Phương trình vi phân trên thang thời gian

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————— NGUYỄN THỊ BẢO CHÂU PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Đà Nẵng - Năm 2021 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————————– NGUYỄN THỊ BẢO CHÂU PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành: Tốn giải tích Mã số: 8.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Đà Nẵng - Năm 2021 i LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan cơng trình nghiên cứu riêng tơi Các số liệu, kết nêu luận án trung thực chưa công bố cơng trình khác Đà Nẵng, tháng 08 năm 2021 Tác giả Nguyễn Thị Bảo Châu ii LỜI CẢM ƠN Lời luận văn em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tận tình hướng dẫn em suốt q trình thực để em hoàn thành luận văn Em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến tất thầy giáo tận tình dạy bảo em suốt thời gian học tập khóa học Đồng thời xin gửi lời cảm ơn đến anh chị lớp TGTK39 nhiệt tình giúp đỡ tơi trình học tập lớp Nguyễn Thị Bảo Châu TRANG THÔNG TIN LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài : PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TRÊN THANG THỜI GIAN Ngành : Tốn Giải Tích Khóa: K39 Họ tên học viên: Nguyễn Thị Bảo Châu Người hướng dẫn khoa học: TS Phan Đức Tuấn Cơ sở đào tạo: Trường Đại Học Sư Phạm - Đại Học Đà Nẵng Tóm tắt *Những kết luận văn: Đề tài nghiên cứu luận văn thạc sĩ khoa học “Phương trình vi phân thang thời gian” đạt số kết sau đây: • Trình bày cách có hệ thống phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2, gồm định nghĩa, công thức nghiệm chứng minh chi tiết kết quả, đưa số ví dụ cụ thể cho phương trình vi phân • Giới thiệu phép tính vi tích phân thang thời gian số định lí, tính chất để giải phương trình vi phân thang thời gian, chứng minh kết cụ thể • Trình bày khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp thang thời gian, chứng minh kết đưa số ví dụ cụ thể giải phương trình vi phân tuyến tính thang thời gian *Ý nghĩa khoa học thực tiễn luận văn: • Trình bày cách có hệ thống định nghĩa phương trình vi phân • Cụ thể chứng minh giúp cho người khơng chun tốn cần tìm hiểu thang thời gian phương trình vi phân thang thời gian • Tìm hiểu đưa định lý, chứng minh phương pháp giải phương trình vi phân thang thời gian Xác nhận giáo viên hướng dẫn Người thực luận văn Nguyễn Thị Bảo Châu THE INFORMATION OF NEW CONTRIBUTIONS OF THE THESIS Thesis title : DYNAMIC EQUATIONS ON TIME SCALES Major : Analysis Code: K39 Name of Master student: Nguyen Thi Bao Chau Name of Scientific Supervisor: Dr Phan Duc Tuan Educational Institution: The University of Danang, University of Education Summary *Content of thesis: The thesis “Dynamic Equations on Time Scales” has achieved some following results: • Presenting about differential equations, first and second order linear dynamic equations on time scales, including definitions, solution formulas and detailed proof of results, giving some examples for differential equations • Introducing calculus on time scales and some theorems and properties to solve differential