Ứng dụng của đạo hàm và tích phân trong tính toán gần đúng

ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ————— LÊ THỊ DIỄM HẰNG ỨNG DỤNG CỦA ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN TRONG TÍNH TỐN GẦN ĐÚNG KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP Người hướng dẫn khố luận: TS Hồng Nhật Quy Đà Nẵng, 05/2023 Mục lục MỞ ĐẦU Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 Đạo hàm hàm số biến số Vi phân hàm số biến số 1.3 1.4 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số Vi phân hàm số nhiều biến số 12 1.5 1.6 Tích phân hàm số biến số Tích phân hàm số nhiều biến số 14 17 Một số tính tốn gần liên quan tới đạo hàm tích phân 20 2.1 2.2 Xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm biến số Xấp xỉ tuyến tính vi phân hàm nhiều biến số 20 23 2.3 2.4 Xấp xỉ toàn phương hàm nhiều biến số Phương pháp Newton 26 27 2.5 2.6 Tính gần tích phân hàm biến số Tính gần tích phân suy rộng loại 31 35 2.7 Tính gần tích phân bội 38 Tài liệu tham khảo 43 LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên, em chân thành xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, cô giáo Trường Đại học Sư Phạm - Đại học Đà Nẵng, đặc biệt thầy, khoa Tốn tạo điều kiện cho em thực Khóa Luận Tốt Nghiệp Trong thời gian vừa rồi, nhờ có quan tâm giúp đỡ, hướng dẫn tận tình tâm huyết TS Hoàng Nhật Quy, em hiểu thêm nhiều kiến thức khơng xoay quanh Khóa Luận mà cịn biết thêm vấn đề thú vị Toán học nữa! Một lần em xin chân thành cảm ơn thầy! Có lẽ kiến thức vơ hạn mà tiếp nhận kiến thức thân người ln tồn hạn chế định Do đó, q trình hồn thành Khóa Luận Tốt Nghiệp, chắn khơng tránh khỏi thiếu sót Bản thân em mong nhận góp ý đến từ để Khóa Luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn MỞ ĐẦU Lý lựa chọn đề tài Phép tính vi phân, tích phân lĩnh vực nghiên cứu quan trọng toán học, thành tựu bật giai đoạn cuối kỷ XVII Isaac Newton Gottfried Wilhelm Leibniz Sự đời phép tính vi – tích phân đưa tốn học sang giai đoạn – giai đoạn toán cao cấp – gần kết thúc giai đoạn toán học sơ cấp đơn thuần; từ đối tượng nghiên cứu số hình dạng tĩnh tại, tốn học bước sang nghiên cứu đối tượng trình vận động biến đổi Ngày nay, với phát triển khoa học công nghệ, lý thuyết phép tính vi – tích phân lại có nhiều ứng dụng quan trọng thực tế sống nghiên cứu khoa học Engels viết: “Chỉ có phép tính vi phân đem lại cho khoa học tự nhiên khả miêu tả tốn học khơng trạng thái mà trình” Trong chương trình tốn học phổ thơng, đạo hàm tích phân nội dung bắt buộc có nhiều ứng dụng hình học Trong chương trình tốn cao cấp, đạo hàm tích phân ứng dụng nhiều toán lý thuyết toán kỹ thuật Nội dung ứng dụng đạo hàm tích phân chương trình đào tạo đại học đa dạng Phép tính vi phân tích phân hàm biến, Hàm số đạo hàm