Độ đo lebesgue trên thang thời gian

Lí do chọn đề tàiMỞ ĐẦU Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mìnhdưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach,nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các hệ động lực liên tục hệ phương trình viphân và

LỜI CẢM ƠN

Tôi xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến

PGS TS Tạ Duy Phượng người thầy đã tận tình hướng

dẫn tôi về tri thức, phương pháp và kinh nghiệm nghiêncứu trong quá trình thực hiện luận văn

Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sauđại học, Ban Chủ nhiệm, quý Thầy, Cô giáo khoa Toán -trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 và quý Thầy, Cô giáo trựctiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, giađình, bạn bè đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quátrình học tập và nghiên cứu

Tôi xin trân trọng cảm ơn!

Học viên

Phạm Nguyệt Minh

1

LỜI CAM ĐOAN

Luận văn được hoàn thành nhờ sự nỗ lực cố gắng nghiên cứu của bảnthân cùng sự hướng dẫn tận tình của PGS TS Tạ Duy Phượng, các thầy, côgiáo trong hội đồng bảo vệ và sự đóng góp của các bạn trong nhóm

Trong quá trình nghiên cứu tôi đã kế thừa thành quả của các nhà khoahọc với sự trân trọng và biết ơn Tôi xin cam đoan rằng số liệu, kết quảnghiên cứu trong luận văn là trung thực, mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiệnluận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đãđược chỉ rõ nguồn gốc

Học viên

Phạm Nguyệt Minh

Trang phụ bìa

MỤC

Lời

cảm ơn 1

Lời cam đoan 2

Mục lục 3

Mở đầu 5

Nội dung Chương I: GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 8 1.1 Thang thời gian 8

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 8

1.1.2 Các định nghĩa cơ bản 8

1.2 Phép toán vi phân 9

1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui 9 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục 9 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm 9 1.3 Phép toán tích phân 11

1.3.1 Tồn tại tiền-nguyên hàm 11

1.3.2 Nguyên hàm 11

1.3.3 Bảng tổng kết và so sánh 12

Chương II: LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN THANG THỜI 13 GIAN 2.1 Giới thiệu về độ đo ∆ 13

2.2 Mối liên hệ giữa độ đo Lebesgue và độ đo ∆ 22

3.2 Đo được Lebesgue và hàm Lebesgue đo được ∆ 34

4.3 Mối quan hệ giữa khả tích ∆ Lebesgue và khả tích ∆ Rienman 48Chương V: MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ ĐỘ ĐO TRÊN THANG THỜI 54GIAN

5.3 Tập đo được Lebesgue – Stieltjes và tập đo được ∆ Lebesgue – 62Stieltjes

1 Lí do chọn đề tài

MỞ ĐẦU

Năm 1988, trong luận án Tiến sĩ của mình(dưới sự hướng dẫn của Bernd Aulbach),nhằm mục đích thống nhất nghiên cứu các

hệ động lực liên tục (hệ phương trình viphân) và hệ động lực rời rạc (hệ phươngtrình sai phân), Stefan Hilger đã đưa ra

khái niệm thang thời gian Từ đó tới nay,

đã có một số quyển sách, hàng chục luận

án Tiến sĩ và hàng nghìn bài báo nghiêncứu về giải tích (phép toán vi phân và tíchphân) và hệ động lực trên thang thời gian

Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc:

Thang thời gian cho phép nghiên cứu haimặt bản chất của thực tế, đó là tính liên tục

và tính rời rạc Trong toán học, thang thờigian cho phép nghiên cứu thống nhấtnhiều mô hình khác nhau dưới cùng mộtkhái niệm và công cụ

Giải tích trên thang thời gian và hệ độnglực trên thang thời gian đang được nhiềunhóm các nhà toán học trong nước (GSNguyễn Hữu Dư và các học trò, PGS ĐặngĐình Châu, ) và ngoài nước (Đức, Mỹ,Nga, Trung Quốc, ) quan tâm Đã có một

số bài viết ứng dụng thang thời gian nghiêncứu kinh tế vĩ mô, áp dụng vào bài toán tròchơi, hệ sinh thái, bài toán tối ưu và phéptính biến phân,

