Đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Một số bài toán có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi.. 3 M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M N với tôpô sau đây tô

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN ***************

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

KHOA TOÁN ***************

Xin chân thành cảm ơn !

Hà Nội, ngày 03 tháng 05 năm 2012

Sinh viên

Nguyễn Thị Hạnh

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan khóa luận này do tôi thực hiện

Kết quả do tôi công bố không trùng với kết quả của các tác giả khác Tôi xin chịu trách nhiệm về tính trung thực của nội dung khoa học của công trình

MỤC LỤC

PHẦN 1: MỞ ĐẦU ……… 1

PHẦN 2: NỘI DUNG……….……2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Không gian tôpô……… 2

1.2 Tập con của không gian tôpô……… 3

1.3 Ánh xạ liên tục……… 4

CHƯƠNG 2: ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI……… 6

2.1 Định nghĩa Đa tạp khả vi và ví dụ……… 6

2.2 Ánh xạ khả vi……… 12

2.3.Trường Tenxơ trên đa tạp khả vi……… 15

2.4 Dạng vi phân trên đa tạp khả vi……… 30

KẾT LUẬN……… 40

TÀI LIỆU THAM KHẢO……… 41

PHẦN 1: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hình học là một môn học tương đối khó trong chương trình toán phổ thông và để hiểu được nó người học cần phải tư duy cao Với mong muốn được nghiên cứu sâu hơn về hình học và tìm hiểu sâu sắc hơn nữa về đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi, em đã chọn đề tài “ đa tạp khả vi và dạng vi phân trên đa tạp khả vi ” làm khoá luận tốt nghiệp

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

3 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu : Kiến thức về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

Phạm vi nghiên cứu : Một số bài toán về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Trình bày lý thuyết về đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng

vi phân trên đa tạp khả vi

Một số bài toán có liên quan đến đa tạp khả vi, ánh xạ khả vi, trường tenxơ, dạng vi phân trên đa tạp khả vi

5 Các phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu sách tham khảo và các tài liệu có liên quan

PHẦN 2:NỘI DUNG

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1.Không gian tôpô

1.1.1.Định nghĩa không gian tôpô

Không gian tôpô là tập hợp M (mỗi phần tử gọi là điểm) cùng một họ

Thường ký hiệu đơn giản không gian tôpô ( M ,) bởi M (khi không

cần chỉ rõ họ )

Không gian tôpô M gọi là không gian tôpô Hausdorff nếu với mọi cặp

điểm ,p qM p,  , có các tập mở , (q U V p U q V ,  )sao cho U =  V

 d p q , d q r , d p r ,  (với , ,p q r tùy ý thuộc M )

nếu với mọi p U , có số >0 sao cho hình cầu mở qM d p q( , )nằm

hoàn toàn trong U (tôpô gây bởi mêtric d )

Đó là một không gian tôpô Hausdorff

Không gian tôpô gây bởi một mêtric trên nó gọi là không gian tôpô mêtric hóa được

cùng với khoảng cách thông thường là một không gian mêtric

2) M là một không gian tôpô, N là một tập con của M thì N với tôpô

tập mở trong N nếu nó là giao của N với một tập mở trong M

3) M và N là hai không gian tôpô thì tích trực tiếp M N với tôpô sau

đây (tôpô tích) gọi là tích trực tiếp các không gian tôpô M với N : tập con của

M N gọi là tập mở (trong M N) nếu nó là hợp tùy ý những tập dạng

(trong M )

1.2.Tập con của không gian tôpô

cận của p (trong M )

Tập con F M gọi là tập đóng (trong M ) nếu M F là tập mở \

(trong M ) Khi đó, tập rỗng, tập M là những tập đóng Giao tùy ý những tập

đóng là tập đóng,hợp tùy ý những tập đóng là tập đóng

A là tập con của M thì bao đóng A



của A là giao mọi tập đóng chứa

 của

tập rỗng hay toàn bộ M Tập con AM , gọi là tập con liên thông nếu

không gian tôpô con A là liên thông Một thành phần liên thông của không gian tôpô M là một tập con liên thông của M mà mọi tập liên thông của

M chứa nó phải trùng với nó Ví dụ : mọi tập liên thông trong là một khoảng (mở, đóng, nửa đóng, bị chặn, không bị chặn…)

M gọi là compact nếu M là không gian tôpô Hausdorff và khi

Tập con A của không gian tôpô M gọi là tập compact khi không gian tôpô

là compact khi và chỉ khi nó là tập đóng, bị chặn

1.3 Ánh xạ liên tục

Hausdorff là một tập compact

Từ đó một đơn ánh liên tục từ một không gian compact vào một không gian Hausdorff là một đồng phôi lên ảnh