equations on time scale, prove specific results • Presenting the basic definitions of linear differential equations of first and second order of linear differential equations on time scales, prove the results and give some examples of solving differential equations on the time scale *Sciencetific and pratical meaning of thesis: • Systematically presenting the definitions of basic differential equations • Giving the proofs which can help non-mathematicians, who need to learn about time scales and differential equations on time scales • Giving theorems, proofs and methods of solving differential equations on time scales Signature of Supervisor Researcher Nguyen Thi Bao Chau iii MỤC LỤC Mở đầu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Các khái niệm sở 1.1.1 Định nghĩa phương trình vi phân 4 1.1.2 Phương trình vi phân cấp 1.1.3 Phương trình vi phân cấp 1.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.3 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 12 Chương Phép tính vi tích phân thang thời gian 18 2.1 Khái niệm thang thời gian 18 2.2 Giới hạn liên tục 21 2.3 Đạo hàm thang thời gian 24 2.4 Tích phân thang thời gian 31 Chương Phương trình vi phân thang thời gian 37 3.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 37 3.2 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 46 Kết luận 55 Tài liệu tham khảo 56 Quyết định giao đề tài luận văn (Bản sao) 57 DANH MỤC KÝ HIỆU T Thang thời gian R Tập hợp số thực ∆-đạo hàm Đạo hàm Hilger IVP W (y1 , y2 ) Bài toán giá trị ban đầu Định thức Wronskian a := b a gán b MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài: Sự phát triển thang thời gian cịn giai đoạn sơ khai, nhà tốn học dành nhiều quan tâm thang thời gian Các phương pháp đưa vào phương trình vi phân thang thời gian, giải thích số sai lệch gặp phải kết phương trình vi phân đối chứng chúng xem xét độc lập Những lời giải thích khác biệt tình cờ tạo kết thống thông qua phương pháp thang thời gian Chủ đề đưa Phương trình vi phân thang thời gian: Giới thiệu ứng dụng ca (Martin Bohner v Allan Peter - Son, Birkhăauser, 2001 86]) viết nhóm 21 chuyên gia quốc tế lĩnh vực họ, cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mô thời gian cung cấp nhìn tổng quan tiến gần lý thuyết quy mô thời gian Các chủ đề bao gồm hàm số mũ thang thời gian, xác suất giá trị biên, nghiệm dương, nghiệm nghiệm phương trình vi phân, lý thuyết tích phân thang thời gian, phương trình vi phân bậc cao hơn, Việc nghiên cứu phương trình vi phân thang thời gian chủ đề nghiên cứu lĩnh vực phát triển nhanh chóng Nó tạo để thống phân tích liên tục rời rạc, cho phép xử lý đồng thời phương trình phân số sai phân, mở rộng lý thuyết trở thành phương trình vi phân Với mong muốn làm rõ cá sở tốn học, ý tưởng việc ứng dụng phương trình vi phân thang thời gian lĩnh vực nghiên cứu, với gợi ý TS Phan Đức Tuấn, tơi chọn đề tài: “Phương trình vi phân thang thời gian” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nội dung nghiên cứu: Mục tiêu đề tài nghiên cứu mô hình tốn học lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian Để