6

Khái niệm độ đo

sang cho thang

thời gian và có vai

trò quan trọng

trong nghiên cứu

giải tích trên thang

thời gian và trong

các ứng dụng,

xem, thí dụ, [1],

[2]

7

Độ đo Lebesgue trên thang thời gian được xây dựng có nhiều điểm khác với

độ đo Lebesgue

Trong lí thuyết độ đo Lebesgue, một điểm hay tập đếm được các điểm có độ

đo bằng 0; các đoạn [a;b]; (a,b); [a;b); (a;b] với a

< b

có cùng độ đo

(bằng b − a ) Trong khi đó, trong lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời

gian, độ đo của một điểm có thể khác 0; độ đo của các đoạn [a;b]; (a,b);[a;b); (a;b] có thể khác nhau, tùy thuộc vào bản chất của điểm cuối

Tuy nhiên, khi thang thời gian trùng với tập số thực ℝ thì độ đo Lebesgue trên thang thời gian trùng với độ đo Lebesgue Và khi thang thời gian trùngvới tập số nguyên, thì độ đo của mọi tập chính là lực lượng của tập đó

Mặt khác, giữa độ đo Lebesgue và độ đo Lebesgue trên thang thời gian có mối quan hệ chặt chẽ

Với mong muốn tìm hiểu một vấn đề thời sự của giải tích, tôi chọn đề tài “Độ

đo Lebesgue trên thang thời gian” làm đề tài luận văn cao học.

2 Mục đích nghiên cứu

Tìm hiểu và trình bày lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian và sosánh lí thuyết này với lí thuyết độ đo Lebesgues trong khuôn khổ một luậnvăn cao học

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Đọc hiểu và trình bày trong một luận văn cao học lí thuyết độ đo Lebesgues trên thang thời gian

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu: Lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian

Phạm vi nghiên cứu: Các sách, các bài báo và các tài liệu tiếng Anh viết về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thang thời gian

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng các kiến thức và công cụ của giải tích và giải tích hàm để tiếp cận và giải quyết vấn đề

Thu thập, nghiên cứu, tổng hợp và trình bày các tài liệu có liên quan, đặc biệt

là các bài báo mới tiếng Anh về vấn đề mà luận văn đề cập tới

6 Dự kiến đóng góp của luận văn

Cố gắng xây dựng luận văn thành một tài liệu tổng quan và tham khảo tốtcho sinh viên và học viên cao học về lí thuyết độ đo Lebesgue trên thangthời gian

II NỘI DUNG

Nội dung cơ bản của luận văn gồm năm chương

Chương I: Giải tích trên thang thời gian

Chương II: Lí thuyết độ đo Lebesgue thang thời gian

Chương III: Hàm ∆ -đo được

Chương IV: ∆ -tích phân

Chương V: Lí thuyết độ đo trên thang thời gian

CHƯƠNG I GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN

1.1 Thang thời gian

1.1.1 Định nghĩa thang thời gian

Thang thời gian là một tập đóng T khác rỗng bất kì trong tập số thực ℝ

[0;1) không phải là thang thời gian.

Ta luôn giả thiết rằng thang thời gian T được trang bị một tôpô cảm sinh từ

tôpô của không gian các số thực, nghĩa là các tập mở của T là giao của cáctập mở trong ℝ với T.

Các khái niệm lân cận, giới hạn, được hiểu là lân cận, giới hạn trong tôpô

Toán tử nhảy lui là toán tử σ :T → T được xác định bởi:

ρ(t) := sup { s ∈T , s < t }.

1.2.2 Một số thuật ngữ và định nghĩa quan trọng

t là điểm phân tán phải t < σ (t) t right-scattered

t là điểm trù mật phải t = σ (t) t right-dense

t là điểm phân tán trái ρ(t) < t t left-scattered

t là điểm trù mật trái ρ(t) = t t left-dense

t là điểm cô lập ρ(t) < t < σ (t) t isolated

t là điểm trù mật ρ(t) = t = σ (t) t dense

1.2 Phép toán vi phân

1.2.1 Định nghĩa hàm chính qui Hàm f :T → ℝ được gọi là chính qui nếu

giới hạn phải của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải trong T và

giới hạn trái của nó tồn tại (hữu hạn) tại mọi điểm trù mật phải của T

1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục Hàm f :T → ℝ được gọi là rd-liên tục nếu nó

liên tục tại mọi điểm trù mật phải trong T và giới hạn trái tồn tại (hữu hạn) tại các điểm trù mật trái trong T

Không gian các hàm rd-liên tục được kí hiệu bởi một trong các kí hiệu sau:

Hàm f được gọi là ∆ -khả vi (ngắn gọn, khả vi) trên T k nếu nó có đạo hàm

tại mọi điểm t ∈T k

1.2.4 Tính chất của delta đạo hàm

1) Nếu f ∆ -khả vi tại t ∈T k thì f liên tục tại t.

