Độ đo lebesgue trên thang thời gian

1 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS Tạ Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng dẫn tôi về tri thức, phương pháp và kinh nghiệm nghiên cứu trong quá trình thực hiện luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán - trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, gia đình, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu. Tôi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Phạm Nguyệt Minh 2 LỜI CAM ĐOAN Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bản thân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, các thầy, cô giáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm. Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn. Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Học viên Phạm Nguyệt Minh 3 MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn 1 Lời cam đoan 2 Mục lục 3 Mở đầu 5 Nội dung Chương I: GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 8 1.1 Thang thời gian 8 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 8 1.1.2 Các định nghĩa cơ bản 8 1.2 Phép toán vi phân 9 1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui 9 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục 9 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm 9 1.3 Phép toán tích phân 11 1.3.1 Tồn tại tiền-nguyên hàm 11 1.3.2 Nguyên hàm 11 1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh 12 Chương II: LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN THANG THỜI GIAN 13 2.1 Giới thiệu về độ đo ∆ 13 4 2.2 Mối liên hệ giữa độ đo Lebesgue và độ đo ∆ 22 Chương III : HÀM ĐO ĐƯỢC ∆ 28 3.1 Hàm đo được ∆ 28 3.2 Đo được Lebesgue và hàm Lebesgue đo được ∆ . 34 Chương IV: TÍCH PHÂN ∆ 36 4.1 Tích phân ∆ Rienman. 36 4.2 Tích phân ∆ Lebesgue. 38 4.3 Mối quan hệ giữa khả tích ∆ Lebesgue và khả tích ∆ Rienman 48 Chương V: MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ ĐỘ ĐO TRÊN THANG THỜI GIAN 54 5.1 Tích phân ∆ Rienman – Stieltjes. 54 5.2 Độ đo ∆ Lebesgue – Stieltjes. 56 5.3 Tập đo được Lebesgue – Stieltjes và tập đo được ∆ Lebesgue – Stieltjes. 62 5.4 Tích phân ∆ Lebesgue – Stieltjes. 64 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 5 1 MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình (dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) và hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra khái niệm thang thời gian. Từ đó tới nay, đã có một số quyển sách, hàng chục luận án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiên cứu về giải tích (phép toán vi phân và tích phân) và hệ động lực trên thang thời gian. Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục và tính rời rạc. Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhất nhiều mô hình khác nhau dưới cùng một khái niệm và công cụ. Giải tích trên thang thời gian và hệ động lực trên thang thời gian đang được nhiều nhóm các nhà toán học trong nước (GS Nguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) và ngoài nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm. Đã có một số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mô, áp dụng vào bài toán trò chơi, hệ sinh thái, bài toán tối ưu và phép tính biến phân, Khái niệm độ đo được xây dựng trước tiên nhằm mở rộng các khái niệm độ dài, diện tích, thể tích trong hình học. Ta đã biết, lí thuyết độ đo, đặc biệt là độ đo Lebesgue đóng vai trò quan quan trọng trong nghiên cứu giải tích và giải tích hàm. Độ đo Lebesgue đã được mở rộng sang cho thang thời gian và có vai trò quan trọng trong nghiên cứu giải tích trên thang thời gian và trong các ứng dụng, xem, thí dụ, [1], [2]. 