đạt mục tiêu đề tài nghiên cứu nội dung sau: - Phép tính vi tích phân thang thời gian - Giải phương trình vi phân thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu Phương trình vi phân cấp 1, phương trình vi phân cấp Phương pháp nghiên cứu: Thu thập tài liệu sưu tầm được, sách có liên quan đến đề tài luận văn, tìm hiểu chúng trình bày kết đề tài theo hệ thống khoa học Trong luận văn có sử dụng kiến thức thuộc lĩnh vực sau đây: Giải tích, Đại số tuyến tính, Lý thuyết phương trình vi phân, Ý nghĩa khoa học thực tiễn Đề tài có giá trị mặt lý thuyết Có thể sử dụng luận văn làm tài liệu tham khảo dành cho sinh viên ngành Tốn đối tượng có chuyên ngành liên quan để ứng dụng cho toán thực tiễn Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận tài liệu tham khảo, luận văn chia thành ba chương: - Chương 1, trình bày khái niệm chung phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Chương 2, trình bày phép tính vi tích phân thang thời gian gồm: Khái niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian - Chương 3, trình bày phương trình vi phân thang thời gian gồm: Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp 50 Vì eλ (t, t0 ) khơng triệt tiêu, y(t) = eλ (t, t0 ) nghiệm λ thỏa mãn gọi phương trình đặc trưng λ2 + αλ + β = (3.15) Nghiệm λ1 λ2 phương trình đặc trưng (3.15) cho α2 − 4β −α + α2 − 4β λ2 = (3.16) 2 Định lý 3.2.4 (xem [3]) Giả sử α2 − 4β ̸= Nếu µβ − α ∈ R, hệ nghiệm (3.14) cho λ1 = −α − eλ1 (·, t0 ) eλ2 (·, t0 ) , t0 ∈ Tκ λ1 , λ2 cho (3.16) Nghiệm toán giá trị ban đầu y ∆∆ + αy ∆ + βy = 0, y (t0 ) = y0 , y ∆ (t0 ) = y0∆ , (3.17) cho eλ1 (·, t0 ) + eλ2 (·, t0 ) αy0 + 2y0∆ eλ2 (·, t0 ) − eλ1 (·, t0 ) + y0 2 α2 − 4β Chứng minh Vì λ1 λ2 cho (3.16) nghiệm phương trình đặc trưng (3.15), ta thấy hai eλ1 (·, t0 ) eλ2 (·, t0 ) để giải phương trình vi phân (3.14) Hơn nữa, định thức Wronskian hai nghiệm thu det eλ1 (t, t0 ) eλ2 (t, t0 ) λ1 eλ1 (t, t0 ) λ2 eλ2 (t, t0 ) = (λ2 − λ1 ) eλ1 (t, t0 ) eλ2 (t, t0 ) = α2 − 4βeλ1 ⊕λ2 (t, t0 ) , không bị triệt tiêu trừ α2 − 4β = Ta thu hệ nghiệm y1 = eλ1 (·, t0 ) y2 = eλ2 (·, t0 ) phương trình (3.14), thu nghiệm (3.16), cụ thể y(t) = C1 y1 (t) + C2 y2 (t), C1 = = y0 y2∆ (t0 ) − y0∆ y2 (t0 ) W (y1 , y2 ) (t0 ) y0 λ2 − y0∆ α2 − 4β y0 αy0 + 2y0∆ = − , 2 α2 − 4β 51 C2 = = y1 (t0 ) y0∆ − y1∆ (t0 ) y0 W (y1 , y2 ) (t0 ) ∆ y − λ1 y α2 − 4β αy0 + 2y0∆ y0 + = 2 α2 − 4β Do đưa nghiệm (3.17) dạng khẳng định Khi α = β < 0, ta định nghĩa hàm Hypebol sau Định nghĩa 3.2.5 (xem [6]) (Hàm số Hyperbol) Nếu p ∈ Crd −µp2 ∈ R, ta định nghĩa hàm coshp sinhp coshp = ep + e−p sinhp = ep − e−p Lưu ý điều kiện hồi quy −µp2 tương đương với ̸= − µ2 p2 = (1 − µp)(1 + µp) tương đương với p −p hồi quy Bổ đề 3.2.5 (xem [6]) Cho p ∈ Crd Nếu −µp2 ∈ R, cosh∆ p = p sinhp sinh∆ p = p coshp cosh2p − sinh2p = e−µp2 Chứng minh Sử dụng Định nghĩa 3.2.5, hai công thức dễ dàng xác định, công thức cuối xác định cosh2p − sinh2p ep − e−p ep + e−p − = 2 2 ep + 2ep e−p + e−p e2p − 2ep e−p + e2−p = − 4 = ep e−p = e−p⊕p = e−µp2 52 Định nghĩa 3.2.6 (xem [6]) (Hàm lượng giác) Nếu p ∈ Crd µp2 ∈ R, ta định nghĩa hàm lượng