2) Nếu f liên tục tại t ∈T k và t là điểm cô lập phải thì f là ∆ - khả vi tại

t ∈T k

và f ∆ (t) = f ( σ ( t )) − f ( t )

µ(t) 3) Nếu t ∈T k là điểm trù mật phải thì f là ∆ - khả vi tại t ∈T k khi và chỉ khi

tồn tại giới hạn hữu

1) Nếu T = ℝ thì mọi điểm t ∈ℝ là điểm trù mật phải Do đó f là ∆ - khả vi tại

t ∈ℝ khi và chỉ khi tồn tại giới hạn hữu

là ∆ -khả vi tại t ∈T k và

 f  (t) = f ( t ) g ( t ) − f ( t ) g ( t )

  g(t)g(σ (t))

1.3 Phép toán tích phân1.3.1 Tồn tại tiền-nguyên hàm

g

 

Định lí 1.3 (xem, thí dụ [3]) Nếu hàm f :T → ℝ là chính qui thì tồn tại hàm

∆ -khả vi F với miền khả vi D ⊆ T κ sao

Ta gọi một hàm ∆ -khả vi F trong Định lí 1.3 là tiền nguyên hàm của f

Tích phân xác định của một hàm f :T → ℝ chính qui là:

f là rd-liên tục f là liên tục mọi hàm f

k

Nếu T = ℝ thì

b

∫ f (t)g′(t)∆(t) a

= ( fg)(b) − ( fg)a b

−∫ f ′(t)g(t))d (t) a

Tích phân từngphần trong ℤ Nếu T = ℤ thì

CHƯƠNG II

LÍ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN

THANG THỜI GIAN2.1 Giới thiệu về ∆ -độ đo

Lí thuyết độ đo trên thang thời gian được xây dựng bởi Guseinov năm 2003(xem [6] và [7]), sau đó được nghiên cứu tiếp tục bởi Cabada và Vivero(2004, xem [3]) và Rzezuchowski (2005, xem [9]) Trong chương này, dựatrên tài liệu [5], chúng tôi trình bày cách xây dựng khái niệm ∆ -độ đo

Cho T là một thang thời gian, σ và ρ là toán tử nhảy tiến và toán tử nhảy luitrên T Ta ký hiệu ℑ1 là lớp tất cả các khoảng bị chặn có biên trái đóng và

biên phải mở của T dạng

cho mỗi khoảng

[a,b) ∈ ℑ1 tương ứng với độ dài của nó, có nghĩa

Mở rộng Caratheodory µ∆ của độ đo m1 được xây dựng như sau: Đầu tiên độ

đo ngoài được xác định trên tất cả các tập con của T bằng cách sử dụng m1,sau đó một số trong các tập ấy thỏa mãn tính chất đếm được cộng tính được chọn lựa

Định nghĩa 2.1 Giả sử E là một tập con bất kỳ của T Nếu tồn tại ít nhất một

hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng I j ∈ℑ1 ( j = 1,

được gọi là độ đo ngoài của E, ở đó giá trị nhỏ nhất

được lấy trên tất cả các phủ của E bởi một hệ hữu hạn hoặc đếm được cáckhoảng I

j ∈ℑ1

Định nghĩa 2.2 Một tính chất được thỏa mãn khắp nơi ngoại trừ tập 0 thì ta

nói tính chất đó được thỏa mãn ∆ -hầu khắp nơi, ngắn gọn là ∆ -a.e, trong líthuyết độ đo trên thang thời gian

Độ đo ngoài luôn luôn không âm nhưng nó có thể bằng vô hạn, do đó nóichung ta có 0 ≤ m* (E) ≤ ∞ Trong trường hợp không có phủ của E, ta nói rằng

E không được phủ bởi một hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng và độ đo

ngoài của tập đó bằng vô hạn, có nghĩa là m* (E) = ∞

Có một vấn đề là mặc dù

*

được định nghĩa cho mọi tập con bất kỳ của T,

nó không có tính chất cộng tính đếm được (thậm chí hữu hạn) Mục đích củachúng ta là tìm ra một σ - đại số, trong đó

mô tả mô tả hạn chế đòi hỏi cho vấn đề này Trong định nghĩa dưới đây, hạn chế này được áp dụng cho thang thời gian.

