Giải tích 1 bài 1 hàm số, dãy số

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn NHIỆT LIỆT CHÀO MỪNG SINH VIÊN K66 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  “Non sơng Nam có trở nên tươi đẹp hay khơng  Dân tộc Việt Nam có bước tới đài vinh quang để sánh vai với cường quốc năm châu hay khơng  Chính nhờ phần lớn công học tập em” 1945 Hồ Chí Minh PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn LỜI NÓI ĐẦU Để tạo điều kiện học tốt q trình học theo học chế tín chỉ, giảng Giải tích cho nhóm ngành 1, viết sở đề cương Giải tích Bộ mơn Tốn cho em sinh viên Đại học Bách Khoa Hà Nội (có kèm theo đề cương nhóm ngành) Bài giảng chứa đựng đầy đủ kiến thức bản, dạng tốn quan trọng có minh hoạ đề thi cuối kỳ từ K50 đến giải mẫu Các tập phong phú dạng có đáp số kèm theo, tạo điều kiện thuận lợi cho em sinh viên tự học tốt Do khối lượng giảng có hạn, nên khơng thể đưa vào lời giải tất ví PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dụ đề thi khóa trước, mà dẫn lời giải số dạng toán tiêu biểu Những lời giải thú vị thực lớp Vì giảng khơng đặt mục đích thay giảng lý thuyết lớp Đây tài liệu có ích cho em sinh viên muốn đạt kết tốt môn học Hà Nội ngày 10 tháng 10 năm 2020 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Ghi Bài giảng nên phơ tơ mặt, cịn mặt để sinh viên ghi chép PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn MỤC LỤC CHƯƠNG I PHÉP TÍNH VI PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài Hàm số, dãy số Bài Giới hạn, liên tục Bài Đạo hàm vi phân 16 Bài Đạo hàm vi phân cấp cao, định lí hàm khả vi 22 Bài Định lí hàm khả vi ứng dụng 27 Bài Khảo sát hàm số 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn CHƯƠNG II PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài Tích phân bất định 39 Bài Tích phân xác định 43 Bài Tích phân xác định, tích phân suy rộng 48 Bài 10 Tích phân suy rộng 56 Bài 11 Ứng dụng tích phân xác định 62 CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12 Hàm nhiều biến 68 Bài 13 Đạo hàm riêng vi phân74 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Bài 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cực trị 80 Bài 15 Cực trị có điều kiện 87 Bài 16 Tích phân kép (Nhóm ngành 3) 91 Tài liệu học tập 99 Đề thi cuối kỳ năm học từ K50 đến 100 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn TÀI LIỆU HỌC TẬP  Sách, giáo trình : [1] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS TS Trần Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS TS Nguyễn Xn Thảo Tốn học cao cấp tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2015, 424 trang [2] GS TS Nguyễn Đình Trí (chủ biên), PGS TS Trần Việt Dũng, PGS TS Trần Xuân Hiển, PGS TS Nguyễn Xuân Thảo Bài tậpTốn học cao cấp tập 2: Giải tích, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2017, 412 trang PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn [3] Nguyễn Xuân Thảo, Bài giảng Giải tích I, 2019 [4] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Toán học cao cấp tập 3: Phép tính giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2003, 276 trang [5] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đĩnh, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập tốn học cao cấp tập 2: Phép tính giải tích biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 2000, 256 trang [6] Nguyễn Đình Trí (chủ biên), Tạ Văn Đình, Nguyễn Hồ Quỳnh, Bài tập tốn học cao cấp tập 3: Phép tính PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn giải tích nhiều biến số, NXB Giáo dục, Hà Nội, 1999, 499 trang  Sách tham khảo: [1] Trần Bình, Giải tích I, Phép tính vi phân tích phân hàm biến, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 1998, 359 trang [2] Trần Bình, Giải tích II III, Phép tính vi phân tích phân hàm nhiều biến, NXB Khoa học kỹ thuật, Hà Nội, 2005, 575 trang 10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x x b) (K59) f ( x )   , ( ,0] x x 4 ( y  log2 : [2;  )  ( ;0]) x x c) (K63) f ( x )   , x  x x 4 ( y  log2 ) GIẢI x +) y   x 2; 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x x 2x x y     y 1  +) 2 y  y 4 y  y 4   x  log2 0 2 x x x 4 +) y  log2 hàm ngược cần tìm x 1 d) (K64) f ( x )  x  e , g ( x )  2x  1 1 1 Tính (f  g  g  f )(0) (0) GIẢI x 1 1 1   1 ( f  g  g  f )(0)  f ( g ( g (f (0)))) +) 34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x 1 1 y 1 y x  g (1)  +) 2x  2y  f g 1 g 1 f 1 +)      (f 1 g 1 g 1  f )(0)  35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn § 1.4 HÀM SỐ SƠ CẤP Định nghĩa Các hàm số sơ cấp x, x a , logax, sinx, cosx, tanx, cotx, hàm lượng giác ngược Các hàm số sơ cấp a) y = x, TXĐ: phụ thuộc , đồ thị  (1 ; 1),   x b) y = a , < a  1, TXĐ:  , TGT: y > 0, đồng biến a > 1, nghịch biến a < ax + y =ax ay , ax  y = ax / a y c) y = logax, < a  1, TXĐ: x > 0, TGT:  , đồng biến a > 1, nghịch biến a < 36 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x logaxy = loga|x| + loga|y|, loga = loga|x|  loga|y|, y logax =  loga|x|; y y = logax có hàm ngược x = a d) Các hàm lượng giác y = sinx, y = cosx, y = tanx, y = cotx e) Các hàm lượng giác ngược    +) y = arcsinx: [1 ; 1]    ;  hàm ngược  2 hàm y = sin x +) y = arccosx: [1 ; 1]  [0 ; ] hàm ngược hàm y = cosx 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn    +) y = arctanx: ( ; )    ;  hàm ngược  2 hàm y = tan x +) y = arccotx : ( ; )  (0 ; ) hàm ngược hàm y = cotx f) Các hàm hyperbolic e x  e x +) y = sinhx = hàm sin-hyperbolic x +) y = coshx = +) y = tanhx = e x  e x hàm cosin-hyperbolic sinhx e x  e  x  x cosh x e  e  x hàm tan-hyperbolic x 38 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +) y = cothx = thao.nguyenxuan@hust.edu.vn coshx e x  e  x  x sinh x e  e  x hàm cotan-hyperbolic x Các hàm hyperbolic có số tính chất tương tự hàm lượng giác, cụ thể : 2 +) cosh x  sinh x  CM 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  x 2 x e e e e cosh x  sinh x        2     ( 2)  1 +) cosh2x  2cosh2 x   2sinh2 x  2 +)  x  cosh2 x +) +) cosh2x  cosh2 x  sinh2 x +)  x 2 coth x   sinh2 x coth x   sinh2 x +) sinh( x  y )  sinhx cosh y  sinh y cosh x +) sinh x  sinh x cosh x +) cosh( x  y )  coshx cosh y  sinh x sinh y 40   PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn tanhx  y +) tanh( x  y )   x y t anhx +) 2x   tanh2 x Hàm số sơ cấp Định nghĩa Tạo nên từ hàm số sơ cấp số hữu hạn phép tổng, hiệu, tích, thương, phép lấy hàm hợp số Ví dụ y  x+sinx GIẢI 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) h  x, f ( x )  x, g ( x )  sinx  y  h  (f  g )( x ) +) Nên y hàm số sơ cấp Ví dụ y = |x| x Ví dụ y  sin t 2dt  § 1.5 DÃY SỐ  Đặt vấn đề -) Thỏ đuổi rùa: Thỏ cách đích S, rùa cách đích S/2, sau thỏ rùa ½ qng đường từ đến đích Hỏi thỏ đuổi kịp rùa? 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Định nghĩa x1, x2, , xn, , xi   Giới hạn a) Định nghĩa lim xn  a, a      > 0, bé tuỳ ý,  N():  n > n  N() có |xn  a| <  Định nghĩa lim xn     M > 0, lớn tuỳ ý,  N:  n > N có n  |xn| > M, ta nói dãy số phân kì b) Tính chất 1) lim xn  a , a > p (a < p)  N: n > N có xn > n  p (xn < p) 43 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2) lim xn  a , xn  p (xn  p)  a  p (a  p) n  3) lim xn  a , lim xn  b  a = b n  n  4) lim xn  a  M > 0: |xn|  M, n n  c) Phép tốn Có lim xn  a , lim y n  b , ta có n  n  xn a lim  xn  y n   a  b ; lim  xn y n   ab ; lim  , n  y n n  n  b b  0, yn  0,  n d) Các tiêu chuẩn tồn giới hạn 1) Tiêu chuẩn đơn điệu bị chặn  dãy đơn điệu tăng (giảm) bị chặn (dưới)  có giới hạn 44 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2) Tiêu chuẩn kẹp Có xn  yn  zn, lim xn  a  lim zn  lim y n  a n  n  n  3) Tiêu chuẩn Cauchy  lim xn  a    > 0, n  N(): m, n > N() có |xm  xn| <  Ví dụ Cho dãy xn: x1  2, xn 1   xn Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn GIẢI 45 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)  x1  2, ,1  xn 1  +) xn 1  xn   xn  xn   (1  xn )(2  xn )  x n  xn  xn  xn2  xn  xn   xn 1  xn  lim xn  a  [1;2] n  +) n     a   a  a  a    a  1  Ví dụ Cho dãy xn: x1  0, xn 1   xn  2 xn  Chứng minh {xn} hội tụ tìm giới hạn 46 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 3.(K65) x1  x2   xn 1) Cho lim xn  a Tính lim n  n  xn 2) Cho xn  0, n   lim xn  a Tính (a) n  lim n  n (a) x1x2 xn HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 47 ... BIẾN SỐ Bài Hàm số, dãy số Bài Giới hạn, liên tục Bài Đạo hàm vi phân 16 Bài Đạo hàm vi phân cấp cao, định lí hàm khả vi 22 Bài Định lí hàm khả vi ứng dụng 27 Bài Khảo sát hàm số ... PHÉP TÍNH TÍCH PHÂN HÀM MỘT BIẾN SỐ Bài Tích phân bất định 39 Bài Tích phân xác định 43 Bài Tích phân xác định, tích phân suy rộng 48 Bài 10 Tích phân suy rộng 56 Bài 11 Ứng dụng tích phân... CHƯƠNG III HÀM NHIỀU BIẾN SỐ Bài 12 Hàm nhiều biến 68 Bài 13 Đạo hàm riêng vi phân74 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Bài 14 Đạo hàm riêng vi phân cấp cao, cực trị 80 Bài 15 Cực