Độ đo lebesgue trên thang thời gian

1 LỜI CẢM ƠN Tơi xin bày tỏ kính trọng lòng biết ơn sâu sắc đến PGS TS Tạ Duy Phượng người thầy tận tình hướng dẫn tri thức, phương pháp kinh nghiệm nghiên cứu q trình thực luận văn Tơi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu, Phòng Sau đại học, Ban Chủ nhiệm, q Thầy, Cơ giáo khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà nội quý Thầy, Cô giáo trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ suốt trình học tập, gia đình, bạn bè tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập nghiên cứu Tơi xin trân trọng cảm ơn! Học viên Phạm Nguyệt Minh LỜI CAM ĐOAN Luận văn hoàn thành nhờ nỗ lực cố gắng nghiên cứu thân hướng dẫn tận tình PGS TS Tạ Duy Phượng, thầy, giáo hội đồng bảo vệ đóng góp bạn nhóm Trong q trình nghiên cứu kế thừa thành nhà khoa học với trân trọng biết ơn Tôi xin cam đoan số liệu, kết nghiên cứu luận văn trung thực, giúp đỡ cho việc thực luận văn cảm ơn thơng tin trích dẫn luận văn rõ nguồn gốc Học viên Phạm Nguyệt Minh MỤC LỤC Trang Trang phụ bìa Lời cảm ơn Lời cam đoan Mục lục Mở đầu Nội dung Chương I: GIẢI TÍCH TRÊN THANG THỜI GIAN 1.1 Thang thời gian 1.1.1 Định nghĩa thang thời gian 1.1.2 Các định nghĩa 1.2 Phép toán vi phân 1.2.1 Định nghĩa hàm qui 1.2.2 Định nghĩa rd-liên tục 1.2.3 Định nghĩa đạo hàm 1.3 Phép tốn tích phân 11 1.3.1 Tồn tiền-nguyên hàm 11 1.3.2 Nguyên hàm 11 1.3.3 Bảng tổng kết so sánh 12 Chương II: LÝ THUYẾT ĐỘ ĐO LEBESGUE TRÊN THANG THỜI 13 GIAN 2.1 Giới thiệu độ đo ∆ 13 2.2 Mối liên hệ độ đo Lebesgue độ đo ∆ 22 Chương III : HÀM ĐO ĐƯỢC ∆ 28 3.1 Hàm đo ∆ 28 3.2 Đo Lebesgue hàm Lebesgue đo ∆ 34 Chương IV: TÍCH PHÂN ∆ 36 4.1 Tích phân ∆ Rienman 36 4.2 Tích phân ∆ Lebesgue 38 4.3 Mối quan hệ khả tích ∆ Lebesgue khả tích ∆ Rienman 48 Chương V: MỘT SỐ NHẬN XÉT VỀ ĐỘ ĐO TRÊN THANG THỜI 54 GIAN 5.1 Tích phân ∆ Rienman – Stieltjes 54 5.2 Độ đo ∆ Lebesgue – Stieltjes 56 5.3 Tập đo Lebesgue – Stieltjes tập đo ∆ Lebesgue – 62 Stieltjes 5.4 Tích phân ∆ Lebesgue – Stieltjes 64 KẾT LUẬN 68 TÀI LIỆU THAM KHẢO 69 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Năm 1988, luận án Tiến sĩ (dưới hướng dẫn Bernd Aulbach), nhằm mục đích thống nghiên cứu hệ động lực liên tục (hệ phương trình vi phân) hệ động lực rời rạc (hệ phương trình sai phân), Stefan Hilger đưa khái niệm thang thời gian Từ tới nay, có số sách, hàng chục luận án Tiến sĩ hàng nghìn báo nghiên cứu giải tích (phép tốn vi phân tích phân) hệ động lực thang thời gian Thang thời gian có ý nghĩa triết học sâu sắc: Thang thời gian cho phép nghiên cứu hai mặt chất thực tế, tính liên tục tính rời rạc Trong toán học, thang thời gian cho phép nghiên cứu thống nhiều mơ hình khác khái niệm cơng cụ Giải tích thang thời gian hệ động lực thang thời gian nhiều nhóm nhà tốn học nước (GS Nguyễn Hữu Dư học trò, PGS Đặng Đình Châu, ) ngồi nước (Đức, Mỹ, Nga, Trung Quốc, ) quan tâm Đã có số viết ứng dụng thang thời gian nghiên cứu kinh tế vĩ mơ, áp dụng vào tốn trò chơi, hệ sinh thái, tốn tối ưu phép tính biến phân, Khái niệm độ đo xây dựng trước tiên nhằm mở rộng khái niệm độ dài, diện tích, thể tích hình học Ta biết, lí thuyết độ đo, đặc biệt độ đo Lebesgue đóng vai trò quan quan trọng nghiên cứu giải tích giải tích hàm Độ đo Lebesgue mở rộng sang cho thang thời gian có vai trò quan trọng nghiên