λ*( )A ≤λ*(A∩E)+λ*(A∩( \ )).ℝ E (2.20) Đặt A= ∪B { }τ0 . Khi ấy bất đẳng thức (2.20) trở thành * * * 0 0 * * * * 0 0 * * * 0 * * ( ) ( { } )) ( { } ( \ )) ( ) ({ } ) ( ( \ )) ({ } ( \ )) ( ) ( ( \ )) ({ }) ( ) ( ( \ )). A B E B E B E E B E E B E B E B E B E λ λ τ λ τ λ λ τ λ λ τ λ λ λ τ λ λ ≤ ∪ ∩ + ∪ ∩ ≤ ∩ + ∩ + ∩ + ∩ ≤ ∩ + ∩ + = ∩ + ∩ ℝ ℝ ℝ ℝ ℝ
Chứng minh tương tự như i) ta chỉ ra E là đo được Lebesgue.
c) Bây giờ giả sử E chứa điểm lớn nhất τ0 của T. Rõ ràng nếu E là ∆ −đo được thì E\ { }τ cũng là ∆ −đo được, do đó nó cũng đo được Lebesgue. Bởi được thì E\ { }τ cũng là ∆ −đo được, do đó nó cũng đo được Lebesgue. Bởi
vì tập điểm đơn {τ0} là đo được Lebesgue và sử dụng nhận xét rằng hợp của hai tập đo được Lebesgue là một tập đo được Lebesgue, ta có
0 0
( \ { })E τ ∪{ }τ = E cũng là tập đo được Lebesgue.
Giả sử E là tập đo được Lebesgue, chứng minh tương tự ta có E là ∆ −đo được. Chú ý 2.8 Sử dụng đẳng thức trong Mệnh đề 2.4 ta có ~ ( )E (E ), µ∆ =λ trong đó E⊂T\{maxT}. và ~ E là mở rộng của E.
Hệ quả 2.9 Nếu tập E là đo được Lebesgue thì E∩T là ∆ −đo được.
Bây giờ chúng ta đưa ra khái niệm độ đo ∇ Lebesgue trên T đã được Guseinov định nghĩa (xem Guseinov [6] 2003). Kí hiệu ℑ2 là họ tất cả các khoảng của T có dạng ( , ] {a b = ∈t T:a t< ≤b}; a b, ∈T, a≤b. Hiển nhiên tập ( , ]a a là tập rỗng. Giả sử m2:ℑ →2 [0, ]∞ là hàm tập trên ℑ2 cho tương ứng mỗi khoảng ( , ]a b với độ dài của nó, nghĩa là
2 : 2(( , ])
m b− →a m a b = −b a .
Khi đó m2 là độ đo cộng tính đếm được trong ℑ2. Tương tự như µ∆, độ đo ngoài *
2
m trên họ tất cả các tập con của T được định nghĩa như sau:
Cho D là một tập con bất kỳ của T. Nếu tồn tại ít nhất một hệ hữu hạn hoặc đếm được các khoảng Uj∈ ℑ2(j=1, 2,...) sao cho j
j
D⊂∪U thì *
2 inf 2( j)
j
m = ∑m U . Nếu không có phủ của ,D thì * 2( )
m D = ∞. Họ * 2 ( )
cả các tập con * 2
m −đo được (hay ∇ −đo được) của T là một σ −đại số. Ở đây tập con D gọi là m*2−đo được nếu
* * *
2( ) 2( ) 2( c)
m A =m A∩D +m A∩D (2.21) đúng với mọi A∈T, c
D = T\ .D
Khi đó, ta lấy thu hẹp của * 2 m trên * 2 ( ) M m và kí hiệu là µ∇. Ta có µ∇ là độ đo cộng tính đếm được trên M m( *2).
Định lí 2.10 Với mỗi t0∈T\{minT} thì ∇ −độ đo của nó được cho bởi
µ∇({ })t0 = −t0 ρ( )t0 (2.22)
Chứng minh Tương tự Định lí 2.2.
Định lí 2.11 Nếu ,c d∈T thì ta có µ∇(( , ])c d = −c d,µ∇(( , ))c d = ρ( )d −c.. Nếu ,c d∈T\{minT} thì µ∇([ , ))c d = ρ( )d −ρ( ),c µ∇([ , ])c d = −d ρ( ).c
Chứng minh Tương tự Định lí 2.6.
Chú ý 2.12 Trong trường hợp T=ℝ thì hai độ đo trên trùng với độ đo
Lebesgue thông trường. Với trường hợp đặc biệt nữa là T=hℤ với h là hằng số dương bất kỳ thì hai độ đo này cũng đồng nhất.
CHƯƠNG III
HÀM ∆ − ĐO ĐƯỢC
3.1 Hàm ∆ −đo được
Mục đích của chúng ta là nghiên cứu tỉ mỉ hàm ∆ −đo được các tính chất, các định lí và kết quả quan trọng nhằm đi đến khái niệm ∆ −tích phân Lebesgue. Trong chương này, chúng tôi trình bày khái niệm hàm ∆ −đo được và trình bày tỉ mỉ các kết quả của Cabada-Vivero về so sánh hàm ∆ −đo được với hàm đo được Lebesgue. Hơn nữa, chúng tôi cũng trình bày một số điều kiện bảo đảm tính đo được của hàm trên thang thời gian.