2 Độ đo Lebesgue trên thang thời gian được xây dựng có nhiều điểm khác với độ đo Lebesgue. Trong lí thuyết độ đo Lebesgue, một điểm hay tập đếm được các điểm có độ đo bằng 0; các đoạn [ ] ; a b ; ( ) , a b ; [ ) ; a b ; ( ] ; a b với a b < có cùng độ đo (bằng b a − ). Trong khi đó, trong lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian, độ đo của một điểm có thể khác 0; độ đo của các đoạn [ ] ; a b ; ( ) , a b ; [ ) ; a b ; ( ] ; a b có thể khác nhau, tùy thuộc vào bản chất của điểm cuối. Tuy nhiên, khi thang thời gian trùng với tập số thực ℝ thì độ đo Lebesgue trên thang thời gian trùng với độ đo Lebesgue. Và khi thang thời gian trùng với tập số nguyên, thì độ đo của mọi tập chính là lực lượng của tập đó. Mặt khác, giữa độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue trên thang thời gian có mối quan hệ chặt chẽ. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự của giải tích, tôi chọn đề tài “ Độ đo Lebesgue trên thang thời gian” làm đề tài luận văn cao học. 2. Mục đích nghiên cứu Tìm hiểu và trình bày lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian và so sánh lí thuyết này với lí thuyết độ đo Lebesgues trong khuôn khổ một luận văn cao học. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Đọc hiểu và trình bày trong một luận văn cao học lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian. Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu tiếng Anh viết về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian. 3 5. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề. Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới. 6. Dự kiến đóng góp của luận văn Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốt cho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian. II. NỘI DUNG Nội dung cơ bản của luận văn gồm năm chương. Chương I: Giải tích trên thang thời gian. Chương II: Lí thuyết độ đo Lebesgue thang thời gian. Chương III: Hàm ∆ -đo được. Chương IV: ∆ -tích phân. Chương V: Lí thuyết độ đo trên thang thời gian. 4 CHƯƠNG I GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian Thang thời gian là một tập đóng T khác rỗng bất kì trong tập số thực ℝ . Như vậy, các tập 0 , , , ℝ ℤ ℕ ℕ , T [ ] 0 2 ,2 1 k k k ∞ = = + ∪ là những thang thời gian; các tập [ ) , \ , , 0;1 ℚ ℝ ℚ ℂ không phải là thang thời gian. Ta luôn giả thiết rằng thang thời gian T được trang bị một tôpô cảm sinh từ tôpô của không gian các số thực, nghĩa là các tập mở của T là giao của các tập mở trong ℝ với T . Các khái niệm lân cận , giới hạn , được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô cảm sinh. 1.1.2 Các định nghĩa cơ bản 1.2.1 Toán tử nhảy tiến là toán tử : σ T → T được xác định bởi ( ) : inf t σ = { , s T ∈ s t > }. Hàm : µ T → T được xác định bởi công thức ( ) : ( ) t t t µ σ = − được gọi là hàm hạt của thang thời gian T . 5 Toán tử nhảy lui là toán tử : σ T → T được xác định bởi: ( ) : sup t ρ = { , s T ∈ s t < }. 1.2.2 Một số thuật ngữ và định nghĩa quan trọng t là điểm phân tán phải ( ) t t σ < t right-scattered t là điểm trù mật phải ( ) t t σ = t right-dense t là điểm phân tán trái ( ) t t ρ < t left-scattered t là điểm trù mật trái ( ) t t ρ = t left-dense t là điểm cô lập ( ) ( ) t t t ρ σ < < t isolated t là điểm trù mật ( ) ( ) t t t ρ σ = = t dense 1.2 Phép toán vi phân 1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui Hàm : f T → ℝ được gọi là chính qui nếu giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải của T . 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục Hàm : f T → ℝ được gọi là rd-liên tục nếu nó liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T . Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau: rd rd C C = ( T ) = rd C ( T , ℝ ) [...]... CHƯƠNG II LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN THANG THỜI GIAN 2.1 Giới thiệu về ∆ -độ đo Lí thuyết độ đo trên thang thời gian được xây dựng bởi Guseinov năm 2003 (xem [6] và [7]), sau đó được nghiên cứu tiếp tục bởi Cabada và Vivero (2004, xem [3]) và Rzezuchowski (2005, xem [9]) Trong chương này, dựa trên tài liệu [5], chúng tôi trình bày cách xây dựng khái niệm ∆ -độ đo Cho T là một thang thời gian, σ và ρ là... ((a, b]) = δ (a ) − a + δ (b) − δ (a ) = δ (b) − a 2.2 Mối quan hệ giữa độ đo Lebesgue và ∆ − độ đo Trước tiên thấy rằng bất kỳ thang thời gian nào cũng là tập Borel và do đó là đo được Lebesgue (xem [5], Mục 1.1, Chương 1) 20 * Xét độ đo Lebesgue ngoài λ * xác định trên ℝ và độ đo ngoài m1 xác định trên T Kí hiệu λ là độ đo Lebesgue thông thường Ta có λ * ( A) = inf{∑ ( β j − α j ) : A ⊂ ∪ [α j ,... chỉ ra E là đo được Lebesgue c) Bây giờ giả sử E chứa điểm lớn nhất τ 0 của T Rõ ràng nếu E là ∆ − đo được thì E \ {τ } cũng là ∆ − đo được, do đó nó cũng đo được Lebesgue Bởi 25 vì tập điểm đơn {τ 0 } là đo được Lebesgue và sử dụng nhận xét rằng hợp của hai tập đo được Lebesgue là một tập đo được Lebesgue, ta có ( E \ {τ 0 }) ∪ {τ 0 } = E cũng là tập đo được Lebesgue Giả sử E là tập đo được Lebesgue, ... đã cho có thể mở * rộng thành m1 trên một σ − đại số duy nhất chứa σ − đại số trên đó m1 được xác định * Họ tất cả các tập m1* − đo được là một σ − trường và m1 hạn chế trên σ − trường là một độ đo cộng tính đếm được kí hiệu là µ∆ Như vậy, độ đo trên thang thời gian đã được xây dựng Mệnh đề 2.3 (Định lí về dãy tăng và dãy giảm) Nếu {En } là dãy các tập không giảm trên T thì ∞ µ∆ ( ∪ En ) = lim µ ∆... niệm hàm ∆ − đo được và trình bày tỉ mỉ các kết quả của Cabada-Vivero về so sánh hàm ∆ − đo được với hàm đo được Lebesgue Hơn nữa, chúng tôi cũng trình bày một số điều kiện bảo đảm tính đo được của hàm trên thang thời gian Định nghĩa 3.1 Ta nói rằng hàm f :T → ℝ là ∆ − đo được nếu với mọi α ∈ ℝ, tập f −1 ([−∞,α )) = {t ∈ T : f (t ) < α } (3.1) ∆ − đo được Tương tự như trong lí thuyết độ đo Lesbegue... Trong trường hợp T= ℝ thì hai độ đo trên trùng với độ đo Lebesgue thông trường Với trường hợp đặc biệt nữa là T = hℤ với h là hằng số dương bất kỳ thì hai độ đo này cũng đồng nhất 27 CHƯƠNG III HÀM ∆ − ĐO ĐƯỢC 3.1 Hàm ∆ − đo được Mục đích của chúng ta là nghiên cứu tỉ mỉ hàm ∆ − đo được các tính chất, các định lí và kết quả quan trọng nhằm đi đến khái niệm ∆ − tích phân Lebesgue Trong chương này, chúng... là ∆ − đo được Vì T có thể biểu diễn bởi hợp đếm được của tập các điểm đơn là tập ∆ − đo được, nên với hàm f bất kỳ xác định trên thang thời gian, f −1 ( I ) là ảnh ngược của khoảng đóng bất kì đều có thể biểu diễn bởi hợp đếm được của tập các điểm đơn Do đó f là ∆ − đo được Chú ý 3.9 Dễ dàng thấy rằng nếu f được xác định trên một tập con của một thang thời gian hoàn toàn rời rạc T thì f là ∆ − đo được... m1 ( E ) = inf ∑ m1 ( I j ) được gọi là độ đo ngoài của E, ở đó giá trị nhỏ nhất j được lấy trên tất cả các phủ của E bởi một hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng I j ∈ ℑ1 Định nghĩa 2.2 Một tính chất được thỏa mãn khắp nơi ngoại trừ tập 0 thì ta nói tính chất đó được thỏa mãn ∆ -hầu khắp nơi, ngắn gọn là ∆ -a.e, trong lí thuyết độ đo trên thang thời gian Độ đo ngoài luôn luôn không âm nhưng nó có thể... được áp dụng cho thang thời gian 12 * Định nghĩa 2.3 Tập E ⊂ T được gọi là m1 - đo được hoặc là ∆ - đo được nếu với mỗi khoảng I ⊂ ℑ1 ta có * * * m1 ( I ) = m1 ( I ∩ E ) + m1 ( I ∩ E c ), (2.3) trong đó E c = T \ E Mệnh đề dưới đây cho chúng ta một tiêu chuẩn tương đối uyển chuyển để kiểm tra tính ∆ -đo được của một tập trên thang thời gian Mệnh đề 2.1 ([5]) Nếu E là một tập ∆ -đo được thì với mọi... {t ∈ T :α1 < f (t ) < α 2 } là ∆ − đo được Chú ý 3.8 Để đơn giản, chúng ta dùng định nghĩa ∆ − đo được như sau: f là ∆ − đo được khi và chỉ khi bất kỳ khoảng đóng I ⊂ T, f −1 ( I ) là ∆ − đo được Trong thực tế, ta sẽ hợp nhất hai khái niệm: liên tục và đo được Mệnh đề 3.4 Cho f là một hàm được xác định trên một thang thời gian hoàn toàn rời rạc T Khi đó f là ∆ − đo được Chứng minh Đã biết rằng tập . Tuy nhiên, khi thang thời gian trùng với tập số thực ℝ thì độ đo Lebesgue trên thang thời gian trùng với độ đo Lebesgue. Và khi thang thời gian trùng với tập số nguyên, thì độ đo của mọi tập. giữa độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue trên thang thời gian có mối quan hệ chặt chẽ. Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự của giải tích, tôi chọn đề tài “ Độ đo Lebesgue trên thang thời gian . thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian. II. NỘI DUNG Nội dung cơ bản của luận văn gồm năm chương. Chương I: Giải tích trên thang thời gian. Chương II: Lí thuyết độ đo Lebesgue thang thời gian.