giác cosp sinp cosp = eip + e−ip sinp = eip − e−ip 2i Lưu ý µp2 hồi quy ip −ip hồi quy, cosp and sinp Định nghĩa 3.2.6 xác định Bổ đề 3.2.6 (xem [6]) Gọi p ∈ Crd Nếu µp2 ∈ R, ta có cos∆ p = −p sinp sin∆ p = p cosp cos2p + sin2p = eµp2 Ta rút nhận xét với p ∈ R, điều kiện hồi quy µp2 thỏa mãn Định lý 3.2.7 (xem [6]) Giả sử γ > t0 ∈ Tκ Khi y(t) = c1 cosγ (t, t0 ) + c2 sinγ (t, t0 ) nghiệm chung y ∆∆ + γ y = (3.18) Chứng minh Lưu ý phương trình (3.18) hồi quy + γ µ2 (t) ̸= với t ∈ Tκ Sử dụng Bổ đề 3.2.6, ta thấy cosγ (t, t0 ) sinγ (t, t0 ) nghiệm (3.18) W (cosγ (·, t0 ) , sinγ (·, t0 )) (t0 ) = det γ −γ = γ ̸= 0, ta thu cosγ (·, t0 ) sinγ (·, t0 ) tạo thành tập nghiệm (3.18) Từ ta có y(t) = c1 cosγ (t, t0 ) + c2 sinγ (t, t0 ) nghiệm tổng quát (3.18) 53 Ví dụ 3.2.7 Xét phương trình y ∆ − py ∆ (t) − q(t) y ∆ (t) − p(t)y(t) = 0, (3.19) ta giả sử p, q ∈ R Để giải phương trình vi phân tuyến tính này, gọi y nghiệm (3.19) gọi v(t) := y ∆ (t) − p(t)y(t) (3.20) Với thay (3.19) tương đương với v ∆ (t) − q(t)v(t) = Giải phương trình này, ta thu v(t) = C2 eq (t, t0 ) Thay giá trị vào phương trình (3.20) ta thu phương trình y ∆ − p(t)y = C2 eq (t, t0 ) Sử dụng công thức biến thiên số, ta thu t ep (t, σ(τ ))eq (τ, t0 ) ∆τ y(t) = C1 ep (t, t0 ) + C2 ep (t, t0 ) t0 nghiệm chung (3.19) Ví dụ 3.2.8 Giải phương trình vi phân y ∆∆ − 2(t + 1)y ∆ + 4ty = (3.21) thang thời gian T = R Trong trường hợp (3.21) viết dạng thừa số ′ (y ′ − 2y) − 2t (y ′ − 2y) = Đặt y nghiệm (3.21) đặt v(t) = y ′ (t) − 2y(t) Giải v ′ − 2tv = 0, ta thu v(t) = c2 et 54 Điều dẫn tới phương trình y ′ − 2y = c2 et Nhân với thừa số tích phân e−2t ta e−2t y ′ = c2 e−2t+t Tích phân hai vế phương trình từ đến t ta t 2t y(t) = c1 e + c2 e nghiệm chung (3.21) e−2τ +τ dτ 2t 55 KẾT LUẬN Qua thời gian tìm hiểu, học hỏi từ số tài liệu hướng dẫn TS Phan Đức Tuấn tơi hồn thành luận văn với số kết đạt sau: - Trình bày cách có hệ thống phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2, gồm định nghĩa, công thức nghiệm chứng minh chi tiết kết quả, đưa số ví dụ cụ thể cho phương trình vi phân - Giới thiệu phép tính vi tích phân thang thời gian số định lí, tính chất để giải phương trình vi phân thang thời gian, chứng minh kết cụ thể - Trình bày khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp thang thời gian, chứng minh kết đưa số ví dụ cụ thể giải phương trình vi phân tuyến tính thang thời gian Trong khn khổ luận văn, không đủ điều kiện để nghiên cứu hết yếu tố phép tính vi tích phân thang thời gian dạng phương trình vi phân thang thời gian chưa giới thiệu luận văn Đây hướng phát triển luận văn Trong trình làm luận văn dù cố gắng nhiều không tránh khỏi thiếu sót định, tơi mong góp ý chân thành quý thầy cô bạn đọc để tiếp tục nghiên cứu phát triển luận văn 56 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Lê Hải Trung (2019), Giáo trình Phương trình vi phân - sai phân, Trường Đại học Sư phạm Đà Nẵng, Nhà xuất Thông tin Truyền thông [2] Nguyễn Thế Hoàn - Trần Văn Nhung (2005), Bài tập Phương trình vi phân, Nhà xuất Giáo dục Tiếng Anh [3] Martin Bohner and Allan Peterson (2001), Dynamic