Giải tích 1 bài 3 đạo hàm và vi phân

PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn GIẢI TÍCH I BÀI §1.9 ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN  Đặt vấn đề  Bài tốn phép tính vi phân là: tính độ dốc tiếp tuyến I Định nghĩa f(x) xác định U  x0 , f'(x0) = a f ( x0   x )  f ( x0 )  lim  a   x 0 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ y = 2010, tính y' Ví dụ y = x , tính y' GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 3 ( x0   x )  ( x0 ) +) y ( x0 )  lim   x 0 x 2 3 x0  x  x0  x  x x0  x +)  lim  lim  x02  x 0  x 0  x x x Ví dụ y = a , < a  1, tính y' Ví dụ y = |x|, xét y'(0), y'(-1) GIẢI PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  x, x  +) y ( x )    y ( 1)  1   x, x  +) y (0)  lim  x 0  x  x x  lim  x 0  x  1,  x    1,  x  Hàm số khơng có đạo hàm x=0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn a) Ý nghĩa hình học f'(x0) hệ số góc tiếp tuyến với đồ thị hàm số y = f(x) x = x0 b) Ý nghĩa học Xét chất điểm M chuyển động thẳng, khơng với qng đường S(t) tính từ điểm O Khi vận tốc tức thời t0 S (t )  S(t ) v (t0 )  lim  S(t0 ) t  t0 t  t0 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Một người xe máy với vận tốc 30km/h nửa đoạn đường 20km/h nửa thứ hai Hỏi vận tốc trung bình bao nhiêu? (26 km/h, 25 km/h; 24 km/h, 23 km/h) Ví dụ Một tên lửa bắn thẳng lên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v0 m/s đạt độ cao t giây S = tv0  16t a) Tìm vận tốc thời điểm t b) Mất để tên lửa đạt tới độ cao tối đa? c) Tính vận tốc tên lửa chạm đất d) Vận tốc ban đầu để tên lửa chạm đất sau bắn 15 giây PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn dy c) Ý nghĩa thực tế tốc độ biến đổi y theo dx x Ví dụ Cho hình trịn bán kính r, ta có S = r , ta có S' = 2r Như tốc độ biến đổi diện tích hình trịn theo bán kính chu vi Ví dụ Một thang dài 13ft đứng dựa vào tường chân thang bị trượt xa tường với tốc độ không đổi 6ft/s Đầu thang chuyển động xuống nhanh chân thang cách tường 5ft ? PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Người ta hút dầu khỏi thùng để làm Biết sau hút t phút lượng dầu lại thùng V = 40(50  t) lít a) Tìm lượng dầu hút trung bình 20 phút 2 40.50  40.30 (v tb   3200 (l/p)) 20 b) Tìm tốc độ dầu hút khỏi thùng thời điểm t = 20 phút (v  20   (40.502  v )t 20  2400 (l/p)) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ 10 Một thùng hình nón với đỉnh phía có chiều cao 12 ft đường kính đáy 12ft bơm đầy nước với tốc độ khơng đổi 4ft /phút Hãy tính tốc độ biến đổi chiều cao cột nước a) nước sâu 2ft ( y   2  )  b) nước sâu 8ft (y  8  ) 16 Ví dụ 11 a)(K57) Chứng minh rằng: 2x 1) 2arctan x  arcsin  ,  x  1 x PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2x 5 2) 2arccot x  arccos  ,  x   1 x   xar cot x  b)(K58)Tính f ( x ), biết : f ( x )   x  x 0  2x x  ar cot  (f ( x )   ) x 1 x4  x 0  10 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) Do f chẵn, nên có d d f (  x )  f ( x ), x  f ( x )  f (x) dx dx d d df ( x ) +) f ( x )  ( x )   f (  x )  f ( x ) d ( x ) dx dx  f ( x ) hàm lẻ - Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn (K58) - Đạo hàm hàm tuần hồn hàm tuần hồn có chu kì Ví dụ y = x xx , tính y’ 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ (K53) Chứng minh a) arctan x  arctan( x  2)  4arctan( x  1), x  b) 2arccot x  arccot( x  2)  arccot( x  1), x  GIẢI a) 31 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)  arctan( x  2)  arctan( x  1)  arctan( x  1) 3 arctan x (1) +) f (t )  arctan(t  1)  arctan t , t  [x; x  1], x    1  f (t )         (t  1)2  t   (t  1)2  t   t  0, t   f (t ) nghịch biến [x;x+1], f ( x  1)  f ( x )  (1) Ví dụ (K50) 4 a) CMR arctanx  arctany  ln 32 x2 y ,  x, y: x  y > PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 4 b) CMR arccotx  arccoty  ln y x ,  x, y: x  y > Ví dụ (K56) CMR f(x) liên tục với x   x arccot , x  a)f ( x )   x 0, x 0   x arctan , x  b)f ( x )   x 0, x 0 33 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 1    x sin , x   x cos , x  c)f ( x )   d)f ( x )   x x 0, 0, x 0 x 0 Vi phân a) Định nghĩa f(x) xác định U  x0 , có f ( x0 )  Ax   ( x ), A phụ thuộc vào x0 không phụ thuộc vào x, (x) VCB cấp cao so với x ta nói f(x) khả vi x0 có df ( x0 )  Ax Ví dụ y = 2x + 3, tính dy GIẢI 34 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) y ( x )  y ( x  x )  y ( x )  [2( x  x )  3]  [2 x  3] +)  2x   x  A  2, ( x )   x  dy  2x b) Ý nghĩa hình học Nếu A  f ( x )  df ( x ) Nhận xét Ax tuyến tính x nên đơn giản f nhiều c) Ứng dụng tính gần f(x0 + x)  f(x0) + df(x0) 4,01 Ví dụ 1) Tính gần 35 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn 2)(K59) Tính gần  0,06  0,06 3)(K64) Tính gần 7,988 GIẢI 36 (1,02) (1,999) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +) f ( x )  x , x0  8, x  0,012  7,988  f ( x0  x )  f ( x0 )  f ( x0 )x 1 +) f ( x0 )   2, f ( x0 )    x x 8 12 7,988    ( 0,012)  1,999 12 37 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ Một mảnh kim loại hình vng, cạnh 20cm, nung nóng cạnh dãn 0,1cm Tính gần phần diện tích mảnh kim loại dãn d) Liên hệ đạo hàm khả vi f'(x0) = A  df(x0) = Ax d  Ví dụ x  3x  1 2  d x x   d e Ví dụ   d x   x  GIẢI 38 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn x  d e +)  d x   x +)  x   d e    x dx  x ex x  ex 3x x  x    d e     x dx  x  e x ( x  1) 3x , x  e) Tính bất biến vi phân cấp y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi  dy = f'(x)dx Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao (n) (n  1) Định nghĩa f (x) = (f (x))' , n  Ví dụ 39 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo  y=x , y thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (n )   (  1) (  n  1)x   n  y = sinx, y  sin  x  n   2   n  y = cosx, y  cos  x  n   2 (n)  n ,   (n) f (x), g (x) có (n) (n) (n) 1) (f(x)  g(x)) = f (x)  g (x) Quy tắc  n 2)  f  x  g  x   n   k  k     n k    Cn f x g x k 0 (Quy tắc Leibnitz) 40 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn (5) Ví dụ y = x lnx, tính y (20) Ví dụ y = sinax cosbx, tính y (30) Ví dụ y = x cosx, tính y (n) Ví dụ y  , tính y x 1 Ví dụ a)(K50) Tính y(n), n    2x n 2 x    n   2x  ) 1) y  x ( 2 e e  n  !3n 1  x  n ) 2) y  x ln(1  x ) ( 1  x n GIẢI 1) 41 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn +)f ( x )   x, g ( x )  e 2 x  g ( k ) ( x )  ( 2)k e 2 x , 1  x, k   (k ) f ( x )   2, k    0, k   n  f (n) ( x )   Cnk f ( k ) ( x )g ( n k ) ( x ) k 0   Cnk f ( k ) ( x )g ( n k ) ( x ) k 0 +) n 2 x  Cn (1  x )( 2) e n 1 2 x  Cn ( 2)( 2) e 42 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn  (1  x )( 2)n e 2 x  n( 2)n e 2 x  ( 2)n e 2 x (n   x ) b (K63) Cho ( 51! 52 ( x  1) f (x)  x  2x  , x  1) GIẢI 43 Tính y (50) ( x ) PGS TS Nguyễn Xuân Thảo +)f ( x )  thao.nguyenxuan@hust.edu.vn , ( x  1) 50 ( 1)  51! 51! (50) +)f (x)   , x  ( x  1)52 ( x  1)52 HAVE A GOOD UNDERSTANDING! 44 ... 10 0  m / s 2 dt 10 0 4 R dt 4 (50) 2x 2) Tính đạo hàm y  arctan , x  ? ?1 1 x ( ) 1? ?? x Đạo hàm phía, mối liên hệ với liên tục, đạo hàm hàm ngược a) Đạo hàm phía Định nghĩa 13 PGS TS Nguyễn... 3x x  x    d e     x dx  x  e x ( x  1) 3x , x  e) Tính bất biến vi phân cấp y = f(x) khả vi, x = (t) khả vi  dy = f'(x)dx Đạo hàm vi phân cấp cao a) Đạo hàm cấp cao (n) (n  1) ... f ( x ) hàm lẻ - Đạo hàm hàm lẻ hàm chẵn (K58) - Đạo hàm hàm tuần hoàn hàm tuần hoàn có chu kì Ví dụ y = x xx , tính y’ 30 PGS TS Nguyễn Xuân Thảo thao.nguyenxuan@hust.edu.vn Ví dụ (K 53) Chứng