Ánh xạ liên tục : IM từ đoạn I t \ 0 t 1 vào không

gian tôpô M gọi là một cung (liên tục) trong M nối (0) với (1) Không

gian tôpô M gọi là liên thông cung nếu với mọi , p qM , có cung (liên tục)

trong M nối p với q Tập con A của không gian tôpô M gọi là liên thông

cung nếu không gian tôpô con liên thông cung Dễ thấy mọi không gian liên thông cung thì liên thông ; mọi tập mở liên thông trong n

đều liên thông cung ; ảnh của một không gian liên thông cung qua một ánh xạ liên tục là một tập liên thông cung

Không gian tôpô M gọi là đơn liên nếu nó liên thông cung và với mọi

CHƯƠNG 2

ĐA TẠP KHẢ VI VÀ DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI

2.1.Định nghĩa đa tạp khả vi và ví dụ

2.1.1.Khái niệm đa tạp khả vi

Giả sử M là không gian tôpô Hausdorff, với cơ sở đếm được M được

gọi là đa tạp tôpô chiều nếu nó đồng phôi địa phương với không gian

, nghĩa là với mỗi điểm xM, có lân cận mở U của x và :U V

V 

Giả sử M là đa tạp tôpô m -chiều , khi đó cặp ( , ) U  xác định ở trên

gọi là một bản đồ địa phương trên M , hay gọi tắt là bản đồ Họ

C= U i,i:iI nào đó các bản đồ gọi là một tập bản đồ hay atlas khả vi

C từ lên jU iU j (xem hình 1)

Hình 1

Hai tập bản đồ C1 =  U i,i,iI và C2 =  V j,j, jJ khả vi

C được gọi là tương thích với nhau, nếu hợp của chúng là một tập bản đồ

C Mỗi lớp tương đương của quan hệ tương

C trên M

Đa tạp tôpô m -chiều M cùng với cấu trúc khả vi lớp k

C cho trên nó

C Nếu M là đa tạp khả vi, thì bản

đồ của cấu trúc khả vi trên M thì được gọi là bản đồ khả vi (hay bản đồ) trên

M Khi k   , nghĩa là khi đòi hỏi các ánh xạ chuyển 1

 

kiện 2 ở trên thuộc lớp C

, thì cấu trúc khả vi tương thích được gọi là cấu

trúc nhẵn trên M Khi đó M được gọi là đa tạp nhẵn

2.1.2.NHẬN XÉT

a Khi M là không gian tôpô liên thông, thì số tự nhiên m trong định

nghĩa trên không phụ thuộc vào bản đồ địa phương và nó được gọi là số chiều

của đa tạp M , viết dim M m

b Trên cùng không gian tôpô M có thể có nhiều cấu trúc khả vi khác

S với tôpô cảm sinh từ n1

xác định một atlas trên n

S bởi hai bản đồ địa phương trên n

S như sau: Gọi

ở đó   1, 1, 2, ,

i i

Giả sử V là không gian vectơ n chiều trên trường số thực và G k V  , 

là tập hợp các không gian con k chiều của V Xét không gian đối ngẫu V

vậy G k V là đa tạp khả vi số chiều  ,  k n k

thẳng cắt nhau có phương trình y x trong một hệ tọa độ afin cho trước

Khi đó, dễ thấy tập M gồm hai đường thẳng này coi là không gian tôpô con

2

không là đa tạp tôpô, vì vậy không thể trang bị được cấu trúc khả vi trên

` Hình 2

O

2.2.ÁNH XẠ KHẢ VI

2.2.1.Định nghĩa

Giả sử M N là hai đa tạp khả vi với số chiều ,, m n tương ứng Ánh xạ

liên tục f M:  N được gọi là khả vi tại điểm pM nếu với mọi bản đồ địa phương U, quanh p và V, quanh f p  sao cho q f U V,

2.2.2 Nhận xét

a Nếu f : M N và g : N P là những ánh xạ khả vi, thì hợp thành g f M: P là ánh xạ khả vi

,

f f

đều khả vi Khi đó hợp thành của hai vi phôi là

một vi phôi Các vi phôi từ M lên chính nó tạo thành một nhóm, được gọi là nhóm vi phôi của M Nếu U, là một bản đồ địa phương của M thì  là

U V

c Giả sử f M: N là ánh xạ khả vi, pM và V, là bản đồ địa

vi, thì f khả vi Biểu thức dạng (1) của ánh xạ f phụ thuộc vào việc chọn

các bản đồ địa phương U, và V, Ta thấy rằng hạng của ma trận

chọn bản đồ địa phương, nó được gọi là hạng của ánh xạ f tại điểm p

2.2.3 ÁNH XẠ DÌM NGẬP

a Định nghĩa

Ánh xạ f được gọi là một dìm nếu hạng của f tại mọi điểm p đều

2.3 TRƯỜNG TENXƠ TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.3.1 TÍCH TENXƠ CỦA CÁC KHÔNG GIAN VÉCTƠ

2.3.1.1 Định nghĩa

Giả sử U và V là không gian véctơ trên trường K Ký hiệu M U V là  , 

không gian véctơ trên trường K có cơ sở là tập U V , nghĩa là gồm những tổng hình thức, hữu hạn dạng k u v i i, i,k  i K,u v i, iU V

Giả sử N là không gian con của M U V , sinh bởi các phần tử dạng  , 

: M U V( , )U V Với ( , )u v U V , ký hiệu ( , )u v   Khi u v

vectơ U và V ; uv được gọi là tích tenxơ của hai véctơ u và v

giao hoán sau

U V  W

2.3.1.3 Định lí

Giả sử :U V U V, ( , ) u v   là ánh xạ song tuyến tính u v

chính tắc Khi đó cặp U V, có tính chất phổ dụng với U V Hơn nữa, nếu W, là cặp có tính chất phổ dụng đối với U V , thì U V, và

cho   

Chứng minh :

tuyến tính Do U V là cơ sở của M U V , nên có thể thác triển f đến ánh  , 

xạ tuyến tính duy nhất T : M U V , S Vì f song tuyến tính nên

T N  , do đó T cảm sinh ánh xạ tuyến tính 0 g U: V S Hiển nhiên

f  g , và do U V  là tập hợp sinh của U V , nên g là duy nhất

Giả sử cặp W, có tính chất phổ dụng với U V Khi đó tồn tại duy nhất ánh xạ tuyến tính : WU V để    và tồn tại duy nhất

nhất ta có   id u  , tương tự v   idw và như vậy  và là những đẳng cấu tuyến tính

g UV V U là ánh xạ tuyến tính sao cho g u v  v u

Tương tự, tồn tại ánh xạ tuyến tính ,

Có đẳng cấu duy nhất từ U VW lên U V W, chuyển

uvw vào uvw đối với mọi u U v V ,  , wW

Chứng minh :

Xét :U VWU V W ,  uv, w u vw là ánh

xạ song tuyến tính Khi đó tồn tại duy nhất một ánh xạ tuyến tính

f U U V V sao cho f u 1u2 f u1 1  f u2 2 f được

gọi là tích tenxơ của hai ánh xạ f f1, 2 và ký hiệu là f  f1 f2

2.3.1.8 Định lí

Nếu U1U2 là tổng trực tiếp, thì U1U2V U1V  U2V

2.3.1.9 Định lí

Giả sử dimU m,dimV  và n u1, ,u m là cơ sở của U ; v1, ,v là n

cơ sở của V , thì u v i: 1, , ;m j 1, ,n là cơ sở của U V, từ đó

dimU V dim dimU V

Chứng minh :

Ta biết rằng : uv u U v V,  ,   là hệ sinh của U V, như vậy

u iv j là hệ sinh của U V Ta chứng tỏ hệ u iv j là độc lập tuyến tính

không gian đối ngẫu của U và L(U V*, ) là không gian các ánh xạ tuyến tính

từ U vào V Khi đó tồn tại đẳng cấu duy nhất :* g UV  L(U V sao cho *, )

u v, U V u , *U*, ta có f u v u ,  *u* u v Khi đó tồn tại duy nhất

,

v V sao cho g u v u *u* u v

Ta chứng minh g là đẳng cấu Giả sử dimU m và u1, ,u m là cơ sở

của U ; u* , , *1 u m là cơ sở đối ngẫu của  u trong i U ; * v1, ,v là cơ sở n

2.3.2 ĐẠI SỐ TENXƠ TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ

2.3.2.1 Các tenxơ phản biến và hiệp biến

Giả sử V là không gian véctơ trên trường K

r r

Đối với các tenxơ hiệp biến, nếu :