Equations on Time Scales: An Introduction with Applications, Springer Science + Business Media, LLC [4] Svetlin G.Georgiev (2016), Integral Equations on Time Scales, Atlantis Studies in Dynamical Systems [5] K.A.Aldwoah and A.E.Hamza (2011), “Generalized Time Scales”, Advances in Dynamical Systems and Applications, Vol 6, N 2, pp 129 –158 [6] Martin Bohner and Allan Peterson (2001), First and second order linear dynamic equations on time scales, Springer Science+Business Media, LLC 57 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc BIÊN BẢN HỌP HỘI ĐỒNG CHẤM LUẬN VĂN THẠC SĨ Tên đề tài: Phương trình vi phân thang thời gian Ngành: Tốn giải tích Lớp K39.TGT Theo Quyết định thành lập Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ số ngày 28 2048 /QĐ-ĐHSP tháng 10 năm 2021 Ngày họp Hội đồng: ngày 28 tháng 11 năm 2021 Danh sách thành viên Hội đồng: HỌ VÀ TÊN STT CƯƠNG VỊ TRONG HỘI ĐỒNG TS Hoàng Nhật Quy Chủ tịch TS Tôn Thất Tú Thư ký TS Lê Hải Trung Phản biện TS Lê Quang Thuận Phản biện TS Nguyễn Văn Bồng a Thành viên có mặt: 05 Ủy viên b Thành viên vắng mặt: Thư ký Hội đồng báo cáo trình học tập, nghiên cứu học viên cao học đọc lý lịch khoa học (có văn kèm theo) Học viên cao học trình bày luận văn Các phản biện đọc nhận xét nêu câu hỏi (có văn kèm theo) Học viên cao học trả lời câu hỏi thành viên Hội đồng 10 Hội đồng họp riêng để đánh giá 11 Trưởng ban kiểm phiếu công bố kết 12 Kết luận Hội đồng a) Kết luận chung: Luận văn đạt yêu cầu, đề nghị Trường ĐHSP-ĐH Đà Nẵng công nhận kết bảo vệ cấp thạc sỹ chun ngành Tốn Giải tích cho học viên b) Yêu cầu chỉnh, sửa nội dung: - Rà sốt lại lỗi tả, sửa lại ví dụ 1.1.10, xem lại định nghĩa thang thời gian T cho thống với trường hợp T=R - Chỉnh sửa theo góp ý hội đồng Đặc biệt theo ý kiến hai phản biện c) Các ý kiến khác: Khơng có d) Điểm đánh giá: Bằng số: 8.5 Bằng chữ: Tám phẩy năm 13 Tác giả luận văn phát biểu ý kiến 14 Chủ tịch Hội đồng tuyên bố bế mạc THƯ KÝ HỘI ĐỒNG TS Tôn Thất Tú CHỦ TỊCH HỘI ĐỒNG TS Hồng Nhật Quy CỘNG HỊA XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM Độc lập – Tự – Hạnh phúc -o0o BẢN NHẬN XÉT LUẬN VĂN THẠC SĨ (Dùng cho thành viên hội đồng phản biện) Tên đề tài luận văn: Phương trình vi phân thang thời gian Ngành: Tốn giải tích Mã ngành: 8460102 Họ tên học viên: Nguyễn Thị Bảo Châu Người nhận xét: TS Lê Quang Thuận Đơn vị công tác: Trường Đại học Quy Nhơn NỘI DUNG NHẬN XÉT Tính cấp thiết đề tài: Một thang thời gian tập đóng, khơng rỗng tập số thực Phép tính giải tích thang thời gian đề xuất Stefan Hilger từ năm 1990 nhằm mục đích tạo lý thuyết tốn học hợp giải tích liên tục giải tích rời rạc Trong thập niên gần đây, lý thuyết ứng dụng để nghiên cứu hệ động lực, hệ điều khiển mà biến thời gian lai tạp thời gian rời rạc thời gian liên tục Với luận văn này, học viên bước đầu tìm hiểu khái niệm bản, tính chất đạo hàm tích phân cho hàm số xác định thang thời gian Học viên tìm hiểu số vấn đề tồn tại, công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình vi phân ẩn hàm xác định thang thời gian Việc nghiên cứu đề tài việc làm có ý nghĩa thiết thực