ứng dụng, Nguyên hàm, đạo hàm ứng dụng Với mong muốn tìm hiểu sâu lý thuyết đạo hàm tích phân đặc biệt ứng dụng tính tốn gần hướng dẫn thầy giáo TS Hoàng Nhật Quy, em chọn đề tài nghiên cứu "Ứng dụng đạo hàm tích phân tính tốn gần đúng" cho khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Mục tiêu nghiên cứu đề tài ứng dụng đạo hàm tích phân tính tốn gần khó tính phương pháp giải tích thực Đối tượng phạm vi nghiên cứu a Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu đề tài lý thuyết đạo hàm tích phân, tốn tích phân hàm biến, tích phân hàm nhiều biến tích phân suy rộng loại tính tốn gần b Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu đề tài thuộc lĩnh vực tốn giải tích Cấu trúc luận văn Cấu trúc luận văn gồm phần sau đây: • Mở đầu: • Phần nội dung: Nội dung luận văn gồm có chương cụ thể sau: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương trình bày định nghĩa đạo hàm, đạo hàm riêng vi phân hàm số Các kiến thức chương bổ trợ cho phần nghiên cứu Chương Chương 2: Ứng dụng đạo hàm tích phân tính tốn gần Trình bày phép tốn tính gần vi, tích phân Và áp dụng tính tốn gần vi phân tích phân để tính số dạng tích phân như: tích phân hàm biến, tích phân suy rộng loại 1, tích phân bội • Kết luận • Tài liệu tham khảo Chương Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, trình bày định nghĩa đạo hàm, đạo hàm riêng vi phân hàm số Phần cuối chương, đưa khái niệm số tính chất tích phân, tích phân bội Đây sở lý thuyết quan cho nội dung chương Nội dung chương chủ yếu tham khảo từ tài liệu [4], [6] 1.1 Đạo hàm hàm số biến số Trước vào định nghĩa đạo hàm, ta nhắc lại khái niệm hàm số Giả sử cho tập D ⊆ R, quy tắc f đó, tương ứng với giá trị x ∈ D ta có giá trị y ∈ R ta nói ta có hàm số y = f (x) x gọi biến số Định nghĩa 1.1.1 Giả sử hàm số f (x) xác định khoảng mở (a, b) x0 ∈ (a, b) Nếu tồn giới hạn hữu hạn f (x) − f (x0 ) = A, A ∈ R, x→x0 x − x0 lim giới hạn A gọi đạo hàm f (x) điểm x0 kí hiệu ′ f (x0 ) Khi đó, ta nói f khả vi điểm x0 Nếu gọi ∆x = x − x0 số gia biến số ∆f = f (x) − f (x0 ) ′ số gia hàm số f (x0 ) = lim∆x→0 ∆f ∆x Chú ý giới hạn Định nghĩa 1.1.1 giới hạn hai phía Nếu ta xét x → x0 phía ta có khái niệm đạo hàm phía Nói cách khác, hàm số f (x) có đạo hàm phải ′ x0 , ký hiệu f+ (x0 ) tồn giới hạn hữu hạn lim+ x→x0 ∆f f (x) − f (x0 ) ′ = lim+ = f+ (x0 ), x − x0 x→x0 ∆x ′ có đạo hàm trái điểm x0 , ký hiệu f− (x0 ) tồn giới hạn hữu hạn ∆f f (x) − f (x0 ) ′ = lim− = f− (x0 ) lim− x − x0 x→x0 ∆x x→x0 Nói riêng, điều kiện cần đủ để f (x) có đạo hàm điểm x0 tồn ′ ′ đạo hàm phải, đạo hàm trái f+ (x0 ) = f− (x0 ) Tuy nhiên, ta đưa điều kiện cần để hàm số khả vi điểm yếu điều kiện Đó ta cần hàm số liên tục Nếu hàm số khơng liên tục chắn hàm số khơng khả vi liên tục chưa khả vi Tuy nhiên, chiều ngược lại hàm số khả vi điểm suy hàm số liên tục điểm Hơn nữa, hàm số khả vi điểm có đạo hàm liên tục điểm ta nói hàm số khả vi liên tục điểm Sau đây, ta đưa số tính chất đạo hàm Với f, g hàm số khả vi, ta có ′ ′ ′ • (f + g) = f + g ; ′ ′ ′ • (f g) = f g + g f ;  ′ ′ ′ g • fg = f g−f ; g2 ′ ′ ′ • Đạo hàm hàm hợp (f (u(x))) = f (u)u (x); • Đạo hàm hàm ngược: y = f (x) đơn điệu lân cận điểm x0 ′ có đạo hàm khác điểm x0 x (y) = f ′ (x 0) ′ ′ Giả sử hàm số f (x) có đạo hàm f (x) điểm x ∈ (a, b), hàm f (x) lại có đạo hàm đạo hàm gọi đạo hàm cấp hai f (x) ′′ ′′ điểm x0 , ký hiệu f (x0 ) Nói khác đi, đạo hàm cấp hai f (x) f (x) ′ đạo hàm đạo hàm cấp f (x) Một cách tổng quát, người ta gọi đạo hàm cấp n hàm f (x) x = x0 (nếu tồn tại) đạo hàm đạo hàm cấp n − ký hiệu f (n) (x) Nói chung, tính tốn đạo hàm, người ta sử dụng định nghĩa để tính tốn, thơng thường người ta sử dụng đạo hàm Ví dụ 1.1.1 Tính đạo hàm trái, đạo hàm phải hàm số f (x) = √ − e−x2 x = Ta xét giới hạn f (x) − f (0) lim = lim x→0 x→0 x−0 √ e−x2 1− −0 = lim x→0 x−0 ′ s − e−x2 |x| x2 x ′ Khi x → 0+ f+ (0) = cịn x → 0− f− (0) = −1 Như vậy, hàm số không tồn đạo hàm điểm x = 1.2 Vi phân hàm số biến số Định nghĩa 1.2.1 Giả sử f (x) hàm xác định lân cận điểm x = x0 Nếu lân cận điểm x0 , số gia ∆f hàm số, tương ứng số gia ∆x biến số viết dạng ∆f = A∆x + o(∆x), A ∈ R đại lượng phụ thuộc vào x0 hàm f mà khơng phụ thuộc vào ∆x cịn o(∆x) vơ bé cấp cao so với ∆x đại lượng A∆x gọi vi phân hàm f (x) điểm x0 ký hiệu df = A∆x Ta thấy rằng, A∆x vô bé cấp so với ∆x cịn o(∆x) vơ bé cấp cao Số gia ∆f tổng hai vơ bé cấp khác nên tương đương với vơ bé cấp thấp Nói cách khác, A∆x thành phần ∆f Như vậy, hàm số f (x) có vi phân df điểm x0 Hơn nữa, điều kiện cần đủ để hàm số f (x) khả vi điểm x0 có đạo ′ hàm hữu hạn f (x0 ) ′ df = f (x0 )∆x Thật vậy, từ định nghĩa vi phân, ta chia hai vế cho ∆x o(∆x) ∆f =A+ ∆x ∆x Cho ∆x → 0, o(∆x) vô bé cấp cao so với ∆x nên o(∆x) = ∆x→0 ∆x lim Từ đây, ta suy ∆f ′ = A = f (x0 ) ∆x→0 ∆x lim ′ Như vậy, df = f (x0 )∆x Sau đây, ta đưa số tính chất quy tắc tính vi phân Với u, v hàm số C số, ta có: • dC = 0; • d(Cu) = Cdu; • d(u + v) = du + dv; • d(uv) = udv + vdu; ; • d( uv ) = vdu−udv v2 ′ ′ • Vi phân hợp: Nếu f = f (u(t)) df = f (u)u (t)dt Tương tự đạo hàm ta có vi phân cấp cao Nếu vi phân df = ′ f (x)dx có vi phân x vi phân gọi vi phân cấp hai f (x) x Cụ thể, ta có ′ ′ ′ d(df ) = d(f (x)dx) = d(f (x))dx + f (x)d(dx) Tiếp tục vậy, vi phân cấp n f (x) vi phân vi phân cấp n − (nếu chúng tồn tại) Ví dụ 1.2.1 Tính vi phân cấp vi phân cấp hai hàm số y = x sin x Ta có vi phân cấp dy = d(x sin x) = xd(sin x)+sin xdx = x cos xdx+ sin xdx = (sin x + x cos x)dx Vi phân cấp hai d2 (y) = d2 (x sin x) = d((sin x + x cos x)dx) = d(sin x + x cos x)dx+(sin x+x cos x)d2 x = (2 cos x−x sin x)dx2 +(sin x+x cos x)d2 x 1.3 Đạo hàm riêng hàm số nhiều biến số Xét hàm hai biến f (x, y) xác định D ⊂ R2 Xét điểm cố định (x0 , y0 ) ∈ D Định nghĩa 1.3.1 Đạo hàm riêng f (x, y) theo x (x0 , y0 ) ký hiệu ∂f ∂x (x0 , y0 ) ′ hay fx (x0 , y0 ), giới hạn hữu hạn (nếu tồn tại) ∂f f (x, y0 ) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim x→x0 ∂x x − x0 f (x0 + ∆x, y0 ) − f (x0 , y0 ) = lim ∆x→0 ∆x ∂f (x0 , y0 ) đạo hàm hàm f (x, y) ∂x riêng theo biến x coi biến y số y = y0 Tương tự, đạo hàm riêng theo y (x0 , y0 ) giới hạn hữu hạn tồn Nói cách khác, đạo hàm riêng ∂f f (x0 , y) − f (x0 , y0 ) (x0 , y0 ) = lim y→y0 ∂x y − y0 f (x0 , y0 + ∆y) − f (x0 , y0 ) = lim ∆y→0 ∆y Ví dụ 1.3.1 Tính đạo hàm riêng ∂f ∂f x , hàm số f (x, y) = sin( 1+y ) ∂x ∂y Ta có đạo hàm riêng theo x       x ∂f x ∂ x = = cos cos ∂x + y ∂x + y 1+y 1+y Đạo hàm riêng theo y       ∂f x ∂ x −x x = = cos cos ∂y + y ∂y + y (1 + y)2 1+y Tổng quát hóa, cho hàm f (x1 , x2 , , xn ) đạo hàm riêng f theo xi (x1 , x2 , , xn ) giới hạn hữu hạn (nếu có) ∂f ′ (x1 , x2 , , xn ) = fxi (x1 , x2 , , xn ) ∂xi f (x1 , x2 , , xn + ∆xi , , xn ) − f (x1 , x2 , , xn ) = lim ∆x→0 ∆xi 10 Với n = ta có x32 + 5x22 + x3 = x2 − 3x22 + 10x2 (−5, 08)3 + 5.(−5, 08)2 + = −5, 077576 = (−5, 08) − 3.(−5, 08)2 + 10.(−5, 08) Nghiệm xác phương trình x = −5, 077574223 Như vậy, sau hai bước lặp ta thu nghiệm xác Tuy nhiên, thật không may lúc phương pháp Newton xấp xỉ cho ta nghiệm xấp xỉ đủ tốt Ta xem hình để chi tiết Định lý sau trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton Định lý 2.4.1 Nếu f ∈ C x1 đủ gần nghiệm xác x∗ f Hơn nữa, f ′ (x∗ ) ̸= phương pháp Newton hội tụ cấp hai đến x∗ Tức tồn số C = |f ′′ (x∗ )/(2f ′ (x∗ ))| cho |xn+1 − x∗ | lim = C n→∞ |xn − x∗ |2 29 Định lý trình bày tốc độ hội tụ phương pháp Newton Nói chung với tốc độ hội tụ cấp hai nhanh ta thực phương pháp với giá trị x1 đảm bảo thuật toán hội tụ Như trình bày, khơng phải lúc phương pháp Newton hội tụ Tuy nhiên, ta chọn điểm x1 ban đầu điểm Fourier phương pháp hội tụ đến nghiệm xác sau số hữu hạn bước Định nghĩa 2.4.1 Điểm x1 gọi điểm Fourier f f (x1 )f ′′ (x1 ) > Trong Định lý 1.4.1, ta phải giả thiết f ′ (x∗ ) ̸= để đảm bảo hội tụ cấp hai Tuy nhiên, f ′ (x∗ ) = tốc độ hội tụ thay đổi Cụ thể, ta có kết sau Định lý 2.4.2 Nếu f ∈ C p+1 với p ≥ x1 đủ gần nghiệm xác x∗ f , đạo hàm f ′ (x∗ ) = = f (p) (x∗ ) = f (p+1) (x∗ ) ̸= phương pháp Newton hội tụ tuyến tính đến nghiệm xác x∗ Nói cách khác, sai số sau bước giảm p/(p + 1) lần Tức p |xn+1 − x∗ | = lim ∗ n→∞ |xn − x | p+1 Ta không chứng minh chi tiết kết Thay vào đó, ta trình bày ví dụ đơn giản sau để làm sáng tỏ định lý √ Ví dụ 2.4.2 Tính phương pháp Newton, tức giải x2 − = Đặt