s

i i

Tích r * *

s

T V V V V được gọi là không gian các tenxơ

kiểu r s ( r lần phản biến, s lần hiệp biến) Nếu ,   e và i  i , 1, 2, ,

Mặt khác từ tính phổ dụng của tích tenxơ, ta suy ra không gian các ánh

xạ tuyến tính từ V  V vào K đẳng cấu với không gian các ánh xạ s –

T theo định lí 2.3.2.3, vì vậy theo tính chất phổ dụng của tích tenxơ, L  T s *,V đẳng cấu với không gian

s

V V  đến V V

2.3.2.5 Đại số ten xơ của không gian véctơ V

Cho V là không gian véctơ hữu hạn chiều

Đặt

, 0

r s

phép toán “+”,  và nhân với một phần tử thuộc K làm T trở thành một đại

số kết hợp trên K, được gọi là Đại số tenxơ của không gian véctơ T

hệ tọa độ địa phương 1

tenxơ K kiểu r s xác định trên U được cho bởi : , 

xác định dương

2.3.4.2.Ví dụ

Cho M là đa tạp khả vi, một metric Riemann trên M là một trường tenxơ kiểu (0, 2) trên M sao cho với mọi X Y, V M , ta có :

a, g X Y , g Y X , 

b, g X X , 0,g X X ,  khi và chỉ khi 0 X  Nói các khác, g là 0

một metric Riemann trên M nếu trên mỗi không gian tiếp xúc

ở đó S s là nhóm các phép thế bậc s Khi đó   Alt K là một trường  

tenxơ phản xứng và K là phản xứng khi và chỉ khi Alt K K

Tương tự như trên, ta gọi đối xứng hóa đối với K là trường tenxơ kiểu

0, s , kí hiệu  SK được xác định như sau:

2.3.5.1 Nhóm 1 – tham số địa phương

Giả sử X là một trường véctơ khả vi trên đa tạp M Đường cong c t  

trên M được gọi là đường cong tích phân của trường X , nếu đối với mỗi giá

trị của tham số t0 , véctơ X c t 0  c D t 0 c t 0 Đối với mỗi p0M , tồn tại

một đường cong tích phân duy nhất c t của trường X , xác định đối với  

t  , với    nào đó sao cho 0 c 0  p0

Ta gọi nhóm 1 – tham số các phép biến đổi khả vi trên M một ánh xạ

(1) Với mỗi t ,t M M,t p t p, M là vi phôi của M

(2) Với ,t s ,pM , ta có t s  p  t s p 

X bằng cách sau đây : với mỗi pM , xét đường cong x t t p , được gọi là quỹ đạo của điểm p , và X p x 0 Quỹ đạo t p là đường cong

tích phân của trường X qua điểm p

Nhóm một tham số địa phương các vi phôi địa phương trên M được

xác định như sau : Kí hiệu I     , ,  và U là tập con mở của M 0

đó là các ánh xạ : I  U M thỏa mãn :

(1’) Với mỗi tI,t:U M với t p t p,  là vi phôi từ U lên

mở t U M

(2’) Với , ,t s t s I và nếu p U ,s p U thì j t s  P  t s p  Tương tự, t sinh ra một trường véctơ X , xác định trên U bởi

   0

X p x , ở đó x t t p Ngược lại, ta có kết quả sau

Định lí

Nếu X là trường véctơ khả vi trên đa tạp M , thì với mỗi p0M, tồn

vi phôi địa phương t:U M t, I nó sinh ra trường X đã cho

Định lí này suy ra từ kết quả lí thuyết phương trình vi phân thường Khi

đó ta nói rằng X sinh ra nhóm 1 – tham số địa phương các biến đổi địa

phương ttrong lân cận điểm p Nếu tồn tại nhóm vi phôi 1 – tham số sinh 0

ra trường X , thì X được gọi là trường véctơ đầy

r s

T M T M



KL x K x L x , với xM Nếu  là vi phôi của M , thì vi phân

 

*:T M x T x M

T  x

lên T x , được kí hiệu    Với trường

x

K K

vi phôi  trên M cảm sinh một đẳng cấu  của đại số V M , nó giữ nguyên

số

Giả sử X là trường véctơ trên M và t là nhóm 1 – tham số địa

phương các vi phôi địa phương sinh bởi X Đối với trường tenxơ K trên M ,

Ở đó t là phép nâng của t thành đẳng cấu giữa các đại số tenxơ Ánh

xạ L X từ T M lên chính nó, chuyển K thành   L K X được gọi là đạo hàm Lie

ứng với trường véctơ X Ta có định lí sau :

2.4.DẠNG VI PHÂN TRÊN ĐA TẠP KHẢ VI 2.4.1 CÁC TENXƠ PHẢN ĐỐI XỨNG TRÊN KHÔNG GIAN VÉCTƠ