cứu giải tích thang thời gian ứng dụng, xem, thí dụ, [1], [2] Độ đo Lebesgue thang thời gian xây dựng có nhiều điểm khác với độ đo Lebesgue Trong lí thuyết độ đo Lebesgue, điểm hay tập đếm điểm có độ đo 0; đoạn [ a;b ] ; ( a,b ) ; [ a;b ) ; ( a;b ] với a t } Hàm µ :T → T xác định công thức hạt thang thời gian T µ(t) := σ (t) −t gọi hàm Nhằm mục đích so sánh tập đo Lebesgue–Stieltjes tập ∆ − đo Lebesgue –Stieltjes, ta cần mở rộng α α − độ đo (ti ,σ (ti )) với ti khoảng điểm phân tán phải không xác định Rõ ràng, α (δ (ti ) xác định T α (δ (ti )) , hàm liên tục − ) trái điểm phân tán trái, α (ti + ) xác định T α (ti bất ) kỳ hàm liên tục phải điểm phân tán phải Các khoảng phải coi có α − độ đo α (δ (t )) i − α (ti ) Mặc dù thực tế điều lí thuyết lại sai vì, α − độ đo khoảng (ti ,δ (ti )) , α phải định nghĩa tập chứa khoảng Như cần mở rộng α Sự mở rộng phải làm cho hàm hạn chế T tương ứng với α , phải đơn điệu khắp nơi liên tục điểm phân tán Đặc biệt chọn hàm sau t ∈T ~ α (t); α (t) =  α (δ (ti )) − α (ti ) hàm tuyến tính (5.6) t ∈ (ti ,δ (ti )) t ∈ (ti ,δ (ti )) , ti điểm phân tán phải liên tục không điểm phân tán Ta viết αɶ i ) = α (ti điểm + (t ) − phân tán phải αɶi (t ) = α (t ) điểm phân tán trái Chú ý 5.9 Khi xem xét α − độ đo, nhằm mục đích mở rộng α , theo qui trình trên, với hàm mở rộng phương pháp sử dụng (xem đẳng thức (3.4) Chú ý 5.10 Mặc dù ta biết độ đo Lebesgue thông thường tập đo khoảng có dạng (ti ,σ (ti )) , ta đánh giá ∆ − độ đo Lebesgue – Stieltjes tập điểm α − đo phụ thuộc vào hàm mà ta sinh Như ta tìm mối liên quan α − độ đo độ đo α ∆ − độ đo tập T Mệnh đề 5.3 Cho [a,b) khoảng đóng, bị chặn T với a,b ∈T \{min T} Khi đó: α i) µ∆ ([a,b)) =µ α ∑ (α (δ (t )) − α (t )) ([a,b)) + ~ α α ~ i i∈I[a,b i ) ~ ii)µ∆ ([a,b)) = µ ([a,b) ) đây, [a,b)~ mở rộng tập đưa Chú ý 2.4 µ α~ độ đo Lebesgue – Stieltjes sinh α ~ Chứng minh i) Giả sử {a, a ≤ t1 ≤ b} ⊂ [a,b) ∩ SR = I[a,b) t1 t2 , , , t, t2 ≤ ≤ cho t≤ b Lấy t điểm lớn dãy điểm phân tán phải Khi [a,b) viết sau: [a,b) = [a,t1 ] ∪ [δ (t1 ),t2 ] ∪ ∪ [t,b) α ~ ⇒ µ ([a,b)) = µα ([a,t1 ] ∪ [δ (t1 ),t2 ] ∪ ∪[t,b)) ~ α α ~ α ~ = µ ([a,t1 ]) + µ ([δ (t1 ),t2 ]) + ~ +µ + − + ([t,b)) − − − = α (t1 ) − α (a ) + α (t ) − α 1(δ (t ) ) + + α (b ) − α (δ (t) ) ~ ~ − − = α ~ (b ) − α ~ (a ) − − − = α (b ) − α (a ) − Ta thu ~ µ ~ α ~ ∆ ∑ i∈I [a,b) ∑ ~ ~ i + (t ) i i∈I [a,b) i − α ~ (δ (t ) ) − α ~ i α (δ (t )) − α (t ) α ([a,b)) = µ ([a,b)) − ~ ~ ∑ i∈I [a,b) α (δ (ti )) − α (ti ) − α (δ (ti )) − α (ti ) = α(δ i(t ) ) − α (t = µα ((ti ,δ (ti ))) ) ii) + ~ ~ α ⇒ µ ([a,b)) − ∑ ~ α α(δ (ti )) − α (ti ) = µ ([a,b)~ ) i∈I [a,b) Chú ý 5.11 Chúng ta tổng quát mệnh đề 5.3 với tập đo α ∆ E ⊂ T\{maxT, minT} sau: α i) µ ∆ (E) =µ α ~ α ii) µ∆ (E) =µ (E) + ∑α (σ (ti )) − α (ti ) i∈IE α~ ~ (E ) 5.4 ∆ − Tích phân Lebesgue – Stieltjes Định nghĩa 5.2 Cho T thang thời gian α :T → ℝ hàm tăng µ ∆α độ đo ∆ Lebesgue – Stieltjes định nghĩa T, S: T → ℝ hàm đơn giản không âm đo α ∆ cho n S (t) = ∑ χ Ai , Ai s i=1 tập cặp rời rạc đo α ∆ với A i = {t : = } Ta định nghĩa tích S (t) phân ∆ Lebesgue – Stieltjes S tập E đo α ∆ n ∫ (5.7) S (s)∆α (s) = ∑ µ∆ ( Ai E α α ∩ E) i=1 Với k , α k = 0; µ∆ ( A ∩ E) = ∞ ta định nghĩa α a µ ( A ∩ E) = ∞ k ∆ Ví dụ 5.12 Cho α T định nghĩa ví dụ 5.8 Lấy 1; S1 (t) =   4; 1; S2 (t) =   4; 0≤t≤3 3