Định nghĩa 3.1 Ta nói rằng hàm f :T→ℝ là ∆ −đo được nếu với mọi ,
α∈ℝ tập
f −1([−∞, )) {α = ∈t T: ( )f t <α} (3.1)
∆ −đo được.
Tương tự như trong lí thuyết độ đo Lesbegue (xem Chương 1 [5]), ta bắt đầu, từ các hàm đơn giản. Tuy nhiên, theo cách xây dựng ∆ −tích phân Lebesgue, chúng ta tập trung xét trường hợp khi S là một tập ∆ −đo được.
Chú ý 3.1 Dễ dàng kiểm tra rằng quan hệ giữa các hàm đơn giản và các tập
∆ −đo được là 1 n i i i S α χA =
=∑ là ∆ −đo được khi và chỉ khi mỗi Ai là một tập
∆ −đo được.
Chứng minh Giả sử rằng hàm đơn giản S:T→ℝ là ∆ −đo được. Theo định
nghĩa (3.1) thì tập
là ∆ −đo được với mọi α∈ℝ,α1<α2 <α3 < <... αn.
i) Nếu α α< 1 thì S−1([−∞, ))α = ∅ là ∆ −đo được.
ii) Nếu α1 < <α α2 thì 1
1([ , )) ([ , ))
S− −∞ α = A là ∆ −đo được.
iii) Giả sử α2 < <α α3. Trong trường hợp này S−1([−∞, ))α = A1∪A2 là
∆ −đo được. Từ ii) A2 cũng là ∆ −đo được bởi vì hiệu của hai tập ∆ −đo được là ∆ −đo được.
Lặp lại qui trình này, với mỗi giá trị bất kì của α, tương ứng tập
1 , 1, 2,...k k i i A k n = =
∪ là ∆ −đo được, chúng ta có được kết quả, mỗi tập Ai là
∆ −đo được.
Bây giờ, giả sử mỗi Ai là ∆ −đo được với i=1,2,...,n. Khi ấy với 0≤ ≤k n
hợp 1 k i i A =
∪ cũng là ∆ −đo được mà nó tương ứng với tập {t∈T: ( )S t <α } với một giá trị α∈ℝ nào đó. Với mỗi α∈ℝ tồn tại hợp
1k k i i A = ∪ chúng ta kết luận hàm tương ứng đơn giản S là ∆ −đo được.
Mệnh đề dưới đây cho các phiên bản khác nhau của định nghĩa hàm ∆ −đo được.
Mệnh đề 3.1 (Royden 1988) Cho f là một hàm nhận giá trị thực trên miền
∆ −đo được E⊂T. Khi đó các mệnh đề sau đây là tương đương: i) Với mỗi số thực α thì tập {t∈E f t: ( )<α} là ∆ −đo được.
ii) Với mỗi số thực α thì tập {t∈E f t: ( )≥α}là ∆ −đo được.
iii) Với mỗi số thực α thì tập {t∈E f t: ( )≤α} là ∆ −đo được.
iv) Với mỗi số thực α thì tập {t∈E f t: ( )>α} là ∆ −đo được. Các mệnh đề trên suy ra
v) Với mỗi số thực α thì tập {t∈E f t: ( )=α} là ∆ −đo được.
Định lí 3.2 Giả sử f là một hàm ∆ −đo được trên miền E⊂T và f = g
. .
a e
∆ − Khi đó hàm g cũng là ∆ −đo được.
Chứng minh Theo định nghĩa của hàm ∆ −đo được và sự tương đương hầu
khắp nơi, hiệu của hai tập A={ :t f t( )>α} và tập B={ : ( )t g t >α} là tập có độ đo bằng 0, nghĩa là µ∆(( \ )A B ∪( \ )) 0.B A = Do đó µ∆( \ ) 0A B = và
( \ )) 0B A
µ∆ = .
Không mất tính tổng quát, ta giả sử rằng f là một hàm ∆ −đo được. Xét ( \ )
B= ∪A B A ta có vế phải của đẳng thức là ∆ −đo được. Do đó nó là hợp của hai tập ∆ −đo được. Ta có điều phải chứng minh.
Mệnh đề 3.2 (Cohn 1997) Cho f và g là hai hàm ∆ −đo được nhận giá trị
thực xác định trên E⊂T, α là một số thực. Khi đó
, , , sup n, inf , lim ,limn n n
f f g f g f f f f
α + − và f
g cũng là ∆ −đo được.
Hệ quả 3.3 (Dönmer 2001) Cho { ( )}f tn là dãy các hàm ∆ −đo được trên E⊂T. Nếu dãy này hội tụ với lim f tn( )= f t( ) thì ( )f t cũng là ∆ −đo được.
Hệ quả 3.4 Cho f t1( ) và f t2( ) là hai hàm ∆ −đo được xác định trên tập con
∆ −đo được của T. Khi đó, max{ ( ),f t1 f t2( )} và min{ ( ),f t1 f t2( )} cũng là ∆ −đo được.
Định lí 3.5 Mọi hàm hằng xác định trên tập ∆ −đo được là ∆ −đo được.
Chứng minh Lấy ( )f t =c, ∀ ∈t E,c∈ℝ. Ta xem xét hai trường hợp: