gọi là một ánh xạ p- tuyến tính nếu nó tuyến tính theo từng biến, tức là: cốđịnh (p-1) biến còn lại và xét biến thứ i ta có :

f(x1, ,αxi+βyi, xi+1,…,xp)=αf(x1, ,xi,xi+1,…,xp) + βf(x1,…,yi, ,xp) , ∀ i= 1, p

f được gọi là tuyến tính thay dấu (thay phiên) nếu:

Giả sử ∑p là nhóm tất cả các hoán vị của tập {1, , p} của p số nguyên >0đầu tiên Nó chứa p! phần tử Hoán vị σ ∈ ∑p được gọi là chuyển vị nếu tồntại một cặp số khác nhau i và j (1≤ ≤i p,1≤ ≤j p) sao cho:

σ (i) = j,

σ (j) = i,

σ (k) = k với k tuỳ ý khác i và j

(Nói một cách đơn giản, σ đổi chỗ i và j)

Với hoán vị tuỳ ý σ của tập hợp {1, , p} , nếu f ∈ A p(E,F) thì

f(xσ(1),xσ (2),…,xσ (p)) = sign σ f(x1,x2,…,xp), trong đó sign =1 nếu số nghịch thếlà chẵn và sign =-1 nếu số nghịch thế là lẻ

Sign được gọi là dấu của phép thế σ1(1) σ2(2) σ( )p p ÷

2.1.3 Phép nhân các ánh xạ đa tuyến tính thay dấu.

Giả sử f ∈ A p(E;F) và g ∈ A q(E;G) Để xác định phép nhân giữa g và ftrước tiên cần cho một ánh xạ song tuyến tính liên tục Φ : F × G → H

Aùnh xạ song tuyến tính như thế cho phép đặt tương ứng f và g ánh xạ h: Ep+q → H, cụ thể h(x1,…,xp+q) = Φ(f(x1,…,xp),g(xp+1,…,xp+q))

Rõ ràng ánh xạ h là đa tuyến tính và liên tục, nhưng nói chung không thaydấu, nó chỉ thuộc không gian các ánh xạ (p+q)- tuyến tính , thay dấu theo p biếnđầu và q biến cuối

Ký hiệu không gian đó là Ap,q(E;H)

Ta xác định một ánh xạ liên tục tuyến tính

ϕp,q : Ap,q(E;H) → Ap+q(E;H)

h a ϕp,q(h)

Định nghĩa Phần tử ϕp,q(h) ∈ Ap+q(E;H) được gọi là tích ngoài của cácánh xạ f ∈ Ap(E;F) và g ∈ Aq(E;G) ứng với

Φ: F × G → H được ký hiệu là fΛ Φg và được xác định như sau:

(fΛ Φg)(x1,…,xp+q) =∑ (sign σ )Φ(f(xσ (1),…,xσ (p)), g(xσ (p+1),…,xσ (p+q)))(2.1.3)trong đó σ chạy khắp tập hợp hoán vị {1, , p q+ }

Khi G = ¡ , H = F và ánh xạ Φ: F × ¡ → F đơn giản là phép nhân cácvectơ của không gian F với các vô hướng Trong trường hợp đó ta có thể bỏ Φ

trong ký hiệu f∧g Trong trường hợp riêng khi mà F = ¡ tích fΛg các dạng đatuyến tính thay dấu lại là một dạng đa tuyến tính thay dấu

Một trường hợp riêng : giả sử f ∈ L(E,¡ ) và g ∈ L(E,¡ ) là các dạng tuyếntính Khi đó tích f∧g của chúng là một phần tử của không gian A2(E;¡ ) đượccho bởi công thức: (f∧g )(x1,x2) = f(x1)g(x2) – f(x2)g(x1)

2.1.4 Các tính chất của phép nhân ngoài.

Mệnh đề 2.1.4.1 Giả sử f ∈ Ap(E; ¡ ) và g ∈ Aq(E;¡ ) là những dạng đatuyến tính thay dấu( với các giá trị vô hướng) Khi đó g∧f = (-1)pq f∧g (phépnhân ngoài của các dạng thay dấu là phản giao hoán)

Mệnh đề 2.1.4.2 Phép nhân ngoài các dạng đa tuyến tính thay dấu là kết hợp.

Nói cách khác nếu f ∈ Ap(E;¡ ), g ∈Aq(E;¡ ) và h∈ Ar(E; ¡ ) thì

(f∧g)∧ h = f∧ (g∧h)

2.1.5.Các dạng vi phân trên không gian vectơ.

2.1.5.1 Định nghĩa.

Aùnh xạ ω : U → Ap(E;F) được gọi là dạng vi phân bậc p xác định trên

U và nhận giá trị trong F Đơn giản ta có thể nói : p- dạng vi phân trên U với giátrị trong F

Các trường hợp riêng:

 Dạng vi phân bậc 0 là hàm U → F

 Dạng vi phân bậc 1 là ánh xạ U→ L(E,F)

Ký hiệu:Ωp(U,F) là tập hợp tất cả p- dạng vi phân trên U với các giá trịtrong F và đó là một không gian vectơ

Vớí ω ∈ Ωp(U,F), x∈U và ξ1,…,ξp∈E ta ký hiệu ω(x).( ξ1,…,ξp )∈F giátrị của ánh xạ ω(x)∈ Ap(E;F) trên dãy các vectơ ø ξ1,…,ξp Đôi khi ta sẽ viếtgiá trị đó như sau ω (x; ξ1,…,ξp).

2.1.5.2 Các phép toán trên những dạng vi phân.

Giả sử F,G,H là các không gian Banach và Φ : F× G → H là ánh xạ songtuyến tính liên tục Ngoài ra giả sử α ∈ Ωp(U,F), β ∈ Ωq(U,G)

Đối với bất kỳ x∈U , α (x) là phần tử của không gian Ap(E;F), còn β (x) làphần tử của không gian A q(E;G) Vì vậy tích ngoài của chúng là α(x)∧ Φ β

(x)∈ Ap+q(E;H) Ta có ánh xạ song tuyến tính liên tục:

Ap(E;F)× Aq(E;G)→ Ap+q(E;H)

(α (x),β (x)) a α (x)∧ Φ β (x) được xác định bởi phép nhân ngoài

Định nghĩa Dạng vi phân x→α (x)∧ Φ β (x) được gọi là tích ngoài α ∧Φ

β của các dạng vi phân α và β

Khai triển định nghĩa nhờ công thức (2.1.3) ta được:

(α ∧ Φ β)(x;ξ1,…,ξp)=∑(signσ)Φ(α(x;ξ σ (1),…,ξ σ (p)),β(x;ξ σ(p+1),…,ξ σ (p+q)) trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị σ của dãy { 1,…,p+q } sao cho σ (1)<…<σ(p), σ(p+1)<…<σ (p+q)

Ví dụ: Giả sử α và β là các dạng vi phân bậc 1 với các giá trị vô hướng.Khi đó dạng α ∧ Φ β mà ta ký hiệu đơn giản là α ∧ β được xác định bởi côngthức: (α ∧ β )(x;ξ1,ξ2) = α (x;ξ1)β(x;ξ2) - α(x;ξ2) β(x;ξ1)