Định nghĩa 2.3 Tập E ⊂ T được gọi là m*

- đo được hoặc là ∆ - đo được nếu

với mỗi khoảng I

đúng với mọi A ⊂ T, dù A có là ∆ -đo được hay không.

Đặc thức này yêu cầu tính chất cộng tính của độ đo ngoài m* Nói một cách

thô thiển, đẳng thức này chỉ ra rằng E và

E c

bất kỳ theo nghĩa cộng tính

là đủ tách biệt để chia mọi tập A

Mệnh đề 2.2 Họ tất cả các tập con m* − đo được của T, được kí hiệu là

với mọi tập A ⊂ T Từ đây suy

1

Do đó M( m* ) tạo nên một σ − đại số.

Định lí Caratheodory mở rộng có thể nói ngắn gọn rằng, m1 đã cho có thể mở

σ − trường là một độ đo cộng tính đếm được kí hiệu là µ∆.

Như vậy, độ đo trên thang thời gian đã được xây dựng

Mệnh đề 2.3 (Định lí về dãy tăng và dãy giảm) Nếu {E n}

không giảm trên T thì

Bây giờ, giả sử {E n}n∈

ℕ là dãy các tập không tăng khi n → ∞ và giả sử

µ∆ (E n ) ↓ µ∆ ( ∩

n=n0

E n ) = µ∆ ( ∩ En )

n= 1

Bổ đề 2 1 ([9]) Bất kì tập điểm đơn {t0} ⊂ T nào cũng

thêm một khoảng con [t0 ,σ (t0

[a i ,t0

) hoặc [σ (t0 ),b i

)

nào đó khác rỗng, ta gộp chúng vào phủ của A \ {t0}

Xét tất cả các khoảng [a i ,b i ) , ta thực sự được hai phủ đòi hỏi Hơn nữa, tổng

độ dài các khoảng trong cả hai phủ bằng

biểu diễn được bởi hợp hữu hạn hoặc đếm được các khoảng của họ ℑ1 và do

đó nó là ∆ − đo được Hơn nữa, tập các điểm đơn {τ 0} = T \ X là ∆ − đo được

như là hiệu của hai tập ∆ − đo được T và X nhưng {t0} không có hợp hữu hạn

hoặc đếm được các khoảng của ℑ1

,

do đó tập các điểm đơn {t0} và bất kỳ tập

con ∆ − đo được nào của T chứa {t0} đều có ∆ − độ đo vô hạn

Định lí 2.2 (Guseinov 2003, [6]) ∆ − độ đo của tập điểm đơn

{t0} ⊂ T\{maxT} được cho bởi

Bổ đề tiếp theo cho phép chúng ta sử dụng khẳng định này cho các tập đặc biệt khác của T.

Bổ đề 2.3 (Cabada and Viero, 2004, [3]) Tập tất cả các điểm phân tán phải

của T nhiều nhất là đếm được, nghĩa là có các {t i }

là các điểm phân tán phải của T.

Chứng minh Cho g:T ~ → ℝ được định nghĩa bởi

∈T g(t) t= 

i t ∈(t i ,δ (t i ))

Ở đây T ~ nhận được bằng cách làm đầy các khoảng trống (t ,σ (t )) của T,

trong đó (t i < δ (t i )) Rõ ràng hàm g là hàm không giảm trên

a) µ∆ ([a,b)) = b − a

µ∆ ([a,b)) = µ∆ ({a} ∪ (a,b)) = µ∆ ({a}) + µ∆ ((a,b)).

µ∆ ((a,b)) = µ∆ ([a,b)) − µ∆ ({a}) = b − a − (σ (a) − a) = b

− σ (a).

c) Để chứng minh công thức c), ta sử dụng b) với (a,b] = (a,b) ∪{b}.

µ∆ ((a,b]) = µ∆ ((a,b) ∪{b}) = µ∆ ((a,b)) + µ∆ ({b})

Ta có

= b

− σ (a)

+ σ (b) − b = σ (b) − σ (a).

d) Sử dụng c) với đẳng thức [a,b] ={a} ∪ (a,b] ta có:

µ∆ ([a,b]) = µ∆ ({a} ∪ (a,b]) = µ∆ ({a}) + µ∆ ((a,b])

= δ (a) − a + δ (b) − δ (a) = δ (b) − a.

2.2 Mối quan hệ giữa độ đo Lebesgue và ∆ − độ đo

Trước tiên thấy rằng bất kỳ thang thời gian nào cũng là tập Borel và do đó là

đo được Lebesgue (xem [5], Mục 1.1, Chương 1)

Xét độ đo Lebesgue ngoài λ*

xác định trên ℝ và độ đo ngoài

Bổ đề 2.7 (Cabada and Vivero [3] 2004, Rzeuchowski [9] 2005)

Nếu E ⊂ T\{maxT} thì ta có các tính chất sau:

µ1 (E) = inf{∑(b i − a i ) : E ⊂ ∪[ai ,b i ], a i ≤ b i , I

không giao với tập

T\{maxT} và kí hiệu tập còn lại của các chỉ số là I Với i

có thể không phải là điểm phân

tán Theo cách xây dựng chúng ta có

1

*

λ* ( A) ≥ µ* ( A) Chứng minh được hoàn tất.

iii) Lấy t k ∈T\{maxT} Khi ấy t k ⊆ [t k − ε , t k

+ ε )

đúng với mọi ε > 0 Do đó1

là đo được Lebesgue với độ đo bằng

0 Tập tất cả các điểm phân tán phải của mọi thang thời gian nhiều nhất là đếm được, ta có

iv) Giả sử rằng E ⊂ T\{maxT} Do

R

v)Kết hợp ii) và iv) ta được v) Định lí chứng minh xong.

Mệnh đề 2.4 (Cabada-Vivero [3] 2004) Giả sử E ⊂ T Khi đó E là

∆ − đo được Lebesgue nếu và chỉ nếu nó là đo được Lebesgue Trong trường hợp

E ⊂ T\{maxT} thì các điều sau đây đúng:

i) m∆ (E) = ∑(δ (t i ) − t i ) + λ(E).

i∈I E

ii) λ(E)

= µ∆ (E)

nếu và chỉ nếu E không có các điểm phân tán phải.

Chứng minh Giả sử rằng E ⊂ T là ∆ − đo được

Do đó E cũng là đo được Lebesgue.

b) Cho E ⊂ T\{maxT}, A chứa điểm lớn nhất

} ∩ (ℝ \ E))

≤ λ*

(B ∩ E) + λ*

(B ∩ (ℝ \ E)) + λ* ({τ

c) Bây giờ giả sử E chứa điểm lớn nhất

được thì E \

{τ }

cũng là ∆ − đo được, do đó nó cũng đo được Lebesgue Bởi

vì tập điểm đơn {τ 0 } là đo được Lebesgue và sử dụng nhận xét rằng hợp củahai tập đo được Lebesgue là một tập đo được Lebesgue, ta có

(E \ {τ 0}) ∪{τ 0}

= E

cũng là tập đo được Lebesgue

Giả sử E là tập đo được Lebesgue, chứng minh tương tự ta có E là ∆ − đođược

Hệ quả 2.9 Nếu tập E là đo được Lebesgue thì E ∩ T là ∆ − đo được

Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm độ đo ∇ Lebesgue trên T đã được

Guseinov định nghĩa (xem Guseinov [6] 2003) Kí hiệu ℑ2 là họ tất cả các

khoảng của T có dạng (a,b] = {t ∈T: a < t

là hàm tập trên ℑ2 cho tương

ứng mỗi khoảng (a,b] với độ dài của nó, nghĩa là

trên họ tất cả các tập con của T được định nghĩa như sau:

Cho D là một tập con bất kỳ của T Nếu tồn tại ít nhất một hệ hữu hạn hoặc

đếm được các khoảng U

j ∈ℑ2 ( j = 1, 2, )

sao cho D ⊂ ∪U

j j

thì

∆

m2