học viên chuyên ngành Toán giải tích Cơ sở khoa học thực tiễn: Luận văn viết sở tham khảo kết từ 02 sách tiếng Việt 03 sách, 01 báo tiếng Anh cơng bố Luận văn chọn lọc trình bày kết theo chủ đề mà tác giả quan tâm theo quan điểm Do vậy, tài liệu tham khảo tiếng Việt bổ ích cho học viên cao học ngành Tốn Giải tích độc giả quan tâm lĩnh vực Phương pháp nghiên cứu: Học viên sử dụng phương pháp sưu tầm tài liệu liên quan đến đề tài đọc hiểu, làm rõ Học viên tổng hợp làm rõ tường minh kết liên quan đến chủ đề nghiên cứu Học viên trình bày lại rõ ràng hệ thống dựa vào kiến thức tảng trang bị Giải tích, Phương trình vi phân Đây phương pháp thường hay sử dụng để nghiên cứu luận văn thạc sĩ Kết nghiên cứu: - Trình bày cách có hệ thống phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp 2, gồm định nghĩa, công thức nghiệm chứng minh chi tiết kết quả, đưa số ví dụ cụ thể cho phương trình vi phân - Giới thiệu phép tính vi tích phân thang thời gian số định lí, tính chất để giải phương trình vi phân thang thời gian, chứng minh kết cụ thể - Trình bày khái niệm phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân tuyến tính cấp thang thời gian, chứng minh kết tồn nghiệm (Định lý 3.1.2, 3.1.4, 3.1.5) đưa số ví dụ cụ thể giải phương trình vi phân tuyến tính thang thời gian Hình thức luận văn: - Nội dung luận văn trình bày chương Trong Chương 1, tác giả trình bày số kiến thức sở phương trình vi phân tuyến tính cấp cấp R Chương trình bày khái niệm thang thời gian, khái niệm giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian Chương trình bày nghiệm phương trình vi phân cấp cấp thang thời gian - Luận văn có bố cục hợp lý hình thức trình bày đạt yêu cầu luận văn thạc sĩ - Tuy nhiên, luận văn số sai sót nhỏ câu chữ, lỗi tả, cách viết cần phải sửa chữa: + Một số lỗi dịch thuật, lỗi đánh máy cần sửa cho + Nên đưa thêm danh mục ký hiệu viết tắt để người đọc dễ theo dõi Đánh giá chung (Nêu rõ đồng ý hay không đồng ý cho học viên bảo vệ luận văn trước Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ) a) Đề tài phù hợp với chun ngành Tốn Giải tích Luận văn học viên Nguyễn Thị Bảo Châu đáp ứng đầy đủ yêu cầu nội dung hình thức luận văn thạc sĩ toán học để bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ Trường Đại học Sư phạm, Đại học Đà Nẵng b) Tôi đồng ý cho Học viên bảo vệ trước Hội đồng chấm luận văn thạc sĩ tác giả luận văn xứng đáng nhận học vị thạc sĩ tốn học chun ngành Tốn Giải tích Bình Định, ngày 15 tháng11 năm 2021 Người nhận xét TS Lê Quang Thuận ... niệm thang thời gian, giới hạn liên tục, đạo hàm tích phân thang thời gian - Chương 3, trình bày phương trình vi phân thang thời gian gồm: Phương trình vi phân tuyến tính cấp phương trình vi phân. .. tính vi tích phân thang thời gian - Giải phương trình vi phân thang thời gian Đối tượng phạm vi nghiên cứu: - Đối tượng nghiên cứu: Lý thuyết phương trình vi phân thang thời gian - Phạm vi nghiên... Chương 1, trình bày khái niệm chung phương trình vi phân, phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp - Chương 2, trình bày phép tính vi tích phân thang thời gian gồm: