Phép tính vi phân, tích phân và tính toán gần đúng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN VÀ TÍNH TỐN GẦN ĐÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Đà Nẵng - 2020 ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN THỊ HẢI YẾN PHÉP TÍNH VI PHÂN, TÍCH PHÂN VÀ TÍNH TỐN GẦN ĐÚNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8.46.01.13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS HOÀNG NHẬT QUY Đà Nẵng - 2020 LỜI CẢM ƠN Luận văn thực Trường Đại học sư phạm - Đại học Đà Nẵng hoàn thành hướng dẫn TS Hoàng Nhật Quy Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn khoa học mình, người đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều tâm huyết, thời gian hướng dẫn tận tình giải đáp thắc mắc em suốt trình làm luận văn Em xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học sư phạm, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán, giảng viên tham gia giảng dạy, tạo điều kiện tốt để em học tập nghiên cứu Đồng thời, em xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp cao học Tốn K36 (khóa 2017-2019), cảm ơn gia đình bạn bè động viên giúp đỡ em nhiều trình học tập Đà Nẵng, ngày 01 tháng 11 năm 2019 Học viên Nguyễn Thị Hải Yến Mở đầu Lý chọn đề tài Sự phát triển Tốn học có bước thăng trầm thời điểm lịch sử, song kết mà đạt rực rỡ vào kỷ XX, phát triển ngành Giải tích tốn học Sự đời ngành Giải tích tốn học, đặc biệt ngành Giải tích hàm giúp cho toán thực tế sống, vật lý, khoa học, kỹ thuật, giải nhanh gọn xác Ngành giải tích tốn học nghiên cứu nhiều lĩnh vực như: lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi tích phân, Mỗi lĩnh vực có tầm quan trọng việc nghiên cứu ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân, tích phân phần Giải tích Phép tính vi phân, tích phân lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn cuối kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Sự đời phép tính vi – tích phân đưa tốn học sang giai đoạn – giai đoạn toán cao cấp – gần kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp đơn [8]; từ đối tượng nghiên cứu số hình dạng tĩnh tại, tốn học bước sang nghiên cứu đối tượng trình vận động biến đổi Ngày nay, với phát triển khoa học cơng nghệ, lý thuyết phép tính vi – tích phân lại có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế sống nghiên cứu khoa học Engels viết: “Chỉ có phép tính vi phân đem lại cho khoa học tự nhiên khả miêu tả tốn học khơng trạng thái mà trình” Và trình giải phương trình, tính tích phân, ta biết có số phương trình, tích phân tìm nghiệm tính giá trị xác Do vậy, vấn đề đặt tìm cách để xác định nghiệm gần tính gần giá trị phương trình tích phân Xuất phát từ nhu cầu đó, nhà Tốn học tìm nhiều phương pháp tính tốn gần Với mong muốn tìm hiểu nghiên cứu sâu vấn đề này, hướng dẫn thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy mạnh dạn chọn đề tài nghiên cứu: “Phép tính vi phân, tích phân tính tốn gần đúng” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài hệ thống hóa lại kiến thức phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng dụng phép tốn việc tính tốn gần giá trị hàm số, nghiệm phương trình tính số loại tích phân hàm biến thực Đối tượng phạm vi nghiên cứu • Đối tượng nghiên cứu: Đề tài nghiên cứu phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng dụng phép tính việc tính tốn gần • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận văn thuộc lĩnh vực giải tích tốn học, cụ thể ứng dụng để tính gần tốn vi phân, tích phân Phương pháp nghiên cứu Xây dựng đề cương nghiên cứu, tìm kiếm tài liệu liên quan tới đề tài Dựa vào đề cương trao đổi với giảng viên hướng dẫn để hoàn thiện kết nghiên cứu Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu kết luận, luận văn chia làm chương: ˆ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương chủ yếu trình bày khái niệm phép tính vi phân hàm hay nhiều biến số định nghĩa, tính chất tích phân = ln |t − 1| − ln |t + 1| 2 = ln − ln + ln = ln + ln Như vậy, a = 2, b = ta suy 2a2 + ab + b2 = 2.22 + 2.1 + 12 = 11 Tích phân có nhiều ứng dụng quan trọng vật lỹ, kỹ thuật, xây dựng Ở đây, ta đưa ứng dụng