f (x) = x2 − nên ta suy f ′ (x) = 2x bước lặp Newton xn+1 x2n − = xn − , n = 1, 2, 2xn Bắt đầu với x1 = 2, ta kiểm tra f (x)f ′′ (x) = (22 −2).2 > nên √ x1 = điểm Fourier phương pháp đảm bảo hội tụ Đặt en = xn − sai số bước Thực phương pháp sau ba bước cho ta kết bảng 30 √ Sau ba bước, kết ta thu gần so với giá trị √ Chú ý ta chọn x1 > phương pháp hội tụ đến cịn chọn √ x1 < phương pháp hội tụ đến − 2.5 Tính gần tích phân hàm biến số Rất nhiều tích phân biểu diễn nguyên hàm dạng hàm số áp dụng công thức Newton-Leibnitz, chẳng hạn Z e−x dx Tuy nhiên, để tính tốn giá trị tích phân này, người ta sử dụng phương pháp tính gần tích phân với cơng cụ máy tính hỗ trợ Trong mục này, chúng tơi trình bày số phương pháp tính gần tích phân Các kiến thức phần lớn tham khảo từ [1]-[2] Đầu tiên, ta trình bày phương pháp Newton-Cotes Đây phương pháp hai nhà toán học Isaac Newton Roger Cotes đưa Để xấp xỉ tích phân Z b f (x)dx, a ta thay hàm f đa thức nội suy f tích phân đa thức nội suy Bằng cách viết đa thức nội suy dạng Lagrange, tích phân trở thành   Z b Z n n b X Y x − xj   (2.6) f (x)dx ≈ f (xi ) x − x i j a a i=0 j=0,j̸=i Với n = 1, ta thu cơng thức hình thang Tức ta xấp xỉ f đa thức nội suy bậc một, p1 (x) = f (a) x−b x−a + f (b) , a−b b−a 31 ta tích phân p1 (x) thu Z b Z b f (a) (x − b)2 b f (b) (x − a)2 b f (x)dx ≈ p1 (x)dx = |a + |a a−b b−a a a b−a = [f (a) + f (b)] Bằng cách sử dụng định lý giá trị trung bình cho tích phân, ta dễ dàng sai số cơng thức hình thang − (b − a)3 f ′′ (η), η ∈ [a, b] Ví dụ 2.5.1 Sử dụng cơng thức hình thang tính gần tích phân R −x2 dx đánh giá sai số e R2 Ta có e−x dx ≈ e0 + e−4 ≈ 1, 0183 Ta thấy, sai số xấp xỉ − 23 f ′′ (η) với η ∈ [0, 2] Trong trường hợp này, f ′′ (x) = (4x2 − 3)e−x nên giá trị tuyệt đối f ′′ (x) đạt giá trị lớn x = |f ′′ (0)| = Do đó, sai số xấp xỉ khơng vượt q 34 Với n = 2, ta thu công thức Simpson Tức ta sử dụng điểm nội suy x0 = a, x1 = (a + b)/2 x2 = b xấp xỉ f (x) đa thức nội suy bậc hai Đó (x − (a + b)/2)(x − b) p2 (x) = f (a) (a − (a + b)/2)(a − b)   a+b (x − a)(x − b) +f ((a + b)/2 − a)((a + b)/2 − b) (x − a)(x − (a + b)/2) + f (b) (b − a)(b − (a + b)/2) Sau đó, tích phân đa thức nội suy bậc hai lên ta thu công thức xấp xỉ Z b a     b−a a+b f (x)dx ≈ f (a) + 4f + f (b) (2.7) Tương tự cơng thức hình thang, cách sử dụng định lý giá trị trung bình khai triển Taylor, ta chứng minh sai số cơng thức Simpson 2880 (b − a)5 f (4) (ξ) với ξ ∈ [a, b] 32 Ví dụ 2.5.2 Sử dụng cơng thức Simpson xấp xỉ tích phân R2 e−x dx đánh giá sai số R2 Ta có e−x dx ≈ 13 [e0 + 4e−1 + e−4 ] ≈ 0, 8229 Sai số xấp xỉ 2880 f (4) (ξ) với ξ ∈ [0, 2] Bằng cách tính tốn đạo hàm cấp bốn với x ∈ [0, 2] |f (4) (x)| ≤ 12 Do đó, sai số xấp xỉ khơng vượt q 0, 1333 Như vậy, so với việc sử dụng công thức hình thang cơng thức Simpson cho ta độ xác cao nhiều Trong phần mục này, chúng tơi trình bày phương pháp dựa nội suy đoạn Đó phương pháp hình thang hợp Simpson hợp Phương pháp hình thang hợp thu cách chia đoạn [a, b] thành đoạn sử dụng cơng thức hình thang để xấp xỉ tích phân đoạn Cụ thể, ta sử dụng xấp xỉ Z b n Z xi n Z X X f (x)dx = f (x)dx ≈ a i=1 xi−1 i=1 xi pi,1 (x)dx, xi−1 pi,1 (x) đa thức nội suy bậc đoạn [xi−1 , xi ] Z xi Z xi Z xi x − xi−1 x − xi dx + f (xi ) pi,1 (x)dx = f (xi−1 ) xi−1 xi − xi−1 xi−1 xi−1 xi−1 − xi f (xi ) − f (xi−1 ) = (xi − xi−1 ) Khi đó, ta thu cơng thức Z b n X f (xi ) − f (xi−1 ) f (x)dx ≈ (xi − xi−1 ) a i=1 Nếu sử dụng lưới với xi − xi−1 = h với i ta thu công thức Z b a n hX h f (x)dx ≈ (f (xi ) − f (xi−1 ) = [f0 + 2f1 + + 2fn−1 + fn ] (2.8) i=1 với fi = f (xi ) ′′′ Vì đoạn [xi−1 , xi ], sai số − 12 h f (ξ) với ξi ∈ [xi−1 , xi ] Tức sai số đoạn O(h3 ) Vì đoạn [a, b] có tổng cộng (b − a)/h 33 đoạn nên sai số tích phân đoạn [a, b] O(h2 ) Ví dụ sau làm sáng tỏ mức độ xác phương pháp Ví dụ 2.5.3 Sử dụng phương pháp hình thang hợp để xấp xỉ tích phân R2 I = e−x dx đánh giá sai số Kết phương pháp với số giá trị h cụ thể trình bày cụ thể bảng sau Phương pháp Simpson hợp xây dựng hoàn toàn tương tự Sử dụng cơng thức Simpson để xấp xỉ tích phân đoạn Do đó, ta thu cơng thức     Z b n X xi − xi−1 xi + xi−1 f (x)dx ≈ f (xi−1 ) + 4f + f (xi ) a i=1 Sử dụng lưới xi − xi−1 = h với i ta thu cơng thức Z b h f (x)dx ≈ [f0 + 4f1/2 + 2f1 + + 2fn−1 + 4fn−1/2 + fn ] (2.9) a Vì sai số cơng thức Simpson đoạn O(h5 ) nên toàn đoạn [a, b], sai số xấp xỉ tích phân O(h4 ) R2 Ví dụ 2.5.4 Sử dụng cơng thức Simpson hợp xấp xỉ tích phân I = e−x dx với số bước lặp h đánh giá sai số Kết cụ thể cho bảng sau 34 Rõ ràng phương pháp hình thang hợp Simpson hợp cho độ xác cao Với giá trị bước lặp h vừa phải cho giá trị tích phân với độ xác cao 2.6 Tính gần tích phân suy rộng loại Trong định nghĩa tích phân Rb A→+∞ a f (x)dx nói chung, ta coi hàm f xác định khoảng hữu hạn [a, b] giả thiết f có hữu hạn điểm gián đoạn khoảng Trong phần này, mở rộng định nghĩa tích phân, khoảng [a, b] vơ hạn f có vơ số điểm gián đoạn [a, b] Các trường hợp này, tích phân ta gọi tích phân suy rộng Một ứng dụng quan tích phân suy rộng phân bố xác suất Trước vào trình bày phương pháp số cho loại tích phân suy rộng, ta khái lược khái niệm tích phân suy rộng phân loại Trước hết, ta xét hàm số f : [a, +∞) → R khả tích đoạn hữu hạn [a, A], A ≥ A khoảng [a, +∞) Khi đó, tích phân Z +∞ Z A f (x)dx f (x)dx = lim a gọi tích phân suy rộng loại hàm f (x) khoảng [a, +∞) Hoàn toàn tương tự, ta định nghĩa tích phân suy rộng cho hàm f (x) khoảng vô hạn (−∞, b] (−∞, +∞) Tiếp theo, ta trình bày vắn tắt tích phân suy rộng hàm không bị chặn Giả sử f (x) xác định khoảng [a, b) (−∞ < a < b < +∞), không bị chặn lân cận x = b Nói cách khác, tức f (x) → ±∞ x → b Giả thiết rằng, với η > đủ bé cho a < b − η < b, hàm f (x) khả tích đoạn [a, b − η] Z b−η f (x)dx a xác định Khi đó, tích phân Z b Z f (x)dx = lim+ a η→0 35 a b−η f (x)dx gọi tích phân suy rộng loại hàm f (x) khoảng [a, b] Một cách tương tự, ta hồn tồn định nghĩa tích phân suy rộng loại hàm f (x) đoạn [a, b] f (x) → ∞ x → a tích phân suy rộng loại f (x) không bị chặn hai đầu mút x = a x = b Hơn nữa, hàm số f (x) không bị chặn số hữu hạn điểm a ≤ c1 < c2 < < ck ≤ b, ta chuyển tích phân cho thành số hữu hạn tích phân suy rộng loại sau Z b Z c1 Z c2 Z b f (x)dx = f (x)dx + f (x)dx + + f (x)dx a a c1 ck Nói chung, tích phân suy rộng gọi hội tụ giá trị tích phân tồn hữu hạn Tích phân suy rộng gọi phân kỳ giá trị tích RA R b−η phân ∞ giới hạn limA→+∞ a f (x)dx hay limη→0+ a f (x)dx không tồn Tiếp theo, ta trình bày số kỹ thuật để sử dụng phương pháp số tích phân suy rộng Bằng cách đổi biến đó, ta khử điểm suy biến (điểm mà hàm số không bị chặn), sau ta cần áp dụng phương pháp số tích phân xác định trình bày mục trước để thu kết Ta xét ví dụ đơn giản sau Ví dụ 2.6.1 Cho hàm g(x) ∈ C[0, 1] tích phân Z 1 I= x− n g(x)dx, n ≥ Vì n số nguyên dương lớn nên x− n g(x) không bị chặn Để khử điểm suy biến, ta đặt tn = x tích phân trở thành Z I=n tn−2 g(tn )dt, hồn tồn tích phân xác định Tiếp theo, chúng tơi nói khử điểm suy biến Ý tưởng chung thay hàm lấy tích phân f (x) hàm g(x) cho g(x) khả tích đoạn đóng f (x) − g(x) không lớn xung quanh điểm suy biến Điều có nghĩa g(x) có quỹ đạo gần với quỹ đạo f (x) điểm suy biến Cụ thể ta xét ví dụ sau 36 Ví dụ 2.6.2 Xét tích phân Z I= cos x √ dx x Rõ ràng x = điểm suy biến hàm số dấu tích phân khơng bị chặn x = Tuy nhiên, ta tách tích phân thành hai tích phân Z Z cos x − 1 √ dx + √ dx = I1 + I2 I= x x 0 R1 Đối với tích phân thứ ta viết lại sau I = x− dx Bài tồn tính I1 giống Ví dụ 2.6.1 với n = g(x) ≡ Đặt t2 = x 2tdt = dx ta có Z I1 = t2(− ) 2tdt = 2 Đối với tích phân thứ hai, ta xấp xỉ cos x − ≈ − x2 − = − x2 xung quanh điểm x = hàm số dấu tích phân lúc hồn tồn khả tích Phần tiếp theo, ta trình bày xấp xỉ tích phân suy rộng khoảng lấy tích phân vơ hạn hay điểm suy biến ∞ Trước hết, ta ln giả thiết tích phân hội tụ, tức giá trị tích phân hữu hạn Để xấp xỉ tích phân suy rộng có khoảng lấy tích phân vô hạn, thông thường, ta áp dụng tích phân cho khoảng khoảng lấy tích phân Tức là, ta áp dụng phương pháp số trình bày Mục 2.5 cho tích phân thứ phân tích sau Z +∞ Z A f (x)dx = a Z +∞ f (x)dx + a f (x)dx A với A đủ lớn Ta xét ví dụ sau để thấy chi tiết Ví dụ 2.6.3 Xét tích phân Z +∞ I= Như ta biết giải tích, I = phần bù lỗi Nói cách khác, √ e−x √ dx x π.erf c(1) Trong erf c(1) hàm erf (1) = − erf c(1) 37 với erf (1) = √ π Z e−t dt Trong [5], tác giả sử dụng Maple để tính tốn cho kết sau Thực tế, với khoảng lấy tích phân ngắn cho độ xác cao Ta xem giá trị tích phân cần tính đồ thị sau −x miền giới hạn x = 1, đường cong y = e√x trục hoành Dễ dàng thấy được, diện tích tập trung chủ yếu phần đầu, phân diện tích gần 2.7 Tính gần tích phân bội Trong phần cuối này, chúng tơi trình bày phương pháp số để tính gần tích phân bội Để cho đơn giản, xuyên suốt phần giả thiết f (x, y) hàm hai biến x y , khả tích, phương pháp trình bày cho tích phân bội hai Dĩ nhiên, phương pháp hoàn tồn mở rộng cho tích phân bội ba 38 Trước hết, ta xét tích phân bội ZZ Z bZ I= f (x, y)dxdy = R a d f (x, y)dxdy c với R hình chữ nhật R2 xác định R = [a, b] × [c, d] Bằng cách áp dụng phương pháp Simpson hợp, chia đoạn [c, d] thành m (m số nguyên chẵn) đoạn tích phân theo biến y xác định sau   Z d m/2−1 m/2 X X k f (x, y2j ) + f (x, y2j−1 ) + f (x, ym ) f (x, y)dy = f (x, y0 ) + c j=1 j=1 − d − c δ4f k (x, µ), 180 δy d−c m , yj = c + jk với j = 0, 1, , m µ ∈ [c, d] Tiếp theo, ta lại áp dụng cơng thức Simpson hợp cho biến x có   Z b m/2−1 m/2 X X k f (x, y0 ) + f (x, y2j ) + f (x, y2j−1 ) + f (x, ym ) dx I= a j=1 j=1 Z b d − c δ4f − (x, µ)dx k δy a 180 Z m/2−1 Z b X k b = [ f (x, y0 )dx + f (x, y2j )dx a a j=1 k = +4 m/2 Z X j=1 b Z f (x, y2j−1 )dx + a d−c − k 180 b f (x, ym )dx] a Z b a δ4f (x, µ)dx δy Nói chung, để tính tốn tích phân với cơng thức Simpson phức tạp Ta thực với giá trị cố định j Áp dụng phương pháp Simpson Rb hợp cho tích phân a f (x, yj )dx với việc chia đoạn [a, b] thành n đoạn nhỏ có độ dài h = b−a n , n số nguyên chẵn với xi = a + ih, i = 0, 1, 2, , n ξj ∈ [a, b], ta có Z  b f (x, yj )dx = a h f (x0 , yj ) + n/2−1 X f (x2i , yj ) + i=1 39 n/2 X i=1  f (x2i−1 , yj ) + f (xn , yj ) b − a δ4f − h (ξj , yj ) 180 δx4 (2.10) Khi đó, tích phân ban đầu ta xấp xỉ công thức Z bZ a +2 d c n/2 X hk f (x, y)dxdy ≈ [(f (x0 , y0 ) + (f (x2i−1 , y0 )) + f (xn , y0 )) i=1 m/2−1 n/2−1 X X (f (x0 , y2j ) + j=1 f (x2i , y2j ) + i=1 n/2 X f (x2i−1 , y2j ) + f (xn , y2j )) i=1 m/2 n/2−1 n/2 X X X +4 (f (x0 , y2j−1 )+2 f (x2i , y2j−1 )+4 f (x2i−1 , y2j−1 )+f (xn , y2j−1 )) j=1 i=1 i=1 n/2−1 +(f (x0 , ym ) + X f (x2i , ym ) + i=1 n/2 X f (x2i−1 , ym ) + f (xn , ym ))] i=1 Sai số phương pháp Simpson hợp tích phân bội   δ f (d − c)(b − a) δ f bµ b) h (ξ, µ) + k 4 (ξ, − 180 δx δy Để chi tiết cách xấp xỉ này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 2.7.1 Xấp xỉ tích phân Z π/4 Z I= (2y sin x + cos2 x)dydx −π/3 Với m = n = 6, sử dụng cơng thức Simpson hợp, ta xấp xỉ tích phân thu I ≈ 0, 351846 Tiếp theo, ta đánh giá sai số Ký hiệu     R = 0, π4 × − π3 , , ta có   4 (d − c)(b − a)