thường gặp toán học Thứ tính diện tích hình phẳng giới hạn đồ thị đường cong trục hồnh khoảng hữu hạn Thứ hai tính thể tích vật thể trịn xoay thiết diện mặt cắt vng góc thay đổi hay vật tròn xoay giới xác định quay đường cong xung quanh trục hoành Thứ ba tính độ dài dây cung hay độ dài đường cong đoạn hữu hạn biết phương trình đường cong Trong phần sau đây, ta xét tích phân mà khoảng lấy dấu tích phân vơ hạn, hay cịn gọi tích phân suy rộng loại Giả sử hàm f (x) xác định [a, +∞), khả tích đoạn hữu hạn [a, b] Khi đó, Z +∞ Z f (x)dx = lim a b→+∞ 17 b f (x)dx a Tương tự ta có Z b Z b f (x)dx = lim a→−∞ −∞ Z f (x)dx, a +∞ Z f (x)dx = −∞ b lim a→−∞,b→+∞ f (x)dx a Khi giá trị tích phân suy rộng hữu hạn ta nói tích phân hội tụ, giá trị tích phân ±∞ ta nói tích phân suy rộng phân kỳ Nói chung, để tính tốn giá trị tích phân suy rộng, ta thực tích phân xác định thơng thường lấy giới hạn Tích phân suy rộng có tính chất giống tích phân xác định đoạn hữu hạn 1.6 Định nghĩa tích phân bội tính chất Trong phần cịn lại chương này, chúng tơi trình bày khái niệm tính chất tích phân bội Tích phân bội gồm có có tích phân kép tích phân bội ba Nói thêm định nghĩa tính chất tích phân bội ba giống với tính phân kép nên để đơn giản hóa, ta trình bày khái niệm tính chất tích phân bội ba Định nghĩa 1.6.1 Cho hàm số z = f (x, y) xác định miền đóng, bị chặn D ⊂ R2 Chia tùy ý miền D thành n miền nhỏ không chồng lấn lên Gọi ∆Si diện tích miền di đường kính miền ∆Si , i = 1, n Đặt In = n X f (xi , yi )∆Si , i=1 (xi , yi ) tọa độ điểm Mi nằm miền thứ i (điểm Mi lấy bất kỳ) Tổng In tổng tích phân hàm f (x, y) miền D ứng với phân hoạch cách chọn điểm Mi Nếu n → +∞ max di → mà In tiến tới giá trị hữu hạn xác định I , giá trị I không phụ thuộc vào cách chia miền D cách chọn Mi 18 I gọi tích phân kép hàm f (x, y) miền D ký hiệu ZZ I= f (x, y)dS D Tích phân kép có tính chất giống tích phân xác định đoạn hữu hạn Sau đây, ta nhắc lại số tính chất tích phân kép ˆ Với f (x, y) khả tích miền D k số thực khác ZZ ZZ kf (x, y)dxdy = k D f (x, y)dxdy; D ˆ Nếu f (x, y), g(x, y) hàm khả tích miền D ZZ ZZ ZZ (f (x, y) + g(x, y)) dxdy = D f (x, y)dxdy + D g(x, y)dxdy; D ˆ Với f (x, y) hàm khả tích miền D D chia thành hai miền D1 , D2 không chồng lấn lên ta có ZZ ZZ ZZ f (x, y)dxdy = f (x, y)dxdy + f (x, y)dxdy; D D1 D2 ˆ Nếu f (x, y) ≤ g(x, y) với (x, y) ∈ D ZZ ZZ f (x, y)dxdy ≤ D g(x, y)dxdy; D ˆ Nếu m ≤ f (x, y) ≤ M với (x, y) ∈ D ký hiệu SD diện tích miền D ta có mSD ≤ ZZ f (x, y)dxdy ≤ M SD ; D 19 ˆ Nếu z = f (x, y) hàm liên tục miền D đóng, bị chặn D tồn điểm (α, β) ∈ D cho ZZ f (x, y)dxdy = f (α, β)SD D Tính chất cuối mà ta vừa trình bày cịn gọi định lý giá trị trung bình tích phân kép Để tính tốn tích phân kép, người ta thường vận dụng định lý Fubini để đổi thứ tự lấy tích phân sử dụng cơng thức đổi biến tọa độ cực Để chi tiết, ta xét ví dụ sau Ví dụ 1.6 Xét tích phân kép ZZ (a) Tính I = (x+y)dxdy với D miền giới hạn y = x, y = 2−x2 D y −2 x −2 Ta xác định cận cách giải phương trình x = − x2 , suy x = x = −2 Dựa vào đồ thị, ta xác định cận sau  −2 ≤ x ≤ x ≤ y ≤ − x2 Vậy ta có tích phân cần tính  Z Z 2−x2 Z 1 2−x2 I= (x + y)dydx = xy + y dx x −2 x −2  Z 1 x 161 = − x − x + 2x + dx = 2 12 −2 20 ZZ (b) Tính I = ex +y dxdy miền D giới hạn x2 + y ≤ D Ta thấy miền D hình trịn bán kính nên ta đổi biến sau  x = r cos φ y = r sin φ với miền xác định ≤ r ≤ 1, ≤ φ ≤ 2π dxdy = |J|drdφ = rdrdφ Nên ta có tích phân Z Z 2π Z 21 er d(r2 ) er rdrdφ =2π I= 0 =πer = π(e − 1) 21 ... cứu: ? ?Phép tính vi phân, tích phân tính tốn gần đúng” cho luận văn tốt nghiệp Mục tiêu nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài hệ thống hóa lại kiến thức phép tính vi phân, phép tính tích phân ứng... phép tính tích phân ứng dụng phép tính vi? ??c tính tốn gần • Phạm vi nghiên cứu: Phạm vi nghiên cứu luận văn thuộc lĩnh vực giải tích tốn học, cụ thể ứng dụng để tính gần tốn vi phân, tích phân. .. niệm phép tính vi phân hàm hay nhiều biến số định nghĩa, tính chất tích phân ˆ Chương Các tính tốn gần liên quan tới phép tính vi phân, tích phân Nội dung chương đưa phương pháp, thuật toán xấp